2023-2024学年宁夏银川市贺兰县高一年级上册期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年宁夏银丿11市贺兰县高一上册期末考试数学试题

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合要求的，）

34

sinx=——cosx=—

1.已知I'丿，则“5”是“5”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】由xe（-兀,0）,当sinx=y时，不能推出cosx=-；而当cosx=一时，可以推

555

3

出sinx=-1,利用必要不充分条件的定义可得选项.

【详解】因为xe（-兀,0）,所以当sinx=-g时，x的终边可能在第三象限，也可能在第四

44

象限，所以cosx=±《，不满足充分性；当COSX=y时，x的终边在第四象限，所以

3

sinx=-1成立，满足必要性.

故选：B

2,.已知函数/（x）=（x—,则/（X）为（）

A.奇函数B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数

【正确答案】D

【分析】求出函数定义域后可判断其奇偶性.

【详解】因〃x）=（x—1）/产，则岩20,

得/（x）定义域为.［一1,1）

因/（X）定义域不关于原点对称，则/（X）既不是奇函数又不是偶函数.

故选：D

3.下列四组函数中，表示同一函数的是（）

A.

y=9y=x-i

B.y=x-1,y=t-\

2

C.^=log3x,^=21og3x

x2

D._y=x-l,y=——

X

【正确答案】B

【分析】由同一函数要求定义域与对应关系相同逐一判断即可

【详解】对于A：两组函数0=J（x—l）2,y=x—1的定义域都是R，

但y=7（x-l）2=\x-i\,故不是同一函数，故A错误；

对于B：y=x—l,y=/-l的定义域与对应关系都相同，故是同一函数，故B正确；

对于C：夕=1嗝苫2的定义域是（―e,O）U（O,+8）,丁=2唾3彳的定义域是（0,+8）,

故不是同一函数，故C错误；

2

对于D：y=x-l的定义域是R,夕=土的定义域是（一”,0*（0,+8）,

x

X2

且y=±_=X，故不是同一函数，故D错误；

X

故选：B

4,奇函数/卜）的定义域为R,若/（x+1）为偶函数，且/⑴=2,则/（2022）+/（2023）

的值为（）

A.2B.1C.-1D.-2

【正确答案】D

【分析】由已知函数的奇偶性可先求出函数的周期，结合奇偶性及函数的周期性把所求函数

值转化可求.

【详解】由/（X+1）为偶函数，••./（x+l）=/（—x+1）,

令x+l=f,则一x+l=27,即/（/）=/（2-f）,

因为/(x)为奇函数，有=所以/(2T)=-/(T),

令％=一£,得/(2+x)=-/(x),二〃4+x)=-〃2+x)=/(x),即函数/(x)是周

期为4的周期函数,

奇函数/(x)中，已知/。)=2,/(0)=0,

贝/(2022)+/(2023)=/(505x4+2)+/(506x4-l)=〃2)+/(-l)=-/(0)-Xl)=-2.

故选：D.

5.设a,beR,ab^O,函数/(x)=a/+bx,若/(⑷―/(x)20恒成立，则()

A.a〉O,b>oB.a>01b<0

C.a<0，b>0D.a<0，b<0

【正确答案】A

【分析】根据函数的解析式进行分类讨论，当x<0时，结合二次函数的图象和性质即可求

解.

【详解】因为/(|x|)-/(x)=+/)|x|-ax3-bx=a(|x|3-x3)+Z>(|x|-x),

当x20时，/(|x|)-/(x)=a(x'-/)+b(x-x)=0N0恒成立，

当x<0时，/(|x|)-/'(x)=-2ax3-2hx=-2x(ax2+b)N0恒成立，

则a?+620恒成立，因为

fa>0

则有L八，故

A=-4ab<0

故选.A

77T

6.已知。=1。821.411=1.7°3,。=(：0$-^-,则()

A.b>a>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

【正确答案】B

【分析】根据指数函数性质可判断h的范围，利用三角函数诱导公式求得c,并利用对数函数

的性质比较C，。的大小，即得答案.

【详解】因为6=1.7°3>1,。=(:05茎=(:051=；=1082后>。=10821.41,

所以b>c>a,

故选：B.

7.函数/*（、）=」—的图像大致为（）

e国一4

【分析】先判断函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果.

Y2

【详解】函数/（x）=有意义，则阴-400,即％H±21n2,即函数的定义域为

|x|xw±2In2}.

=.=.L=/（x）,.•./（x）为偶函数，图像关于y轴对称，故排除A,C；

el-x|-4ew-4

Y2

当xe（21n2,+oo）H寸，/-（x）=——>0，故排除B；

e用一4

故选：D

8.用二分法判断方程2d+3x—3=0在区间（0』）内的根（精确度0.25）可以是（参考数

据：0.753=0.421875,0.6253=0.24414）（）

A.0.825B.0.635C.0.375D.0.25

【正确答案】B

【分析】设/(X)=2Y+3X-3,由题意可得/(x)是R上的连续函数，由此根据函数零点的

判定定理求得函数/(x)的零点所在的区间.

