弯曲的强度和刚度计算-梁的强度计算（建筑力学）

弯曲的强度和刚度计算(二)最大剪应力就全梁来说，最大剪应力一般发生在最大剪力Ｑmax所在截面的中性轴上各点处。对于不同形状的截面，τmax的计算公式可归纳为

τmax＝ＱmaxＳzmax/Ｉｚ·ｂ(6-10)

式中，Ｓzmax为中性轴一侧截面对中性轴的静矩；ｂ为横截面在中性轴处的宽度。二、梁的强度条件(一)正应力强度条件为了保证梁能安全工作，必须使梁的最大工作正应力σmax不超过其材料的许用应力［σ］，这就是梁的正应力强度条件。即正应力强度条件为:σmax＝Ｍmax/Ｗz≤［σ］(6-11)

如果梁的材料是脆性材料，其抗压和抗拉许用应力不同。为了充分利用材料，通常将梁的横截面做成与中性轴不对称形状。此时，应分别对拉应力和压应力建立强度条件，即:

(6-12)

式中，分别为最大拉应力和最大压应力；Ｍ＋、Ｍ－分别为产生最大拉应力和最大压应力截面上的弯矩；［σ］＋、［σ］－分别为材料的许用拉应力和许用压应力；分别为产生最大拉应力和最大压应力截面上的点到中性轴的距离。运用正应力强度条件，可解决梁的三类强度计算问题：(1)强度校核。在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸(即已知［σ］、Ｗｚ)以及所受荷载(即已知Ｍmax)的情况下，检查梁是否满足正应力强度条件。(2)设计截面。当已知荷载和所用材料时(即已知Ｍmax、［σ］)，可以根据强度条件计算所需的抗弯截面模量Ｗｚ≥Ｍmax［σ］，然后根据梁的截面形状进一步确定截面的具体尺寸。(3)确定许可荷载。如果已知梁的材料和截面尺寸(即已知［σ］、Ｗｚ)，则先由强度条件计算梁所能承受的最大弯矩，即Ｍmax≤［σ］·Ｗｚ，然后由Ｍｍａｘ与荷载的关系计算许可荷载。【例6-3】如图6-15所示，一悬臂梁长ｌ＝1.5ｍ，自由端受集中力Ｆ＝32ｋＮ作用，梁由22ａ工字钢制成，自重按ｑ＝0.33ｋＮ／ｍ计算，材料的许用应力［σ］＝160ＭＰａ。试校核梁的正应力。解：(1)求最大弯矩。最大弯矩在固定端截面Ａ处，为Ｍmax＝Ｆl＋ｑl2/2＝32×1.5＋0.33×1.52/2＝48.4(ｋＮ·ｍ)(2)确定Ｗｚ。查附录型钢规格表，22ａ工字钢的抗弯截面系数Ｗｚ＝309.8ｃｍ3。(3)校核正应力强度。σmax＝ＭmaxＷz＝48.4×106/309.8×103＝156.2(ＭＰａ)＜［σ］＝160ＭＰａ所以，满足正应力强度条件。本题若不计梁的自重，Ｍmax＝Ｆl＝32×1.5＝48(ｋＮ·ｍ)，则σmax＝ＭmaxＷz＝48×106/309.8×103＝154.9(ＭＰａ)

可见，对于钢材制成的梁，自重对强度的影响很小，工程上一般不予考虑。【例6-4】如图6-16(a)所示，是由普通热轧工字钢制成的简支梁。受集中力F=120kN作用，钢材的许用正应力［σ］=150MPa，许用切应力［τ］=100MPa，试选择工字钢型号。解：（1）作梁的受力图，求支座约束力。作梁的受力图如图6-16(b)所示，由平衡方程求得支座约束力为

FA=80kNFB=40kN（2）作梁的内力图。根据梁上的外力，作梁的剪力图和弯矩图如图6-16(c)、（d）所示。梁内最大剪力和最大弯矩分别为

Qmax=80kNMmax=80kN·m（3）按正应力强度条件选择截面。由正应力强度条件得

Wz≥Mmax/［σ］=80×106/150=533×103mm3

查型钢表，选28b号工字钢，其抗弯截面系数为Wz=534.29×103mm3，比计算所需的Wz略大，故可选用28b号工字钢。（4）对梁进行切应力强度校核。查型钢表得28b号工字钢的截面几何性质为Iz/Szmax=24.24cm,tw=10.5mm(腹板厚度)梁的最大切应力为τmax=QmaxSzmax/Iztw=80×103/24.24×10×10.5=31.43(MPa)

