两角和与差的余弦第1课时高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

两角和与差的余弦第1课时新知探究问题1

我们已经知道了30°，45°的正弦、余弦值，那么，能否根据这些值求出cos15°的值呢？因为15°＝45°－30°，所以cos15°＝cos（45°－30°）．新知探究如图，在单位圆中，由Q引x轴的垂线，垂足为M；由Q引OP的垂线，垂足为H；由H引QM的垂线，垂足为G．由于∠MQH＝α，则GQ＝sinβcosa，MG＝cosβsinα，问题2怎样根据α与β的三角函数值求出cos（α－β）的值呢？因为MQ＝GQ＋MG，所以sin（α＋β）＝sinβcosα＋cosβsinα．新知探究思考：由摩天轮的例子还可以设计问题：设∠P1Ox＝α，∠P1OP＝β，则∠POx＝α－β，如何用sinα，cosα，sinβ，cosβ来表示cos（β－α）？设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋Apsinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，cos（α－β）＝cosβcosα＋sinβsinα．新知探究方法一：设P1（x1，y1），P2（x2，y2），在直角坐标系内作圆，并做出任意角α，α＋β，－β，它们的终边分别交单位圆于P2，P3，P4点，单位圆与x轴交于P1，问题3上面得到的结论对任意α与β都成立吗？则P1（1，0），P2（cosα，sinα），P3（cos（α＋β），sin（α＋β）），则有P4（cos（－β），sin（－β））．新知探究∵∠P1OP3＝∠P4OP2＝α＋β，且|OP1|＝|OP2|＝|OP3|＝|OP4|＝1∴2－2cos（α＋β）＝2－2cosαcosβ－2sinαsin（－β）问题3上面得到的结论对任意α与β都成立吗？∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ∴△P1OP3≌△P2OP4，∴|P1P3|＝|P2P4|，∴cos（α＋β）＝cos[α＋（－β）]＝cosαcos（－β）－sinαsin（－β）即＝cosαcosβ＋sinαsinβ．新知探究方法二：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，则P（cosα，sinα），Q（cosβ，sinβ），问题3上面得到的结论对任意α与β都成立吗？设α，β的终边与单位圆的交点分别为P，Q，因此＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）从而有：

＝（cosα，sinα）·（cosβ，sinβ）＝cosαcosβ＋sinαsinβ；新知探究另一方面，由图可知，存在k∈Z，使得问题3上面得到的结论对任意α与β都成立吗？故cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．所以或因此又因为新知探究两角差的余弦公式为：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，通常记为Cα－β．练新知探究试计算cos15°．解答：利用Cα－β可知：cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°当然，cos15°的值也可借助60°与45°来求，即cos15°＝cos（60°－45°）＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°新知探究因为α＋β＝α＋（－β），所以cos（α＋β）＝cos[α－（－β）]＝cosαcos（－β）＋sinαsin（－β）＝cosαcosβ－sinαsinβ．问题4角α与β的和的余弦可以用角α与β的正、余弦表示吗？新知探究对任意角α与β，都有cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，这就是两角差的余弦公式，简记为Cα－β．两角和的余弦公式Cα＋β：cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ．记忆口诀：余余正正符相异．初步应用例1

利用Cα－β证明以下诱导公式（1）由Cα－β可知，（2）由Cα－β可知，（1）（2）cos（π－α）＝－cosα初步应用例2

求cos105°的值．解答：cos105°＝cos（60°＋45°）＝cos60°cos45°－sin60°sin45°初步应用例3

已知

，其中＜α＜π，求