
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文档简介
2023年北京高考数学卷
阅卷入
一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个
得分选项中,选出符合题目要求的一项.
1.(2023•北京卷)已知集合M={%|%+2>0},N={x\X-1<0},则MnN=()
A.{%|—2<x<1]B.{x|-2<x<1]
C.{x\x>—2}D.{%|%<1]
2.(2023•北京卷)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,V3),贝!lz的共辗复数Z=()
A.1+V3iB.1-V3iC.一1+D.-1-V3i
3.(2023・北京卷)已知向量力至满足五+3=(2,3),a-b=(-2,1),则同2一।山2()
A.—2B.-1C.0D.1
4.(2023・北京卷)下列函数中,在区间(0,+8)上单调递增的是()
1_1
A./(x)=—InxB./(%)=£C.7'(%)=--D./(x)=341|
(2023,北京卷)(2x—I、的展开式中工的系数为().
5.
A.—80B.—40C.40D.80
6.(2023・北京卷)已知抛物线C:/=8久的焦点为F,点M在C上.若M到直线久=—3的距离为5,则
\MF\=()
A.7B.6C.5D.4
7.(2023•北京卷)在△2BC中,(a+c)(sin力—sinC)=b(sinA-sinB),则=()
兀7T27r57r
AB.rD.
63~6
8.(2023•北京卷)若久yHO,贝广汽+y=0”是‘曰+]=-2”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
9.(2023•北京卷)坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑
轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全
等的等腰三角形.若力B=25zn,BC=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与
平面ABCD的夹角的正切值均为孚,则该五面体的所有棱长之和为()
FE
A.102mB.112mC.117mD.125m
10.(2023•北京卷)已知数列满足即+1=/(即—6)3+6(71=1,2,3,…),贝!J()
A.当的=3时,为递减数列,且存在常数MW0,使得册>“恒成立
B.当的=5时,为递增数列,且存在常数MW6,使得an<M恒成立
C.当的=7时,{%}为递减数列,且存在常数M>6,使得an>M恒成立
D.当4=9时,为递增数列,且存在常数M>0,使得与<“恒成立
阅卷人
二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分.
得分
11.(2023・北京卷)已知函数/(x)=4*+log?久,则/(}=
12.(2023•北京卷)已知双曲线C的焦点为(—2,0)和(2,0),离心率为遮,则C的方程
为______________
13.(2023•北京卷)已知命题p:若a,0为第一象限角,且a>/?,贝hana>tan£.能说明p为假命题的
一组a,4的值为a=,6=•
14.(2023•北京卷)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于祛码的、用来测量
物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{a",该数列的前3
项成等差数列,后7项成等比数列,且臼=1,。5=12,09=192,则。7=;数列{&J所有项
的和为•
%+2,x<—a,
Va2-%2,-a<x<a,,给出下列四个结论:
(—V%—1,x>a.
①/(x)在区间(a-1,+8)上单调递减;
②当a21时,/(久)存在最大值;
③设M(久1,/(%i))(%i<a),N(X2>/(久2))(%2>a),则|MN|>1;
④设P(久3,,(久3))(久3<-a),Q(尤4,/(久4))(久42-a).若|PQ|存在最小值,则a的取值范围是(0,
其中所有正确结论的序号是
阅卷人
三、解答题:本题共6小题,共85分.解答应写出文字说明'证明过程或
得分演算步骤.
16.(2023•北京卷)如图,在三棱锥P—ABC中,PA1平面ABC,PA=AB=BC=LPC=V3.
(1)求证:BC1平面PAB;
(2)求二面角A—PC—B的大小.
17.(2023•北京卷)设函数/(%)=sino)xcos^+cos3%sing(3>0,\(p\<,).
(1)若/(o)=一字,求8的值.
(2)已知"%)在区间[-不争上单调递增,"等=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件
中选择一个作为已知,使函数/Q)存在,求3,0的值.
条件①:f(J)=V2;
条件②:=-1;
条件③:"x)在区间[-9-勺上单调递减.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第
一个解答计分.
18.(2023・北京卷)为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数
据,如下表所示.在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高;用表示“下
跌”,即当天价格比前一天价格低;用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同.
