2023-2024学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学八年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学八年级

（上）入学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选岀符合题目的一项）

1.下面四个图形中，41与42是对顶角的图形的个数是（）

2.下列命题是真命题的是（）

A.相等的角是对顶角B.互相垂直的直线一定相交

C.内错角相等D.邻补角相等

3.下列各数中，无理数的个数有（）

-0.101001,7^7,-2,<7-AT3,0,-/^6.

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.点P的坐标满足xy>0,x+y<0,则点「在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.用含盐15%与含盐8%的盐水配含盐10%的盐水300千克，设需含盐15%的盐水x千克，含

盐8%盐水y千克，则所列方程组为()

产+y=300pc+y=300

115%%+8%y=300x10%[15%x-8%y=300x10%

产+y=300rx+y=300

C(15%y+8%x=300x10%(15%y-8%x=300x10%

6.如图，把△4BC沿EF翻折，叠合后的图形如图，若乙4=60。,

41=95。，则42的度数是（）

A.15°

B.20°

C.25°

D.35°

7.如图，AC平分4乙B+乙。=180°,CE14B于点E,AD=6cm,D

AB=10cm,则BE的长度为（）

AE

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

8.如图，在△ABC中，ZC=90°,力。平分NBAC,DE丄AB于E,

贝|J下歹I」结论：①DE=CD；②4。平分NCOE；③乙BAC=ABDE；

@BE+AC=AB,其中正确的是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.如图，已知C4=CD,Z.1=Z2,如果只添加一个条件（不加辅助A

线）使AABC三△OEC,则添加的条件不能为（）/7^-ZD

A.AB=DEE12/

C.BC=EC

D.乙4=乙D

10.如图，在平面直角坐标系中，己知点4（0,4）,8（2,0）,在平面内有一点C（不与点B重合），

使得厶厶。。与AAOB全等，这样的点。有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.对于方程：x+3y=4,用含y的代数式表示x为.

12.已知样本：8,6,10,13,10,8,7,10,11,12,10,8,9,11,9,12,10,12,

11,9.在列频数分布表时，如果取组距为2,那么应分成组，9.5〜11.5这一组的频率

是.

13.已知不等式组的解集为一1<%<1,则(a+l)(b-l)的值是

14.某中学七年级学生外出进行社会实践活动，如果每辆车坐45人，那么有15个学生没车坐;

如果每辆车坐60人，那么可以空出一辆车.则共有辆车，个学生.

15.若关于x的不等式组产：2的解集是％>2,则6的取值范围是.

16.已知关于％的方程2m-3%=-3的解是非负数，则m的取值范围是.

17.一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是.

18.如图,点&(0,0),&(1,2),4(2,0)，&(3,—2),1(4,0).......根据这个规律,探究可得

点厶2023的坐标是-

三、计算题(本大题共1小题，共8.0分)

19.如图，直线4B、CD相交于。，。。平分4AOF,OE1CD于点0,41=50°,求厶COB、乙BOF

的度数.

四、解答题(本大题共6小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

20.(本小题6.0分)

计算：「^+巻/一丿(一3尸+|<3-2|.

21.(本小题10.0分)

[2x-3y=-50

(1)解方程组:(3x+2y=12@：

(l-2(x-l)<5©

(2)解不等式组3x-2；并把解集在数轴上表示出来.

LL

一4一3-2—101234

22.(本小题8.0分)

已知：71(0,1),B(2,0),C(4,3)

(1)在坐标系中描出各点，画出△4BC.

(2)求△ABC的面积;

(3)设点P在坐标轴上，且AABP与AABC的面积相等，求点P的坐标.

-O-

C

A

4

Q

o

n

/

4

1

r

i)一1-：01<L€

d

I

C

■o

FA

V

23.(本小题10.0分)

如图，四边形4BCD中，BC=CD,AC=DE,ABHCD,NB=zDCE=90°,4c与。E相交

于点F.

(1)求证：4ABC三AECD：

(2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由.

,0

24.(本小题12.0分)

定义：关于久，y的二元一次方程ax+by=c(其中a丰b丰c)中的常数项c与未知数系数a,b之

一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：。%+/^=。的交换系数方程为4+6、=。

或ax+cy=b.

