专题04 K字型（一线三角）（解析版）（北师大版）

专题04K字型（一线三角）【基本模型】(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.补充：其他常见的一线三等角图形【例题精讲】例1．（基本模型）（1）问题如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．（2）探究若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可．【详解】解：（1）证明：如图1，，，，又，；（2）结论仍成立；理由：如图2，，又，，，，又，，；（3）,,,是等腰直角三角形

是等腰直角三角形又即解得．【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键．例2．（作辅助线）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝．【答案】3．【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．【详解】如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，又∵∠BEF＝90°，∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，∴∠FEG＝∠EBC，又∵∠C＝∠G＝90°，∴△BCE∽△EGF，∴＝＝，即＝＝，∴FG＝EC，GE＝2＝CD，∴DG＝EC，设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，即CE2＝9，∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．例3．（最值问题）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径=，△CEF面积的最小值是．【答案】215【分析】连接BD，取BD的中点M，AB的中点N，连接MN，因为GN为△ABE的中位线，故G的运动路径为线段MN；过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE=x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【详解】解：连接BD，取BD的中点M，AB的中点N，连接MN，∵E为边AD上一个动点，点E从A到D的运动，G是BE的中点∴当E在A点时，BE与AB重合，G与AB的中点N重合，当E运动到D点时，BE与BD重合，G与BD的中点M重合，∴E在从A到D的运动过程中，MN为△ABE的中位线，∴．故G的运动路径=2，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，∴△FEH∽△EBA，∴为的中点，∴设AE=x，∵AB∴HF

∴当时，△CEF面积的最小值故答案为：2，15．【点睛】本题通过构造K形图，考查了三角形的中位线和相似三角形的判定与性质，建立△CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键．例4．（培优综合）如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x．(1)___________；当时，求的值；(2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当是等腰三角形时，请求出的值．【答案】(1)4，(2)是，(3)或4【分析】（1）作于交于．由，推出，只要求出、即可解决问题；（2）结论：的值为定值．证明方法类似（1）；（3）连接交于，在中，，代入数据求得，进而即可求解．【详解】（1）解：作于交于．四边形是矩形，，，，．在中，，，，，，，，，，，，，故答案为4，．（2）结论：的值为定值．理由：由，可得．，，，，；（3）连接交于．，所以只能，，，，，垂直平分线段，在中，，，，，．综上所述，的值为．【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．例5．（与函数综合）如图1和图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴上的一个动点，M是线段AC的中点．把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB．过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．设A点的横坐标为m．（1）求证：△AOC∽△BEA；（2）若m=3，则点B的坐标为；若m=﹣3，则点B的坐标为；（3）若m＞0，△BCD的面积为S，则m为何值时，S=6？（4）是否存在m，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2），，（3），，（4），，【分析】（1）利用三垂直模型或K字型相似.（2）首先由勾股定理求得线段的长，然后利用求得线段、的长，从而求得点的坐标；（3）分时和时，利用，根据相似比表示出点的坐标后，利用面积为6求得值即可；（4）分、、、，根据和两种情况得到比例式即可求得值．【详解】解：（1）证明：由题意得：∠MAB=90°∴∠CAO+∠BAE=90°又∵∠CAO+∠ACO=90°∴∠BAE=∠ACO又∵∠COA=∠AEB=90°∴△AOC∽△BEA（2）的坐标为，或，由勾股定理得：，且相似比为，，

，点的坐标为或，，故答案为：，，；（3）①当时，如图（1）且相似比为，求得点的坐标为，，解得

或4，②当时，如图（2），解得

或（舍去），，，（4）①当时，如图（1）若即：无解，若，同理，解得或（不合题意舍去），②当时，如图（2）若，即：，解得，取，若，同理，解得无解，③当时，如图（3），若，即：，解得（不合题意舍去）或，若，同理，解得无解，④当时，如图（4）若，，即：，则无解，若，同理，解得（不合题意舍去）或（不合题意舍去）；则，，．【点睛】本题考查了相似形的综合题，比较繁琐，难度很大，解答此题的关键是画出图形作出辅助线，结合相似三角形的性质利用比例式列出方程解答．体现了数形结合在解题中的重要作用．【变式训练】1．如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，折痕为EF，点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′，点B′落在边CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，则EF的长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，则CD=3x，，根据求出x=6，得到CD=18，CF=8，=12，证明△∽△求得DM=9，，，AM=9，再根据求得AE=4，过点E作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，再根据勾股定理求出EF=.【详解】设，则CD=3x，，由折叠得，∴CF=3x-10，∵∴100=，解得x=6或x=0（舍去），∴CD=18，CF=8，=12，∵∠C=∠D=∠,∴∠,∴△∽△,∴，∴，∴DM=9，，∴，AM=9，在Rt△中，，∴,解得EM=5，∴AE=4，过点E作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，∴BH=AE=4，EH=AB=CD=18，∴FH=10-4=6，∴EF=,故选：C.【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，解题中多次用到勾股定理求出直角三角形中的边长，根据折叠的性质得到对应的边相等或角度相等是解题的关键.2．如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，，AB=2BC则点的坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】过C作CE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到CD=AB，∠ABC=90°，，根据余角的性质得到∠BCE=∠ABO，进而得出△BCE∽△ABO，根据相似三角形的性质得到结论．【详解】解：过C作CE⊥x轴于E，

∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，∴∠BCE=∠ABO，∵，∴△BCE∽△ABO，∴，∵∴AB=，∵AB=2BC，∴BC=AB=4，∵，∴CE=2，BE=2∴OE=4+2∴C（4+2，2），故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图，等边的边长为6，点在上且，点在上，连接交于点，且，若点是射线上一点，当以、、为顶点的三角形与相似时，则的长为．【答案】4或7．【分析】由是等边三角形，得出，利用等式性质可得，，以、、为顶点的三角形与相似有一组角相等，再添一组角即可，由M在射线BC上，有两种可能，一种当点在上，一种点在的延长线上，过D作，则有DM∥AB易证是等边三角形，，当点在的延长线上时，作，可证△△和△∽△求出，进而有，综合即可．【详解】解：是等边三角形，，，，，如图，当点在上时，作，，，∴∥，，是等边三角形，，，当点在的延长线上时，作，，，，△，，，△，，，，，综上所述：或7，故答案为：4或7．【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，会利用相似三角形的性质列出比例解决问题是关键．4．（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系；（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．

【答案】（1）；（2）发生变化，，证明见解析；（3）【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可；（2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可；（3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可．【详解】（1）解：∵，∴．在和中，∴，∴．（2）发生变化，．证明：由（1）得，，，∴，∴，∴．（3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点，则，，，由（1）同理可证，，∴，，∴，，∴．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，准确证明三角形全等或相似，并熟练运用其性质是解题关键．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；（2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；（3）由的结论得出∽，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可．【详解】解：当时，即：，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，成立如图3，，，又，，，，，即，∽，，，，∽，，．由有，∽，，，，如图4图5图6，连接EF．在中，，，，如图4，当E在线段AC上时，在中，，，根据勾股定理得，，，或舍如图5，当E在AC延长线上时，在中，，，根据勾股定理得，，，，或舍，③如图6，当E在CA延长线上时，在中，，，根据勾股定理得，，，，或（舍），综上：或．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点．【课后训练】1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN，可得OE：PN=OM：PF，再利用正方形的性质把它们的直角边用含x的表达式表示出来，列方程，解方程即可得到x的值．【详解】解：如图，标注字母，∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，由正方形可得：同理：∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN=OM：PF，∵EF=x，MO=3，PN=4，结合正方形的性质可得：OE=x-3，PF=x-4，∴（x-3）：4=3：（x-4），∴（x-3）（x-4）=12，即，∴x=0（不符合题意，舍去）或x=7．故选：C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边．2．如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由是等边三角形，＝＝＝60°，由沿DE折叠C落在AB边上的点F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设AD＝x，CD=DF＝，由BE=2，BC＝，可得CE＝，可证，利用性质，即，解方程即可【详解】解：∵是等边三角形，∴＝＝＝60°，∵沿DE折叠C落在AB边上的点F上，∴，∴＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，∵AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设＝x，＝DF＝，∵BE=2，BC＝，∴CE＝，∵＝，＝60°，∴＝120°，＝120°，∴＝，∵＝，∴，∴，即，解得：，使等式有意义，∴＝，故选择：A．【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．3．如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，证明四边形是矩形，再证明，求得与的长度，由勾股定理求得与，再由矩形的周长公式求得结果．【详解】解：连接，四边形是矩形，，，为的中点，为的中点，，，四边形是平行四边形，，矩形是中心对称图形，过矩形的中心．过点，且，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，，，，，，设，则，，，解得，或4，或4，当时，，则，，四边形的周长；同理，当时，四边形的周长；故选：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形是矩形．4．如图，在中，，，，，求的长．【答案】6【分析】首先在上取，，连接、，根据题意先证明，紧接着利用相似三角形性质得出，由此通过勾股定理得出BE、CF的长度，再设，从而得出方程，最后进一步求解即可.【详解】如图，在上取，，连接、，∵，∴45°，45°，∵45°，∴，，∴，∴，在中，，在中，，∴设，则：，解得或（舍去），∴的长为6．【点睛】本题主要考查了勾股定理与相似三角形性质及判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，，的面积为2．(1)如图1，求直线的解析式．(2)如图2，线段上有一点C，直线为，轴，将绕点B顺时针旋转，交于点D，求点D的坐标．（用含k的式子表示）(3)如图3，在（2）的条件下，连接，交直线于点E，若，求点E的坐标．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用的面积为2，求出的长度，得到B的坐标，用待定系数法求的解析式；（2）利用，过D作轴于H，证明，得到，，由直线析式，求得C的坐标，从而得到长度，再证明四边形为矩形，得到D的坐标；（3）利用，得到A，C，B，D四点共圆，则，，又，转化得到，在上取一点M，使，构造出，利用两个角的正切值相等，列出关于参数的方程，求出参数k，再利用直线和直线相交，列出二元一次方程组，求得交点E的坐标．【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，设直线AB的解析式为：，代入点，得，∴，∴直线的解析式为：；（2）如图1，过D作轴于H，∵轴，∴，∴四边形为矩形，∴，由题可得，，∴，又∵，∴，在与中，，∴，∴，令，则，∴，∴，∴，∴；（3）如图2，连接，取中点N，连接，，则在中，，同理，，∴，∴A，C，B，D四点共圆，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又，∴，在上取一点M，使，则，∴，∴，∴，，．∵，∴，∴，∴，解得，，∴直线解析式为：，，设直线解析式为：，把代入得，∴，则直线解析式为：，联立，解得，∴．【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及到待定系数法，一线三等角模型构造全等，四点共圆，三角函数，交点坐标的求法，其中转化角的关系是解决本题的关键．6．在中，，，．（1）如图1，折叠使点落在边上的点D处，折痕交、分别于、，若，则＿＿＿．

