2023-2024学年吉林省长春市高二年级上册期末数学模拟试题1(含解析)

2023-2024学年吉林省长春市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.设函数f(x)=x2+x,则lim+3-阿=()

Ax->oAr

A.-6B.-3C.3D.6

【正确答案】c

根据瞬时变化率的求解方法求解即可.

【详解】解：根据导数的定义：

"*")一/(1)=lim(i)2g一2

x->0%XTO%

=lim'+3x=]jm/工+3)=3,

x-0X10''

故选：c

本题考查函数的瞬时变化率的求解问题，是基础题.

2.已知玛=C*,则,"等于()

A.1B.3C.1或3D.1或4

【正确答案】C

【分析】根据组合数的性质即可求解.

【详解】由C；=C『T可知:加=2〃?-1或者加+2〃?-1=8,解得:=1或加=3

故选：C

3.设｛。“｝是等比数列，且《+。2+%=1，%+%+为=2,则。6+%+。8=()

A.12B.24C.30D.32

【正确答案】D

【分析】根据已知条件求得4的值，再由4+%+4=(q+%+%)可求得结果.

【详解】设等比数列｛见｝的公比为4,则《+生+43=%(|+4+/)=1,

3

=axq+aAq-+atq=a｝q[\+q+q-^=q=2,

h5

因止匕，+a7+a8=+axq+a^=axq(x+q+q-^q>=32.

故选：D.

本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题.

4.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法

有（）

A.10种B.20种C.25种D.32种

【正确答案】D

【分析】该事件用分步乘法计数原理计数，结合每个同学有2种选择，即可得出结果

【详解】由题，每个同学有2种选择，故不同报名方式为25=32,

故选：D

5.若（6-/）"的展开式中第4项是常数项，则"的值为（）

A.14B.16C.18D.20

【正确答案】C

【分析】写出二项式展开式的通项，令人=3时x的指数位置等于0即可求解.

〃（1Y"〃6k

M展开式的通项为九尸C：X，（-1）'/=《（-1）*必/，

n18n18

令人二3可得『盘（_1）3/方为常数项，可得.1=0,可得〃=18,

故选：C.

6.y=-5•在（［,_2）处的切线方程是（）

x2

A.y=4xB.y=4x-4

C.y=4x+4D.y=2x-4

【正确答案】B

【分析】求导，利用导函数求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程整理即可.

【详解】由已知夕'=二，

X

则叫!=4,

2

所以切线方程为P+2=4（x-g）,

整理得V=4x-4

故选：B.

7.3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有排法（）种

A.120B.24C.48D.96

【正确答案】C

【分析】利用捆绑法可得答案.

【详解】将两名女生当成一个元素和3名男生全排列得A：=24种排法,

两名女生排序有A；=2种排法,

所以共有24x2=48种排法.

故选：C.

8.已知数列｛%｝满足%=—J,则%+鲁+暮+…+-^()

〃+1232020P20212

2020c201820192021

A.------B.------C.D.

2021201920202022

【正确答案】D

【分析】根据给定条件求出数列,再利用裂项相消法即可计算作答.

【详解】因见=含，则%许=7用，

所以

+…+盟+繇=*)+(5)+?%+(11

Q+幺+幺)

122322020~2021

(1112021

+

2021~2022-2022~2022

所以%+4尹••+翁+繇二卷

故选：D

9.关于排列组合数，下列结论错误的是（)

A.C；二C7B.C3=C；7+C：

_Am加

C.AiA；：D-A”=『

【正确答案】C

【分析】运用排列组合数公式展开化简，结合选项辨析即可.

n\n\

【详解】。"逅即，cr

=7\n—myw.\n-n7―\\=7—Ti—；，故A正确；

c：r'+c>n\n\

tnn\（〃-加+1）〃！伍+1）!

=71币—j+777T；―7~T~.；—LC〃+i,故B正确;

[n-m+ly.m!（n-m+lJim!Q?+l—〃？J〃？！

A；'=TJ，而mA：：；="；.（”?!,故c错误，D正确；

故选：C.