(1)方程3x+2y=4与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为；

(2)已知关于x,y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0,且ax+by=c与它

的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x,y的二元一次方程mx+兀y=P的一个

解，求代数式(m+n)m—p(n+p)+2023的值;

(3)已知整数m,n,t满足条件t<n<8m,并且(10m-t)x+2023y=m+t是关于x,y的

二元一次方程(1+元)芯+2023丫=2根+2的“交换系数方程”，求加的值.

25.(本小题12.0分)

【问题初探】

△4BC和△DBE是两个都含有45。角的大小不同的直角三角板.

(1)当两个三角板如图(1)所示的位置摆放时，。、B,C在同一直线上，连接AD、CE,请证明：

AD=CE.

【类比探究】

(2)当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图(2)所示的位置，判断4。

与CE的数量关系和位置关系，并说明理由.

【拓展延伸】

如图(3),在四边形ABC。中，/BAO=90°,AB=40,BC=[CD,连接力C,BD,乙4CD=45。,

力到直线CD的距离为7,请求出△BCD的面积.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：根据对顶角的定义可知：只有C图中的是对顶角，其它都不是.

故选:B.

根据对顶角的定义作出判断即可.

本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样

的两个角叫做对顶角，掌握对顶角的定义是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：4、相等的角不一定是对顶角，是假命题；

8、互相垂直的直线一定相交，是真命题；

C、内错角不一定相等，是假命题；

。、邻补角互补，是假命题；

故选B.

分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.

此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是

要熟悉课本中的性质定理.

3.【答案】C

【解析】解：716=—4）

故无理数有-p<2-/3）共3个.

故选：C.

根据无理数的定义判断即可.

本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有:①兀类,如2乃；

②开方开不尽的数，如，石;③具有特殊结构的数，如0.1010010001...（两个1之间依次增加II个0）,

0.2121121112...（两个2之间依次增加1个1）.

4.【答案】C

【解析】解：：xy>0，x+y<0,

x<0,y<0,

.••点P在第三象限.

故选：c.

由已知先判断出x<0,y<0,即可判断出点P在第三象限.

本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是:

第一象限(+,+)；第二象限(一,+)；第三象限(一,一)；第四象限(+,-).

5.【答案】A

【解析】解：设需含盐15%的盐水x千克，含盐8%盐水y千克，由题意得：

(x+y=300

(15%x+8%y=300X10%,

故选：A.

根据题意可得等量关系：①含盐15%的盐水+含盐8%盐水=300千克；②含盐15%的盐水x千克

的含盐量+含盐8%盐水y千克的含盐量=盐10%的盐水300千克的含盐量，根据等量关系列出方程

组即可.

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是找出题目中的等量关系列岀方程.

6.【答案】C

【解析】解：・••△ABC沿EF翻折，

:.厶BEF=LB'EF,厶CFE=4'FE,

：.180°-/.AEF=41+/.AEF,180°-£.AFE=42+£.AFE,

•••Z1=95°,

44EF=1(180°-95°)=42.5°,

V乙4+乙4EF+Z.AFE=180°,

・•.Z.AFE=180°-60°-42.5°=77.5°,

1800-77.5°=Z2+77.5°,

・•・Z2=25°,

故选：C.

根据折叠的性质，再根据邻补角的定义运用合理的推理，结合三角形内角和定理即可求出答案.

本题考查了折叠的性质，解题关键在于根据轴对称变化关系找到对应边，对应角.

7.【答案】D

【解析】解：过C作CF丄40,交4。的延长线于尸，逐、、

•••CFLAD,CELAB,AC平分NBA。，/

CE=CF,"=厶CEB=90°,AEB

VZ.ADC+NB=180°,UDC+乙CDF=180°,

厶FDC=NB,

在厶DFC和ABEC中，

Z.CDF=4B

上CFD=乙CEB=90°,

CF=CE

：.^DFC^^BEC(AAS),

•••DF—BE,

在RtAFAC^URtAEEC中,

(AC=AC

ICF=CE'

Rt△FACmRt△EAC(HL),

.-.AF=AE,

"AD-6cm,AB=10cm,

AB-AD=(AE+BE)-(AF-DF)=AE+BE-AF+DF=2BE=10-6=4(cm),

解得：BE=2cm,

故选：D.

