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文档简介

2023年北京高考数学卷

阅卷入

一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个

得分选项中,选出符合题目要求的一项.

1.(2023•北京卷)已知集合M={%|%+2>0},N={x\X-1<0},则MnN=()

A.{%|—2<x<1]B.{x|-2<x<1]

C.{x\x>—2}D.{%|%<1]

2.(2023•北京卷)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,V3),贝!lz的共辗复数Z=()

A.1+V3iB.1-V3iC.一1+D.-1-V3i

3.(2023・北京卷)已知向量力至满足五+3=(2,3),a-b=(-2,1),则同2一।山2()

A.—2B.-1C.0D.1

4.(2023・北京卷)下列函数中,在区间(0,+8)上单调递增的是()

1_1

A./(x)=—InxB./(%)=£C.7'(%)=--D./(x)=341|

(2023,北京卷)(2x—I、的展开式中工的系数为().

5.

A.—80B.—40C.40D.80

6.(2023・北京卷)已知抛物线C:/=8久的焦点为F,点M在C上.若M到直线久=—3的距离为5,则

\MF\=()

A.7B.6C.5D.4

7.(2023•北京卷)在△2BC中,(a+c)(sin力—sinC)=b(sinA-sinB),则=()

兀7T27r57r

AB.rD.

63~6

8.(2023•北京卷)若久yHO,贝广汽+y=0”是‘曰+]=-2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.(2023•北京卷)坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑

轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全

等的等腰三角形.若力B=25zn,BC=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与

平面ABCD的夹角的正切值均为孚,则该五面体的所有棱长之和为()

FE

A.102mB.112mC.117mD.125m

10.(2023•北京卷)已知数列满足即+1=/(即—6)3+6(71=1,2,3,…),贝!J()

A.当的=3时,为递减数列,且存在常数MW0,使得册>“恒成立

B.当的=5时,为递增数列,且存在常数MW6,使得an<M恒成立

C.当的=7时,{%}为递减数列,且存在常数M>6,使得an>M恒成立

D.当4=9时,为递增数列,且存在常数M>0,使得与<“恒成立

阅卷人

二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分.

得分

11.(2023・北京卷)已知函数/(x)=4*+log?久,则/(}=

12.(2023•北京卷)已知双曲线C的焦点为(—2,0)和(2,0),离心率为遮,则C的方程

为______________

13.(2023•北京卷)已知命题p:若a,0为第一象限角,且a>/?,贝hana>tan£.能说明p为假命题的

一组a,4的值为a=,6=•

14.(2023•北京卷)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于祛码的、用来测量

物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{a",该数列的前3

项成等差数列,后7项成等比数列,且臼=1,。5=12,09=192,则。7=;数列{&J所有项

的和为•

%+2,x<—a,

Va2-%2,-a<x<a,,给出下列四个结论:

(—V%—1,x>a.

①/(x)在区间(a-1,+8)上单调递减;

②当a21时,/(久)存在最大值;

③设M(久1,/(%i))(%i<a),N(X2>/(久2))(%2>a),则|MN|>1;

④设P(久3,,(久3))(久3<-a),Q(尤4,/(久4))(久42-a).若|PQ|存在最小值,则a的取值范围是(0,

其中所有正确结论的序号是

阅卷人

三、解答题:本题共6小题,共85分.解答应写出文字说明'证明过程或

得分演算步骤.

16.(2023•北京卷)如图,在三棱锥P—ABC中,PA1平面ABC,PA=AB=BC=LPC=V3.

(1)求证:BC1平面PAB;

(2)求二面角A—PC—B的大小.

17.(2023•北京卷)设函数/(%)=sino)xcos^+cos3%sing(3>0,\(p\<,).

(1)若/(o)=一字,求8的值.

(2)已知"%)在区间[-不争上单调递增,"等=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件

中选择一个作为已知,使函数/Q)存在,求3,0的值.

条件①:f(J)=V2;

条件②:=-1;

条件③:"x)在区间[-9-勺上单调递减.

注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第

一个解答计分.

18.(2023・北京卷)为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数

据,如下表所示.在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高;用表示“下

跌”,即当天价格比前一天价格低;用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同.

