第15讲 圆弧形动点轨迹与最值问题专题探究 (解析版)

第15讲圆弧形动点轨迹与最值问题专题探究类型一定义法【知识点睛】定义法——若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或圆弧）此类问题常出现环境——折叠求最值时常结合原理——①圆与圆外定点最值的求解方法如图：点A为圆外定点，点P为圆周上一点，OPOPHQ②圆上点到圆外定直线最值的求解方法如图：直线l为圆外定直线，点P、点Q为圆周上一点，则PH即为圆O上的点到直线l的最小值;QH为最大值l【类题讲练】1．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2 B． C．3 D．【分析】当A，M，C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CM的长度即可．【解答】解：连接AM，∵点B和M关于AP对称，∴AB＝AM＝3，∴M在以A为圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，∵AC＝，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2，故选：A．2．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，则∠BAD＝100°．【分析】先根据AB＝AC＝AD可知，B、C、D三点在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，再根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴B、C、D三点在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，∵∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，∴∠BAC＝2∠BDC＝60°，∠CAD＝2∠CBD＝40°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+40°＝100°．故答案为：100°．3．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为．【分析】先判断出点C的运动轨迹是在半径为2的⊙B上，再取OD＝OA＝4，连接OD，则OM是△ACD的中位线，OM＝，进而可得OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线，计算即可求出结果．【解答】解：∵C为坐标平面内一点，BC＝2，∴点C的运动轨迹是在半径为2的⊙B上，如图，取OD＝OA＝4，连接OD，∵点M为线段AC的中点，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝，∴OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线，此时在Rt△OBD中，BD＝＝4，∴CD＝2+4，∴OM的最大值是1+2．故答案为：1+2．4．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，M，N分别是AB边和BC的中点，若线段MN绕点M逆时针旋转得到线段MN′，连接BN′，如图2所示．（1）当线段MN绕点M逆时针旋转90°时，线段BN′的长＝cm；（2）如图3，连接DN′，则DN′长度的最小值是（﹣5）cm．【分析】（1）如图1，过点N′作N′E⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E＝90°，结合旋转性质可证得△EN′M≌△BMN（AAS），即可运用勾股定理求得答案；（2）根据题意可得点N′始终在⊙M上，当点N′与点P重合时，DN′＝DP＝DM﹣MP为最小值．利用勾股定理可求得DM，进而可得出答案．【解答】解：（1）如图1，过点N′作N′E⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵M，N分别是AB边和BC的中点，∴BM＝AB＝3cm，BN＝BC＝4cm，在Rt△BMN中，MN＝＝＝5，∵线段MN绕点M逆时针旋转90°得到线段MN′，∴MN′＝MN，∠NMN′＝90°，∴∠BMN+∠EMN′＝90°，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠EMN′＝∠BNM，在△EN′M和△BMN中，，∴△EN′M≌△BMN（AAS），∴ME＝BN＝4，EN′＝BM＝3，∴BE＝BM+ME＝3+4＝7，在Rt△BN′E中，BN′＝＝＝（cm），故答案为：．（2）如图2，以M为圆心，5为半径作⊙M，连接DM交⊙M于P，∵线段MN绕点M逆时针旋转得到线段MN′，∴点N′始终在⊙M上，当点N′与点P重合时，DN′＝DP＝DM﹣MP为最小值．在Rt△ADM中，DM＝＝＝（cm），∵MP＝5cm，∴DP＝（﹣5）cm，∴DN′的最小值为（﹣5）cm，故答案为：（﹣5）．5．如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为．【分析】分析题意可知，点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，连接AN，AM，以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，以此得到M、A、N三点共线时，MN的值最大，再根据勾股定理分别算出AM、AN的值，则MN的最大值M′N＝AN+AM′＝AN+AM．