第07讲 平面直角坐标系与一次函数、反比例函数（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）-冲刺2023年中考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（上海专用）（解析版）

第07讲平面直角坐标系与一次函数、反比例函数（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）【考纲要求】⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想；⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系；⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题.【知识导图】【考点梳理】考点一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点点P(x,y)在第一象限；点P(x,y)在第二象限；点P(x,y)在第三象限；点P(x,y)在第四象限；点P(x,y)在x轴上，x为任意实数；点P(x,y)在y轴上，y为任意实数；点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）.3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数.4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征点P与点p′关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数；点P与点p′关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数；点P与点p′关于原点对称横、纵坐标均互为相反数.6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.考点二、函数函数的概念设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.4．画函数图象（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.考点三、几种基本函数（定义→图象→性质）1.正比例函数及其图象性质（1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数．（2）正比例函数y=kx（k≠0)的图象：过（0，0），（1，K）两点的一条直线．（3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小.2.一次函数及其图象性质（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数．（2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象（3）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象的性质一次函数y＝kx＋b的图象是经过(0，b)点和点的一条直线．当k>0时，y随x的增大而增大；②当k<0时，y随x的增大而减小．3.反比例函数及其图象性质（1）定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.三种形式：(k≠0)或(k≠0)或xy=k(k≠0).（2）反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1；②比例系数；③自变量的取值为一切非零实数；④函数的取值是一切非零实数.（3）反比例函数的图象①图象的画法：描点法列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）；描点（由小到大的顺序）；连线（从左到右光滑的曲线）.②反比例函数的图象是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是和）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）.④反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线（）上任意点引轴、轴的垂线，所得矩形面积为.（4）反比例函数性质：反比例函数k的符号k>0k<0图像性质①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y随x的增大而减小.①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内，y随x的增大而增大.（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出）（6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系.【典型例题】题型一、坐标平面有关的计算例1．已知点A(a，-5)，B(8，b)，根据下列要求确定a，b的值.(1)A，B两点关于y轴对称；(2)A，B两点关于原点对称；(3)AB∥x轴；(4)A，B两点都在一、三象限的角平分线上．【思路点拨】（1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数；

（2）关于原点对称，x变为相反数，y变为相反数；

（3）AB∥x轴，即两点的纵坐标不变即可；

（4）在一、三象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标相等，即可得出a，b．【答案与解析】(1)点A(a，-5)，B(8，b)两点关于y轴对称，则a＝-8且b＝-5．(2)点A(a，-5)，B(8，b)两点关于原点对称，则a＝-8且b＝5．(3)AB∥x轴，则a≠8且b＝-5．(4)A，B两点都在一、三象限的角平分线上，则a＝-5且b＝8．【总结升华】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键．在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．【变式】已知点A的坐标为(-2，-1)．(1)如果B为x轴上一点，且，求B点的坐标；(2)如果C为y轴上的一点，并且C到原点的距离为3，求线段AC的长；(3)如果D为函数y＝2x-1图象上一点，，求D点的坐标．【答案】(1)设B(x，0)，由勾股定理得．解得x1＝-5，x2＝1．经检验x1＝-5，x2＝1均为原方程的解．∴B点的坐标为(-5，0)或(1，0)．(2)设C(0，y)，∵OC＝3，∴C点的坐标为(0，3)或(0，-3)．∴由勾股定理得；或．(3)设D(x，2x-1)，AD＝，由勾股定理得．解得，．经检验，，均为原方程的解．∴D点的坐标为(，)或(-1，-3)．例2．已知某一函数图象如图所示．(1)求自变量x的取值范围和函数y的取值范围；(2)求当x＝0时，y的对应值；(3)求当y＝0时，x的对应值；(4)当x为何值时，函数值最大；(5)当x为何值时，函数值最小；(6)当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；(7)当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．【思路点拨】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论.【答案与解析】(1)x的取值范围是-4≤x≤4，y的取值范围是-2≤y≤4；(2)当x＝0时，y＝3；(3)当y＝0时，x＝-3或-1或4；(4)当x＝1时，y的最大值为4；(5)当x＝-2时，y的最小值为-2；(6)当-2≤x≤1时，y随x的增大而增大；(7)当-4≤x≤-2或1≤x≤4时，y随x的增大而减小．【总结升华】本题主要是培养学生的识图能力．【变式1】下图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y与时间x的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是()【答案】理解题意，读图获取信息是关键，由图可知某段时间内韩老师离家距离是常数，联想到韩老师是在家为圆心的弧上散步，分析四个选项知D项符合题意．