（2）如图2，折叠使点落在边上的点处，折痕交、分别于、．若，求证：四边形是菱形．（3）如图3，在（1）（2）的条件下，线段上是否存在点，使得和相似？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，满足条件的值为或8或．【分析】（1）利用勾股定理求出AC，设HQ＝x，根据SΔABC=9SΔDHQ，构建方程即可解决问题；（2）由翻折的性质可得AE=EM，AF=FM，然后证明出AE=AF即可；（3）设AE＝EM＝FM＝AF＝4m，则BM＝3m，FB＝5m，构建方程求出m的值，然后根据QH=4，AQ=，求出QC=，设PQ=x，分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】（1）如图，在中，∵，，，∴设，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴整理得：，解得：，（舍去），∴．（2）如图由翻折的性质可知：，，，∵，∴，∴，∴AE=AF，∴，∴四边形是菱形；（3）如图，连接MP、HP，设．则，，∴，解得∴∴，∴∵，∴设，①当时，∴，解得：∴，②当时，，解得：或．∴或．综上所述，满足条件的值为或8或．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了翻折变换、三角形的面积、菱形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．7．问题提出：（1）如图①，矩形ABCD中，AD＝6．点E为AD的中点．点F在AB上，过点E作EGAB交FC于点G．若EG＝7．则S△EFC＝．问题探究：（2）如图②．已知矩形ABCD纸片中．AB＝9，AD＝6，点P是CD边上一动点．点Q是BC的中点．将△ADP沿着AP折叠，在纸片上点D的对应点是，将△QCP沿着PQ折叠．在纸片上点C的对应点是．请问是否存在这样的点P．使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时DP的长度．若不存在，请说明理由．问题解决：（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务．部件要求：如图③，四边形ABCD中，AB＝4厘米，点C到AB的距离为5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50元．请问这种四边形金属部件每个的造价最低是多少元？（≈1.73）【答案】（1）21；（2）存在，6或3；（3）802.75元【分析】（1）先由矩形的性质得CD∥AB，BC＝AD＝6，再由三角形面积公式求解即可；（2）由折叠的性质得：∠DPA＝∠D′PA，∠CPQ＝∠C′PQ，再证△ADP∽△PCQ，得，解得DP＝6或DP＝3；（3）如图，过点C作MN∥AB，过点D作MN的垂