2.7 探究勾股定理 第1课时 勾股定理（解析版）

2.7探索勾股定理第1课时勾股定理1.掌握幻股定理，了解利用拼图验证幻股定理的方法2.会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点理解实数与数轴上的点的一一对应关系.3.能够从实际问题中抽象出直角三角形并能运用股定理进行有关的计算和证明知识点一勾股定理1.勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,是数学中最著名的定理之一,在图形研究和生活、生产实践中有广泛的应用.2.符号语言如果为直角三角形的两条直角边的长,为斜边的长，则.变式与应用（1）变式，（2）应用，，(1)应用勾股定理可以求边长,但当已知的三角形不是直角三角形时常通过作高,构造直角三角形,再利用勾股定理求解；(2)勾股定理揭示的是直角三角形的三边间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理(3)应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在应用时，斜边只能是.若为斜边，则关系式是,若为斜边则关系式是(3)若没有明确所给直角三角形中边的类型(是直角边还是斜边),要分类讨论，以免漏解即学即练1已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．(1)若a=1，b=2，求c．(2)若a=15，c=17，求b【答案】(1)c=(2)b=8【分析】（1）由于所求边c是斜边，所以利用勾股定理直接可得c=a（2）由于所求边b是直角边，所以利用勾股定理直接可得b=c【详解】（1）根据勾股定理，得c2∵c>0，∴c=a（2）根据勾股定理，得b2∵b>0，∴b=c【点睛】本题考查利用勾股定理解直角三角形，已知两边求第三边时，关键要注意所求边是直角边，还是斜边．即学即练2（2022秋·山东枣庄·八年级校考阶段练习）在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离（单位：mm）【答案】130mm【分析】首先根据题意算出AC和BC的长，再利用勾股定理计算出BA的长即可．【详解】解：如图所示：由题意得：AC=90-40=50（mm），BC=160-40=120（mm），在Rt△AOB中：AB=A答：两孔中心A、B之间的距离为130mm．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．知识点二勾股定理的应用勾股定理把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数的关系.其主要应用如下：(1)已知直角三角形的任意两边求第三边;(2)已知直角三角形的任意一边和另两边的关系,求出未知的两边；(3)证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题；(4)构造方程(或方程组)计算有关线段的长度,解决生产、生活中的实际问题.即学即练1已知一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动多远？【答案】1米【分析】根据勾股定理求解即可．【详解】解：在直角三角形△ABO中，根据勾股定理可得，OA=5如果梯子的顶度端下滑1米，则OA在直角三角形A'B'则梯子滑动的距离就是OB【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．即学即练2在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高hc；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．【答案】(1)a＝45cm．b＝60cm；(2)540；(3)a＝30，c＝34；(4)63；(5)12．【详解】试题分析：（1）设a=3x,b=4x,利用勾股定理，可得出x的值，继而得出答案；（2）设a=15x，c=17x，（3）根据勾股定理可求出c+a，联立c-a=4，可得出（4）求出a、b，（5）设a=x-1，b=x，试题解析：(1)设a=3x,b=4x,则(3x)2解得：x=15，故可得：a=45cm，b=60cm；(2)设a=15x,c=17x,则(17x)2解得：x=3,则a=45,故△ABC的面积=1(3)c2-a∵c−a=4，∴c+a=64，则c-a=4c+a=64解得：a=30c=34.即a=30，c=34；(4)∵∠A=30∴a=12,b=123则12解得：hc(5)设a=x−1，b=x，c=x+1，则可得：(x-1)2解得：x=4，即a=3，b=4，c=5，故a+b+c=12.即学即练3我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

