2022全国乙卷理科数学试卷及答案

下载来源：高考试卷、大学资料预习群：704633017高中学习资料群：945115832，衡水中学资料群：491679660，绝密★启用前绝密★启用前理科数学本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集，集合M满足，则A． B． C． D．2．已知，且，其中a，b为实数，则A． B． C． D．3．已知向量满足，则A． B． C．1 D．24．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则A． B． C． D．5．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则A．2 B．C．3 D．6．执行下边的程序框图，输出的A．3 B．4C．5 D．67．在正方体中，E，F分别为的中点，则A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面8．已知等比数列的前3项和为168，，则A．14 B．12 C．6 D．39．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为A． B． C． D．10．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大11．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为A． B． C． D．12．已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．14．过四点中的三点的一个圆的方程为____________．15．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．16．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记的内角的对边分别为，已知．（1）证明：；（2）若，求的周长．18．（12分）如图，四面体中，，，，E为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．19．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：EQm\S(2))和材积量(单位：EQm\S(3))，得到如下数据：样本号12345678910总和根部横截面积EQx\S\DO(i)0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量EQy\S\DO(i)0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得，，．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0．01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数，．20．（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．（1）求E的方程；（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．21．（12分）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c都是正数，且，证明：（1）；（2）．设全集，集合满足，则B．C． D．解析：由题设，易知，对比选项，选择A.已知，且，其中为实数，则 A． B． C． D．解析:由题设，，，代入有，故，选择A.已知向量满足，，，则B．C．D．解析：由题设，，得，代入，，有，故.选择C．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造卫星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列:，，，，以此类推，其中其中，则A．B．C．D．解析：由已知，，，，故；同理可得,，又因为，故；于是得，排除A，，故，排除C，而，排除B.故选择D.方法二：（取特殊值）取，于是有，，，，，分子分母分别构成斐波那契数列，于是有，，，.于是得，，.对比选项，选D.5.设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则A．B．C．D．解析：易知抛物线的焦点为，于是有，故，注意到抛物线通径，通径为抛物线最短的焦点弦，分析知必为半焦点弦，于是有轴，于是有.6.执行下边的程序框图，输出的A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】第一次循环：，，，第二次循环：，，，第三次循环：，，，故输出故选B7.在正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【解析】对于A选项：在正方体中，因为EF分别为AB，BC的中点，易知，从而平面，又因为平面，所以平面平面，所以A选项正确；对于B选项：因为平面平面,由上述过程易知平面平面不成立；对于C选项：由题意知直线与直线必相交，故平面平面有公共点，从而C选项错误；对于D选项：连接，，，易知平面平面，又因为平面与平面有公共点，故平面与平面不平行，所以D选项错误.8.已知等比数列的前3项和为168，，则A．14B．12C．6D．3【答案】D【解析】设等比数列首项，公比由题意，，即，即解得，，，所以故选D9.已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为A．B．C．D．【答案】C【解析】考虑与四棱锥的底面形状无关，不是一般性，假设底面是边长为a的正方形，底面所在圆面的半径为r，则所以该四棱锥的高，所以体积当且仅当，即时，等号成立所以该四棱锥的高故选C10.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立。已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，且.记该棋手连胜两盘的概率为p，则A．p与该棋手和甲，乙，丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析】设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为，在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为，在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为由题意所以，所以最大，故选D.11．双曲线的两个焦点，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为 A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，点在双曲线右支.记切点为点，连接，则，，又，则.过点作交直线于点，连接，则,又点为中点，则，.由，得，，所以，．故，由双曲线定义，，则，即，所以.12．已知函数，的定义域均为,且，.若的图像关于直线对称，，则 A． B． C． D．【答案】D【解析】若的图像关于直线对称，则，因为，所以，故，为偶函数.由，，得.由，得，代入，得，关于点中心对称，所以.由，，得，所以，故，周期为.由，得，又，所以.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从甲、乙等名同学中随机选名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．【答案】【解析】设“甲、乙都入选”为事件，则.过四点中的三点的一个圆的方程为___________【答案】或或或【解析】设点A，圆过其中三点共有四种情况，解决办法是两条中垂线的交点为圆心，圆心到任一点的距离为半径。若圆过A、B、C三点，则圆心在直线，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为若圆过A、B、D三点，同（1）设圆心坐标为，则，所以圆的方程为若圆过A、C、D三点，则线段AC的中垂线方程为，线段AD的中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为若圆过B、C、D三点，则线段BD的中垂线方程为，线段BC中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为_________【答案】3【解析】，且，故，，又，故的最小值为3.已知和分别是函数的极小值点和极大值点，若，则的取值范围是___________【答案】【解析】至少要有两个零点和，我们对其求导，，若，则在R上单调递增，此时若，则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数的极小值点和极大值点，则，不符合题意。若，则在R上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，且。此时若有和分别是函数的极小值点和极大值点，且，则需满足，即，可解得或，由于，取交集即得。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）记的内角、、的对边分别为、、，已知.（1）证明：；（2）若，，求的周长.【答案】（1）见证明过程；（2）；【解析】1.已知可化简为，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，即证，（2）由（1）可知，，，，，，的周长为1418.（12分）如图，四面体中为中点.证明：平面平面；设点在上，当的面积最小时，求与平面所成角的正弦值.解析：（1）..,.平面平面.（2）在中，.在中，,,..、、两两互相垂直.由点在上且，由于当的面积最小时在中，如图，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.、、、、、、=设平面的法向量为.可得设设与所成的角为，与平面所成角的为

所以与平面所成角的正弦值为.19．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号12345678910总和根部横截面积0．040．060．040．080．080．050．050．070．070．060．6材积量0．250．400．220．540．510．340．360．460．420．403．9并计算得，，．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0．01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数，．【答案】（1）0.06,0.39；（2）0.97；（3）1209【答案】（1）0.06,0.39；（2）0.97；（3）1209【解析】（1）设这种树木平均一课的根部横截面积为，平均一个的材积量为，则，.（2）（3）设从根部面积总和为，总材积量为，则，故（）.20．（12分）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点。（1）求的方程；（2）设过点的直线交于，两点，过且平行于的直线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点．【答案】（1）；（2）直线过定点【解析】（1）设的方程为，将，两点代入得，解得，，故的方程为。（2）由，可得直线=1\*GB3①若过的直线的斜率不存在，直线为。代入，可得，，将代入，可得，由，得。易求得此时直线。过点。=2\*GB3②若过的直线的斜率存在，设，，。联立，得故有，，且（*）联立，可得，，可求得此时将代入整理得将（*）式代入，得，显然成立。综上，可得直线过定点。21.（12分）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围.【答案】