时段价格变化

第1天到第

-++0---++0+0--+-+00+

20天

第21天到0++0---++0+0+---+0-+

第40天

用频率估计概率.

(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率;

(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格

在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率;

(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上涨”“下

跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)

19.(2023•北京卷)已知椭圆E:刍+咚=l(a>b>0)的离心率为卓A、C分别是E的上、下顶点,

Clb3

B,D分别是E的左、右顶点,|AC|=4.

(1)求E的方程;

(2)设P为第一象限内E上的动点,直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=-2交于点N.求

证:MN//CD.

20.(2023・北京卷)设函数/■(%)=%一久30。久+6,曲线y=f(久)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-尤+

1.

(1)求a,b的值;

(2)设函数g(%)=/'(%),求g(久)的单调区间;

(3)求/(%)的极值点个数.

21.(2023•北京卷)已知数列{%J,{,}的项数均为m(m>2),且an,bne{1,2,-,m},{aj也}

的前n项和分别为4,Bn,并规定4o=Bo=O.对于ke{0,1,2,…,m],定义力=max{EI<

Ak,ie(0,1,2,…,m)},其中,maxM表示数集M中最大的数.

(1)若%=2,a2=1,=3,/=1,b2=3,久=3,求r0,「1,r2>心的值;

ET

(2)若的之名,JL2)-<rj+1+rj_r,j=1,2,…,m-1,,求rn;

(3)证明:存在p,q,s,tE[0,1,2,…,m),满足p>q,s>t,使得/+=&+工.

答案解析部分

L【答案】A

【解析】【解答】M={x|x+220}={x\x>—2},N={x|x—1<0}=(x\x<1},

MnN—{x\—2<x<1).

故答案为:A

【分析】先化简集合M,N再求两集合交集。

2.【答案】D

【解析】【解答】•••复数z对应的点的坐标是(-1,V3),

z——1+

z的共辗复数为2=-1-V3io

故答案为:D

【分析】根据复数的几何意义写出复数z,再利用共辄复数定义写出2。

3.【答案】B

【解析】【解答】•••a+b=(2,3),a—b=(—2,1),

a=(0,2),b=(2,1),

.1.|a|=2,b-V22+1=V5,

••\a\2-\b\2=4-5=-1-

故答案为:B

【分析】利用向量的坐标运算分别求出向量Zb,再根据向量模长公式进而求解.

4.【答案】C

【解析】【解答】A、•••y=In久在区间(0,+8)上单调递增,.♦./■(久)=-In%在区间(0,+8)上单调递

减,A不符合题意;

1

B、・••y=2x在区间(0,+8)上单调递增,.•・"久)=/在区间(0,+8)上单调递减,B不符合题意;

C、•.•?=”在区间(0,+8)上单调递减,.•・/(x)=—/在区间(0,+8)上单调递增,C符合题意;

D、•••/&)=3碍=遮,f(l)=3°=1,.•./&)>/(1),〃久)在区间(0,+8)上不单调递增,

D不符合题意。

故答案为:C

【分析】利用函数单调性判断选项.

5.【答案】D

[解析][解答]•••(2x-i)5展开式通项为7『+1=Cg(2x)5T(_1)'=累5-2r,

令5-2r=1,解得r=1,

展开式中光的系数为(-1)225-2牖=80.

故答案为:D

【分析】根据(2%-1)5展开式通项公式得出答案.

6.【答案】D

【解析】【解答】vM到直线x=—3的距离为5,

M到直线准线久=刍=—2的距离为4,由抛物线定义知|MF|=4

【分析】M到直线x=-3的距离为5得出M到直线准线%=-2的距离为4,所以=4.