答案：D【变式2】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是()．【答案】C.题型二、一次函数例3．盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示．（1）a=，b=；（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？【思路点拨】（1）根据函数图象，用购票款数除以定价的款数，计算即可求出a的值；用第11人到20人的购票款数除以定价的款数，计算即可求出b的值；（2）利用待定系数法求正比例函数解析式求出y1，分x≤10与x＞10，利用待定系数法求一次函数解析式求出y2与x的函数关系式即可；（3）设A团有n人，表示出B团的人数为（50﹣n），然后分0≤n≤10与n＞10两种情况，根据（2）的函数关系式列出方程求解即可．【答案与解析】解：（1）由y1图象上点（10，480），得到10人的费用为480元，∴a=×10=6；由y2图象上点（10，800）和（20，1440），得到20人中后10人费用为640元，∴b=×10=8；（2）设y1=k1x，∵函数图象经过点（0，0）和（10，480），∴10k1=480，∴k1=48，∴y1=48x；0≤x≤10时，设y2=k2x，∵函数图象经过点（0，0）和（10，800），∴10k2=800，∴k2=80，∴y2=80x，x＞10时，设y2=kx+b，∵函数图象经过点（10，800）和（20，1440），∴，∴，∴y2=64x+160；∴y2=；（3）设B团有n人，则A团的人数为（50﹣n），当0≤n≤10时，80n+48×（50﹣n）=3040，解得n=20（不符合题意舍去），当n＞10时，800+64×（n﹣10）+48×（50﹣n）=3040，解得n=30，则50﹣n=50﹣30=20．答：A团有20人，B团有30人．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，准确识图获取必要的信息并理解打折的意义是解题的关键，（3）要注意分情况讨论．【变式1】(1)直线y＝2x+1向下平移2个单位，再向右平移2个单位后的直线的解析式是________.(2)直线y＝2x+1关于x轴对称的直线的解析式是________；直线y＝2x+l关于y轴对称的直线的解析式是_________；直线y＝2x+1关于原点对称的直线的解析式是_________．(3)如图所示，已知点C为直线y＝x上在第一象限内一点，直线y＝2x+1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB平移后经过(3，4)点，则平移后的直线的解析式是________．【答案】(1)y＝2x-5；(2)y＝-2x-1，y＝-2x+1，y＝2x-1；(3)y＝2x-2．【变式2】某地夏天旱情严重．该地10号、15号的人日均用水量的变化情况如图所示．若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量低于10千克时，政府将向当地居民送水．那么政府应开始送水的号数为()A．23B．24C．25D．26【答案】解析：设图中直线解析式为y＝kx+b，将(10，18)，(15，15)代入解析式得解得∴．由题意知，，解得，∴送水号数应为24．答案：B题型三、反比例函数例4．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（2，3）、B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长．【思路点拨】（1）用待定系数法即可确定出反比例函数解析式；再将B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，根据A与B坐标即可确定出一次函数解析式；（2）如图所示，对于一次函数解析式，令x=0求出y的值，确定出C坐标，得到OC的长，三角形ABP面积由三角形ACP面积与三角形BCP面积之和求出，由已知的面积求出PC的长，即可求出OP的长．【答案与解析】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（2，3），∴m=6．∴反比例函数的解析式是y=，∵B点（﹣3，n）在反比例函数y=的图象上，∴n=﹣2，∴B（﹣3，﹣2），∵一次函数y=kx+b的图象经过A（2，3）、B（﹣3，﹣2）两点，∴，解得：，∴一次函数的解析式是y=x+1；（2）对于一次函数y=x+1，令x=0求出y=1，即C（0，1），OC=1，根据题意得：S△ABP=PC×2+PC×3=5，解得：PC=2，则OP=OC+CP=1+2=3或OP=CP﹣OC=2﹣1=1．【总结升华】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【变式】已知正比例函数（为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象有一个交点的横坐标是2．（1）求两个函数图象的交点坐标；（2）若点，是反比例函数图象上的两点，且，试比较的大小．【答案】（1）由题意，得， 解得．所以正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为． 解，得．由，得． 所以两函数图象交点的坐标为（2，2），． （2）因为反比例函数的图象分别在第一、三象限内，的值随值的增大而减小， 所以当时，． 当时，． 当时，因为，，所以． 题型四、函数综合应用例5．如图，直线（＞0）与双曲线（＞0）在第一象限的一支相交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，P是双曲线上一点，且.（1）试用、表示C、P两点的坐标；（2）若△POD的面积等于1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式；（3）若△OAB的面积等于，试求△COA与△BOD的面积之和.【思路点拨】（1）根据直线的解析式求得点D的坐标，再根据等腰三角形的性质即可求得点P的横坐标，进而根据双曲线的解析式求得点P的纵坐标；

（2）①要求双曲线的解析式，只需求得xy值，显然根据△POD的面积等于1，即可求解；

②由①中的解析式可以进一步求得点B的纵坐标，从而求得直线的解析式，然后求得点B的坐标，即可计算△COA与△BOD的面积之和．【答案与解析】（1）C（0，），D（，0）∵PO＝PD∴，∴P（，）（2）∵，有，化简得：＝1∴（＞0）（3）设A（，），B（，），由得：，又得，即得，再由得，从而，，从而推出，所以.故【总结升华】利用面积建立方程求解析式中的字母参数是常用方法.求两函数图像的交点坐标，即解由它们的解析式组成的方程组.【变式1】如图所示是一次函数y1＝kx+b和反比例函数的图象，观察图象写出y1＞y2时x的取值范围________．【答案】利用图象比较函数值大小时，要看对于同一个自变量的取值，哪个函数图象在上面，哪个函数的函数值就大，当y1＞y2时，-2＜x＜0或x＞3．答案：-2＜x＜0或x＞3【变式2】已知函数，m为何值时，(1)y是x的正比例函数，且y随x的增大而增大?(2)函数的图象是位于第二、四象限的双曲线?【答案】(1)要符合题意，m需满足解得∴m＝1．(2)欲符合题意，m需满足解得∴．例6．已知直线(n是不为零的自然数)．当n＝1时，直线与x轴和y轴分别交于点A1和B1，设△A1OB1(其中O是平面直角坐标系的原点)的面积为S1；当n＝2时，直线与x轴和y轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为S2，…，依此类推，直线与x轴和y轴分别交于点An和Bn，设△AnOBn的面积为Sn．(1)求的面积S1；(2)求S1+S2+S3+…+S6的面积．【思路点拨】此题是一道规律探索性题目，先根据函数解析式的通项公式得出每一个函数解析式，画出图象，总结出规律，便可解答．【答案与解析】解：直线，∴，．（1）．（2）由得，【总结升华】借助直觉思维或对问题的整体把握运用归纳、概括、推理等思想获得合理的猜测．【中考过关真题练】一．选择题（共4小题）1．（2017•上海）如果一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是（）A．k＞0，且b＞0 B．k＜0，且b＞0 C．k＞0，且b＜0 D．k＜0，且b＜0【分析】根据一次函数的性质得出即可．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，故选：B．