过C作CF丄AD,交4。的延长线于尸，根据全等三角形的判定推出ADFC三△BEC,根据全等三角

形的性质得岀DF=BE,根据全等三角形的判定得出RtA/MC三Rt^EAC,根据全等三角形的性

质得出4尸=4E,求出4B-AD=2BE,再代入求出答案即可.

本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，能熟记角平分线的性质是解此题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：①•.•NC=90。，4D平分NBAC,DELAB,

•••DE=CD；

所以此选项结论正确；

②;/ID平分NBAC,AD=AD,^ACD=^AED=90°,

二易证△ACD^hAED^AAS),

•••Z.ADC=/.ADE,

•••AC平分“DE,

所以此选项结论正确；

③•••AACD=AAED=90°,

・•・乙CDE+^BAC=360°-90°-90°=180°,

vZ-BDE+Z.CDE=180°,

・•・Z-BAC=厶BDE,

所以此选项结论正确；

（4）•••△ACD三△AED,

:.AC=AE,

vAB=AE+BE,

:.BE+AC=AB,

所以此选项结论正确；

本题正确的结论有4个，故选。.

①根据角平分线的性质得岀结论：DE=CD；

②证明A4C。三△4EO,得AD平分厶CDE；

③由四边形的内角和为360。得NCDE+NB4C=180°,再由平角的定义可得结论是正确的；

④由△ACD三△AED得AC=4E,再由4B=4E+BE,得出结论是正确的.

本题考查了全等三角形性质和判定，同时运用角平分线的性质得出两条垂线段相等；本题难度不

大，关键是根据HL证明两直角三角形全等，根据等量代换得出线段的和，并结合四边形的内角和

与平角的定义得出角的关系.

9【答案】A

【解析】解：丫Z1=42,

zl+Z.ACE=Z2+Z.ACE,即44cB=NOCE.

又CA=CD,

.•・可以添加BC=EC,此时满足SAS；

添加条件44=ND,此时满足厶SA；

添加条件NB=4E,此时满足A4S；

添加条件4B=DE,不能证明厶ABC"DEC.

故选：A.

根据图形可知证明△ABC三△DEC已经具备了一个角和一对相等边，因此可以利用AS4、SAS.A4s

证明两三角形全等.

本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法.

10.【答案】C

【解析】解：•••4(0,4),8(2,0),

.-.AB=2c，且。B1OA,

.••当△力。。与厶AOB全等时，则有△AOC^^。48或厶

AOC=^AOB,

当厶人。。三△OAB时，贝IJ有。。==2"，

•••C点坐标为(2,4)或(一2,4)或(2,-4)(舍去)；

当AAOC三AAOB时，则有AC=4B=2C，

二C点坐标为(-2,0)；

综上可知C点的坐标为(-2,0)或(2,4)或(-2,4).

故选：C.

由题意可知OA为两三角形的公共边，由条件可知厶厶。。三ZkOAB或AAOC三A/lOB,再由全等三角

形的性质可求得OC=48或4c=AB,可求得C点坐标.

本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意分类讨论.

11.【答案】x=8-6y

【解析】解：方程：x+3y=4,

解得：x=2(4-3y)=8-6y.

故答案为：x=8-6y

将y看做已知数求岀x即可.

此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看做已知数求出x.

12.【答案】40.4

【解析】解：对于样本的数据，最大值为13,最小值为6,即极差是7,则组距=(13-6)+2=3.5,

即应分成4组，

观察样本，知共有8个样本在9.5〜11.5这一组中，故其频率为0.4.

根据组距、分组数的确定方法：组距=(最大值-最小值)+组数，进行计算，根据频率=频数十总

数，进行计算.

本题考查组距，分组数的确定方法：组距=(最大值-最小值)+组数，频率的计算方法：频率=频

数+总数.

13.【答案】-6

-/Q+1

【解析】解:由｛£式；得%<—

x>3+2b

v-1<x<1,

等=1,3+2b=-1

解得：a=1,b=-2

(a+1)(6-1)=(1+1)(-2-1)=-6,

故答案为：一6.