7.【答案】B

【解析】【解答】由正弦定理知(a+c)(sin力-sinC)=b(sinA—sinB)=(a+c)(a—c)=b(a—b),

・・.a2+b2-c2=ab,由余弦定理小十j=2abeosC,

cosC=I,

Tl

,•zC=3

故答案为:B

【分析】利用正弦定理化简再结合余弦定理求解角C。

8.【答案】C

【解析】【解答】Vxy^O,

・•・%wo,y。。,

充分性:由%yW0和x+y=0得%和y互为相反数,

・・尾+]=-2;

必要性:壮+弓=一2,

人y

•■x2+y2=—2xy,

(%+丫产=0,

x+y=0o

故答案为:C

【分析】充分性:由久yH0和%+y=0得x和y互为相反数,.,.有<+"=-2;必要性:将<+]=—2

化简得到%+y=0即可。

9.【答案】C

【解析】【解答】如图:

设点E在底面ZBCD上的投影为0,连接EO,作OG1BC,OHLAB,垂足分别为G,H,

••・四边形BHOG是矩形,

侧面4BEF和侧面BCE与底面的夹角分另U为NEH。,乙EGO,

由题知tanzEH。=需=tanzFGO=器=斗5,

OG=OH=^BC=5,OE=V14,

...AB~EF=粤,即EF=AB-BC=15,

BE=VOE2+OB2=VOF2+OG2+BG2=8,

五面体的所有棱长之和为8x4+10x2+25x2+15=117m.

故答案为:C

【分析】设点E在底面ABCD上的射影为。,贝!JtanzEH。=tan/EG。=孚,进而求解。

10.【答案】B

【解析】【解答】由ciji+i~不(a?i—6)3+6(H—1,2,3,…)d导O-n+i—=不(即—6)^+6—ctn)令

/(%)=1(%-6)34+6-X,则广⑺=京久—6)2—1,令/⑺=0,解得为=6士孕,,当久C

(-00,6—蜉)时,f(%)>0,“支)单调递增,当久C(6—竽,6+竽)时,f(%)<0,八久)单调递

减,当xC(6+孥,+8)时,/(%)>0,fO)单调递增,注意到4<6—竽<5,7<6+竽<8,

A%G(-00,4)和%e(8,+00)时,/(%)单调递增,%E(5,7)时,/(%)单调递减,・•.%E(-8,4)和%C

(6,8)时/(%)<0,%G(4,6)和%E(8,+oo)时/(%)>0

1313

A、v。几+i=4(an-6)+6(?1=1,2,3,…),,a几+i-6=4(Qn—6),

当几=1时,的=3,・•.g-6=qQi—6/<—3,・,・g<3,

假设当7i=k时,ak<3,

当?1=k+1时,cik+i-6=4(以一6尸<—39,,,。上+1<3,

综上:a九43,即a九e(—8,4),

•・・x6(-8,4)时/(%)<0,Aan+1<an,{an}为递减数列,

I19

a—a=312

由n+in+14("九一6)+7—a几=4an—工an+26an—47,

1qw

3

令h(%)=7%—TTX2+26%—47(x<3),则"(%)=-TX2—9%+26,

4Z4

由二次函数知/i'(x)在(-8,6)单调递减,

%G(一8,3)时,h'M>"⑶=|X32-9X3+26=^>0

•1■/i(久)在尤6(一8,3)上单调递增,/i(x)<八(3)=/x33—x3之+26X3—47——<0,

・•・an+1-an+1<0,即。几+1<an—1,

假设存在常数M<0,使得斯>M恒成立,

取m=-[M]+4,其中M-1<[M]<M,且[M]GZ

,•*CLn+l<。九一1,a-[M]+4<a-[M]+3—1,a-[M]+3<a-[M]+2—L…,的<。2-1,。2<-L

上式相加得。_网+4V的—(—[M]+3)=[M]<M,

・•.am=Q_[M]+4VM,与an>M恒成立矛盾,A错误;

11

B、—5,当7i—1时,a1=5<6,Q,2—~T(Q]—6尸+6=彳(5—6)?+6<6,»'•a2<6,

44

假设当71=k时,ak<6,

当?1=k+1时,在+1—4(cik—6)3+6<6,。上+1<6,

33

又当n=l时,a2-5=1(ai-6)+1=1(5-6)+1>0,a2>5,

假设当?!=k时,耿>5,

当=k+1时,cik+i-5=4(以-6)3+1>0,**•>5,

综上:5<an<6,

•・,xE(4,6)时/(%)>0,an+1>an,・•・{a九}为递增数列

.•.取M=6时,满足题意,B正确;