时段价格变化
第1天到第
-++0---++0+0--+-+00+
20天
第21天到0++0---++0+0+---+0-+
第40天
用频率估计概率.
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率;
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格
在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率;
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上涨”“下
跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)
19.(2023•北京卷)已知椭圆E:刍+咚=l(a>b>0)的离心率为卓A、C分别是E的上、下顶点,
Clb3
B,D分别是E的左、右顶点,|AC|=4.
(1)求E的方程;
(2)设P为第一象限内E上的动点,直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=-2交于点N.求
证:MN//CD.
20.(2023・北京卷)设函数/■(%)=%一久30。久+6,曲线y=f(久)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-尤+
1.
(1)求a,b的值;
(2)设函数g(%)=/'(%),求g(久)的单调区间;
(3)求/(%)的极值点个数.
21.(2023•北京卷)已知数列{%J,{,}的项数均为m(m>2),且an,bne{1,2,-,m},{aj也}
的前n项和分别为4,Bn,并规定4o=Bo=O.对于ke{0,1,2,…,m],定义力=max{EI<
Ak,ie(0,1,2,…,m)},其中,maxM表示数集M中最大的数.
(1)若%=2,a2=1,=3,/=1,b2=3,久=3,求r0,「1,r2>心的值;
ET
(2)若的之名,JL2)-<rj+1+rj_r,j=1,2,…,m-1,,求rn;
(3)证明:存在p,q,s,tE[0,1,2,…,m),满足p>q,s>t,使得/+=&+工.
答案解析部分
L【答案】A
【解析】【解答】M={x|x+220}={x\x>—2},N={x|x—1<0}=(x\x<1},
MnN—{x\—2<x<1).
故答案为:A
【分析】先化简集合M,N再求两集合交集。
2.【答案】D
【解析】【解答】•••复数z对应的点的坐标是(-1,V3),
z——1+
z的共辗复数为2=-1-V3io
故答案为:D
【分析】根据复数的几何意义写出复数z,再利用共辄复数定义写出2。
3.【答案】B
【解析】【解答】•••a+b=(2,3),a—b=(—2,1),
a=(0,2),b=(2,1),
.1.|a|=2,b-V22+1=V5,
••\a\2-\b\2=4-5=-1-
故答案为:B
【分析】利用向量的坐标运算分别求出向量Zb,再根据向量模长公式进而求解.
4.【答案】C
【解析】【解答】A、•••y=In久在区间(0,+8)上单调递增,.♦./■(久)=-In%在区间(0,+8)上单调递
减,A不符合题意;
1
B、・••y=2x在区间(0,+8)上单调递增,.•・"久)=/在区间(0,+8)上单调递减,B不符合题意;
C、•.•?=”在区间(0,+8)上单调递减,.•・/(x)=—/在区间(0,+8)上单调递增,C符合题意;
D、•••/&)=3碍=遮,f(l)=3°=1,.•./&)>/(1),〃久)在区间(0,+8)上不单调递增,
D不符合题意。
故答案为:C
【分析】利用函数单调性判断选项.
5.【答案】D
[解析][解答]•••(2x-i)5展开式通项为7『+1=Cg(2x)5T(_1)'=累5-2r,
令5-2r=1,解得r=1,
展开式中光的系数为(-1)225-2牖=80.
故答案为:D
【分析】根据(2%-1)5展开式通项公式得出答案.
6.【答案】D
【解析】【解答】vM到直线x=—3的距离为5,
M到直线准线久=刍=—2的距离为4,由抛物线定义知|MF|=4
【分析】M到直线x=-3的距离为5得出M到直线准线%=-2的距离为4,所以=4.