【解答】解：连接AN，AM，以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，如图，∵△ADE绕点A旋转，∴点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，∵AM+AN≥MN，∴当点M旋转到M′，即M、A、N三点共线时，MN的值最大，最大为M′N，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，∴AN⊥BC，AM⊥DE，BN＝3，DM＝2，在Rt△ABN中，由勾股定理得，在Rt△ADM中，由勾股定理得，根据旋转的性质得，AM′＝AM＝，∴M′N＝AN+AM′＝，即MN的最大值为．故答案为：．6．如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是4+．【分析】线段CE为定值，点F到CE距离最大时，△CEF的面积最大，画出图形，即可求出答案．【解答】解：∵线段CE为定值，∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，E是AB的中点，∴AB＝2BC＝4，CE＝AE＝AB＝2，AC＝AB•cos30°＝2，∴∠ECA＝∠BAC＝30°，过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G，∴AG＝AC＝，∵点F的在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴AF＝AB＝4，∴点F到CE的距离最大值为4+，∴，故答案为：．7．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是．【分析】过点M作MH⊥CD，由勾股定理可求MC的长，由题意可得点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，则当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值．【解答】解：如图，过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，∵AM＝AD，AD＝CD＝6，∴AM＝2，MD＝4，∵CD∥AB，∴∠HDM＝∠A＝60°，∴HD＝MD＝2，HM＝HD＝，∴CH＝8，∴MC＝＝，∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，∴AM＝A'M＝2，∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值，∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'＝﹣2，故答案为：﹣2．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点E是AC的中点，点F是斜边AB上任意一点，连接EF，将△AEF沿EF对折得到△DEF，连接DB，则△BDF周长的最小值是4+．【分析】由翻折的性质可得，AF＝DF，C△DEF＝DF+FB+BD＝AF+FB+BD＝AB+BD，要求△BDF周长的最小值，即求BD的最小值，以点E为圆心，AE为半径作圆，连接BE，交⊙E于点D′，此时BD的长度最短，过E作EM⊥AB于点M，则EM＝，根据勾股定理求出AM，进而求出BM，再由勾股定理可求出BE，以此求出BD′，最后算出△BDF的周长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，∴AC＝＝＝，如图，以点E为圆心，AE为半径作圆，连接BE，交⊙E于点D′，此时BD的长度最小，∵将△AEF沿EF对折得到△DEF，且点E是AC的中点，∴AF＝D′F，AE＝A′E＝，∵C△BD′F＝D′F+FB+BD′＝AF+FB+BD′＝AB+BD′，∴此时△BDF的周长最小，过E作EM⊥AB于点M，∴EM＝＝，由勾股定理可得AM＝＝＝，∴BM＝AB﹣AM＝，由勾股定理可得BE＝＝＝，∴BD′＝BE﹣ED′＝，∴△BDF周长的最小值是4+．故答案为：4+．9．已知，在半圆O中，直径AB＝10，点C，D在半圆O上运动，弦CD＝5．（1）如图1，当时，求证：△CAB≌△DBA；（2）如图2，若∠DAB＝22.5°，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的图形）的面积；（3）如图3，取CD的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：点M到AB的距离的最小值是．​【分析】（1）分别说明AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA成立，用SAS证明△CAB≌△DBA；（2）将阴影面积分割：S阴影部分＝S扇形DOB+S△AOD；（3）先得到点M在以O为圆心，为半径的圆弧M'M''上运动，然后计算点C从点A开始运动时M到AB的距离．【解答】（1）证明：∵＝，∴∠CAD＝∠DBC，∵，∴∠DAB＝∠CBA，AC＝BD，∴∠CAD+∠DAB＝∠DBC+∠CBA，∴∠CAB＝∠DBA，又∵AB＝BA，∴△CAB≌△DBA（SAS）；（2）解：过D作DH⊥AB于H，连接OD，如图2：∵半圆O中，直径AB＝10，∴OA＝OD＝5，∵∠DAB＝22.5°，∴∠DOB＝45°，∴DH＝OD＝，S扇形DOB＝，∴S△AOD＝OA•OH＝，∴S阴影部分＝S扇形DOB+S△AOD＝+；（3）连接OM，OC，∵M是CD的中点，∴OM⊥CD，CM＝CD＝，∴OM＝＝＝，∴点M在以O为圆心，为半径的圆弧M'M''上运动，过M'作M'N⊥AB，垂足为N，∵sin∠AOM'＝＝＝，∴M'N＝OM'•sin∠AOM'＝×＝，∴点M到AB的距离的最小值是，故答案为：．