【点评】本题考查了一次函数的性质和图象，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．2．（2022•上海）已知反比例函数y＝（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（）A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，0） D．（﹣3，0）【分析】根据反比例函数的性质判断即可．【解答】解：因为反比例函数y＝（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，所以k＜0，A．2×3＝6＞0，故本选项不符合题意；B．﹣2×3＝﹣6＜0，故本选项符合题意；C．3×0＝0，故本选项不符合题意；D．﹣3×0＝0，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查反比例函数的性质：当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．3．（2020•上海）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（）A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣【分析】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式y＝，再将点的坐标代入求出待定系数k的值，从而得出答案．【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，将（2，﹣4）代入，得：﹣4＝，解得k＝﹣8，所以这个反比例函数解析式为y＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．4．（2019•上海）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（）A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣【分析】一次函数当a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k＜0时，在每一个象限内，y随自变量x增大而增大．【解答】解：A、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y随x的增大而增大，故本选项正确．B、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y随x的增大而减小，故本选项错误．C、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误．D、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是关键．二．填空题（共10小题）5．（2020•上海）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而减小．（填“增大”或“减小”）【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．【解答】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，故答案为：减小．【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线，当k＞0时，该直线经过第一、三象限，且y的值随x的值增大而增大；当k＜0时，该直线经过第二、四象限，且y的值随x的值增大而减小．6．（2004•上海）已知a＜b＜0，则点A（a﹣b，b）在第三象限．【分析】先根据a＜b＜0判断出a﹣b＜0，再根据点在坐标系中各象限的坐标特点解答．【解答】解：∵a＜b＜0，∴a﹣b＜0，∴点A（a﹣b，b）的横坐标小于0，纵坐标小于0，符合点在第三象限的条件，故答案填：三．【点评】本题主要考查了点在第三象限内坐标的符号特征，比较简单．7．（2021•上海）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元/千克，现以8元卖出，挣得k元．【分析】根据图象求出函数关系式，计算售价为8元时卖出的苹果数量，即可求解．【解答】解：设卖出的苹果数量y与售价x之间的函数关系式为y＝mx+n，，解得：，∴y＝﹣kx+7k，x＝8时，y＝﹣k×8+7k＝k，∴现以8元卖出，挣得（8﹣5）×k＝k，故答案为：k．【点评】此题主要考查了函数图象，能够得出卖出的苹果数量y与售价x之间的函数关系式是解题关键．8．（2018•上海）如果一次函数y＝kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而减小．（填“增大”或“减小”）【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用一次函数的性质即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），∴0＝k+3，∴k＝﹣3，∴y的值随x的增大而减小．故答案为：减小．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．9．（2018•上海）已知反比例函数y＝（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是k＜1．【分析】由于反比例函数y＝的图象有一支在第二象限，可得k﹣1＜0，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象有一支在第二象限，∴k﹣1＜0，解得k＜1．故答案为：k＜1．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．10．（2017•上海）如果反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小．（填“增大”或“减小”）【分析】先根据题意得出k的值，再由反比例函数的性质即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），∴k＝2×3＝6＞0，∴在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小．故答案为：减小．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．11．（2022•上海）已知直线y＝kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：y＝﹣x+1（答案不唯一）．【分析】根据一次函数的性质，写出符合条件的函数关系式即可．【解答】解：∵直线y＝kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，∴k＜0，b＞0，∴符合条件的函数关系式可以为：y＝﹣x+1（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x+1（答案不唯一）．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，函数的图象过第一、二、四象限，y随自变量x的值增大而减小是解答此题的关键．12．（2021•上海）已知函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1），请写出一个符合条件的函数解析式y＝﹣2x．【分析】根据正比例函数的性质以及正比例函数图象是点的坐标特征即可求解．【解答】解：∵函数y＝kx经过二、四象限，∴k＜0．若函数y＝kx经过（﹣1，1），则1＝﹣k，即k＝﹣1，故函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1）时，k＜0且k≠﹣1，∴函数解析式为y＝﹣2x，故答案为y＝﹣2x．【点评】考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．13．（2020•上海）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米．【分析】当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s＝70t+400，求出t＝15时s的值，从而得出答案．