【答案】水深12尺，芦苇的长度是13尺【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【详解】解：设水深x尺，芦苇(x+1)尺，1丈=10尺，由勾股定理：x2解得：x=12，∴x+1=13，答：水深12尺，芦苇的长度是13尺．【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．知识点三勾股定理的证明对于勾股定理的证明,现在世界上已找出很多种运用图形的割、移补、拼构造特殊图形,并根据面积之间的关系进行推导的方法,现摘取几种著名的证法方法图形证明赵爽“勾股圆方图”(“赵爽弦图”)因为大正方形的边长为c,所以大正方形的面积为S=c2，又大正方形的面积S=4×刘徽“青朱出入图”设大正方形的面积为S,则S=c2.根据“出入相补,以盈补虚”的原理,又有S=a2加菲尔德总统拼图如图：利用整体法，梯形的面积为S=12(a+b)(a+b)=ab+1毕达哥拉斯拼图图1中拼成的正方形与图2中拼成的正方形面积相等，通过面积相等可以得到：a2+b欧几里得证法注意：(1)勾股定理是通过等积法来验证的，同一个图形用不同的方法计算的面积相等.(2)勾股定理的验证,将“形’的问题转化为“数”的问题，体现了数形结合的思想即学即练勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a

证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a，∵S四边形ADCB=∴111b∴a2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2【答案】见解析【分析】连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，仿照已知材料中的方法，利用五边形ACBED面积的不同表示方法解答即可．【详解】

证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a．∵S五边形又∵S五边形∴12∴1212b2∴a2【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正确理解题意、得出五边形ACBED面积的不同表示方法是解题的关键．知识点四作长为n(n为大于1的整数)的线段实数与数轴上的点是一一对应的,有理数在数轴上较易找到与它对应的点，若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难由此,我们可借助勾股定理作出长为(n为大于1的整数)的线段画长为的线段当直角三角形的两直角边长分别为,时斜边长为,即;当两直角边长分别为,时,斜边长为,即.依此规律可以画出长为,,，…的线段.在数轴上表示构造两条直角边长都是的直角三角形,使用勾股定理得到斜为,再用圆规截取的方法在数轴上画出表示的点;构造两直角边长分别为，的直角三角形,用勾股定理得到斜边长为,再用圆规截取的方法在数轴上画出表示点.依此规律可以画出长为,,，…的点.主要应用画出长为无理数的线段,在数轴上画出表示无理数的点.即学即练（2023春·江苏淮安·九年级校联考阶段练习）阅读下列材料，并回答问题.事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理.请利用这个结论，完成下面活动：(1)一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为_____________；(2)如图，点A在数轴上表示的数是_____________，并请用类似的方法在右图数轴上画出表示数10的B点（保留作图痕迹）.【答案】(1)10；(2)-5【分析】(1)根据题目中的数据和勾股定理，可以求得这个直角三角形斜边的长；(2)先根据图形和勾股定理写出点A表示的数，然后仿照点A表示的方法，可以在数轴上表示出点B【详解】（1）解：∵一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，∴这个直角三角形斜边长为：62故答案为：10；（2）解：由图可得，点A表示的数为：-2∵3∴如下图所示，点B即为所求，故答案为：-5【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识和数形结合的思想解答．题型一用勾股定理解三角形例1（2022秋·浙江嘉兴·八年级平湖市林埭中学校联考期中）将两块等腰直角三角形板如图放置，其中A，B，E三点共线，若AB=BC=32，BE=BD=42，F，G分别是AC，DE的中点，H是FG的中点，则BH的长为（

A．2 B．2 C．5 D．2.5【答案】D【分析】连接BF，BG，先证明△FBG为直角三角形，并求得两条直角边的长度，即可求得FG【详解】解：如图所示，连接BF，BG．

根据题意，得：AC=ADE=B∵△ABC为等腰直角三角形，F为底边AC∴BF=12AC=3同理可得：BG=12DE=4∵∠FBG=∴△FBG∴FG=F∵H为Rt△FBG斜边∴BH=1故选：D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质，牢记等腰三角形的性质（三线合一）、勾股定理、直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）是解题的关键．举一反三1（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）如图，四边形ABCD中，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，则△ABC的面积为．

