智爱高中数学-椭圆焦半径公式及应用

智愛高中數學椭圆焦半径公式及应用在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。思路1：由椭圆的定义有：故只要设法用等表示出〔或〕，问题就可迎刃而解。由题意知，两式相减得联立<1>、<2>解得：点评：在与中，前的符号不表示正、负，真正的正、负由确定。思路2：设焦点那么，即另有<2>÷<1>得：<1>、<3>联立解得：点评：把<1>、<3>两式左边的两个根式看成两个未知数，构建方程组得解。思路3：推敲的沟通渠道，应从消除差异做起，根式中理应代换。由点M在椭圆上，易知那么由，知故同理点评：上述思路表达了先消元转换成关于的二次三项式，再化成完全平方式的思想。由a、e是常数与，容易推出〔时取得〕，〔时取得〕。思路4：椭圆的第二定义为求焦半径铺设了沟通的桥梁。如图，作椭圆的左准线，作MH⊥于H点那么即同理可求得：点评：应用椭圆的第二定义求焦半径的优越性是将两点的距离等价转化成平行于x轴的直线上点M、H的距离轻松得解，是上述四条思路中的最正确途径。请你独立探求焦点在y轴上的椭圆上任一点的两条焦半径〔〕。一、椭圆焦半径公式P是椭圆＝1上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的离心率，那么〔1〕，〔2〕。P是椭圆上一点，E、F是上、下焦点，e是椭圆的离心率，那么〔3〕。以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。〔一〕用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式例1点P〔x，y〕是椭圆上任意一点，F1〔-c,0〕和F2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF1|=a+；|PF2|=a-.【分析】可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y”即可.【解答】由两点间距离公式，可知|PF1|=(1)从椭圆方程解出(2)代〔2〕于〔1〕并化简，得|PF1|=(-a≤x≤a)同理有|PF2|=(-a≤x≤a)【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式r1=a+exr2=a-ex(e=)从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P〔x,y〕横坐标的一次函数.r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质〔关于x,y轴，关于原点〕.〔二〕、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的根底性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.例2．P(x,y)是平面上的一点，P到两定点F1〔-c，0〕，F2〔c，0〕的距离的和为2a〔a>c>0〕.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2【分析】问题是求r1=f〔x〕和r2=g〔x〕.先可视x为参数列出关于r1和r2的方程组，然后从中得出r1和r2.【解答】依题意，有方程组②-③得代①于④并整理得r1-r2=⑤联立①，⑤得【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其根底性显然.焦半径公式与准线的关系用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.如图右，点P〔x，y〕是以F1〔-c,0〕为焦点，以l1：x=-为准线的椭圆上任意一点.PD⊥l1于D.按椭圆的第二定义，那么有即r1=a+ex,同理有r2=a-ex.椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.例3．P〔x，y〕是以F1〔-c，0〕，F2〔c，0〕为焦点，以距离之和为2a的椭圆上任意一点.直线l为x=-，PD1⊥l交l于D1.求证：.【解答】由椭圆的焦半径公式|PF1|=a+ex.对|PD1|用距离公式|PD1|=x-=x+.故有.【说明】此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F1〔-c,0〕〔F2〔c,0〕〕与定直线l1:x=-(l2：x=)的距离之比为定值e〔0<e<1〕.三、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程在椭圆局部，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生〔关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根〕.