因为τmax=31.43MPa＜［τ］=100MPa,所以梁满足切应力强度条件，该梁可选用28b号工字钢。【例6-5】⊥形截面悬臂梁尺寸及荷载如图6-17所示，若材料的许用拉应力［σ］＋＝40ＭＰａ，许用压应力［σ］－＝160ＭＰａ，截面对形心轴ｚ的惯性矩Ｉｚ＝10180ｃｍ4，ｈ1＝96.4ｍｍ，试计算该梁的许可荷载［Ｆ］。解：(1)确定最大弯矩。作弯矩图如图6-17所示。由图可见，在固定端截面Ａ处有最大正弯矩，ＭＡ＝0.8Ｆ。在Ｃ截面有最大负弯矩，ＭＣ＝0.6Ｆ。由于中性轴不是截面的对称轴，材料又是拉、压强度不等的材料，故应分别考虑Ａ、Ｃ两截面的强度来确定许可荷载［Ｆ］。(2)由Ａ截面强度条件确定［Ｆ］。Ａ截面弯矩为正，下拉上压。由强度条件得

所以［Ｆ］≤53ｋＮ所以［Ｆ］≤132．5ｋＮ(3)由Ｃ截面强度条件确定［Ｆ］。Ｃ截面弯矩为负，上拉下压。由强度条件得所以［Ｆ］≤44．2ｋＮ所以［Ｆ］≤281．67ｋＮ由以上的计算结果可见，为保证梁的正应力强度安全，应取［Ｆ］＝44.2ｋＮ。(二)剪应力强度条件与梁的正应力强度计算一样，为了保证梁能安全正常工作，梁在荷载作用下产生的最大剪应力，也不能超过材料的许用剪应力［τ］，即剪应力强度条件为

τmax＝ＱmaxＳzmax/Ｉz·ｂ≤［τ］（6-12）对梁进行强度计算时，必须同时满足正应力强度条件和剪应力强度条件。一般情况下，梁的正应力强度条件为梁强度的控制条件，故一般先按正应力强度条件选择截面，或确定许可荷载，然后按剪应力强度条件进行校核。但在某些情况下剪应力强度也可能成为控制因素。例如，跨度较短的梁或者梁在支座附近有较大的集中力作用，这时梁的弯矩往往较小，而剪力却较大；又如有些材料如木料的顺纹抗剪强度比较低，可能沿顺纹方向发生剪切破坏；还有如组合截面(工字形等)，当腹板的高度较大而厚度较小时，则剪应力也可能很大。所以，在这样一些情况下，剪应力有可能成为引起破坏的主要因素，此时梁的承载能力将由剪应力强度条件来确定。【例6-6】如图6-18(ａ)所示的一个20ａ工字钢截面的外伸梁，已知钢材的许用应力［σ］＝160ＭＰａ，许用剪应力［τ］＝100ＭＰａ，试校核此梁强度。解：(1)确定最大弯矩和最大剪力。作梁的剪力图、弯矩图，见图6-18(ｂ)、(ｃ)，由图可得：Ｍmax＝39ｋＮ·ｍＱmax＝20.25ｋＮ(2)查型钢表确定工字钢20ａ有关的量：Ｗｚ＝236.9ｃｍ3ｄ＝7ｍｍＩｚ＝2369ｃｍ4Ｓｚ＝136.1ｃｍ3(3)确定正应力危险点的位置，校核正应力强度。梁的最大正应力发生在最大弯矩所在的横截面Ｃ的上、下边缘处，其值为σmax＝ＭＣ/Ｗｚ＝39×106/236.9×103＝164.6(ＭＰａ)

虽然σmax＞［σ］＝160ＭＰａ，但工程设计上允许最大正应力略超过许用应力。只要最大正应力不超过许用应力的5％，仍认为是安全的。σmax－［σ］/［σ］＝164.6－160/160＝0.029=2.9%＜5％所以，认为该梁满足正应力强度条件。(4)确定剪应力危险点的位置，校核剪应力强度。由剪力图可知，最大剪力发生在Ｂ左横截面上，其值Ｑmax＝20.25ｋＮ，该横截面的中性轴处各点为剪应力危险点，其剪应力为τmax＝ＱmaxＳzmax/ｄＩｚ＝20.25×103×136.1×103/7×2369×104＝16.6(ＭＰａ)＜［τ］＝100ＭＰａ所以，该梁满足剪应力强度条件。