【答案】12【分析】过点A作AE⊥BD交BD于点E，由已知条件可判定AB∥CD，S△ABC=S△【详解】解：过点A作AE⊥BD交BD于点∵∠ABD=∴AB∴S∵AB=AD=5∴△ABD∴BE=∴AE=∴S∴S故答案为：12．【点睛】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是由平行线的之间的距离处处相等得到S△举一反三2（2023春·浙江台州·八年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，若AC+AB=45，BC=15，则CD的长是（

）

A．14 B．12 C．10 D．8【答案】B【分析】先利用勾股定理和平方差公式求出AB-AC的值，进而求出AB，【详解】在Rt△ABC中，有AB又∵BC=15，∴AB∴(AB-又∵AC+AB=45，∴AB-解得：AB=25AC=20∵CD∴S△∴CD=AC故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理，平方差公式和等面积法，熟练掌握勾股定理，平方差公式和等面积法及数形结合的运用是解题关键．题型二已知两点坐标求两点距离例2（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）在平面直角坐标系内有一点P5,2，点Q与点P关于原点中心对称，则PQ=【答案】6【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得点Q的坐标；然后利用勾股定理求得线段PQ的长度即可．【详解】解：∵点P5∴P-∴PQ=-故答案为：6．【点睛】本题主要考查了勾股定理、关于原点对称的点的坐标等知识点，关键掌握点的坐标的变化规律是解答本题的关键．举一反三1（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A(-3,0)，B(0,2)，以点A为圆心，AB为半径画圆，交x轴于点C，D，记点C，D之间距离为d，则数d的大小在哪两个相邻整数之间（）

A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．12与13之间【答案】C【分析】结合已知条件求得OA，OB的长度，然后利用勾股定理求得AB的长度，继而求得CD的长度，然后估算出它在哪两个连续整数之间即可．【详解】解：由题意可得OA=3，OB=2，∠AOB=90则AB=32+22那么CD=2AB=213，∵213=52，49<52<64，∴7<52<8，即数d的大小在7与8之间，故选：C．【点睛】本题考查无理数的估算，直角坐标系及勾股定理，结合已知条件求得CD的长度是解题的关键．举一反三2（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在直角坐标系中，以点A3,1为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B1,1，点C1,3，点D4,4，点E5,2，则∠BAC∠DAE（填“>”“【答案】=【分析】连接DE，判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形，即可得到∠BAC=【详解】解：连接DE，如图∵点A3,1，点B1,1，点C1,3，点D由勾股定理与网格问题，则AB=BC=2，∠ABC=90∴△ABC是等腰直角三角形；∵AE=DE=22+∴AE∴∠AED=90∴△ADE是等腰直角三角形；∴∠BAC=故答案为：=．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握掌握所学的知识，正确判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形．题型三勾股树(数)问题例3（2023·浙江·八年级假期作业）下列各组数中，可以构成勾股数的是（）A．13，16，19 B．5，13，15 C．18，24，30 D．12，20，37【答案】C【分析】根据勾股数定义：满足a2【详解】解：A、132B、132C、182D、122故选：C．【点睛】此题主要考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题的关键．举一反三1（2023春·浙江台州·八年级校考期中）观察下列各组勾股数的组成特点，第1组：3=2×1+1，4=2×1×1+1，5=2×1×第2组：5=2×2+1，4=2×2×2+1，13=2×2×第3组：7=2×3+1，24=2×3×3+1，25=2×3×第4组：9=2×4+1，40=2×4×4+1，41=2×4×…第7组：a，b，c．(1)写出第7组勾股数a，b，c各是多少．(2)写出第n组勾股数，并证明．【答案】(1)a=15，b=112，c=113(2)第n组勾股数是2n+1，2nn+1，2n【分析】（1）根据题目中给出的数字规律得出结果即可；（2）根据题目中的规律得出第n组勾股数即可，根据勾股数的定义，利用整式混合运算法则进行证明即可．【详解】（1）解：∵第1组：3=2×1+1，4=2×第2组：5=2×2+1，12=2×第3组：7=2×3+1，24=2×第4组：9=2×4+1，40=2×∴第7组勾股数是a=2×7+1=15，b=2×即第7组勾股数为a=15，b=112，c=113；（2）解：由（1）的规律可知，第n组勾股数是2n+1，2nn+1，2n∵2n+122nn+12nn+1∴2n+12∴第n组勾股数是2n+1，2nn+1，2n【点睛】本题主要考查了数字规律探索，勾股数，整式混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握勾股数的定义，整式混合运算法则，完全平方公式．举一反三2（2023·浙江·八年级假期作业）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【答案】m2+1【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】∵2m为偶数，∴设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，解得a=m2-1，∴弦长为m2+1，故答案为：m2+1．【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．题型四以直角三角形三边为边长的图形面积例4（2023春·浙江金华·八年级校考期中）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE=∠AED，AD=25，则△ADE的面积为（