1O1O

C、•・・册+i=4(册—6)+6(11=1,2,3,…),・•・a几+i—6=4(即一6),

111311

当%=7时,做=4(a1—6)3+6=4+6,由一4(。2—6)+6―+6,(的-6)^+6=

+6,

猜想当心2时,『(萨一)+6,

当n=2与九=3时满足忽=④细T+6,

假设当九=卜时,Qk=(*WT+6,

3

当7i=/c+l时‘/+1=](四—6)3+6=/GY+6=GJ+6'Q/c+i>5'

综上飞=(承产、】)+6(心2)

••3X-12。522),....=②婀-E+6e⑸7],

•・,x6(6,8)时f(6<0,an+1<an,{an}为递减数列,

假设存在常数M>6,使得册>M恒成立,

记N=log321ogi(M-6)+1,取zn=[N]+1,其中N-1<[N]<N,且[N]6Z

4

mW

...3>3=21ogi(M-6)+l;-I(3-—1)>logi(M-6),即(铲口)+6<M

an<M,故斯〉M不恒成立,C错误;

i27

D、,**a]—9,a2-6=7Q]—6>=-j—>3,*'•的》9,

假设当几=忆时,怒>9,

当72=k+1时,以+i-6=/(cik-6)3之.(9—6)3>3,/+1>9,

综上:an>9,

・・,xe(8,+8)时,/(%)>0,an+1>an,・•・{an}为递增数列,

.131292

田dn_|_^_un_1=4(Qn—6)+5—ccn—4cin—2ccn+26(zn—49,

1gq

令g(%)=4%3--x2+26x(%>9),贝!)〃(%)=-^x2—9%+26,

由二次函数知》(久)在(6,+8)单调递增,

%e[9,+8)时,h'M>h'(9)=,X92-9塞9+26=詈>0

1g

・•・h(%)在冗e[9,+8)上单调递增,・•・/i(x)>h(9)=4x93—2x92+26x9—49>0,

。九+1—c1n—1>0,即a九+1>a几+1,

假设存在常数M>0,使得册<M恒成立

取血=[M]+1,其中M-1<[M]<M,且[M]GZ

。九+1>a九+1,•••Q[M]+1>a[M]+1,a[M]>a[M]-l+1,…,。3>。2+1,。2>+1,

上式相加得。网+1>的+[M]=9+[M]>M,

・•.am=a[M]+1>M,与an<“恒成立矛盾,D错误。

故选:B

【分析】将。几+1—4(。几—6)3+6(?1—1,2,3,…)变形得到a九+i—c1n—4(册—6)?+6—un构造

函数/(%)=J(X_6)3+6-久,利用导数判断〃%)单调性进而得到数列的增减性,逐一分析选项。

11.【答案】1

X

【解析】【解答】••,/■(%)=4+log2x,y(l)=42+log21=2-1=1.

故答案为:1

【分析】将久=#弋入函数解析式计算求解/(1)o

12.【答案彩—底=1

【解析】【解答】由题意知c=2,e=^=V2,

解得a=V2,

又&=a2+b2

解得b=V2,

・••双曲线方程为妥胃=1。

故答案为:妥吟=1

【分析】由题意知c=2,e/3,又02=02+房,进而写出双曲线方程。

13.【答案】字;

【解析】【解答】取a=2TT+A竽,夕=半满足a,£为第一象限角,且a>/?,但tana=1<

tan。=6,

・•・能说明p为假命题一组a,6的值为a=孚,夕=也

4D

故答案为:竽;5

【分析】举反例即可.

14.【答案】48;384

【解析】【解答】由题意知an>0,设后7项公比为q>0

•••后7项成等比数列,

二公比q==4俘=V16=2,

7a5

—TH_%_12_2

,首项。3="2="47=3,

q

即=。3,q4=3X16=48,

^^后壬口弟,,,_a-aq_3-192x2_

・,•后7项和为。3+。4+。5+。6+。7+。8+。9=-31二.9~=--Y-2--=3Q8Q11

••・前3项成等差数列,

二前3项成和为的+a2+a3='0I:%)=g,

二数列{时}所有项的和为6+381-a3=387-3=384.