【解答】解：当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入，得：，解得：，∴s＝70t+400；当t＝15时，s＝1450，1800﹣1450＝350（米）∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，故答案为：350．【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式．14．（2016•上海）已知反比例函数y＝（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是k＞0．【分析】直接利用当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，∴k的取值范围是：k＞0．故答案为：k＞0．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆增减性是解题关键．三．解答题（共5小题）15．（2022•上海）一个一次函数的截距为﹣1，且经过点A（2，3）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值．【分析】（1）理解截距得概念，再利用待定系数法求解；（2）数形结合，求两个点之间得距离，再利用三角函数得定义求解．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx﹣1，∴2k﹣1＝3，解得：k＝2，一次函数的解析式为：y＝2x﹣1．（2）∵点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，∴B（6，1），∴C（6，3），∴△ABC是直角三角形，且BC＝2，AC＝4，根据勾股定理得：AB＝2，∴cos∠ABC＝＝＝．【点评】本题考查了待定系数法的应用，结合三角函数的定义求解是解题的关键．16．（2019•上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，解方程即可得到结论；（2）求得一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），根据两点间的距离公式即可得到结论．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，∵一次函数的图象平行于直线y＝x，∴k＝，∵一次函数的图象经过点A（2，3），∴3＝+b，∴b＝2，∴一次函数的解析式为y＝x+2；（2）由y＝x+2，令y＝0，得x+2＝0，∴x＝﹣4，∴一次函数的图形与x轴的交点为B（﹣4，0），∵点C在y轴上，∴设点C的坐标为（0，y），∵AC＝BC，∴＝，∴y＝﹣，经检验：y＝﹣是原方程的根，∴点C的坐标是（0，﹣）．【点评】本题考查了两直线相交与平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．17．（2018•上海）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为8升时行驶的路程，此题得解．【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y＝kx+b，将（150，45）、（0，60）代入y＝kx+b中，，解得：，∴该一次函数解析式为y＝﹣x+60．（2）当y＝﹣x+60＝8时，解得x＝520．即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．530﹣520＝10千米，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．18．（2017•上海）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示．乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．（1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）；（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）绿化面积是1200平方米时，求出两家的费用即可判断；【解答】解：（1）设y＝kx+b，则有，解得，∴y＝5x+400．（2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为5500+4×200＝6300元，∵6300＜6400∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．【点评】本题主要考查一次函数的应用．此题属于图象信息识别和方案选择问题．正确识图是解好题目的关键．19．（2016•上海）某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量yA（千克）与时间x（时）的函数图象，线段EF表示B种机器人的搬运量yB（千克）与时间x（时）的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求yB关于x的函数解析式；（2）如果A、B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？【分析】（1）设yB关于x的函数解析式为yB＝kx+b（k≠0），将点（1，0）、（3，180）代入一次函数函数的解析式得到关于k，b的方程组，从而可求得函数的解析式；（2）设yA关于x的解析式为yA＝k1x．将（3，180）代入可求得yA关于x的解析式，然后将x＝6，x＝5代入一次函数和正比例函数的解析式求得yA，yB的值，最后求得yA与yB的差即可．【解答】解：（1）设yB关于x的函数解析式为yB＝kx+b（k≠0）．将点（1，0）、（3，180）代入得：，解得：k＝90，b＝﹣90．所以yB关于x的函数解析式为yB＝90x﹣90（1≤x≤6）．（2）设yA关于x的解析式为yA＝k1x．根据题意得：3k1＝180．解得：k1＝60．所以yA＝60x．当x＝5时，yA＝60×5＝300（千克）；x＝6时，yB＝90×6﹣90＝450（千克）．450﹣300＝150（千克）．答：如果A、B两种机器人各连续搬运5小时，B种机器人比A种机器人多搬运了150千克．【点评】本题主要考查的是一次函数的应用，依据待定系数法求得一次函数的解析式是解题的关键．【中考挑战满分模拟练】一．选择题（共9小题）1．（2022•徐汇区校级模拟）关于函数y＝kx+b（k，b都是不等于0的常数），下列说法，正确的是（）A．y与x成正比例 B．y与kx成正比例 C．y与x+b成正比例 D．y﹣b与x成正比例【分析】根据一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，直接将原式变形进而得出y﹣b与x的关系．【解答】解：∵关于函数y＝kx+b（k，b都是不等于0的常数），∴y﹣b＝kx，∴y﹣b与x成正比例．故选：D．【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握比例函数定义是解题关键．2．（2022•徐汇区模拟）如果函数y＝kx+2的图象不经过第三象限，那么k的取值范围是（）A．k＞0 B．k≥0 C．k＜0 D．k≤0【分析】先判断出一次函数图象经过第一、二、四象限，则说明x的系数不大于0，由此即可确定题目k的取值范围．【解答】解：∵一次函数y＝kx+2的图象经过第一、二、四象限，∴k≤0．故选：D．【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．3．（2022•松江区二模）如果一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点在y轴正半轴上，且y随x的增大而减小，那么（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【分析】根据一次函数的图象和增减性即可确定k和b的取值范围．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点在y轴正半轴上，∴b＞0，∵y随x的增大而减小，∴k＜0，故选：C．【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．4．