二、多选题

10.（多选）数列｛加｝为等差数列,S”为其前"项和,已知0=5,57=21,则（）

2

A.ai—\B."=­1

C.02+0/2=1。D.S/o=40

【正确答案】ACD

【分析】根据所给条件，代入等差数列的通项公式和求和公式，直接计算即可得解.

【详解】设数列｛a”｝的公差为的

则由己知得$7=吗㈤，

即21=12,解得幻=1.

2

7

又。7=。/+6%所以

10x910x99

所以与。=10。/+上上d=10+=40.

223

由｛“"｝为等差数列，知42+田2=2。7=10.

故选：ACD

11.下列说法正确的是（）

A.88x89x90xxlOO可表示为A盘

B.若把英文“hero”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有23种

C.10个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手45次

D.将5名医护人员安排到呼吸、感染、检验三个科室，要求每个科室至少有1人，共有150

种不同安排方法

【正确答案】BCD

【分析】对A,由排列数的定义判断；对B,可能出现的错误种树为A：-l,对C,10人两

两握手共C：0次，对D,先分组成3、1、1或2、2、1,再将组排列到科室去.

【详解】对A,A京=100x99xx89,A错；

对B,四个字母全排列共有A：=24种，可能出现的错误共有24-1=23种，B对；

对C,10人两两握手，共C；()=45次，C对；

对D,将5人按3、1、1分组，共有C；=10种分法，再分到科室有A；=6种分法；

C2c2

将5人按2、2、1分组，共有工/=15种分法，再分到科室有A；=6种分法.

故每个科室至少有1人共有10'6+15'6=150种安排方法，D对.

故选：BCD

12.设函数/'(A在R上可导，其导函数为/'(X),且函数y=(l-x)/'(x)的图像如图所示，则

下列结论中一定成立的是()

A.函数有极大值”2)B.函数/(x)有极大值八-2)

C.函数“X)有极小值/(-2)D.函数“X)有极小值/(2)

【正确答案】BD

【分析】根据函数N=(l-x)/'(x)的图像判断导数/(x)在各个区间上的符号，再根据极值的

定义即可求解.

【详解】由图可知，当x<-2时，J^>0,i-x>0,贝U/'(x)>0,

当时，y<0,i-x>o,则/'(x)<0,

当l<x<2时，y>0,l-x<0,则/'(x)<0,

当x>2时，^<0,1-%<0,贝!!/'(x)>0,

综上当x<-2时/'(x)>0,当-2<x<2时/'(x)<0,当x>2时/'(x)>0,

所以函数/(x)有极大值/(-2),有极小值/(2),

故选：BD

三、填空题

13.计算：C：。-C；xA；=.

【正确答案】0

【分析】根据排列数和组合数计算公式可得答案.

【详解】解：原式=乎等1-2字，（3x2x1）=210-210=0.

4x3x2xl3x2x1

故0.

14.已知数列｛叫的前〃项和为S“，且贝IJ当〃=,£有最大值.

【正确答案】5.

【分析】利用等差数列的求和公式，求得S“=-/+i（）〃，结合〃eN*和二次函数的性质,

即可求解.

【详解】由题意，数歹=可得S"="（%；%）="⑵）；2〃）=_/+10”,

因为〃wN*,所以当〃=5时，数列｛。“｝的前”项和为S”最大.

故答案为.5

15.设（X-2）"=%x"+4/3+0/2+婚+40,贝!]%+。2+“3+。4=_•

【正确答案】-15.

在原式中令x=0和x=l即可解得答案.

【详解】在+*中，

4

令x=0得：a0=2=16,

令x=l得：a4+a｝+a2+a,+a0=1,

所以对+a3+a2+q=1-g=-15.

故答案为.-15

求解与二项式定理有关的系数和问题时，要注意系数的正负规律，通过赋值法来求解，一般

地假设令x=l便可得到项的系数和，分别令x=l和x=-l,然后通过两式相加减便可得到x

的奇数次方项的系数和与偶次方项的系数和.