解出不等式组的解集，根据不等式组的解集为-1<x<1,可以求出a、的值，从而求得(a+1)(6-

1)的值.

本题考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式组的方法是解题的关键.

14.【答案】5240

【解析】解：设车有久辆，则

45x4-15=60(x-1),

解得x=5,

把x=5代入60(x-1)=240.

答：共有5辆汽车，240个学生.

故答案为：5,240.

设有x辆车，根据如果每辆车坐45人，那么有15个学生没车坐；如果每辆车坐60人，那么可以空

出一辆车，可列岀方程，进而求出即可.

此题主要考查了一元一次方程的应用，考查学生理解题意的能力，设出汽车数，以人数作为等量

关系列方程求解是解决问题的关键.

15.【答案】m<2

【解析】解:因为不等式组｛:、的解集鼠>2,根据同大取较大原则可知：…

当m=2时，不等式组产>2的解集也是x>2,

<%>m

所以m<2.

故答案为：m<2.

根据不等式组的解集，可判断m与2的大小.

主要考查了不等式的运用.根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解.

16.【答案】m>—|

【解析】解：2m-3%=-3,

解得：%=第，

由方程的解是非负数，得到誓20,

解得：m>-|,

故答案为：tn>—

解方程求得方程的解，由方程的解是非负数，确定出m的范围即可.

此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

17.【答案】10

【解析】解：设这个多边形的边数为小则该多边形的内角和为5-2)x180。，

依题意得：(n-2)x180°=360°x4,

解得：n=10,

这个多边形的边数是10.

故答案为：10.

设这个多边形的边数为几，根据内角和公式以及多边形的外角和为360。即可列出关于n的一元一次

方程，解方程即可得出结论.

本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是根据多边形内角和公式得出方程(n-2)x180°=

360°X4.

18.【答案】(2023,-2)

【解析】解：观察图形可知，点4(1,2),4(2,0),4(3,—2),4(4,0)...的横坐标依次是1、2、3、

4、・・・、n,

纵坐标依次是2、0、-2、0、2、0、一2、…，

四个一循环，2023+4=505...3,

故点4023坐标是(2023,-2).

故答案为：(2023,-2).

由图形得出点的横坐标依次是1、2、3、4、...、n,纵坐标依次是2、0、-2、0、2、0、一2、…，

四个一循环，继而求得答案.

本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得

出规律.

19.【答案】解：「0E丄CD于点。，41=50。，

Z.AOD=90°-zl=40°,

•••^BOC^AAOD^^,

•••乙BOC=AAOD=40°.

•••。。平分"OF,

乙DOF=/.AOD=40°,

乙BOF=180°-厶BOC-乙DOF

=180°-40°-40°=100°.

【解析】此题利用余角和对顶角的性质，即可求出4COB的度数，利用角平分线及补角的性质又可

求岀/BOF的度数.

此题主要考查了余角，补角及角平分线的定义.

20.【答案】解：(-3)2+|O-2|

=4-4—3+2—V3

=­y/-3-1-

【解析】直接利用立方根以及绝对值、二次根式的性质分别化简得出答案.

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

21.【答案】解：(1)①X2+②X3,得：13x=26,

解得x=2,

将x=2代入②，得：6+2y=12,

解得y=3,

・••方程组的解为Z3;

(2)解不等式①，得：x>-l,

解不等式②，得：x<3,

则不等式组的解集为一1<x<3,

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【解析】(1)利用加减消元法求解即可；

(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小

找不到确定不等式组的解集.

本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

22.【答案】解：(1)如图所示：

(2)过点C向x、y轴作垂线，垂足为E.

二四边形DOEC的面积=3x4=12,△BC。的面积=gx2x3=3,4ACE的面积=；x2x4=4,

△4。8的面积=2*2*1=1.

4BC的面积=四边形DOEC的面积一△4CE的面积一△BCD的面积一△4。8的面积=12-3-

4—1=4.

(3)当点p在x轴上时，A4BP的面积=^A0=4,即：jx1x=4,解得：BP=8,

所点P的坐标为(10,0)或(-6,0)；

当点P在y轴上时，△48。的面积=^*8。*/1/5=4,即：x2xAP=4,解得：AP=4.