10．（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝45或135°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．（3）【问题拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，（3）如图3，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．利用圆周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得DE＝OF＝2；在等腰Rt△BOE中，利用勾股定理得到OE＝DF＝4；则在Rt△AOF中，易得AF＝2，故AD＝2+4．【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，同理，当点D在弧BC上时，∠BDC＝135°．故答案为：45°或135；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如图3，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°．在Rt△BOC中，BC＝6+2＝8，∴BO＝CO＝4．∵OE⊥BC，O为圆心，∴BE＝BC＝4，∴DE＝OF＝2．在Rt△BOE中，BO＝4，BE＝4，∴OE＝DF＝4．在Rt△AOF中，AO＝4，OF＝2，∴AF＝2，∴AD＝2+4．11．（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝45°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是﹣1．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，（3）根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，AB为半径作圆A，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，故答案为：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO＝AB＝1，在Rt△AOD中，OD＝＝＝，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值＝OD﹣OH＝﹣1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）故答案为：﹣1．类型二定边对直角【知识点睛】模型原理：直径所对的圆周角是直角故：有公共斜边的两个直角三角形必满足四点共圆思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆弧）故：有公共斜边的两个直角三角形必满足四点共圆如图：用此方法解题的一般步骤：用此方法解题的一般步骤：①确定动点所在角=直角②确定“定直角”所对的边为定边③确定该动点的运动轨迹为以“定边”为直径的圆弧求最值时常结合原理——同类型一（略）【类题讲练】1．如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（）A． B． C．6 D．【分析】先判断出点P的运动轨迹：点P在以AB为直径的圆弧上，取AB的中点O，连接OD，当O、P、D三点共线时，PD有最小值，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，再根据正六边形的性质得到∠CBH＝30°，∠OBD＝90°，根据勾股定理即可求出BH、BD、OD，进而可得DP的最小值．【解答】解：∵AB＝4，∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆弧上，如图，取AB的中点O，连接OD，当O、P、D三点共线时，PD有最小值，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，∵点O为AB的中点，∴OA＝OB＝OP＝4÷2＝2，∵正六边形的每个内角为180°×（6﹣2）÷6＝120°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，BD＝2BH，∴∠OBD＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CBH中，CH＝＝2，BH＝，∴BD＝，在Rt△OBD中，OD＝＝，∴PD的最小值为OD﹣OP＝．故选：B．2．如图，正方形OABC中，A（8，0），B（8，8），点D坐标为（﹣6，0），连接CD，点P为边OA上一个动点，连接CP，过点D作DE⊥CP于点E，连接AE，当AE取最小值时，点E的纵坐标为（）A．3﹣ B．4﹣ C． D．【分析】先判断出点E的运动轨迹：以CD中点F为圆心，半径FD＝FC＝FE＝5的圆弧上，连接AF，交⊙M于点E，此时AE最小，再过点F作FM⊥x轴于点M，过点E作EN⊥x轴于点N，通过相似即可求出点E的纵坐标．【解答】解：∵DE⊥CP，∴∠DEC＝90°，取CD中点F（﹣3，4），则点E的运动轨迹在以点F为圆心，半径FD＝FC＝FE＝5的圆弧上，连接AF，交⊙M于点E，此时AE最小，过点F作FM⊥x轴于点M，过点E作EN⊥x轴于点N，则AM＝11，FM＝4，∠FMA＝∠ENA＝90°，在Rt△AFM中，AF＝＝，∵∠FMA＝∠ENA＝90°，∴FM∥EN，∴，即，∴EN＝4﹣．故选：B．3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（）A． B．