故答案为:48;384

【分析】通过等比中项依次求出。7,。3,在利用成等差数列,等比数列求和公式求出数列{的J所有项

的和。

15.【答案】②③

【解析】【解答】Va>0,:当x<-a时,/(久)=久+2,图像是一条取不到右端点的单调递增的射

线;

当—aW久Wa时,/(%)=y/a2-x2,图像是在久轴上方的圆心为(0,0),半径为a的半圆;

当x>a时,f(x)=—6—l,图像是一条取不到左端点的单调递减的曲线;

对于①,取a=:,/(%)的图像如下,

当KC(a—l,0)时,即无e(—0),f(x)单调递增,①错误:

对于②,当。之1时,有当久<一。时,/(x)=x+2<-a+2<l<a;

当—a<x<a时,/(%)=7a2-/取得最大值为

当%>。时,f(%)——y[x—1<——1V—2<a

综上:/(%)取得最大值Q,②正确;

对于③,由图知,

当%1=a,%2>a趋于a时,|MN|的距离最小,/(%1)=0,/(%2)=-,石一1其中%2>。且接近于。,

③正确;

\MN\>/(%1)—/(x2)=V^2+1>迎+1>1,

对于④,取。=春/(x)的图像如下,

由图知,|PQ|取得最小值为原点到/(%)=%+2,%<-卷的距离减去圆的半径。且点P在/(%)=%+

2,%V一考上,点Q在/⑺=J股—%;,—%>

・・,直线/(%)=%+2的斜率为1,・,・直线OP的方程为丫=—%,联立y=『J7,解得p(-i,1),・・・

P(—l,1)在fO)=x+2,久〈一卷上,|PQ|可以取得最小值,此时口="CO,|],④错误。

故答案为:②③

【分析】画出/(%)图形逐一分析个结论。①取a=5根据图象即可判断;②分x<-a、-a<%<

a、x>a三段函数分析判断即可;③根据图象即可判断;④取a=皆根据图象即可判断.

16.【答案】(1)因为PAJ■平面ABC,BCu平面ABC,

所以PA1BC,同理PAIZB,

所以APAB为直角三角形,

又因为PB=y/PA2+AB2=迎,BC=1,PC=V3,

所以PB2+BC2=则APBC为直角三角形,故BC1PB,

又因为BC1PA,PACtPBP,

所以BC1平面P4B.

(2)由(1)BC_L平面PAB,又力Bu平面PAB,贝!JBC_LAB,

以4为原点,4B为%轴,过4且与BC平行的直线为y轴,4P为z轴,建立空间直角坐标系,如图,

则4(0,0,0),P(0,0,1),C(l,1,0),B(l,0,0),

所以屁=(0,0,1),AC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,-1),

设平面PAC的法向量为记=(久1,K,zi),贝讣小,磐=°,即[zi—0,

1

^m-AC^O(x1+y1=0,

令%1=1,贝lj%=-1,所以隹=(1,-1,0),

设平面PBC的法向量为元=(肛,当,Z2),则卜,些=°,即(」2一:

2x-z

In-PC=0{2+y22=o

令%2=1,则Z2=1,所以元=(1,0,1),

所以8S限元>=品=最反4

又因为二面角力—PC—B为锐二面角,

所以二面角4-PC-B的大小为半

【解析】【分析】(1)通过证明BC1PA,BC1PB来证明BC,平面PAB;

(2)建立空间直角坐标系利用空间向量求解二面角A-PC-B的大小.

17.【答案】(1)因为/(%)=sinQrcosR+cosa%sinR,co>0,\(p\<

所以/(。)=sin(3•0)cos(p+cos®•0)sin(p=sin(p=—第,

因为|?|<所以9=~5.

(2)因为/(%)=singxcosR+cosaxsinR,>0,\(p\<

所以,(%)=sin(s+◎),3>0,\<p\<去所以f。)的最大值为1,最小值为-1.