【详解】设f(x)=2x3+3x-3,

/(0)=-3<0,/(1)=2+3-3=2>0,

•••/(0.5)=2X0.53+3X0.5-3<0,

.•J(x)在(0,0.5)内有零点，

/(0.75)=2x0.753+3x0.75-3>0

"(x)在(0.5,0.75)内有零点，

方程2V+3x—3=0根可以是0.635.

故选:B.

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得。分)

9,若a>b>1,贝!|()

A-a>/c^>by[c^B.-+7>2c.D.

ab

y[a+c>y[b-c

【正确答案】AC

【分析】根据不等式的性质依次判断ABC,取特殊值。=91=4,。=一1判断口.

【详解】对于A,因为后N0,a＞b＞l，所以丘，A正确.

对于B,因为a＞b＞l,0＜丄＜1,0＜丄＜1,所以0＜丄+丄＜2,B错误.

abab

对于C,因为所以后工？＞标1＞0,所以C正确.

4b+l

对于D,取。=9,6=4,。=一1,+c＜yfh-c)故D错误.

故选：AC

/[\x2+ax-3

10.若函数/(x)=g的图像经过点(3,1),则()

A.a=-2B./（x）在（-8,1）上单调递减

D./（x）的最小值为上

C./（x）的最大值为81

【正确答案】AC

【分析】利用函数经过点（3,1）,可求出再应用函数性质每个选项分别判断即可.

【详解】对于A：由题意得/（3）=（；）=1，得°=-2，故A正确；

对于B：令函数〃=X2_2X-3,则该函数在（一叫1）上单调递减，在［1,+e）上单调递增.

因为丁=（；）是减函数，所以/（X）在（-00,1）上单调递增，在卩,+8）上单调递减，故B错

误；

对于CD：因为/（X）在上单调递增，在□，+8）上单调递减，

所以/（x）max=/（l）=81，/（x）无最小值.故C正确，D错误；

故选:AC.

2x

---,x-°

11.己知函数/卜）=《，］+1，则下列说法正确的是（）

--,X<0

A.函数/（X）的单调减区间是卩,+8）；

B.函数/（x）在定义域上有最小值为0,无最大值；

C.若方程/（x）-/=0有1个实根，则实数r的取值范围是（1,+8）

D.设函数g（x）=x2+2〃?x+3,若方程g［y（x）］=l有四个不等实根，则实数机的取值

范围是

【正确答案】ABD

2

x>0

-T

【分析】函数变形得/(x)=<x+x,即可根据函数形式得出函数的单调性及值域,

x<0

IX

方程g［/(x)］=l等价于關需

即可判断AB；由数形结合即可判断C；对D,结

合①解的个数的情况，即可判断②中解的个数及范围，即可根据零点存在定理列不等式求解.

,✓\XH—

【详解】/(x)=JX

,x<0

、X

i2

由于y=X+—在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，且丁=—在(0,+。)单调递减,

XX

所以由复合函数单调性可得当xNO时，/(“)=一［在(0,1)上单调递增，在(1,物)上

X+

X

单调递减，

对AB,在(-8,0),/(x)单调递增，值域(0,+力)；

在［0,+s),当》=^n》=1时，/(x)有最大值，即在［0,1)单调递增，在(1,+8)单调递

减，值域为［0』］，

综上，/(x)的值域为［0,+s),故AB对；

对C,方程/。)一/=0有1个实根等价于>=/(x)与有一个交点，则实数f的取值

范围是{0}U(i,+8),C错；

对D,方程g[〃x)]=l等价于|g3=[②，

由于/e{0}u(L+8)时方程①一解：/=1时方程①两解；fe(O,l)时方程①三解.

故g[/(x)]=1有四个不等实根等价于//(7)=g〃)-1="+2mt+2=0有两根I"?,其

中4e(O,l),%e{0}u(l，+8).

V/z(0)>0,f&=2，...只需〃(1)=2加+3<0=加<-/即可，此时厶e(0,1),

Z2=1e(2,+oo),故旭的取值范围为D对.

故选：ABD

12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德

、牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xeR,用[可表示不超过

x的最大整数，则>=[x]称为高斯函数，如：[1.2]=1,[-1.2]=-2,y=[x]又称为取

整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数''进行

计费，以下关于“取整函数''的描述，正确的是()

A.VxeR,[2x]=2[x]

B.VxeR,[x]+x+；=[2x]

C.Vx,yeR,若国=3，则有x-y>-l

D.方程x2=3[x]+l的解集为{近,M}

【正确答案】BCD

【分析】对于A：取X=丄，不成立；

2

对于B：设㈤=x-a,。€[0,1),讨论ae与；,1)求解;

对于C：x-m+t,0<t<\,y-m+s,0<s<].,由|x-y|=|/-s|<1得证;

对于D:先确定XNO,将f=3[x]+l代入不等式卜卜x2<M+])2得到区的范围,

再求得X值.