A．6 B．5 C．25 D．【答案】A【分析】由已知证得AD=AE=AB，进而证得EF=BF=1【详解】解：如图，∵∠ADE=∴AD=AE=AB∴∠AEF=∵AF⊥∴EF=BF=1∴GE=AH∵∠GEM=∴△GEM∴S△∴S△∵AD=25∴AH=2,DH=4∴DG=GE=2∴S△故选：A．【点睛】本题考查全等形的证明及性质、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．举一反三1（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形，∠ABC=90°，三个正方形的面积分别为S1、S2、S

A．1 B．5 C．25 D．144【答案】A【分析】先由正方形的面积公式将S1、S2、S3分别用含AB、BC、AC的式子表示，再根据勾股定理得到AB、BC【详解】解：∵以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形的面积分别为∴S1=AB2，∵∠ACB=90∴BC∴S2∵S1=13，∴12+S∴S3故选：A．【点睛】此题考查勾股定理及其应用，解题的关键是将S1、S2、S3分别用含AB举一反三2（2022春·浙江温州·八年级乐清市乐成第一中学校考期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，分别以四边为边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、SA．S甲=SC．S甲+S【答案】C【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．【详解】解：连接AC，由勾股定理得AB∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，即S甲故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．题型五勾股定理与网格问题例5（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图是由36个边长为1的小正方形拼成的网格图，请按照下列要求作图．(1)在图1中画出一个以AB为边的Rt△ABC(2)在图2中画出一个以AB为底边的等腰△ABC．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据网格的特点和直角三角形的定义求解即可；（2）根据网格的特点，勾股定理和等腰三角形的定义求解即可；【详解】（1）解：如图，Rt△（2）解：如图，直角三角形ABC即为所求；解：如图，∵BC=3∴△ABC【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，直角三角形的定义，等腰三角形的定义和勾股定理，和正确利用网格结合勾股定理分析是解题关键．举一反三1（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：(1)在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；(2)在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；(3)在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；（2）利用勾股定理，找长为2、22、10（3）利用勾股定理作一个边长为5的正方形即可得．【详解】（1）解：如图1所示，Rt△（2）解：如图所示，Rt△（3）解：如图所示，△OPQ【点睛】此题主要考查了作图与应用作图．本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决．举一反三2（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上．(1)AB=____________；(2)请分别在图1，图2的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形．①在图1中，以AB为边画Rt△ABD（D与C不重合），使它与△ABC全等；②在图2中，以AB为边画Rt△ABE，使它的一个锐角等于∠B，且与△ABC不全等．【答案】(1)25(2)①见解析；②见解析．【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长即可；（2）①如图1，根据三边对应相等的两个三角形全等作图即可；②由图可知，△ABC为直角三角形，则求作△【详解】（1）AB=故答案为：2（2）如图1，△ABD如图2，△ABE由第一个图可知，AE∥∴∠EAB=∵AC=2，BC=4，AB=25∴△ABC为直角三角形，且∠又∵BE=12+22∴AB∴△ABE为直角三角形，且∠∴△ABC与△∴△ABE【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清楚题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．题型六勾股定理与折叠问题例6（2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，则BD等于（