若选条件①:因为"久)=sin(3%+R)的最大值为1,最小值为-1,所以门5)=鱼无解,故条件①不能

使函数/(久)存在;

若选条件②:因为人久)在[-酊第上单调递增,且/育)=1,f(-5)=-1

所以;二竽一(一,)=兀,所以丁=2兀,3=竿=1,

所以/(%)=sin(x+cp),

又因为f(一当=—L所以sin(T+R)=—l,

■JTJT

所以一百+0=—2+2kn,kE.Z,

所以9=—1+2/CTT,kEZ,因为|夕|V]所以g=-专

所以3=(

1,p=O

若选条件③:因为久久)在[-,/上单调递增,在[-M-勺上单调递减,

所以"X)在X=+处取得最小值一1,即f(T)=—1.

以下与条件②相同.

【解析】【分析】(1)代入"0)=—孚又切/求解w的值;

(2)若选择条件①不符合题意;

若选择条件②:由〃无)在区间1T,争上单调递增,〃给=i,/(—$=—1知心学一(一刍=兀进

而求出3再代入解析式由/(T)=一1和|勿<*求少的值;

若选择条件③由开为在区间[-引争上单调递增,“第=1,/(%)在区间[-会-刍上单调递减知

/(—$=—1,.q=啰一(一刍=兀进而求出3再代入解析式由/(—分=—1和切〈拜0的值。

18.【答案】(1)根据表格数据可以看出,40天里,有16个+,也就是有16天是上涨的,

根据古典概型的计算公式,农产品价格上涨的概率为:招=04

(2)在这40天里,有16天上涨,14天下跌,10天不变,也就是上涨,下跌,不变的概率分别是0.4,

0.35,0.25,于是未来任取4天,2天上涨,1天下跌,1天不变的概率是C:x0.4?义蝎x0.35x0.25=

0.168

(3)由于第40天处于上涨状态,从前39次的15次上涨进行分析,上涨后下一次仍上涨的有4次,不变的

有9次,下跌的有2次,

因此估计第41天不变的概率最大.

【解析】【分析】(1)计算表格+的个数,根据古典概型求“上涨”的概率;

(2)分别计算上涨,下跌,不变的概率,再计算4天中2天“上涨”、1天“下跌”、:I天“不变”的概率;

(3)通过分析表格中前一次上涨,后一次发生的各种情况进行估计第41天的情况。

19.【答案】(1)依题意,得e=£=噂,贝〃=哮。,

a33

又4C分别为椭圆上下顶点,|4C|=4,所以2b=4,即b=2,

所以M—c2=ft2=4,即小—^a2=^a2=4,则M=9,

所以椭圆E的方程为普+^=1.

94

(2)因为椭圆E的方程为桨+年=1,所以4(0,2),<7(0,-2),B(—3,0),D(3,0),

y4

77

因为P为第一象限E上的动点,设P(m,n)(0<m<3,0<n<2),则等+(=i,

易得k:BC==—,‘则直线BC的方程为y=——2,

心。=四=寻'则直线20的方程为了=占(久一3),

3(37i—2?n+6)

联立《3n+2m—6即M(3(3几—2zn+6)—12九

—12n'(3n+2m—6'3n+2m

'-3n+2m—6

而演4=痣=展,则直线24的方程为y=*x+2,

令y=-2,则一2=生工久+2,解得%=二^孑,即N(二-2),

mn—2vn—27

又唾+《=1,则巾2=9—竽,8m2=72-18n2,

_12?2

诉I、J”_3葭+2--6+2________(一6九+4771—12)(八一2)______

加"MN-3(3九一2772+6)_-4上一(9n—6m+18)(n—2)+4m(3n+2m—6)

3n+2m—6n—2

_—6n24-4mn—8m4-24_—6n2+4mn—8m+24

9n2+8m24-6mn—12m—369n24-72-18n24-6mn—12m—36

_—6n2+4mn—8m+24_2(-3n2+2mn—4m+12)_2

—9n2+6mn-12m+363(—3n2+2mn—4m+12)3'

又七口=m即々MN=kcD,

显然,MN与。。不重合,所以MN〃CD.