2 C． D．【分析】根据∠CBP＝∠BAD，得∠ABD+∠BAD＝90°，则∠ADB＝90°，取AB的中点E，连接DE，CE，利用勾股定理求出OC的长，从而得出答案．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠CBP＝90°，∵∠CBP＝∠BAD，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∴∠ADB＝90°，取AB的中点E，连接DE，CE，∴DE＝AB＝4，∴EC＝EB＝4，∵CD≥CE﹣DE，∴CD的最小值为4﹣4，故选：D．4．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2 B． C． D．【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故选：D．5．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边BC上一动点，点F在边CD上，BF⊥AE，则CG的最小值为．【分析】取AB的中点O，连接OC，根据题意可知，点G是在以O为圆心，AB为直径的圆弧上运动，且OC和OG的长度是定值，因此当O、G、C三点在同一条直线上时，CG取得最小值，根据勾股定理求出OC，则CG的最小值为OC﹣OG．【解答】解：取AB的中点O，连接OC，如图，根据题意可知，点G是在以O为圆心，AB为直径的圆弧上运动，∵OC和OG的长度是定值，∴当O、G、C三点在同一条直线上时，CG取得最小值，∵四边形ABCD是边长为6的正方形，∴AB＝BC＝6，∠ABC＝90°，∴OA＝OB＝OG＝＝3，在Rt△BOC中，OC＝＝＝，∴CG的最小值为OC﹣OG＝．故答案为：．6．如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为7．【分析】先找出点P的运动路线为以AD为直径的圆，设圆心为O，作点M关于直线DC的对称点M′，连接OM′交⊙O于点P′，可推出M′P′的长即为PN+MN的最小值，再求出M′P′的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠ADP＝∠PAB，∴∠ADP+∠PAD＝∠PAB+∠PAD＝∠BAD＝90°，∴点P的运动路线为以AD为直径的圆，作以AD为直径的⊙O，作点M关于直线DC的对称点M′，连接OM′交⊙O于点P′，连接M′N，OP，则OP＝OP′＝3，M′N＝MN，∴PN+MN＝PN+M′N＝PN+M′N+OP﹣OP′≥OM′﹣OP′＝OM′﹣3，∴PN+MN的最小值为OM′﹣3；连接OM，∵四边形ABCD是矩形，点O是AD的中点，点M为BC的中点，∴OD＝AD＝BC＝CM＝3，OD∥CM，∠ODC＝90°，∴四边形OMCD是矩形，∴OM＝DC＝AB＝8，∵点M关于直线DC的对称点M′，∴M′M＝2MC＝6，在Rt△M′OM中，由勾股定理，得OM′＝，∴PN+MN的最小值为OM′﹣3＝10﹣3＝7，故答案为：7．7．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为．【分析】由∠AFC＝90°，得点F在以AC为直径的圆上运动，当点E与B重合时，此时点F与G重合，当点E与D重合时，此时点F与A重合，则点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为的长，然后根据条件求出所在圆的半径和圆心角，从而解决问题．【解答】解：∵CF⊥AE，∴∠AFC＝90°，∴点F在以AC为直径的圆上运动，以AC为直径画半圆AC，连接OA，当点E与B重合时，此时点F与G重合，当点E与D重合时，此时点F与A重合，∴点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为的长，∵点G为OD的中点，∴OG＝OD＝OA＝2，∵OG⊥AB，∴∠AOG＝60°，AG＝2，∵OA＝OC，∴∠ACG＝30°，∴AC＝2AG＝4，∴所在圆的半径为2，圆心角为60°，∴的长为，故答案为：．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为﹣2．【分析】如图1，连接AG，证明AF＝FG＝EF，则∠AGE＝∠AGD＝90°，根据圆周角定理可知：点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，当O，G，C三点共线时，CG的值最小，由此可解答．【解答】解：如图1，连接AG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，DC＝AB＝3，∵F是AE的中点，∴BF＝AE＝AF＝EF，∵BF＝FG，∴AF＝FG＝EF，∴∠AGE＝∠AGD＝90°，∴点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，连接OG，当O，G，C三点共线时，CG的值最小，如图2所示，∴OD＝OG＝2，∴OC＝＝，∴CG的最小值为﹣2．故答案为：﹣2．类型三定边对定角【知识点睛】模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆（或圆弧）解决办法：当∠P是那个定角时，此类问题要求点P的运动路径长，则∠P一定为特殊角。下以30°，45°，60°，120°为例，说明动点轨迹圆的确定方法：若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心若∠P=120°，以AB为底，异侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心另：若∠P=135°，以AB为斜边，异侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心若∠P=150°，以AB为边，异侧构造等边三角形AOB，O即为圆心求最值时常结合原理——同类型一（略）【类题训练】1．