A．2cm B．3cm C．4cm【答案】D【分析】先根据勾股定理求出AB，根据折叠的性质可得∠AED=∠ACD=90°，DE=CD，【详解】解：∵Rt△ABC中，AC=6cm，∴AB=A∵将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，∴AE=AC=6cm，∴BE=AB-设BD=xcm，则CD=BC-由折叠的性质，可得DE=CD=8-x在Rt△DEB中，∴8-解得x=5，∴BD等于5cm．故选D．【点睛】本题考查勾股定理与折叠的性质，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，对应角相等．举一反三1（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，已知长方形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交(1)求证：△BOP≌△EOF；(2)求证：CP=BF；(3)求DF的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)DF=【分析】（1）由长方形的性质和折叠性质得∠B=∠E=90°，利用（2）由全等三角形的性质得到OE=OB，由OP=OF即可得到EP=BF，又由折叠的性质可得，CP=EP，即可得到结论；（3）由长方形的性质得到：DC=AB=4，AD=BC=3，由折叠性质可得DE=DC=4，设BF=EP=CP=x，表示出AF、BP、DF，在Rt△【详解】（1）解：由长方形性质可得∠A=∠B=∴∠B=在△BOP与△EOF中，∴△BOP（2）∵△BOP∴OE=OB，∵OP=OF，∴OE+OP=OB+OF，

即EP=BF，由折叠的性质可得，CP=EP

∴CP=BF；（3）由长方形的性质得到：DC=AB=4，AD=BC=3，由折叠性质可得DE=DC=4，∵△BOP∴BP=EF，设BF=EP=CP=x，则AF=4-x，BP=EF=3-在Rt△ADF中，AF∴x=12∴DF=x+1=17【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、长方形的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．举一反三2（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，Rt△ABC中，AB=4，BC=3，∠B=90°，M，N分别是边AC，AB上的两个动点，将△ABC沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在BC边的中点处，则线段BN的长为（

A．5532 B．7332 C．56【答案】A【分析】设BN=x，根据折叠得出DN=AN=4-x，然后在【详解】解：设BN=x，∵折叠，AB=4，∴DN=AN=4-∵D为BC的中点，BC=3，∴BD=1在Rt△BDN中，∠B=90°，BD=3∴4-解得x=55故选：A．【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键．题型七利用勾股定理求两条线段的平方和(差)例7．（2022秋·浙江杭州·八年级统考期中）如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于（）A．9 B．35 C．45 D．无法计算【答案】C【详解】【分析】由勾股定理求出BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，再代入可得MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2），化简可求得结果.【详解】在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，∴MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）=AC2-AB2=45．故选C【点睛】本题考核知识点：勾股定理.解题关键点：灵活运用勾股定理.举一反三1（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝2，AB＝3，下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝17；④△COF的面积是32A．①②④ B．①④ C．②③ D．①③④【答案】A【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求得∠COD；②根据正方形的性质求得OE的长，再根据线段的和差解得AE的长；③作DH⊥AB于H，作④根据三角形面积公式即可解答．【详解】解：①∵∠∴∠故①正确；②∵∴∵∴故②正确；③作DH⊥AB于H，作∴BH=3DH=3+1=4BD=故③错误；④S△故④正确，即正确的结论为：①②④故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质、含45°的直角三角形的性质、三角形面积、勾股定理、平角的定义等知识，综合性较强，掌握相关知识是解题关键．举一反三2（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=4，点A在y轴上，点C在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是【答案】2+【分析】取AC的中点M，连接OM，BM，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，解得OM=12AC=2，在Rt【详解】解：如图，取AC的中点M，连接OM，BM，∵∠AOC=90°，AM=CM，∴OM=1在Rt△∵∠BAM=90°，AB=1，∴BM=1∵OB≤∴OB≤∴OB的最大值为2+5故答案为：2+5【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．题型八利用勾股定理证明线段平方关系例8（2022秋·浙江湖州·八年级统考阶段练习）定义：如图，点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB，若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M,N是线段AB的勾股分割点．