【解析】【分析】⑴由题意知e=£=卓,2b=4,结合a2=必+©2,求解椭圆方程;

a3

(2)设P(ni,n)(0<m<3,0<n<2),由题意求出直线BC,PD,PA的方程,联立求出点M,N

坐标,利用kMN=kcD证明MN//CD.

20.【答案】(1)因为f(%)=久一%,xERy所以/(x)=1—(3久2+a久3)e0x+",

因为"%)在(1,r(I))处的切线方程为y=-x+l,

所以/'(1)=-1+1=0,/(1)=-1,

1-I3xea+b=0,解得打;;,

1-(3+a)ea+b=-1

所以a=—1,b=1.

(2)由(1)得g(%)=/(%)=1-(3——%3)?-%+1(%eR),

则/(%)=—%(x2—6%+6)e-x+1,

令%2—6%+6=0,解得%二3±遮,不妨设%i=3—V5,%2=3+国,则

易知?一%+1>。恒成立,

所以令g'(%)<0,解得0<%V汽1或%>外;令g'(%)>0,解得%<0或%1<%<亚;

所以g(%)在(0,%力,(x2,+oo)上单调递减,在(—8,0),(方,%2)上单调递增,

即gQ)的单调递减区间为(0,3-遮)和(3+遮,+oo),单调递增区间为(—8,0)和(3-百,3+V3).

(3)由(1)得/(%)=%-%3?一汽+1。eR),/(%)=1-(3x2-%3)e-x+1,

由(2)知/(%)在(0,%1),(%2,+8)上单调递减,在(一8,0),(%1,]2)上单调递增,

当x<0时,/(-I)=l-4e2<0-/(0)=1>0,Hp/(-i)/(0)<0

所以/'(%)在(―8,0)上存在唯一零点,不妨设为犯,则—1<久3<。,

此时,当%<%3时,/(%)<0-则/(X)单调递减;当久3<久<0时,/(%)>0,则/(%)单调递增;

所以"%)在(-8,0)上有一个极小值点;

当xC(0,久力时,/(%)在(0,%]_)上单调递减,

则,(久1)=/(3-V3)</(I)=1-2<0,故f'(O)f'(%i)<0,

所以/(%)在(0,巧)上存在唯一零点,不妨设为%4,贝

此时,当0<%<久4时,/'(%)>0,则/(%)单调递增;当%4<久<久1时,/(%)<0-则/(久)单调递减;

所以久久)在(0,勺)上有一个极大值点;

当XC(%1,久2)时,/(久)在(K1,久2)上单调递增,

则八久2)=/(3+V3)>/(3)=1>0,故/(%1)/(%2)<0-

所以f'(x)在(%「%2)上存在唯一零点,不妨设为%5,则无1<%5<%2,

此时,当久1<X<久5时,/(%)<0,则/(%)单调递减;当%5<X<久2时,/(%)<0,则/(久)单调递增;

所以f(久)在(久1,久2)上有一个极小值点;

32

当%>x2=3+V3>3时,3/-%=%(3-%)<0,

所以/(%)=1—(3%2—%3)e-x+1>0,则/(%)单调递增,

所以/'(%)在(%2,+8)上无极值点;

综上:/(久)在(-8,0)和(右,次)上各有一个极小值点,在(0,町)上有一个极大值点,共有3个极值点.

【解析】【分析】(1)对〃支)求导,利用〃1)=0,f(l)=-1,求解a,b的值;

(2)对g(x)求导,求出g'(x)<0和g'(x)>0区间得到。(久)的单调区间;

(3)通过求解/(X)的变号零点个数来求f(x)的极值点个数.

21.【答案】(1)由题意可知:Ao=0,&=2,A2=3,4=6,Bo=0,=1,B2=4,B3=7,

当k=0时,则Bo=4()=O,Bt>Ao,i=1,2,3,故=0;

当k=l时,贝BiBi>A1,i=2,3,故n=1;

当k=2时,则i=0,1,Bt>A2,i=2,3,故b=1;

当k=3时,则BiW4,i=0,1,2,B3>^3,故句=2;

综上所述:r0=0,n=1,厂2=1,厂3=2.