如图，BC是⊙O的直径，BC＝4，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且∠MON＝120°，△ABC的内心为E点，当点A在上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是（）A． B． C． D．【分析】如图，连接BE、CE，由∠BAC＝90°，E是内心，推出∠BEC＝135°，推出点E在以P为圆心的PC为半径的圆上运动（轨迹是），求出PG，∠GPH即可解决问题．【解答】解：如图，连接BE、CE，∵∠BAC＝90°，E是内心，∴∠BEC＝135°，∴点E在以P为圆心的PC为半径的圆上运动（轨迹是），在⊙P上取一点M′，连接BM′、CM′，则∠M′＝180°﹣135°＝45°，∠BPC＝2∠M′＝90°，∴△BCP是等腰直角三角形，∵BC＝4，∴PB＝PC＝4，∵∠HPC＝2∠HBC＝∠NBC＝∠NOC，同理∠GPB＝∠MOB，∴∠HPC+∠GPB＝（∠NOC+∠MOB）＝30°，∴∠GPH＝60°，∴点E运动的路径长是＝π，故选：B．2．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（）A．2﹣2 B． C．4 D．2【分析】如图，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．证明点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O，推出当点P落在线段OD上时，DP的值最小，想办法求出OD，OP，可得结论．【解答】解：如图，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．∵∠BPE＝∠EOB，∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O，∴当点P落在线段OD上时，DP的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝3，AE：EB＝1：2，∴BE＝2，∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，∴EQ＝BQ＝，∠EOQ＝∠BOQ＝60°，∴OQ＝1，OE＝2，∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，∴四边形AQOJ是矩形，∴AJ＝OQ＝1，JO＝AQ＝2，∵AD＝5，∴DJ＝AD﹣AJ＝4，∴OD＝＝＝2，∴PD的最小值＝OD﹣OP＝2﹣2，故选：A．3．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝9，∠ACB＝60°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于点E，则AE的最小值为2．【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC＝120°，由此推出点E在以O为圆心，OB为半径的上运动，连接OA交于E′，此时AE′的值最小．【解答】解：如图，连接CE．∵AM∥BC，∴∠MAC＝∠ACB＝60°，∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，∴点E在以O为圆心，OB为半径的上运动（△BOC是等腰三角形，∠BOC＝120°，OB＝OC＝3），连接OA交于E′，此时AE′的值最小．∵∠ACB＝60°，∠BCO＝30°，∴∠ACO＝90°，∴OA＝＝5，∴AE′＝OA﹣OE′＝5﹣3＝2，∴AE的最小值为2．故答案为：2．4．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则∠AFB＝120°，CF的最小值是2．【分析】首先证明∠AFB＝120°，推出点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小．【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠AFE＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2．故答案为：120°，2．5．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C点．​（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BC，D是线段BC上一点，BD＝3DC，作射线OD交抛物线于点E，H是抛物线上一点，连接OH，若OE平分∠COH，求H点的坐标；​​（3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EF垂直于x轴于点F，在直线EF上存在点M，使得∠DMB＝45°，请直接写出点M的坐标．​​【分析】（1）将A、B两点从标代入易求解析式；（2）OE是∠COH的平分线，用角平分线定理，可求得H．（3）满足∠DMB＝45°，可构造圆，利用圆周角定理求得．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）代入解析式得：；解得：．∴解析式为：y＝﹣x2+3x+4．（2）当x＝0时，y＝4得C（0，4）．设D（m，n），由BD＝3DC可得：；解得：，即D（1，3）．∴直线OD解析式为：y＝3x．记