其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.例4．设点P〔x，y〕适合方程.求证：点P〔x，y〕到两定点F1〔-c,0〕和F2〔c，0〕的距离之和为2a〔c2=a2-b2〕.【分析】这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.【解答】P〔x，y〕到F1〔-c,0〕的距离设作r1=|PF1|.由椭圆的焦点半径公式可知r1=a+ex①同理还有r2=a-ex②①+②得r1+r2=2a即|PF1|+|PF2|=2a即P〔x，y〕到两定点F1〔-c，0〕和F2〔c,0〕的距离之和为2a【说明】椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.四、椭圆焦半径公式的变式P是椭圆上一点，E、F是左、右焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，那么〔1〕；〔2〕。P是椭圆上一点，E、F是上、下焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，那么〔3〕；〔4〕。证明：〔1〕设P在x轴上的射影为Q，当不大于90°时，在三角形PEQ中，有由椭圆焦半径公式〔1〕得。消去后，化简即得〔1〕。而当大于90°时，在三角形PEQ中，有，以下与上述相同。〔2〕、〔3〕、〔4〕的证明与〔1〕相仿，从略。五、变式的应用对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。例5.P是椭圆上一点，E、F是左右焦点，过P作x轴的垂线恰好通过焦点F，假设三角形PEF是等腰直角三角形，那么椭圆的离心率是___________。解：因为PF⊥EF，所以由〔2〕式得。再由题意得＋。注意到。例6.P是椭圆上且位于x轴上方的一点，E，F是左右焦点，直线PF的斜率为，求三角形PEF的面积。解：设PF的倾斜角为，那么：。因为a＝10，b＝8，c＝6，由变式〔2〕得所以三角形PEF的面积例7．经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A，B两点，假设，求椭圆的离心率。解：由题意及变式〔2〕得化简得。例8．设F是椭圆的上焦点，共线，共线，且＝0。求四边形PMQN面积的最大值和最小值。解：设PF倾斜角为，那么由题意知PF⊥MF，所以MF倾斜角为90°＋α，而，由题意及〔3〕式得同理得。由题意知四边形PMQN面积所以当时，；当时，＝。四、利用焦半径公式解椭圆题椭圆的焦半径公式：设P(x，y)是椭圆上的任意一点，F、F分别是椭圆的左、右焦点，对于椭圆+=1(a＞b＞0)而言，有|PF|=a＋，|PF|=a－．在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题，用焦半径公式解题可以简化运算过程．下面介绍其应用．例9、在椭圆+=1上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直。解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得c=5，离心率=，设P(,)，依焦半径公式，得：|PF|=3+x，|PF|=3－x．〔3+x+〔3－x=100。解得：x=3或x=－3，故知(3,4)、(3,－4)、(－3,4)、(－3,－4)为所求。评析：一般地，涉及到椭圆上的点与焦点的连结线段时，均可以用焦半径公式来解。例10、在椭圆=1上求一点P,使它到一个焦点的距离为它到另一焦点距离的3倍。解：由椭圆方程可知a=2，b=2，c=2，焦点在y轴上，=，设P(,)，依焦半径公式，得：|PF|=2+y，|PF|=2－y，依题意有：|PF|=3|PF|或|PF|=3|PF|。即：2+y=3(2－y)或2－y=3(2+y)解得：y=2或y=－2。由此可知所求点P为(，2)或(，－2)或(－，2)或(－,－2)评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离，如果直接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半径公式使得运算走向合理化．例11、设F、F为椭圆＋=1的两个焦点，P为椭圆上的一点．P、F、F是一个直角三角形的三个顶点，且|PF|＞|PF|，求的值．解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得c=，离心率=，由椭圆的对称性，不妨设P(x，y)(x＞0，y＞0)是椭圆上的一点，那么由题意知|PF|应为左焦半径，|PF|应为右焦半径．由焦半径公式，得|PF|=3＋x，|PF|=3－x．⑴假设∠PFF为直角，那么|PF|=|PF|＋|FF|，即(3+x)=(3－x)＋(2)，解得x=，故==；⑵假设∠FPF为直角，那么|PF|＋|PF|=|FF|，即(3+x)＋(3－x)=(2)，解得x=1，故==2．