(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB，若AM=1，MN=2，BN=3，则点M,N是线段AB(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12，AM=5，求BN的长．【答案】(1)是，理由见解析(2)127或【分析】（1）N是线段AB的勾股分割点，结合勾股分割点，由已知条件得到AM2=1，MN2（2）点M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，分两种情况，利用勾股定理列方程求解即可得到答案．【详解】（1）解：N是线段AB的勾股分割点，理由如下：∵AM=1，MN=2，BN=3∴AM2=1，M∴AM∴以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形，∴根据勾股分割点定义，M,N是线段AB的勾股分割点；（2）解：∵点M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，有两种情况：①MN为斜边时，有AM设BN=x，则52∴x=12②BN为斜边时，有BN设BN=x，则52∴x=37综上所述，BN的长为127或37【点睛】本题考查新定义问题，读懂题意，按照勾股分割点定义，结合勾股定理求解是解决问题的关键．举一反三1（2022秋·浙江·八年级校联考阶段练习）如图，已知△ACB和△ECF中，∠ACB=∠ECF=90°，AC=BC，CE=CF，连接AE．BF交于点O．(1)求证：△ACE≌△BCF；(2)求∠AOB的度数；(3)连接BE，AF，求证B【答案】(1)见解析(2)90(3)见解析【分析】（1）根据SAS证明△ACE（2）设EC交BF于点K．利用全等三角形的性质解决问题即可．（3）连接BE，利用勾股定理解决问题即可．【详解】（1）解：证明：∵∠ACB=∴∠ACE=∵CA=CB，CE=CF∴△ACE（2）设EC交BF于点K．∵△ACE∴∠OEK=∵∠CFK+∠CKF=90∴∠OEK+∴∠EOK=90∴∠AOB=90（3）证明：连接BE．∵∠BOE=∴BE2∵2∴B【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．举一反三2（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点（E左F右），且∠ECF＝45°，求证：AE【答案】见解析【分析】由于∠ACB＝90°，∠ECF＝45°，所以∠ACE＋∠BCF＝45°，若将∠ACE和∠BCF合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE旋转到△BCF的右外侧合并，或将△BCF绕C点旋转到△ACE的左外侧合并，旋转后的BF边与AE边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．【详解】解：AE如图，将△BCF绕点C旋转得△ACF′，使△BCF的BC与AC边重合，即△ACF′≌△BCF，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAF′＝∠B＝45°，∴∠EAF′＝90°，∵∠ECF＝45°，∴∠ACE＋∠BCF＝45°，∵∠ACF′＝∠BCF，∴∠ECF′＝45°，在△ECF和△ECF′中CE=CE∴△ECF≌△ECF′（SAS），∴EF＝EF′，在Rt△AEF′中，AE∴AE【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、图形的旋转、勾股定理．解题的关键是综合运用相关知识解题．题型九勾股定理的证明方法例9（2022秋·浙江杭州·八年级统考期中）如图，直线l上有三个边长分别为a，b，c的正方形，则有a2+c2b2（填“＞”或“＜”【答案】=【分析】证△EFG≌△GMH，推出FG=MH=b，GM=EF=a【详解】解：如图，∵正方形a，c的边长分别为a和c，∴EF=a，MH=c，由正方形的性质得：∠EFG=∠EGH=∵∠FEG+∠EGF=90∴∠FEG=在△EFG和△GMH中，∴△EFG∴FG=MH=b，∴EF∴正方形b的面积为EG即a2故答案为：=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，证明△EFG举一反三1（2022秋·八年级单元测试）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．【详解】解：A、大正方形的面积为：c2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．B、大正方形的面积为：（a＋b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2＋b2＋2ab，∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，∴不能证明勾股定理．C、大正方形的面积为：（a＋b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12∴（a＋b）2＝2ab＋c2，∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．D、图形的面积两种求法：①2个直角三角形+一个大正方形：2ab＋c2②两个正方形+两个直角三角形：a2＋b2+2ab；∴2ab＋c2＝a2＋b2+2ab，∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．举一反三2（2022秋·浙江·八年级专题练习）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用如图证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求证：a2+b2＝c2．【答案】见解析【分析】利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式．【详解】证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝12b2+1又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝12c2+1∴12b2+12ab＝1212即a2+b2＝c2．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．题型十以弦图为背景的计算题例10（2022秋·浙江宁波·八年级校联考阶段练习）早在公元前100年，我国古算书《周髀算经》就记载了历史上第一个把数与形联系起来的定理——勾股定理．如图，分别以Rt△ABC的各边为边在BC的上方作正方形．已知AB=m（m为大于0的常数），BC=2，若图中的两个阴影三角形全等，则m2的值为（