【详解】对于A：取x=g,[2x]=[l]=l,2[x]=2g=0,故A错误;

对于B:设[幻=工一4,4£[0』),/.[x]+X+g=[x]+[x]+a+；=2[x]+a+；1,

2

[2x]=[2[x]+2a]=2[x]+[2a],

当ae0,；]时，a+,2ae[0,1),则&+；=0,[2a]=0

则[x]+x+g=2[x],[2x]=2[x],故当ae0,g卜寸[x]+x+；=2[x]成立.

当aw2'1)时，a+,WLg),2ae[1,2),则+—=1,[2a]=1

则[划+x+；=2[x]+l,[2x]=2[x]+\,故当ae；,1)时[幻+x+|=2[x]成立.

综上B正确.

对于C：设[x]=[y]="?,则x=m+厶OW/<1,y=〃z+s,0Ws<l,则

|x-y|=|(m+t)~(m+5)|=|Z-5|<1,因此x-y>-l,故C正确；

对于D：由F=3[x]+1知，Y一定为整数且30+1»0,

所以[x]N—所以[x]NO,所以XNO,

由<x2<([]]+I)?得['J<3[x]+l<([%]+if，

2

由[x]<3[x]+l解得上普<[x]<上普士3.3，只能取ow[x]<3,

由3[刃+1<(3+1)2解得国〉1或[x]<0(舍)，故2w[x卜3,

所以M=2或[司=3,

当[，]=2时x=,当[司=3时x=VTo.

所以方程-=3[x]+1的解集为卜月,朮可,

故选：BCD.

高斯函数常见处理策略：

(1)高斯函数本质是分段函数，分段讨论是处理此函数的常用方法.

(2)由x求図时直接按高斯函数的定义求即可.由卜]求x时因为x不是一个确定的实数，可

设工=[0-。，ae[0,1)处理.

(3)求由[x]构成的方程时先求出[可的范围，再求x的取值范围.

⑷求由[x]与x混合构成的方程时，可用[x]<x<[x]+1放缩为只有[x]构成的不等式求解.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，)

13.函数/(x)=Jl-log2(x+2)的定义域为.

【正确答案】(一2,0]

【分析】利用对数函数的定义域及根式有意义求解即可.

l-log,(x+2)>0

【详解】由根式有意义及对数的真数部分大于。可得1：，

x+2>0

解得-2<x<0,

故(-2,0]

14.若cosct=丄,力是第三象限角且Jl-cosa=J^sin4,则cos4=.

322--------

【正确答案】-巫

3

【分析】根据cosa=丄，KVl-cosa=V2sin-,求得sin^,再根据a是第三象限角,

322

a

确定一的范围，然后利用平方关系求解.

2

【详解】因为cosa=丄，且J1一cosa=J?sin区,

32

所以sin>0，

23

又因为a是第三象限角，

兀a.3兀,「

所以kn~\—<—<kitH----，左£Z,

224

cc

则一是第二或第四象限，

2

Xsin—=—>0，

23

a

所以一在第二象限，

2

所以cos4

2

故.亚

3

15.己知函数/（x）=—2优+”'+〃（m>—2,”>0）所过的定点在一次函数y=2x+1的图像

上，则一2一+*的最小值为_________.

777+2n

【正确答案】—

7

【分析】由指数函数性质与基本不等式求解，

【详解】令》+加=0得、=一m,

由题意得/（X）过的定点为（一优,〃一2）,则〃一2=-2加+1,2（团+2）+〃=7

（―^―+-）［2（w+2）+«］=8+-^-+^^>8+2V16=16,

加+2〃加+2n

当且仅当3—=8（加+2）即加=一丄,〃=2■时等号成立,

m+2n42

,,24厶，口t,亠、।16

故-----1—的取小值为—，

加+2〃7

故—

7

2x2「1-

16.己知函数/（刈=芸］一一+1,若加w-,4,使得不等式

/（4一〃皿）+/（/+3加）<2成立，则实数〃的取值范围是.