（2022•徐汇区模拟）如果反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，那么一次函数y＝kx﹣k的图象一定经过（）A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限【分析】根据反比例函数的图象可得k＞0，进一步即可确定一次函数y＝kx﹣k的图象．【解答】解：∵反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图像经过第一、三象限，∴k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图像经过第一、三、四象限，故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键．5．（2022•普陀区二模）关于函数y＝﹣，下列说法中正确的是（）A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点 C．图象是一条直线 D．y的值随x的值增大而减小【分析】根据反比例函数的图象和性质即可判断．【解答】解：在y＝﹣中，k＝﹣2＜0，∴图象位于第二、四象限，图象是双曲线，在每一象限内，y随着x增大而增大，故A，C，D选项不符合题意，∵x≠0，y≠0，∴函数图象与坐标轴没有交点，故B选项符合题意，故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质与系数的关系是解题的关键．6．（2022•宝山区二模）已知反比例函数的图象经过点（﹣3，2），那么这个反比例函数的解析式是（）A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣【分析】设反比例函数的关系式为y＝，将点（﹣3，2）的坐标代入求出k的值即可．【解答】解：设反比例函数的关系式为y＝，由于其图象经过点（﹣3，2），所以k＝﹣3×2＝﹣6，所以反比例函数的关系式为y＝﹣，故选：D．【点评】本题考查待定系数法求反比例函数的关系式，把点的坐标代入是求函数关系式的基本方法．7．（2022•普陀区模拟）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（）A．5s时，两架无人机都上升了40m B．10s时，两架无人机的高度差为20m C．乙无人机上升的速度为8m/s D．10s时，甲无人机距离地面的高度是60m【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【解答】解：由图象可得，5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了40﹣20＝20（m），故选项A错误；甲无人机的速度为：40÷5＝8（m/s），乙无人机的速度为：（40﹣20）÷5＝4（m/s），故选项C错误；则10s时，两架无人机的高度差为：（8×10）﹣（20+4×10）＝20（m），故选项B正确；10s时，甲无人机距离地面的高度是8×10＝80（m），故选项D错误；故选：B．【点评】本题考查一次函数的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键，利用数形结合的思想解答．8．（2022•闵行区二模）在下列函数中，同时具备以下三个特征的是（）①图象经过点（1，1）；②图象经过第三象限；③当x＜0时，y的值随x的值增大而增大．A．y＝﹣x2+2 B．y＝﹣x C．y＝﹣2x+3 D．【分析】根据一次函数，反比例函数以及二次函数的性质即可判断．【解答】解：图象经过点（1，1），故B不符合题意；图象经过第三象限，故C不合题意；当x＜0时，y的值随x的值增大而增大，故D不合题意，故符合题意的只有A，故选：A．【点评】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特征，熟知函数的性质是解题的关键．9．（2022•浦东新区校级模拟）函数y＝的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）且x1＜x2，那么下列结论正确的是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1与y2之间的关系不能确定【分析】由反比例函数的增减性判断即可．【解答】解：∵k＝＞0，∴函数在第一，三象限内y随x的增大而减小，且当x＞0时，y＞0；当x＜0时，y＜0，当0＜x1＜x2时，y1＞y2，故选项A错误，不符合题意；当x1＜0＜x2时，y2＞0＞y1，故选项B错误，不符合题意；当x1＜x2＜0时，y1＞y2，故选项C错误，不符合题意；综上所述，y1与y2之间的大小关系不能确定，故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．二．填空题（共25小题）10．（2022•嘉定区二模）如果正比例函数y＝（1﹣k）x的图象经过点A（2，﹣4），那么k的值是3．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．【解答】解：∵正比例函数y＝（1﹣k）x的图像经过点A（2，﹣4），∴﹣4＝2（1﹣k），∴k＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．11．（2022•长宁区二模）已知在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象经过位于x轴上方的点A，点B的坐标为（﹣4，0），且△AOB的面积等于8，那么点A的坐标为（3，4）．【分析】设A点的横坐标为a，则其总之能为，再利用三角形的面积公式得出结论．【解答】解：由反比例函数y＝的图象经过位于x轴上方的点A，设A点的横坐标为a，则其总之能为，∵点B的坐标为（﹣4，0），∴OB＝4，∴S△AOB＝OB•＝8，即×4•＝8，解得：a＝3，则＝4，∴A（3，4），故答案为：（3，4）．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数的性质是解题的关键．12．（2021•上海模拟）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x）在第二象限，则x的取值范围为0＜x＜2．【分析】根据点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数．【解答】解：因为点P（x﹣2，x）在第二象限，所以，解得0＜x＜2．【点评】解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的符号．13．（2022•松江区校级模拟）已知一次函数y＝kx+3（k≠0），y的值随x值的增大而增大，那么该函数的图象经过第一、二、三象限．【分析】根据一次函数y＝kx+3（k≠0），y的值随x值的增大而增大，可得k＞0，b＝3＞0，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限．【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0），y的值随x值的增大而增大，∴k＞0，b＝3＞0，∴该函数图象经过第一、二、三象限，故答案为：一、二、三．【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．14．（2022•黄浦区校级二模）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，0）和B（0，﹣2），当x＞﹣3时，函数值y＜0．【分析】由点A，B的坐标可得出y随x的增大而减小，结合一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，0），可得出当y＜0时，x＞﹣3．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，0）和B（0，﹣2），即y随x的增大而减小，∴k＜0．又∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，0），∴当y＜0时，x＞﹣3．故答案为：＞﹣3．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．15．（2022•静安区二模）已知正比例函数y＝kx（k≠0），当自变量x的值增大时，y的值随之减小，那么k的取值范围是k＜0．