(2)由题意可知:rn<m,且丁九eN,

因为册之1,bn>1,贝!1412al=1,Bn>b1=1,当且仅当九二1时,等号成立,

所以丁0=0,n=1,

又因为2及<7Vl+笠+1,则G+1一口>G一々—1,即丁加一丁血―12An—1一岫n—2之…之丁1一厂0=1,

可得丁i+1-G之L

反证:假设满足6+1-%>1的最小正整数为1<;<m-l,

当时,则『+1一3之2;当时,则『+1-3=1,

则〜=(丁根-〜―1)+(Jm-1-〜―2)+…+(丁1-厂)0+厂0之2(771-J)+J=2m-j,

又因为1<j<m—1,贝卜山>2m—j>2m-(m-1)=m+1>m,

假设不成立,故丁九+i-厂几=1,

即数列{%}是以首项为1,公差为1的等差数列,所以丁九=0+1X九=?1,nEN.

(3)(i)若4n23相,构建S兀uH兀—B加,1<n<m,由题意可得:Sn>0,且Sn为整数,

反证,假设存在正整数K,使得SK^TH,

K

则4一By2如AK-BTK+1<0,可得兀+1=%+1-BrK=(力长一BQ-(A-BrK+1)>m,

这与力叫+16{1,2,…,m}相矛盾,故对任意n£N,均有S九〈租―1.

①若存在正整数N,使得SN=4N—3"=0,即

可取厂=p=0,q=N,s=rNf使得4P+Bs=+Br;

②若不存在正整数N,使得SN=0,

因为e{1,2m•••,m—1],且14?i<m,

所以必存在1<X<丫<TH,使得Sx=Sy,

即Ax一B「x=AY—Bry,可得"x+Bry=AY+Brx,

可取p=X,s=rr,q=Y,r=rx9+Bs=Aq+Br;

(ii)若4n<8卅构建S九二吕⑸一/",1<n<m,由题意可得:Sn<0,且S九为整数,

反证,假设存在正整数K,使得SK<-租,

则斗人—力K——根,B^K+I—力K〉0,可得力火+1=%K+I—By=(%K+I-AK)—(By-AK)>加,

这与b^+iE{1,2,…,TH}相矛盾,故对任意ri〈TH,nEN,均有S几之1—m.

①若存在正整数N,使得SN=B。—力N=。,即力'

可取厂=p=0,q=N,s=rN使得力p+Bs=Aq+Br;

②若不存在正整数N,使得SN=O,

因为36{—1,-2,…,1-m},且14714根,

所以必存在1<X<Y<m,使得Sx=Sy,

即3以~AX=Bry—Ay,可得“X+Bry=Ay+Brx,

可取p=X,s=rY9q=Y,r=rx9使得力p+Bs=Aq+Br;

综上所述:存在0<p<q<m,0<r<s<m使得力p+Bs=Aq+Br.

【解析】【分析】(1)先求A=0,A1=2,A2=3,A3=6,Bo=0,a=1,B2=4,B3=7,再利用

rk=max{t\Bi<Ak,fG{0,1,2,…,m])分别求r。,r19r2,门的值;

(2)由丁根-rm_i>rm_i-rm_2>>r1-r0=1得到—N1,再利用反证法证明丁叶1一r九=1,结

合等差数列求rn;

(3)讨论Bm大小,利用反证法分析证明存在p,q,s,tE{0,1,2,…,m},满足p>q,s>3

使得力p+3亡=+Bs.

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分:150分

客观题(占比)45.0(30.0%)

分值分布

主观题(占比)105.0(70.0%)

客观题(占比)11(52.4%)

题量分布

主观题(占比)10(47.6%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量(占比)分值(占比)

解答题:本题共6小

题,共85分.解答

6(28.6%)85.0(56.7%)

应写出文字说明、证

明过程或演算步骤.

填空题:本题共5小

题,每小题5分,共5(23.8%)25.0(16.7%)

25分.

选择题:本题共10

小题,每小题4分,

共40分.在每小题列

10(47.6%)40.0(26.7%)

出的四个选项中,选

出符合题目要求的一

项.

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(52.4%)

2容易

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