A．34 B．43 C．54【答案】D【分析】先证明△BEF≌△CBDASA，再由两个阴影三角形全等即可求出BD的长，由【详解】解：∵四边形EBCG是正方形，∴∠DBC=∠E=90∴∠EBF+∵∠BAC=90∴∠ACB+∴∠EBF=∴△BEF∴BD=EF∵两个阴影三角形全等，

∴BD=FG∴EF=FG∵∴BD=EF=1∴DC=∵DC⋅∴5∴AB=∴m故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．举一反三1（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是1和2，则小正方形与大正方形的面积之比为．【答案】15【分析】根据题意求得小正方形的边长，根据勾股定理求出大正方形的边长，由正方形的面积公式即可得出结果．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是1和2，∴小正方形的边长为1，根据勾股定理得：大正方形的边长＝12∴小正方形面积大正方形面积故答案为：15【点睛】本题考查了勾股定理和正方形的面积．本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．举一反三2（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图是由八个全等的直角三角形拼接而成，图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若EF=3，则SA．27 B．28 C．30 D．36【答案】A【分析】设八个全等的直角三角形的面积都是a，根据题意得S1-S2=4a，S【详解】解：设八个全等的直角三角形的面积都是a，根据题意得：S1-S∴S1-S∵S2∴S1∴S1故选：A.【点睛】本题考查了勾股定理的弦图背景和全等三角形的性质，解题的关键是抓住弦图内外四个直角三角形的的面积与三个正方形的面积之间的和差关系.题型十一用勾股定理构造图形解决问题例11（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB=2.4米，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC=0.8米），测温仪自动显示体温（

）

A．1.0米 B．1.2米 C．1.25米 D．1.5米【答案】A【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△【详解】解：如图，过点D作DE⊥

∵AB=2.4米，BE=CD=1.8米，∴AE=AB-在Rt△AD=A故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．举一反三1（2022秋·浙江温州·八年级乐清市虹桥镇第一中学校联考期中）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是

【答案】12【分析】根据题意，可知EC'的长为10尺，则C'B=5尺，设芦苇长【详解】解：依题意画出图形，

设芦苇长AC=AC则水深AB=(x-∵C'∴C'在Rt△5225+解得x=13，即芦苇长13尺，∴水深为12尺，故答案为：12．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，构造直角三角形，掌握勾股定理．举一反三2（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图所示，将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（

A．h≤17cm B．C．15cm≤h≤16【答案】D【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，当筷子的底端在D点时，筷子露在外面的长度最长，然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．【详解】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在外面的长度最长，∴h=24-当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15，∴AB=A此时h=24-所以h取值范围是7cm≤故选：D．【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．题型十二勾股定理与无理数例12（2022秋·浙江宁波·八年级慈溪市上林初级中学校考期中）（1）在图1中，用尺规作AB边的中垂线，交BC于点P（保留作图痕迹）（2）如图2，是由边长为1的小正方形拼成的网格，画一个以格点为顶点，斜边长为10的直角三角形（各边均为无理数）．【答案】（1）见详解；（2）见解析【分析】（1）利用尺规，根据要求作出AB边的中垂线图形即可；（2）画一个直角边为5，斜边为10的等腰直角三角形即可．【详解】解：（1）如图，直线PQ即为所求作．（2）解：EF=如下图，△DEF【点睛】本题考查线段的垂直平分线作图-基本作图、勾股定理以及无理数在方格中的构造等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．举一反三1（2022春·浙江台州·八年级校联考期中）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为（