【分析】根据正比例函数的增减性即可确定k的取值范围．【解答】解：∵自变量x的值增大时，y的值随之减小，∴k＜0，故答案为：k＜0．【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．16．（2022•静安区二模）如果点（1，0）在一次函数y＝kx﹣1（k是常数，k≠0）的图象上，那么该直线不经过第二象限．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k＝1，再利用一次函数图象与系数的关系，可得出该直线经过第一、三、四象限，即该直线不经过第二象限．【解答】解：∵点（1，0）在一次函数y＝kx﹣1（k是常数，k≠0）的图象上，∴0＝k﹣1，∴k＝1．又∵k＝1＞0，b＝﹣1＜0，∴该直线经过第一、三、四象限，即该直线不经过第二象限．故答案为：二．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．17．（2022•普陀区二模）将直线y＝﹣2x+1沿着y轴向下平移4个单位，所得直线的表达式是y＝﹣2x﹣3．【分析】根据一次函数平移的变换即可求出直线表达式．【解答】解：根据题意可得，平移后的直线解析式：y＝﹣2x+1﹣4＝﹣2x﹣3，故答案为：y＝﹣2x﹣3．【点评】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数的平移变换是解题的关键．18．（2022•徐汇区模拟）将函数y＝kx的图象向下平移2个单位后，经过点（1，0），那么y的值随x的增大而增大．（填“增大”或“减小”）【分析】根据平移的规律得y＝kx﹣2，把（1，0）代入得k＝2＞0，y的值随x的增大而增大．【解答】解：函数y＝kx的图象向下平移2个单位后得：y＝kx﹣2，把（1，0）代入得，k﹣2＝0，解得k＝2，∴y的值随x的增大而增大；故答案为：增大．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换、正比例函数的性质，掌握平移的规律，根据一次函数的性质确定函数值的变化是解题关键．19．（2022•金山区二模）反比例函数（k是实数，k≠0）的图象在每个象限内y随着x的增大而增大，那么这个反比例函数的图象的两个分支分别在第二、四象限．【分析】根据反比例函数的增减性可得k＜0，进一步即可确定函数图象．【解答】解：∵反比例函数（k是实数，k≠0）的图像在每个象限内y随着x的增大而增大，∴k＜0，∴反比例函数图象位于第二、四象限，故答案为：二、四．【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．20．（2022•静安区二模）函数f（x）＝的定义域是x≠2．【分析】根据反比例函数有意义的条件即可求出定义域．【解答】解：要使函数f（x）＝有意义，则x﹣2≠0，∴x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数有意义的条件是解题的关键．21．（2022•徐汇区模拟）已知：反比例函数y＝，当x＜0时，函数值y随自变量x值的增大而减小，那么k的取值范围是k＞2．【分析】根据反比例函数的性质结合其单调性即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y＝（x＞0）的函数值y随自变量x的增大而减小，∴k﹣2＞0，解得：k＞2．故答案为：k＞2．【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握“当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．”是解题的关键．22．（2022•浦东新区二模）反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，2），则k的值为﹣6．【分析】把（﹣3，2）代入函数解析式即可求k的值．【解答】解：由题意知，k＝﹣3×2＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点．23．（2022•崇明区二模）当0＜k＜1时，一次函数y＝（k﹣1）x+k的图象不经过第三象限．【分析】根据一次函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵0＜k＜1，∴k﹣1＜0，∴一次函数y＝（k﹣1）x+k的图象不经过第三象限．故答案为：三．【点评】本题考查了一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）的性质．它的图象为一条直线，当k＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方；当b＝0，图象过坐标原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴的下方．24．（2022•松江区二模）定义：在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，对于任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），称|x1﹣x2|+|y1﹣y2|的值为P、Q两点的“直角距离”．直线y＝﹣x+5与坐标轴交于A、B两点，Q为线段AB上与点A、B不重合的一点，那么O、Q两点的“直角距离”是5．【分析】根据“直角距离”的定义即可求解；由直角距离的定义得O，Q的“直角距离”为|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|x﹣0|+|﹣x+5﹣0|＝5．【解答】解：∵直线y＝﹣x+5与坐标轴交于A、B两点，∴A（5，0），B（0，5）∵Q为直线y＝﹣x+5上任意一点，设Q（x，﹣x+5），∵O（0，0），∴O，Q的“直角距离”为|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|x﹣0|+﹣|x+5﹣0|＝|x|+|﹣x+5|，∵0＜x＜5，∴|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝x﹣x+5＝5，O、Q两点的“直角距离”为5．故答案为：5．【点评】本题考查两点之间的“直角距离”的定义，绝对值的意义，关键是明确两点之间的“直角距离”的含义．25．（2022•长宁区二模）将直线y＝﹣2x+6向左平移三个单位后，所得直线的表达式为y＝﹣2x．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将直线y＝﹣2x+6向左平移三个单位后，所得直线的表达式为y＝﹣2（x+3）+6，即y＝﹣2x．故答案为：y＝﹣2x．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．26．（2022•浦东新区校级模拟）如果将直线y＝2x平移，使其经过点（0，﹣6），那么平移后的直线表达式是y＝2x﹣6．【分析】根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y＝2x+b，然后将点（0，﹣6）代入即可得出直线的函数解析式．【解答】解：设平移后直线的解析式为y＝2x+b，把（0，﹣6）代入直线解析式得b＝﹣6．所以平移后直线的解析式为y＝2x﹣6．故答案为：y＝2x﹣6．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，掌握直线y＝kx+b（k≠0）平移时k的值不变是解题的关键．27．（2022•虹口区二模）已知点A（x1，y1）、点B（x2，y2）在双曲线y＝上，如果0＜x1＜x2，那么y1＞y2．【分析】由k＝3＞0，即可判断反比例函数y＝的图象在一、三象限，根据在同一个象限内，y随x的增大而增减小即可得答案．【解答】解：∵k＝3＞0，∴反比例函数y＝的图象在一、三象限，且在同一个象限内，y随x的增大而减小，∵A（x1，y1）、点B（x2，y2）在双曲线y＝上，且0＜x1＜x2，∴y1＞y2，故答案为：＞．【点评】本题考查反比例函数的增减性，掌握k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小是解题的关键．28．（2022•上海模拟）已知函数y＝（k＞0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1＝2x2＜0，那么y1＞y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．