弯曲的强度和刚度计算三、提高梁弯曲强度的措施如前所述，由于弯曲正应力是控制梁强度的主要因素，因此从梁的正应力强度条件考虑，采取以下措施可提高梁的强度。(一)合理安排梁的支座和荷载来降低最大弯矩值Ｍmax1．梁支承的合理安排当荷载一定时，梁的最大弯矩值Ｍｍａｘ与梁的跨度有关，首先应当合理安排支座。例如，图6-19(ａ)所示受均布荷载作用的简支梁，其最大弯矩值Ｍmax＝0.125ｑl2；如果将两支座向跨中方向移动0.2l，如图6-19(ｂ)所示，则最大弯矩降为0.025ｑl2，即只有前者的1／5。所以，在工程中起吊大梁时，两吊点设在梁端以内的一定距离处。2．荷载的合理布置在工作条件允许的情况下，应尽可能合理地布置梁上的荷载。例如，图6-20中把一个集中力分为几个较小的集中力，分散布置，梁的最大弯矩就明显减小。(二)采用合理的截面形状(1)从应力分布规律考虑，应将较多的截面面积布置在离中性轴较远的地方。如矩形截面，由于弯曲正应力沿梁截面高度按直线分布，截面的上、下边缘处正应力最大，在中性轴附近应力很小，所以靠近中性轴处的一部分材料未能充分发挥作用。如果将中性轴附近的阴影面积(见图6-21)移至虚线位置，这样就形成了工字形截面，其截面面积大小不变，而更多的材料可较好地发挥作用。所以，从应力分布情况看，凡是中性轴附近用料较多的截面就是不合理的截面，即截面面积相同时，工字形比矩形好，矩形比正方形好，正方形比圆形好。(2)从抗弯截面系数Ｗｚ考虑：由式Ｍmax＝［σ］Ｗｚ可知，梁所能承受的最大弯矩Ｍmax与抗弯截面模量Ｗｚ成正比。所以，从强度角度看，当截面面积一定时，Ｗｚ值愈大愈有利。通常，用抗弯截面模量Ｗｚ与横截面面积Ａ的比值来衡量梁的截面形状的合理性和经济性。表6-1中列出了几种常见的截面形状及其Ｗｚ／Ａ值。(3)从材料的强度特性考虑：合理地布置中性轴的位置，使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到材料的许用应力。对抗拉和抗压强度相等的塑性材料梁，宜采用对称于中性轴的截面形状，如矩形、工字形、槽形、圆形等。对于拉、压强度不等的材料，一般采用非对称截面形状，使中性轴偏向强度较低的一边，如Ｔ形等。设计时最好使

即截面受拉、受压的边缘到中性轴的距离与材料的抗拉、抗压许用应力成正比，这样才能充分发挥材料的潜力。(三)采用等强度梁一般承受横力弯曲的梁，各截面上的弯矩是随截面位置而变化的。对于等截面梁，除Ｍmax所在截面外，其余截面的材料必然没有充分发挥作用。若将梁制成变截面梁，使各截面上的最大弯曲正应力与材料的许用应力［σ］相等或接近，这种梁称为等强度梁，如图6-22(ａ)所示的雨篷悬臂梁，如图6-22(ｂ)所示的薄腹梁，如图6-22(ｃ)所示的鱼腹式吊车梁等，都是近似地按等强度原理设计的。

弯曲的强度和刚度计算有了应力公式后，便可以计算梁中的最大应力，建立应力强度条件，对梁进行强度计算。一、最大应力(一)最大正应力在进行梁的正应力强度计算时，必须首先算出梁的最大正应力。最大正应力所在截面称为危险截面。对于等直梁，弯矩绝对值最大的截面就是危险截面。危险截面上最大应力所在的点称为危险点，它在距中性轴最远的上、下边缘处。对中性轴是截面对称轴的梁，最大正应力σmax值为σmax＝Ｍmax·ｙmax/Ｉｚ，令Ｗｚ＝Ｉｚ/ｙmax，则σmax＝Ｍmax/Ｗｚ(6-8)

梁的强度计算弯曲的强度和刚度计算

式中，Ｗｚ称为抗弯截面系数，它是一个与截面形状、尺寸有关的几何量，常用单位是ｍ3或ｍｍ3。显然，Ｗｚ值愈大，梁中的最大正应力值愈小，从强度角度看，就愈有利。矩形和圆形截面的抗弯截面系数分别为:矩形截面Ｗｚ＝Ｉｚ/ｙmax＝(ｂｈ3／12)/(ｈ／2)＝bh2/6圆形截面Ｗｚ＝