7.【答案】B
【解析】【解答】由正弦定理知(a+c)(sin力-sinC)=b(sinA—sinB)=(a+c)(a—c)=b(a—b),
・・.a2+b2-c2=ab,由余弦定理小十j=2abeosC,
cosC=I,
Tl
,•zC=3
故答案为:B
【分析】利用正弦定理化简再结合余弦定理求解角C。
8.【答案】C
【解析】【解答】Vxy^O,
・•・%wo,y。。,
充分性:由%yW0和x+y=0得%和y互为相反数,
・・尾+]=-2;
必要性:壮+弓=一2,
人y
•■x2+y2=—2xy,
(%+丫产=0,
x+y=0o
故答案为:C
【分析】充分性:由久yH0和%+y=0得x和y互为相反数,.,.有<+"=-2;必要性:将<+]=—2
化简得到%+y=0即可。
9.【答案】C
【解析】【解答】如图:
设点E在底面ZBCD上的投影为0,连接EO,作OG1BC,OHLAB,垂足分别为G,H,
••・四边形BHOG是矩形,
侧面4BEF和侧面BCE与底面的夹角分另U为NEH。,乙EGO,
由题知tanzEH。=需=tanzFGO=器=斗5,
OG=OH=^BC=5,OE=V14,
...AB~EF=粤,即EF=AB-BC=15,
BE=VOE2+OB2=VOF2+OG2+BG2=8,
五面体的所有棱长之和为8x4+10x2+25x2+15=117m.
故答案为:C
【分析】设点E在底面ABCD上的射影为。,贝!JtanzEH。=tan/EG。=孚,进而求解。
10.【答案】B
【解析】【解答】由ciji+i~不(a?i—6)3+6(H—1,2,3,…)d导O-n+i—=不(即—6)^+6—ctn)令
/(%)=1(%-6)34+6-X,则广⑺=京久—6)2—1,令/⑺=0,解得为=6士孕,,当久C
(-00,6—蜉)时,f(%)>0,“支)单调递增,当久C(6—竽,6+竽)时,f(%)<0,八久)单调递
减,当xC(6+孥,+8)时,/(%)>0,fO)单调递增,注意到4<6—竽<5,7<6+竽<8,
A%G(-00,4)和%e(8,+00)时,/(%)单调递增,%E(5,7)时,/(%)单调递减,・•.%E(-8,4)和%C
(6,8)时/(%)<0,%G(4,6)和%E(8,+oo)时/(%)>0
1313
A、v。几+i=4(an-6)+6(?1=1,2,3,…),,a几+i-6=4(Qn—6),
当几=1时,的=3,・•.g-6=qQi—6/<—3,・,・g<3,
假设当7i=k时,ak<3,
当?1=k+1时,cik+i-6=4(以一6尸<—39,,,。上+1<3,
综上:a九43,即a九e(—8,4),
•・・x6(-8,4)时/(%)<0,Aan+1<an,{an}为递减数列,
I19
a—a=312
由n+in+14("九一6)+7—a几=4an—工an+26an—47,
1qw
3
令h(%)=7%—TTX2+26%—47(x<3),则"(%)=-TX2—9%+26,
4Z4
由二次函数知/i'(x)在(-8,6)单调递减,
%G(一8,3)时,h'M>"⑶=|X32-9X3+26=^>0
•1■/i(久)在尤6(一8,3)上单调递增,/i(x)<八(3)=/x33—x3之+26X3—47——<0,
・•・an+1-an+1<0,即。几+1<an—1,
假设存在常数M<0,使得斯>M恒成立,
取m=-[M]+4,其中M-1<[M]<M,且[M]GZ
,•*CLn+l<。九一1,a-[M]+4<a-[M]+3—1,a-[M]+3<a-[M]+2—L…,的<。2-1,。2<-L
上式相加得。_网+4V的—(—[M]+3)=[M]<M,
・•.am=Q_[M]+4VM,与an>M恒成立矛盾,A错误;
11
B、—5,当7i—1时,a1=5<6,Q,2—~T(Q]—6尸+6=彳(5—6)?+6<6,»'•a2<6,
44
假设当71=k时,ak<6,
当?1=k+1时,在+1—4(cik—6)3+6<6,。上+1<6,
33
又当n=l时,a2-5=1(ai-6)+1=1(5-6)+1>0,a2>5,
假设当?!=k时,耿>5,
当=k+1时,cik+i-5=4(以-6)3+1>0,**•>5,