【分析】由于反比例函数y＝（k＞0）中，k＞0，可知函数位于一、三象限，由x1＝2x2＜0，可知A（x1，y1），B（x2，y2）位于第三象限，且x1＜x2＜0，于是根据二次函数的增减性判断出y1与y2的大小．【解答】解：∵反比例函数y＝（k＞0）中，k＞0，∴函数图象位于一、三象限，且在每个象限y随x的增大而减小，∵x1＝2x2＜0，∴A（x1，y1），B（x2，y2）位于第三象限，且x1＜x2＜0，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，函数图象上的点的坐标符合函数解析式．同时要熟悉反比例函数的增减性．29．（2022•宝山区模拟）如果反比例函数（k是常数，且k≠0）的图象经过点A（1，﹣2），那么这个反比例函数的图象在第二、四象限．【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用反比例函数的性质，即可得出这个函数图象所在的象限．【解答】解：∵反比例函数（k是常数，且k≠0）的图象经过点A（1，﹣2），∴k＝1×（﹣2）＝﹣2＜0，∴反比例函数的解析式为y＝﹣，∴这个函数图象在第二、四象限．故答案为：二、四．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．30．（2022•黄浦区校级二模）如图，已知点A是双曲线上一动点，联结OA，作OB⊥OA，且OB＝2OA，如果当点A在双曲线上运动时，点B恰好在双曲线上运动，那么k的值为﹣4．【分析】过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，由条件证得△AOC∽△OBD，从而得到＝（）2＝，根据反比例函数系数k的几何意义则可求得关于k的方程，可求得k的值．【解答】解：过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，∵OB⊥OA，∴∠BOD+∠AOC＝∠AOC+∠OAC＝90°，∴∠BOD＝∠OAC，且∠BDO＝∠ACO，∴△AOC∽△OBD，∵OB＝2OA，∴＝（）2＝，∴＝，∴|k|＝4，∵k＜0，∴k＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，利用条件构造三角形相似是解题的关键．31．（2022•闵行区二模）如图，过原点且平行于y＝3x﹣1的直线与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象相交于点C，过直线OC上的点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AD＝2BD，那么点C的坐标为（，）．【分析】根据A坐标，以及AB＝2BD求出D坐标，代入反比例解析式求出k的值，直线y＝3x与反比例解析式联立方程组即可求出点C坐标．【解答】解：过原点且平行于y＝3x﹣1的直线为y＝3x，∵A（1，3），∴AB＝3，OB＝1，∵AD＝2BD，∴AB＝3BD，∴BD＝1，∴D（1，1）将D坐标代入反比例解析式得：k＝1；∴反比例函数的解析式为；y＝，由解得：或，∵x＞0，∴C；故答案为：．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及直线与反比例函数的交点求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．32．（2022•徐汇区模拟）如图，已知点A（0，8）和点B（4，8），点B在函数y＝（x＞0）的图象上，点C是AB的延长线上一点，过点C的直线交x轴正半轴于点E、交双曲线于点D．如果CD＝DE，那么线段CE长度的取值范围是8≤CE＜8．【分析】由题意可得AB∥x轴，利用待定系数法确定出反比例函数的解析式，过点D作DF⊥OA于点F，则得DF∥AB，利用梯形的中位线定理可得AF＝OF＝＝4，则点D纵坐标可得，利用反比例函数解析式可求点D坐标；分两种情况得到线段CE的极值：当EC⊥x轴时，EC最小；当点E与点O重合时EC最大，利用点D坐标即可求得两种情况下的EC的值，结合已知条件即可得出结论．【解答】解：∵A（0，8），B（4，8），∴AB∥x轴．∵点B在双曲线y＝（x＞0）上，∴8＝，∴k＝32．过点D作DF⊥OA于点F，如图，则DF∥AB．∵A（0，8），∴OA＝8．∵CD＝DE，∴AF＝OF＝OA＝4，∴点D的纵坐标为4，∵点D在双曲线y＝上，∴x＝8，∴D（8，4）．当EC⊥x轴时，此时EC最小，EC＝OA＝8；当点E与点O重合时，此时EC最大，∵CD＝DE，∴点C（16，8），∴EC＝＝8，∵点E在x轴正半轴，∴8≤CE＜8，故答案为：8≤CE＜8．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．33．（2022•青浦区模拟）图中反映某网约车平台收费y（元）与所行驶的路程x（千米）的函数关系，根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60km/h，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），他从家到机场需要小时．【分析】根据题意可得当x＞3时，y与x的函数关系式，再把y＝64代入函数关系式求出x的值，然后根据网约车的速度可得答案．【解答】解：设当x＞3时，y与x的函数关系式为y＝kx+b，根据题意，得：，解得，∴y＝3x+4（x＞3），当y＝64时，3x+4＝64，解得x＝20，（小时），即他从家到机场需要小时．故答案为：．【点评】本题考查了一次函数的应用，求出相关函数关系式是解答本题的关键．34．（2022•松江区二模）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现，该纪念册每周的销量y（本）与每本的售价x（元）之间满足一次函数关系：y＝﹣2x+80（20＜x＜40）．已知某一周该纪念册的售价为每本30元，那么这一周的盈利是200元．【分析】将：x＝30代入y＝﹣2x+80中得到每周的销量，再乘单件利润即可得到答案．【解答】解：将x＝30代入y＝﹣2x+80中得，y＝﹣2×30+80＝20，∴当纪念册的售价为每本30元，这一周的盈利是：20×（30﹣20）＝200（元）．故答案为：200．【点评】本题主要考查一次函数的应用，正确利用一次函数的性质是解本题的关键．三．解答题（共17小题）35．（2022•宝山区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知某个一次函数的图象平行于直线y＝x，经过点A（﹣2，1），且与x轴交于点B．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C在y轴上，当△ABC的面积等于2时，求点C的坐标．【分析】（1）设这个一次函数的解析式为y＝kx+b，利用两直线平行一次项系数相等得到k＝，再把A点坐标代入得到﹣2k+b＝1，然后求出b得到一次函数解析式；（2）先确定直线y＝x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），再确定B（﹣4，0），设C（0，t），根据三角形面积公式，利用S△BCD﹣S△ACD＝S△ABC得到×|t﹣2|×4﹣×|t﹣2|×2＝2，然后解方程求出t，从而得到C点坐标．【解答】解：（1）设这个一次函数的解析式为y＝kx+b，∵直线y＝kx+b与直线y＝x平行，∴k＝，∵直线y＝kx+b经过点A（﹣2，1），∴﹣2k+b＝1，即﹣1+b＝1，解得b＝2，∴一次函数解析式为y＝x+2；（2）当x＝0时，y＝x+2＝2，则直线y＝x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），如图，当y＝0时，x+2＝0，解得x＝﹣4，则B（﹣4，0），设C（0，t），∵S△BCD﹣S△ACD＝S△ABC，∴×|t﹣2|×4﹣×|t﹣2|×2＝2，解得t＝0或t＝4，∴C点坐标为（0，0）或（0，4）．【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．也考查了待定系数法求一次函数解析式．36．（2022•金山区二模）弹簧在一定限度内，它的长度y（cm）与所挂重物的重量x（kg）是一次函数关系，下表中记录的是所挂重物的重量和其对应的弹簧长度．