评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出x值．例12、椭圆C：+=1，F、F为其两个焦点，问能否在椭圆C上找一点M，使点M到左准线的距离|MN|是|MF|与|MF|的等比中项？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，说明理由．解：设存在点M(x，y)，使|MN|=|MF|·|MF|，由得a=2，b=，c=1，左准线为x=－4，那么|＋4|=(a＋)(a－)=a－=4－，即＋32＋48=0，解得=－4[－2，2]，或=－[－2，2]，因此，点M不存在．评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离，发现用焦半径求解优越于其它解法。三.求变量范围例13、.椭圆的焦点为，点P为其上动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是__________。解：设，那么为钝角代入解得四.求最值例14、.是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值。解：设，那么在椭圆上的最大值为4，最小值为1五.求弦长例15.求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB的长度。解：由可得，所以直线AB的方程为，代入椭圆方程得设，那么，从而六.用于证明例16.设Q是椭圆上任意一点，求证：以为直径的圆C与以长轴为直径的圆相内切。证明：设，圆C的半径为r即也就是说：两圆圆心距等于两圆半径之差。故两圆相内切同理可证以为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切。以上只是简单介绍了椭圆的一种形式的焦半径公式的应用，希望同学们能触类旁通，灵活运用焦半径公式解决其他有关问题，提高解题效率。例17、点P是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，又点P在x轴上方，为椭圆的右焦点，直线的斜率为，求的面积。解析：设点P的横坐标为x，由条件，得：依题意得：所以由得：故点评：也可先求直线方程，与椭圆方程联立，解二元二次方程组求出点P的纵坐标y，那么。圆锥曲线的焦半径巧用圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念．许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机．因此，掌握它是非常重要的．椭圆焦半径：R左=a+xe,R右=a-xe,右支双曲线焦半径：R左=xe+a，R右=xe-a(x>0)，左支双曲线焦半径：R左=-(xe+a)，R右=-(xe-a)(x<0),抛物线焦半径：R抛=x+．对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义，可直接推得．如对双曲线而言：当P(x0,y0)是双曲线b2x2-a2y2=a2b2(a>0,b>0)右支上的一点，F1,F2是其左右焦点．那么有左准线方程为．由双曲线的第二定义得，左焦半径为;由|PF1|-|PF2|=2a，得|PF2|=|PF2|-2a=ex0-a．(|PF例1F1，F2是椭圆E的左、右焦点，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E的离心率e满足|PF1|=e|PF2|，那么e的值为()解法1设F1(-c,0)，F2(c,0)，P(x0,y0)，于是，抛物线的方程为y2=2(4c)(x+c),抛物线的准线l：x=-3c，椭圆的准线m：设点P到两条准线的距离分别为d1,d2．于是，由抛物线定义，得d1=|PF2|,…①又由椭圆的定义得|PF1|=ed2，而|PF1|=e|PF2|，………………②由①②得d2=|PF2|,故d1=d2，从而两条准线重合．∴．应选(C)．解法2由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a，又|PF1|=e|PF2∴|PF2|(1+e)=2a，又由抛物线定义得|PF2|=x0+3c,即x0=|PF2|-3c由椭圆定义得|PF2|=a-ex0,………③由②③得|PF2|=a-e|PF2|+3ec，即|PF2|(1+e)=a+3ec，…………④由①④得2a=a+3ec，解得，应选(C)．点评结合椭圆、抛物线的定义，并充分运用焦半径是解答此题的根本思想．例2设椭圆E：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)，的左、右焦点分别为F1,F2，右顶点为A,如果点M为椭圆E上的任意一点，且|MF1|·|MF2|的最小值为．