综上:5<an<6,
•・,xE(4,6)时/(%)>0,an+1>an,・•・{a九}为递增数列
.•.取M=6时,满足题意,B正确;
1O1O
C、•・・册+i=4(册—6)+6(11=1,2,3,…),・•・a几+i—6=4(即一6),
111311
当%=7时,做=4(a1—6)3+6=4+6,由一4(。2—6)+6―+6,(的-6)^+6=
+6,
猜想当心2时,『(萨一)+6,
当n=2与九=3时满足忽=④细T+6,
假设当九=卜时,Qk=(*WT+6,
3
当7i=/c+l时‘/+1=](四—6)3+6=/GY+6=GJ+6'Q/c+i>5'
综上飞=(承产、】)+6(心2)
••3X-12。522),....=②婀-E+6e⑸7],
•・,x6(6,8)时f(6<0,an+1<an,{an}为递减数列,
假设存在常数M>6,使得册>M恒成立,
记N=log321ogi(M-6)+1,取zn=[N]+1,其中N-1<[N]<N,且[N]6Z
4
mW
...3>3=21ogi(M-6)+l;-I(3-—1)>logi(M-6),即(铲口)+6<M
an<M,故斯〉M不恒成立,C错误;
i27
D、,**a]—9,a2-6=7Q]—6>=-j—>3,*'•的》9,
假设当几=忆时,怒>9,
当72=k+1时,以+i-6=/(cik-6)3之.(9—6)3>3,/+1>9,
综上:an>9,
・・,xe(8,+8)时,/(%)>0,an+1>an,・•・{an}为递增数列,
.131292
田dn_|_^_un_1=4(Qn—6)+5—ccn—4cin—2ccn+26(zn—49,
1gq
令g(%)=4%3--x2+26x(%>9),贝!)〃(%)=-^x2—9%+26,
由二次函数知》(久)在(6,+8)单调递增,
%e[9,+8)时,h'M>h'(9)=,X92-9塞9+26=詈>0
1g
・•・h(%)在冗e[9,+8)上单调递增,・•・/i(x)>h(9)=4x93—2x92+26x9—49>0,
。九+1—c1n—1>0,即a九+1>a几+1,
假设存在常数M>0,使得册<M恒成立
取血=[M]+1,其中M-1<[M]<M,且[M]GZ
。九+1>a九+1,•••Q[M]+1>a[M]+1,a[M]>a[M]-l+1,…,。3>。2+1,。2>+1,
上式相加得。网+1>的+[M]=9+[M]>M,
・•.am=a[M]+1>M,与an<“恒成立矛盾,D错误。
故选:B
【分析】将。几+1—4(。几—6)3+6(?1—1,2,3,…)变形得到a九+i—c1n—4(册—6)?+6—un构造
函数/(%)=J(X_6)3+6-久,利用导数判断〃%)单调性进而得到数列的增减性,逐一分析选项。
11.【答案】1
X
【解析】【解答】••,/■(%)=4+log2x,y(l)=42+log21=2-1=1.
故答案为:1
【分析】将久=#弋入函数解析式计算求解/(1)o
12.【答案彩—底=1
【解析】【解答】由题意知c=2,e=^=V2,
解得a=V2,
又&=a2+b2
解得b=V2,
・••双曲线方程为妥胃=1。
故答案为:妥吟=1
【分析】由题意知c=2,e/3,又02=02+房,进而写出双曲线方程。
13.【答案】字;
【解析】【解答】取a=2TT+A竽,夕=半满足a,£为第一象限角,且a>/?,但tana=1<
tan。=6,
・•・能说明p为假命题一组a,6的值为a=孚,夕=也
4D
故答案为:竽;5
【分析】举反例即可.
14.【答案】48;384
【解析】【解答】由题意知an>0,设后7项公比为q>0
•••后7项成等比数列,
二公比q==4俘=V16=2,
7a5
—TH_%_12_2
,首项。3="2="47=3,
q
即=。3,q4=3X16=48,
^^后壬口弟,,,_a-aq_3-192x2_
・,•后7项和为。3+。4+。5+。6+。7+。8+。9=-31二.9~=--Y-2--=3Q8Q11
••・前3项成等差数列,
二前3项成和为的+a2+a3='0I:%)=g,
二数列{时}所有项的和为6+381-a3=387-3=384.