）A．2.5 B．5 C．10 D．10【答案】D【分析】先利用勾股定理求出AC，根据AC=AM，求出OM，由此即可解决问题，【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90∵AB=3，AD=BC=1∴AC=∵AM=AC=∴OM=∴点M表示点数为10-故选：D．【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出AC、AM的长．举一反三2（2022春·浙江台州·八年级校联考阶段练习）如图，点A表示的实数是（

）

A．-2 B．2 C．1-2 D【答案】C【分析】根据勾股定理、实数和数轴的知识进行解答即可．【详解】解：点A表示的实数是1-12故答案为C．【点睛】本题考查了勾股定理、实数和数轴等知识，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．单选题1.（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，已知四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，四边形ABCD的面积是8，有如下结论：①∠B+∠D=180°，②BC=22，③

A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根据四边形内角和等于360°可以判断①正确；延长CB至E，使BE=CD，连接AC，AE，证明△ABE≌△ADC，可得AC=AE，∠【详解】解：在四边形ABCD中，∵∠A=∴∠B+∠D=360如图，延长CB至E，使BE=CD，连接AC，AE，

∵∠ABC+∠D=180∴∠ABE=∵AB=AD∴△ABE≌△∴AC=AE，∠∵∠CAD+∴∠EAB+∴∠EAC=90∴△ACE∴S△ACE=四边形∴1∴AC=4，故③∴CE=∴BC+CD=BC+BE=CE=42，故∵BC∴BC≠2综上所述：其中一定正确的是①③④．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，在△ABC中，∠C=90°，以△ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按如图2所示方置，连结MG，DG．若MG⊥DG，AF=1，则△ABC

A．6 B．43 C．8 D．【答案】A【分析】延长HG交AD于P，延长FG交DE于I，则四边形DIGP为正方形，四边形APGF是矩形，根据矩形的性质得到∠GDM=45°，PG=AF=1，求得DM=2PG=2PD=2PM=2，得到PM=PG=PD=1，设BC=a【详解】解：延长HG交AD于P，延长FG交DE于I，

则四边形DIGP为正方形，四边形APGF是矩形，∴∠GDM=45∵MG⊥∴△MGD∴DM=2PG=2PD=2PM=2，∴PM=PG=PD=1，设BC=a，∴b+2=c，∴b=c-∵c2∴c2∴c=5，∴a=4，∴△ABC的面积为1故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．二、填空题1.（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，一个正三角形路标的边长为23个单位，则这个路标的面积是

【答案】33【分析】作AD⊥BC于点D，根据等边三角形三线合一的性质得到BD=CD=1【详解】解：如图，作AD⊥∵正△ABC的边长为2∴BD=CD=1

在Rt△AD===3．∴S△故答案为：33【点睛】此题考查了等边三角形，熟练掌握等边三角形三线合一的性质，勾股定理解直角三角形，三角形的面积计算公式，是解题的关键．2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为

【答案】45【分析】根据勾股定理得到AB，BC，AC的长度，再判断△ABC【详解】解：如图，连接AC，

由题意，AC=22+12∴AC=BC，AB∴△ABC是等腰直角三角形，且∠∴∠ABC=故答案为：45°【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出△ABC3．（2023春·浙江台州·八年级校联考期中）如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连接EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若CD=1，CF=2，则线段AE的长是．

【答案】5-2【分析】证明△EDC≌△CFBAAS，得DE=CF=2，即得CE=CD2【详解】解：∵矩形ABCD中，AD∥∴∠DEC=又∵BC=CE，∠∴△EDC≌△∴DE=CF=2∴CE=∴BC=AD=∴AE=