(1)求椭圆的离心率e；(2)设双曲线Q：是以椭圆E的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任取Q上一点P，试问是否存在常数λ(λ>0)，使得∠PAF1=λ∠PF1A分析对于(1)可利用焦半径公式直接求解．而(2)是一探索型的命题，解题应注重探索．由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率．而∠PF1A显然是一锐角，又易知∠PAF1是(0,120o)内的角，且90o是斜率不存在的角．于是，抓住90o这一特殊角试探，可得解法1，假设注重斜率的研究，考查所两角差的正切，可得解法2；假设转变角的角度来观察，将∠PF1A变为∠PNF1，使∠PAF1变成△PNA的外角，可得解法3；假设考查角平分线的性质可得解法4；假设从图像与所求式的特点分析得知，所求的λ必须是大于1的正数，从常规看来可以猜测到它可能是二倍角或三倍角的关系．由此先探索一下二倍角的情形，考查角平分线定理，可得解法5；假设是考查∠PF1A与∠PAF1(1)解设M(x0,y0),由椭圆的焦半径定义得|MF1|=a+ex0，|MF2|=a-ex0，|MF1|·|MF2|=(a+ex0)(a-ex0)=a2-e2x02,∵|MF1|·|MF2|的最小值为,且|x0|≤a，∴a2-e2x02≥a2-e2a2=，解得．(2)解法1由题意得双曲线的离心率e=2,且双曲线的实半轴长为c,半焦距为2c,故设双曲线Q的方程为，假设存在适合题意的常数λ(λ>0)，考虑特殊情形的λ值．当PA⊥x轴时，点P的横坐标为2c从而点P的纵坐标为y=3c，而|AF1|=3∴△PAF1是等腰直角三角形，即∠PAF1=,∠PF1A=,从而可得λ=2．PA不与x轴垂直时，那么要证∠PAF1=2∠PF1A由于点P(x1,y1)在第一象限内，故PF1,PA的斜率均存在，从而，有,，且有,…………※又∵，将※代入得,由此可得tan2∠PF1A=tan∠PAF1∵P在第一象限，A(2c,0),∴,又∵∠PF1A为锐角，于是，由正切函数的单调性得2∠PF1A=∠PAF1综合上述得，当λ=2时，双曲线在第一象限内所有点均有∠PAF1=2∠PF1A解法2由题意得双曲线的离心率e=2,且双曲线的实半轴长为c,半焦距为2c故设双曲线Q的方程为，由于点P(x1,y1)在第一象限内，故PF1,PA的斜率均存在．且∠PF1A又∵,……………………※设∠PF1A=β，那么设∠PAF1=,≠90o时,那么tan(),而tan(-)．∴tan(-)=tan．∵∠PF1A=为锐角，又∠PAF1=∈,∴tan(-)=tan>0,故-是锐角，由正切函数的单调性得λ=2．显然，当λβ=90o时亦成立．故存在λ=2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF1A=∠PAF1解法3由上述①，得λ=2，设P′是射线PA上的一点,其横坐标为x0(x0>c)，在x轴上取一点N(2x0+c,0)，使△P′F1N为等腰三角形，∴∠P′F1N=∠P′NF1．故当∠P′AF1=2∠P′F1A时，有∠P′AF1=2∠P′PF1F2yxONDAHPF1F2yxONDAH又A(2c,0)，于是|AN|=|AP′|=2x0-c过P′作P′H垂直于准线l于H，如图9-5．那么|P′H|=x0-．故=2=e．图9-5故点P′是双曲线上的点，且与P重合．图9-5由x0>c的任意性得，当λ=2时，双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF1A=∠PAF1解法4由题意得，设点P(x1,y1)，∵点P是双曲线在第一象限内的点，又A(2c∴|AP|=2x1-c，|AF1|=3c，设AD为∠F1AP的平分线，由角平分线性质及定比分点公式，得，由此可得，点D在双曲线的右准线上，从而可得准线是AF1的中垂线，故△AF1D为等腰三角形，且∠PF1A=∠DAF1又由※得∠PAF1=2∠PAD=2∠DAF1，∴∠PAF1=2∠PF1A，故λ解法5由题意得，设点P(x1,y1)，因为点P是双曲线在第一象限内的点，又A(2c,0)是一焦点，于是，有|AP|=2x1-c，|AF1|=3|PF1|2=(x1+c)2+y12=x12+2x1c+c2+3x12-3c2=4x12+2x1c-在△APF1中有，，于是，有2()2-1=,即2(cos∠F1)2-1=cos2∠F1=cos∠A,∵∠A、∠F1是△APF1中的内角，且∠F1是锐角，故有2∠F1=∠A,即∠PAF1=2∠PNF1，所以λ=2时，能使得双曲线在第一象限内所有点均有∠PAF1=2∠PF1A解法6设点P(x1,y1)是双曲线第一象限的点．∵A(2c,0)，F1(-c,0)，连AP，F1由双曲线的焦半径定义得|AP|=2x1-c,又设点N是点F1关于直线x=x1的对称点，那么有|PF1|=|PN|,且N(2x1+c,0)，从而∠PF1N=∠PNF1．又|AN|=2x1+c-2c=2x1-c=|AP|,∠APN=∠PNF1由此可得∠F1AP=2∠PNF1，即∠F1AP=2∠PNF