故答案为:48;384
【分析】通过等比中项依次求出。7,。3,在利用成等差数列,等比数列求和公式求出数列{的J所有项
的和。
15.【答案】②③
【解析】【解答】Va>0,:当x<-a时,/(久)=久+2,图像是一条取不到右端点的单调递增的射
线;
当—aW久Wa时,/(%)=y/a2-x2,图像是在久轴上方的圆心为(0,0),半径为a的半圆;
当x>a时,f(x)=—6—l,图像是一条取不到左端点的单调递减的曲线;
对于①,取a=:,/(%)的图像如下,
当KC(a—l,0)时,即无e(—0),f(x)单调递增,①错误:
对于②,当。之1时,有当久<一。时,/(x)=x+2<-a+2<l<a;
当—a<x<a时,/(%)=7a2-/取得最大值为
当%>。时,f(%)——y[x—1<——1V—2<a
综上:/(%)取得最大值Q,②正确;
对于③,由图知,
当%1=a,%2>a趋于a时,|MN|的距离最小,/(%1)=0,/(%2)=-,石一1其中%2>。且接近于。,
③正确;
\MN\>/(%1)—/(x2)=V^2+1>迎+1>1,
对于④,取。=春/(x)的图像如下,
由图知,|PQ|取得最小值为原点到/(%)=%+2,%<-卷的距离减去圆的半径。且点P在/(%)=%+
2,%V一考上,点Q在/⑺=J股—%;,—%>
・・,直线/(%)=%+2的斜率为1,・,・直线OP的方程为丫=—%,联立y=『J7,解得p(-i,1),・・・
P(—l,1)在fO)=x+2,久〈一卷上,|PQ|可以取得最小值,此时口="CO,|],④错误。
故答案为:②③
【分析】画出/(%)图形逐一分析个结论。①取a=5根据图象即可判断;②分x<-a、-a<%<
a、x>a三段函数分析判断即可;③根据图象即可判断;④取a=皆根据图象即可判断.
16.【答案】(1)因为PAJ■平面ABC,BCu平面ABC,
所以PA1BC,同理PAIZB,
所以APAB为直角三角形,
又因为PB=y/PA2+AB2=迎,BC=1,PC=V3,
所以PB2+BC2=则APBC为直角三角形,故BC1PB,
又因为BC1PA,PACtPBP,
所以BC1平面P4B.
(2)由(1)BC_L平面PAB,又力Bu平面PAB,贝!JBC_LAB,
以4为原点,4B为%轴,过4且与BC平行的直线为y轴,4P为z轴,建立空间直角坐标系,如图,
则4(0,0,0),P(0,0,1),C(l,1,0),B(l,0,0),
所以屁=(0,0,1),AC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,-1),
设平面PAC的法向量为记=(久1,K,zi),贝讣小,磐=°,即[zi—0,
1
^m-AC^O(x1+y1=0,
令%1=1,贝lj%=-1,所以隹=(1,-1,0),
设平面PBC的法向量为元=(肛,当,Z2),则卜,些=°,即(」2一:
2x-z
In-PC=0{2+y22=o
令%2=1,则Z2=1,所以元=(1,0,1),
所以8S限元>=品=最反4
又因为二面角力—PC—B为锐二面角,
所以二面角4-PC-B的大小为半
【解析】【分析】(1)通过证明BC1PA,BC1PB来证明BC,平面PAB;
(2)建立空间直角坐标系利用空间向量求解二面角A-PC-B的大小.
17.【答案】(1)因为/(%)=sinQrcosR+cosa%sinR,co>0,\(p\<
所以/(。)=sin(3•0)cos(p+cos®•0)sin(p=sin(p=—第,
因为|?|<所以9=~5.
(2)因为/(%)=singxcosR+cosaxsinR,>0,\(p\<
所以,(%)=sin(s+◎),3>0,\<p\<去所以f。)的最大值为1,最小值为-1.