所以点P的坐标为(0,5)或(0,—3).

所以点P的坐标为(0,5)或(0,—3)或(10,0)或(—6,0).

【解析】(1)确定出点4、B、C的位置，连接AC、CB、48即可；

(2)过点C向x、y轴作垂线，垂足为。、E,ZiaBC的面积=四边形DOEC的面积—△ACE的面积—△

BCD的面积一△40B的面积；

(3)当点「在刀轴上时，由A/IBP的面积=4,求得：BP=8,故此点P的坐标为(10,0)或(一6,0)；当

点P在y轴上时，AABP的面积=4,解得：4P=4.所以点P的坐标为(0,5)或(0,-3).

本题主要考查的是点的坐标与图形的性质，明确aABC的面积=四边形DOEC的面积-△相£的面

积一△BCD的面积一△/。8的面积是解题的关键.

23.【答案】(1)证明：在RtZkABC和RtZkECD中，

(AC=DE

kAB=EC'

・・・Rt△ABC三Rt△ECD(HL),

(2)解：AC丄DE.理由如下:

ABC=/iECD,

:.Z-BCA=Z-CDE,

v乙B=Z-DCE—90°,

:.乙BCA+Z.ACD=90°,

・•.厶CDE+Z.ACD=90°,

・•・Z-DFC=180°-QCDE+Z-ACD}=90°,

・•・AC1DE.

【解析】(1)根据HL即可证明△ABC受△ECD.

(2)根据△ABCWAEO)得到乙BG4=4CDE,结合NB=々DOE=90。得至Ij/DFC=90。，即可得结

论.

本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：SSS、SAS.AS4、44S、HL等,熟练掌

握全等三角形的判定定理是解题的关键.

24•【答案】仁『或修：」

【解析】解：⑴•.•方程3x+2y=4的“交换系数方程”为4久+2y=3或3x+4y=2,

••・方程3x+2y=4与它的“交换系数方程”组成的方程组为①修卷二;或②朦搐二:•

•••方程组①的解为{；［71,方程组②的解为旨Z：］.

故答案为:{冷或［Nr

(2)方程ax+by=c与它的“交换系数方程”组成的方程组为①農或②簷:黑：

•••方程组①的解为仁二倉当a+b+c=0时，方程组①的解为(JZ二；；

_b+c

{X;1.当a+6+c=0时，方程组②的解(为二二；

，方程a%+by=c与它的“交换系数方程”组成的方程组解为;二;.

将｛；__卜弋入?n%+ny=p,得一(m+n)=p.

:.(m+n)m—p(n+p)+2023=-pm—pn-p24-2023=-p(m4-n)—p2+2023=(-p)2—

p24-2023=2023.

(3)(1+n)x+2023y=2rn+2的“交换系数方程”为(2m+2)x+2023y=1+n或(1+n)x+

(2m+2)y=2023.

v(10m—t)x+2023y=m+t是关于％,y的二元一次方程(1+n)x+2023y=2m+2的“交换

系数方程”，

・•.(10m-t)x+2023y=m+。各系数与(2zn+2)x+2023y=1+九各系数对应相等，得

rlOm—t=2m+2不

tm4-1=1+n°'

(10m-t)x+2023y=m+t各系数与(1+n)x4-(2m4-2)y=2023各系数对应相等，得

10m—t=1+n

2023=2m+2②.

in+t=2023

t+2

m=—

9厶

(n=~8~

vt<n<8m,

t<竽<t+2,解得6<t<22(t为整数).

o

・♦・8<t+2<24,

，若??1=铮为整数，必须有t+2=16,止匕时TH=2.

o

t=14.

当”14时，„=等=卡=豐=甯=15.

TH,—2.

解方程组②得m=型尹=等(不是整数)，

•••方程组②的解不符合题意，需舍去.

综上，m=2.

(1)根据“交换系数方程”的定义，得到2个“交换系数方程”，原方程分别与2个“交换系数方程”

联立得到2个方程组，分别解这两个方程组即可；

(2)根据“交换系数方程”的定义，得到以+"=。的2个“交换系数方程”，分别与原方程