重物的重量x（kg）…2…10…弹簧的长度y（cm）…13…17…（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；（2）弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过25cm，那么所挂重物的重量最多为多少？【分析】（1）用待定系数法可得y关于x的解析式是y＝x+12；（2）结合（1），令y≤25得到关于x的不等式，解不等式即可得答案．【解答】解：（1）设y关于x的解析式是y＝kx+b（k≠0），由题意得：，解得：，∴y关于x的解析式是y＝x+12；（2）由题意得：y≤25，∴x+12≤25，解得：x≤26，答：所挂重物的重量最多为26kg．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练应用待定系数法求出函数关系式．37．（2022•浦东新区二模）在一次蜡烛燃烧试验中，甲蜡烛燃烧时剩余部分的高度（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）求甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数解析式（不写定义域）；（2）现将一根乙蜡烛与甲蜡烛做完全燃烧比较试验，已知乙蜡烛每小时比甲蜡烛少燃烧5厘米，乙蜡烛比甲蜡烛多燃烧2分钟，求乙蜡烛的高度．【分析】（1）设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为y＝ax+b，用待定系数法可得甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+40；（2）求出乙蜡烛每小时燃烧长度及燃烧时间，即可得答案．【解答】解：（1）设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为y＝ax+b，把（0，40），（2，0）代入得：，解得，∴甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+40；（2）∵乙蜡烛每小时比甲蜡烛少燃烧5厘米，∴乙蜡烛每小时燃烧﹣5＝15（厘米），∵乙蜡烛比甲蜡烛多燃烧2分钟，∴乙蜡烛燃烧时间为2+＝（小时），∴乙蜡烛的高度是15×＝30.5（厘米），答：乙蜡烛的高度为30.5厘米．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法，能求出乙蜡烛每小时燃烧长度及燃烧时间．38．（2022•虹口区二模）浦江边某条健身步道的甲、乙两处相距3000米，小杰和小丽分别从甲、乙两处同时出发，匀速相向而行．小杰的运动速度较快，当到达乙处后，随即停止运动，而小丽则继续向甲处运动，到达后也停止运动．在以上过程中，小杰和小丽之间的距离y（米）与运动时间x（分）之间的函数关系，如图中折线AB﹣BC﹣CD所示．（1）小杰和小丽从出发到相遇需要24分钟；（2）当0≤x≤24时，求y关于x的函数解析式（不需写出定义域）；（3）当小杰到达乙处时，小丽距离甲处还有多少米．【分析】（1）由图象直接可得小杰和小丽从出发到相遇需要24分钟；（2）用待定系数法可得y关于x的函数解析式为y＝﹣125x+3000；（3）由图象可得小杰速度是75米/分钟，即得小丽速度为50米/分钟，从而可得小杰到达乙处时，小丽距离甲处还有3000﹣50×40＝1000（米）．【解答】解：（1）由图象可知，小杰和小丽从出发到相遇需要24分钟，故答案为：24；（2）设当0≤x≤24时，y关于x的函数解析式为y＝kx+b，把（0，3000），（24，0）代入得：，解得，∴y关于x的函数解析式为y＝﹣125x+3000；（3）由图象可知，小杰40分钟运动3000米，∴小杰速度是＝75（米/分钟），∴小丽速度为﹣75＝50（米/分钟），∴小杰到达乙处时，小丽距离甲处还有3000﹣50×40＝1000（米），答：当小杰到达乙处时，小丽距离甲处还有1000米．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．39．（2022•长宁区二模）在同一条公路上，甲车从A地驶往B地，乙车从B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．甲车行驶2小时后，因故停车一段时间，然后按原速继续驶往B地，最后两车同时到达各自的终点．如果甲车的速度比乙车每小时快10千米，如图表示甲车离A地的路程S（千米）与时间t（时）的函数关系，问：（1）甲、乙两车行驶时的速度分别为每小是多少千米？（2）两车在离A地多少千米处相遇？（结果保留三位有效数字）【分析】（1）用路程除以时间可得乙车的速度，根据甲车的速度比乙车每小时快10千米即得甲车速度；（2）算出甲车停车结束时两车各自行驶的路程，即知两车再行30千米即可相遇，根据速度比等于路程比可得这30千米中甲车所行驶的路程，即可得到答案．【解答】解：（1）由两车同时到达各自的终点可知，乙车从B地驶往A地需6小时，∴乙车的速度为＝50（千米/小时），∵甲车的速度比乙车每小时快10千米，∴甲车速度是50+10＝60（千米/小时），答：甲车速度是60千米/小时，乙车速度是50千米/小时；（2）由题意可知，甲车停车时间为6﹣＝1（小时），即出发后2小时至3小时，甲车停车，停车结束时，甲所行路程为2×60＝120（千米），乙车所行路程为3×50＝150（千米），∴两车再行300﹣（120+150）＝30（千米）即可相遇，∴相遇处离A地120+30×≈136（千米），答：两车在离A地约136千米处相遇．【点评】本题考查乙车函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，求出两车的速度．40．（2022•宝山区模拟）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时），关于已行驶路程x（千米）的函数图象．（1）根据图象，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已经行驶的路程为150千米．当0≤x≤150时，消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为6千米．（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．【分析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；（2）运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把x＝160代入即可求出当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：（千米），故答案为：150；6．（2）设y＝kx+b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入，得，解得，∴y＝﹣0.5x+110，当x＝160时，y＝﹣0.5×160+110＝30，答：当150≤x≤200时，函数表达式为y＝﹣0.5x+110，当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量为30千瓦时．【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）找出剩余油量相同时行驶的距离．本题属于基础题，难度不大，解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．41．（2022•松江区校级模拟）如图，已知反比例函数的图象经过A（1，6）、B两点，直线AB与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若，求点C点坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求得；（2）作AD⊥x轴，垂足为点D，作BE⊥AD，垂足为点E，根据平行线分线段成比例定理得出B点的坐标，进一步利用线段成比例得出CD，即可确定C点的坐标．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过A（1，6）；∴，∴k＝6，∴反比例函数的解析式为：；（2）作AD⊥x轴，垂足为点D，作BE⊥AD，垂足为点E，∴BE∥CD，∴＝＝，又∵AD＝6，∴AE＝4，ED＝2，将y＝2代入，得B点坐标为（3，2），∴BE＝2，又∵BE∥CD，∴，∴CD＝3∴C点坐标为（4，0）．【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，平行线分线段成