若选条件①:因为"久)=sin(3%+R)的最大值为1,最小值为-1,所以门5)=鱼无解,故条件①不能
使函数/(久)存在;
若选条件②:因为人久)在[-酊第上单调递增,且/育)=1,f(-5)=-1
所以;二竽一(一,)=兀,所以丁=2兀,3=竿=1,
所以/(%)=sin(x+cp),
又因为f(一当=—L所以sin(T+R)=—l,
■JTJT
所以一百+0=—2+2kn,kE.Z,
所以9=—1+2/CTT,kEZ,因为|夕|V]所以g=-专
所以3=(
1,p=O
若选条件③:因为久久)在[-,/上单调递增,在[-M-勺上单调递减,
所以"X)在X=+处取得最小值一1,即f(T)=—1.
以下与条件②相同.
【解析】【分析】(1)代入"0)=—孚又切/求解w的值;
(2)若选择条件①不符合题意;
若选择条件②:由〃无)在区间1T,争上单调递增,〃给=i,/(—$=—1知心学一(一刍=兀进
而求出3再代入解析式由/(T)=一1和|勿<*求少的值;
若选择条件③由开为在区间[-引争上单调递增,“第=1,/(%)在区间[-会-刍上单调递减知
/(—$=—1,.q=啰一(一刍=兀进而求出3再代入解析式由/(—分=—1和切〈拜0的值。
18.【答案】(1)根据表格数据可以看出,40天里,有16个+,也就是有16天是上涨的,
根据古典概型的计算公式,农产品价格上涨的概率为:招=04
(2)在这40天里,有16天上涨,14天下跌,10天不变,也就是上涨,下跌,不变的概率分别是0.4,
0.35,0.25,于是未来任取4天,2天上涨,1天下跌,1天不变的概率是C:x0.4?义蝎x0.35x0.25=
0.168
(3)由于第40天处于上涨状态,从前39次的15次上涨进行分析,上涨后下一次仍上涨的有4次,不变的
有9次,下跌的有2次,
因此估计第41天不变的概率最大.
【解析】【分析】(1)计算表格+的个数,根据古典概型求“上涨”的概率;
(2)分别计算上涨,下跌,不变的概率,再计算4天中2天“上涨”、1天“下跌”、:I天“不变”的概率;
(3)通过分析表格中前一次上涨,后一次发生的各种情况进行估计第41天的情况。
19.【答案】(1)依题意,得e=£=噂,贝〃=哮。,
a33
又4C分别为椭圆上下顶点,|4C|=4,所以2b=4,即b=2,
所以M—c2=ft2=4,即小—^a2=^a2=4,则M=9,
所以椭圆E的方程为普+^=1.
94
(2)因为椭圆E的方程为桨+年=1,所以4(0,2),<7(0,-2),B(—3,0),D(3,0),
y4
77
因为P为第一象限E上的动点,设P(m,n)(0<m<3,0<n<2),则等+(=i,
易得k:BC==—,‘则直线BC的方程为y=——2,
心。=四=寻'则直线20的方程为了=占(久一3),
3(37i—2?n+6)
联立《3n+2m—6即M(3(3几—2zn+6)—12九
—12n'(3n+2m—6'3n+2m
'-3n+2m—6
而演4=痣=展,则直线24的方程为y=*x+2,
令y=-2,则一2=生工久+2,解得%=二^孑,即N(二-2),
mn—2vn—27
又唾+《=1,则巾2=9—竽,8m2=72-18n2,
_12?2
诉I、J”_3葭+2--6+2________(一6九+4771—12)(八一2)______
加"MN-3(3九一2772+6)_-4上一(9n—6m+18)(n—2)+4m(3n+2m—6)
3n+2m—6n—2
_—6n24-4mn—8m4-24_—6n2+4mn—8m+24
9n2+8m24-6mn—12m—369n24-72-18n24-6mn—12m—36
_—6n2+4mn—8m+24_2(-3n2+2mn—4m+12)_2
—9n2+6mn-12m+363(—3n2+2mn—4m+12)3'
又七口=m即々MN=kcD,
显然,MN与。。不重合,所以MN〃CD.
