有答案-直角三角形全等判定(基础)知识讲解

直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等〔可以简写成“斜边、直角边”或“HL”〕.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：〔1〕“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.〔2〕判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.〔3〕应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：〔1〕AB＝CD：〔2〕AD∥BC．【思路点拨】先由“HL”证Rt△ABD≌Rt△CDB，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：〔1〕∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°在Rt△ABD和Rt△CDB中，∴Rt△ABD≌Rt△CDB〔HL〕∴AB＝CD〔全等三角形对应边相等〕〔2〕由∠ADB＝∠CBD∴AD∥BC.【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.【变式】：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．【答案】证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠DAE＝∠CBA＝90°在Rt△DAE与Rt△CBA中，∴Rt△DAE≌Rt△CBA〔HL〕∴∠E＝∠CAB∵∠CAB＋∠EAF＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED⊥AC．2、判断满足以下条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：〔1〕一个锐角和这个角的对边对应相等；〔〕〔2〕一个锐角和斜边对应相等；〔〕〔3〕两直角边对应相等；〔〕〔4〕一条直角边和斜边对应相等．〔〕【答案】〔1〕全等，“AAS”；〔2〕全等，“AAS”；〔3〕全等，“SAS”；〔4〕全等，“HL”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【变式】以下说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.〔1〕一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．〔〕〔2〕有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．〔〕〔3〕有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．〔〕【答案】〔1〕√；〔2〕×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF是其中一边上的高，AE＝DF〔3〕×.在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AE为第三边上的高，3、：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD＝BC；【答案与解析】证明：连接DC∵AD⊥AC，BC⊥BD∴∠DAC＝∠CBD＝90°在Rt△ADC与Rt△BCD中，∴Rt△ADC≌Rt△BCD〔HL〕∴AD＝BC.〔全等三角形对应边相等〕【变式】，如图，AC、BD相交于O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°.求证：OC＝OD.【答案】∵∠C＝∠D＝90°∴△ABD、△ACB为直角三角形

在Rt△ABD和Rt△BAC中

∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL)

∴AD＝BC

在△AOD和△BOC中∴△AOD≌△BOC(AAS)∴OD＝OC．4、如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线上，且过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.【答案与解析】解：全等三角形为：△ACD≌△CBE.证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE在△ACD与△CBE中，∴△ACD≌△CBE〔AAS〕.【总结升华】此题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，假设有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.【稳固练习】一、选择题1．以下说法正确的选项是〔〕A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，AB＝AC，AD⊥BC于D，E、F为AD上的点，那么图中共有〔〕对全等三角形．A．3 B．4 C．5 D．63.能使两个直角三角形全等的条件是()A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等4.在Rt△ABC与Rt△中,∠C＝∠＝90,A＝∠,AB＝,那么以下结论中正确的选项是()A.AC＝B.BC＝C.AC＝D.∠A＝∠5.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是〔〕A．形状相同B．周长相等C．面积相等D．全等6.在两个直角三角形中，假设有一对角对应相等，一对边对应相等，那么两个直角三角形〔〕A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“______”．8.，如图，∠A＝∠D＝90°，BE＝CF，AC＝DE，那么△ABC≌_______.9.如图，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，那么AC＝_________.10.如图，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，假设DE＝2，AB＝4，那么DB＝______.11．有两个长度相同的滑梯，即BC＝EF，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，那么∠ABC＋∠DFE＝________．12.如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.那么∠BAD＝_______.三、解答题13.如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处翻开，墙壁厚是35，B点与O点的铅直距离AB长是20，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝35，画CD⊥OC，使CD＝20，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．13.【解析】解：在Rt△AOB与Rt△COD中，∴Rt△AOB≌Rt△COD〔ASA〕∴AB＝CD＝2014.如图，AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，BC＝DF.求证：AC＝EF.证明：由EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，AC和DF相交，可得：

∠F＋∠FED＝∠C＋∠FED＝90°即∠C＝∠F〔同角或等角的余角相等〕，

在Rt△ABC与Rt△EDF中∴△ABC≌△EDF〔ASA〕，

∴AC＝EF〔全等三角形的对应边相等〕.15.如图，AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.求证：∠1＝∠2.证明：∵AE⊥EC，AF⊥BF，∴△AEC、△AFB为直角三角形在Rt△AEC与Rt△AFB中∴Rt△AEC≌Rt△AFB〔HL〕∴∠EAC＝∠FAB∴∠EAC－∠BAC＝∠FAB－∠BAC，即∠1＝∠2.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】等腰直角三角形确定了两个锐角是45°，可由AAS定理证明全等.2.【答案】D；【解析】△ABD≌△ACD；△ABF≌△ACF；△ABE≌△ACE；△EBF≌△ECF；△EBD≌△ECD；△FBD≌△FCD.3.【答案】D；4.【答案】C；【解析】注意看清对应顶点，A对应，B对应.5.【答案】C；【解析】等底等高的两个三角形面积相等.6.【答案】C；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二、填空题