16.若点P是曲线y=x2-hu-l上任意一点，则点尸到直线y=x-3的最小距离为

【正确答案】V2

【分析】由已知，先在曲线上设出点。（x°,%）,然后写出以。（%,比）点为切点的曲线的切线

方程，根据题意，找到距离直线y=x-3最近的点，^]k=2x0--=\,从而求解出切点以及

X。

切线方程，最后计算两条平行线之间的距离即可.

【详解】由己知，设点。（X。,％））曲线卜=/-向-]上一点，则有为=年—1喊-1,

因为y=x2-lnx-l,所以y'=2x-L,所以y'k&=2xo-■-,

xxo

所以曲线y=x2-lnx-l在。（％,%）处的切线斜率为左=2%一,，

xo

则曲线y=X?-Inx-1在。（X。,为）处的切线方程为y-（%2-1叫T）=（2x°-；）（x-X。），即

y=（2x--）x-x2-lnx.

0x°00

要求得曲线上任意一点，到直线y=x-3的最小距离即找到曲线上距离直线最

近的点，即4=2%-'=1,解得%=1或%=（舍去），

X。2

此时，以点。（1,0）为切点，曲线的切线方程为：y=x-i,

此时，切点。（L0）为曲线上距离直线y=x-3最近的点，即点p与点。重合，

最小距离为直线y=x-3与直线y=x-l之间的距离，设最小距离为"，

所以d=广（-3）|=五

切以#+（7）2

故答案为.0

四、解答题

17.已知函数/（耳=（。-"/77111口若曲线夕=/河在点（1,.八1））处的切线与》轴平行,

且求的值.

【正确答案】a=-l,b=-l

【分析】求导，然后通过列方程组求解.

【详解】由已矢口/''(x)=2(a-b)x-l-(l+lnx)=2(a-6)x-lnx,

,/',(l)=2(a-6)-lnl=0

/'(l)=(a-ft)-1-In1=a

18.给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项

与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（注:若选择多

个条件，按第一个解答计分）

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中所有的有理项.

【正确答案】（1）4=5/和7；

54

（2）7；=x,7；=（x,7；=AX3

210

【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求"=5,从而可求二项式系数最大的项.

（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项.

【详解】（1）二项展开式的通项公式为：

乙=3,闺=需卜！=0,1,2,,n.

若选①，则由题得C：+C"C：=16,

・・・1+〃+"（”“=16,即30=0,

2

解得〃=5或〃=-6（舍去），n=5.

C：噌「小

若选②，则由题得一为7二一2—="1=4,.•.〃=5,

。吧&

展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为7；=C；（；jd=|x4,

(2)由(1)可得二项展开式的通项公式为：

"C；产佶)=<；)—/=0,1,2,,£

当5-1eZ即，•=0,2,4时得展开式中的有理项，

所以展开式中所有的有理项为：

z;=vJq；)2『cgJjLQ.

72)216

19.已知数列｛叫的前"项和E,满足S,=/+〃，数列｛1%〃,｝是公差为1的等差数列，4=1.

⑴求数列｛&｝,低｝的通项公式;

⑵设％=a„+%,求数歹lj｛的｝的前〃项和刀,.

【正确答案】⑴%=2〃；b„=2"-'

(2)n2+n+2"-I

【分析】(1)利用an=S,-Si可得数列｛%｝的通项公式，通过数列｛log?4｝为等差数列及

对数的运算可得数列｛"｝的通项公式：

(2)利用分组求和法可得数列｛g｝的前〃项和7；.

【详解】(1)当〃22时，a„=S„-S„_,=(n2+»)-[(n-1)2+(n-1)]=2n,

当〃=1时，q=S]=2,符合上式，

故a„=2n；

又log也=k>g21+〃-l=〃-I,

・"A'，

(2)由(1)知c“=2w+2"

2W1XI22

:.Tn=(at+a2++%)+(4+4++^)=^^^-+1=n+n+2"-I-

z1—Z

r2

20.已知函数/(x)=—.

ex

(1)求函数/*)的单调区间；

(2)求函数/⑴在区间-；