【解析】【分析】⑴由题意知e=£=卓,2b=4,结合a2=必+©2,求解椭圆方程;
a3
(2)设P(ni,n)(0<m<3,0<n<2),由题意求出直线BC,PD,PA的方程,联立求出点M,N
坐标,利用kMN=kcD证明MN//CD.
20.【答案】(1)因为f(%)=久一%,xERy所以/(x)=1—(3久2+a久3)e0x+",
因为"%)在(1,r(I))处的切线方程为y=-x+l,
所以/'(1)=-1+1=0,/(1)=-1,
1-I3xea+b=0,解得打;;,
1-(3+a)ea+b=-1
所以a=—1,b=1.
(2)由(1)得g(%)=/(%)=1-(3——%3)?-%+1(%eR),
则/(%)=—%(x2—6%+6)e-x+1,
令%2—6%+6=0,解得%二3±遮,不妨设%i=3—V5,%2=3+国,则
易知?一%+1>。恒成立,
所以令g'(%)<0,解得0<%V汽1或%>外;令g'(%)>0,解得%<0或%1<%<亚;
所以g(%)在(0,%力,(x2,+oo)上单调递减,在(—8,0),(方,%2)上单调递增,
即gQ)的单调递减区间为(0,3-遮)和(3+遮,+oo),单调递增区间为(—8,0)和(3-百,3+V3).
(3)由(1)得/(%)=%-%3?一汽+1。eR),/(%)=1-(3x2-%3)e-x+1,
由(2)知/(%)在(0,%1),(%2,+8)上单调递减,在(一8,0),(%1,]2)上单调递增,
当x<0时,/(-I)=l-4e2<0-/(0)=1>0,Hp/(-i)/(0)<0
所以/'(%)在(―8,0)上存在唯一零点,不妨设为犯,则—1<久3<。,
此时,当%<%3时,/(%)<0-则/(X)单调递减;当久3<久<0时,/(%)>0,则/(%)单调递增;
所以"%)在(-8,0)上有一个极小值点;
当xC(0,久力时,/(%)在(0,%]_)上单调递减,
则,(久1)=/(3-V3)</(I)=1-2<0,故f'(O)f'(%i)<0,
所以/(%)在(0,巧)上存在唯一零点,不妨设为%4,贝
此时,当0<%<久4时,/'(%)>0,则/(%)单调递增;当%4<久<久1时,/(%)<0-则/(久)单调递减;
所以久久)在(0,勺)上有一个极大值点;
当XC(%1,久2)时,/(久)在(K1,久2)上单调递增,
则八久2)=/(3+V3)>/(3)=1>0,故/(%1)/(%2)<0-
所以f'(x)在(%「%2)上存在唯一零点,不妨设为%5,则无1<%5<%2,
此时,当久1<X<久5时,/(%)<0,则/(%)单调递减;当%5<X<久2时,/(%)<0,则/(久)单调递增;
所以f(久)在(久1,久2)上有一个极小值点;
32
当%>x2=3+V3>3时,3/-%=%(3-%)<0,
所以/(%)=1—(3%2—%3)e-x+1>0,则/(%)单调递增,
所以/'(%)在(%2,+8)上无极值点;
综上:/(久)在(-8,0)和(右,次)上各有一个极小值点,在(0,町)上有一个极大值点,共有3个极值点.
【解析】【分析】(1)对〃支)求导,利用〃1)=0,f(l)=-1,求解a,b的值;
(2)对g(x)求导,求出g'(x)<0和g'(x)>0区间得到。(久)的单调区间;
(3)通过求解/(X)的变号零点个数来求f(x)的极值点个数.
21.【答案】(1)由题意可知:Ao=0,&=2,A2=3,4=6,Bo=0,=1,B2=4,B3=7,
当k=0时,则Bo=4()=O,Bt>Ao,i=1,2,3,故=0;
当k=l时,贝BiBi>A1,i=2,3,故n=1;
当k=2时,则i=0,1,Bt>A2,i=2,3,故b=1;
当k=3时,则BiW4,i=0,1,2,B3>^3,故句=2;
综上所述:r0=0,n=1,厂2=1,厂3=2.
(2)由题意可知:rn<m,且丁九eN,
因为册之1,bn>1,贝!1412al=1,Bn>b1=1,当且仅当九二1时,等号成立,
所以丁0=0,n=1,
又因为2及<7Vl+笠+1,则G+1一口>G一々—1,即丁加一丁血―12An—1一岫n—2之…之丁1一厂0=1,
可得丁i+1-G之L
反证:假设满足6+1-%>1的最小正整数为1<;<m-l,
当时,则『+1一3之2;当时,则『+1-3=1,
则〜=(丁根-〜―1)+(Jm-1-〜―2)+…+(丁1-厂)0+厂0之2(771-J)+J=2m-j,
又因为1<j<m—1,贝卜山>2m—j>2m-(m-1)=m+1>m,
假设不成立,故丁九+i-厂几=1,
即数列{%}是以首项为1,公差为1的等差数列,所以丁九=0+1X九=?1,nEN.
(3)(i)若4n23相,构建S兀uH兀—B加,1<n<m,由题意可得:Sn>0,且Sn为整数,
反证,假设存在正整数K,使得SK^TH,
K
则4一By2如AK-BTK+1<0,可得兀+1=%+1-BrK=(力长一BQ-(A-BrK+1)>m,
这与力叫+16{1,2,…,m}相矛盾,故对任意n£N,均有S九〈租―1.
①若存在正整数N,使得SN=4N—3"=0,即
可取厂=p=0,q=N,s=rNf使得4P+Bs=+Br;
②若不存在正整数N,使得SN=0,
因为e{1,2m•••,m—1],且14?i<m,
所以必存在1<X<丫<TH,使得Sx=Sy,
即Ax一B「x=AY—Bry,可得"x+Bry=AY+Brx,
可取p=X,s=rr,q=Y,r=rx9+Bs=Aq+Br;
(ii)若4n<8卅构建S九二吕⑸一/",1<n<m,由题意可得:Sn<0,且S九为整数,
反证,假设存在正整数K,使得SK<-租,
则斗人—力K——根,B^K+I—力K〉0,可得力火+1=%K+I—By=(%K+I-AK)—(By-AK)>加,
这与b^+iE{1,2,…,TH}相矛盾,故对任意ri〈TH,nEN,均有S几之1—m.
①若存在正整数N,使得SN=B。—力N=。,即力'
可取厂=p=0,q=N,s=rN使得力p+Bs=Aq+Br;
②若不存在正整数N,使得SN=O,
因为36{—1,-2,…,1-m},且14714根,
所以必存在1<X<Y<m,使得Sx=Sy,
即3以~AX=Bry—Ay,可得“X+Bry=Ay+Brx,
可取p=X,s=rY9q=Y,r=rx9使得力p+Bs=Aq+Br;
综上所述:存在0<p<q<m,0<r<s<m使得力p+Bs=Aq+Br.
【解析】【分析】(1)先求A=0,A1=2,A2=3,A3=6,Bo=0,a=1,B2=4,B3=7,再利用
rk=max{t\Bi<Ak,fG{0,1,2,…,m])分别求r。,r19r2,门的值;
(2)由丁根-rm_i>rm_i-rm_2>>r1-r0=1得到—N1,再利用反证法证明丁叶1一r九=1,结
合等差数列求rn;
(3)讨论Bm大小,利用反证法分析证明存在p,q,s,tE{0,1,2,…,m},满足p>q,s>3
使得力p+3亡=+Bs.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分:150分
客观题(占比)45.0(30.0%)
分值分布
主观题(占比)105.0(70.0%)
客观题(占比)11(52.4%)
题量分布
主观题(占比)10(47.6%)
2、试卷题量分布分析
大题题型题目量(占比)分值(占比)
解答题:本题共6小
题,共85分.解答
6(28.6%)85.0(56.7%)
应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
填空题:本题共5小
题,每小题5分,共5(23.8%)25.0(16.7%)
25分.
选择题:本题共10
小题,每小题4分,
共40分.在每小题列
10(47.6%)40.0(26.7%)
出的四个选项中,选
出符合题目要求的一
项.
3、试卷难度结构分析
序号难易度占比
1普通(52.4%)
2容易
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