【正确答案】f——j

【分析】设F(x)=/(x)-l,证明其为奇函数，减函数，不等式化为

F(4-wa)+F(w2+3w)<0,再由奇偶性与单调性变形为小+3加>W°-4,分离参数为

44

a<m+—+3,然后求得〃?+—+3的最大值，即可得结论.

mm

9r29

［详解］令尸(x)=f(x)_］=--------x2=x2(---------1)，

3*+11+3*

则F(-x)==—(3'-1)=-F(x)，F(x)是奇函数，

1+3r3、+1

22

设0V玉<，则0VX：<X；,2<3A|+1<3X2+1.1>—~~->――-，

3'v,+1+1

2222

0^1-^—■>从而b(X|)>b(X2)，

31+132+131+11+32

所以尸(x)在［0,+8)上是减函数，又尸(x)是奇函数，所以它在(-8,0］上也是减函数,

所以F(x)在(f,y)上是减函数，

不等式/(4一加a)+/(m2+3w)<2可化为f(4-ma)-l+f(m2+<0,

即尸(4一次。)+尸("2+3m)<0,F(m2+3加)<一歹(4一〃za)=F(ma-4)，

广4

所以nr+3m>ma-4,Cl<m-\----F3,

m

4「1-

令g(次)=〃z+---b3,〃7£—,4,

m2

1/、/、44(m,-4)

!

设一K叫</n2<4,=+-----m2----=—-------------,

2tn2m{m2

m［-m2<0

当一(加［<加2<2时，町加2一4<0,g(加J-g(朋2)>。g(M)>g(加2)，g(M递减，

当2c<m2<4时，加］加2—4>0,g(/??1)-g(w2)<0g(旳)<g(加2)，g(m)递增,

所以g(；)=§,g(4)=8,在［；,4］上的最大值为日，

由题意得：«<—.

2

故(一8,万)・

结论点睛：不等式恒成立与能成立问题：

/(X)的定义域是A,g(x)的定义域是8,

()())，

1对任意X{GA,任意々€8,总有/(%)</(x2)成立等价于/Xmax<g(xmin

(2)对任意存在/eB,使得/区)</(》2)成立等价于/(X)max<g(X)max，

)

(3)存在X1C4,对任意々eB,使得/(%)</(X2成立等价于/(%)11m<8。*11-

四、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程

及验算步骤,)

17.求值：

2:

(1)83+2,og23-lg1-21g2

.25兀10K(13兀)

(2)sin------cos------Ftan------

6314丿

【正确答案】(1)6(2)0

【分析】(1)根据指数运算公式和对数运算公式求解即可;

(2)根据诱导公式化简求值即可.

【小问1详解】

/+2脸3_呜_21g2

2

=(23尸+2脸3一(炮5一电2)—2电2

=22+3-lg5+lg2-21g2

=7-(lg5+lg2)

=7-1

=6；

【小问2详解】

.25兀10兀(13兀1

sin-------cos-----+tan-------

63I4丿

.71c71

=sin4兀+一-cos371+-一tan37i4—

I6l3I4

.717171

=sin—+cos——tan—

634

11

-十

2-2-

O

-.

18.己知函数/(x)=lg(x—1)+JE的定义域为4g(x)=3'+l(xe[0,2])的值域为

B.

(1)求4和8；

(2)若[a,a+l]q,求”的最大值.

【正确答案】(1)/为(1,4],8为[0,10]

(2)3

x—1>0

【分析】(1)根据函数的解析式有意义，得到满足八，即可求解函数的定义域小

4-x>0

根据g(x)=3"+l(xe[0,2])在定义域内为增函数，即可求出值域B.

(2)由(1)可知4c8=(1,4],根据集合间的包含关系可求出参数〃的范围，则可得出。

的最大值.

【小问1详解】

解：由题意，函数/(x)=lg(x—l)+J匸满足

解得l<x<4,所以函数/(x)的定义域为(1,4],

而函数g(x)=3、+l(xe[0,2])在R上是增函数，

g(O)=3°+l=2,g⑵=32+1=10,

所以函数g(x)=3'+1(xe[0,2])的值域为[0,10],

故定义域/为(1,4],值域8为[0,10].

【小问2详解】

解：由(1)可知/c8=(l,4],若[a,a+l]1力c8,

a>\

则《，+⑼,解得一£3,

所以。的最大值为3,此时满足卩,4]q（1,4],

故最大值为3.

19.已知/'(log2X)=X-丄

（1）求函数/（X）的表达式，并判断函数/（x）的单调性（不需要证明）;

（2）关于x的不等式41+40—8+3/（X）N02（X）在口的）上有解，求实数左的取值

范围.

【正确答案】G）/（x）=2X—单调递增

(2)k<6

【分析】（1）令f=log2X,则x=2'，代入条件可得答案，然后任取玉<刀2,通过计算

/（王）一/（々）的正负可得单调性：

（2）将原式整理得到4/+3〃北痴2在上有解，转化为（4+』]>k,求出

[2丿I加丿max

3

4H—的最大值即可.

m

【小问1详解】

令f=log?xJwR,则x=2,，/（/）=2'-f

故〃x）=2、V，

任取XI<x2,

则仆J./（xJ=2』-"-At付

X

•••X,<X2,2'<28,2頃〉0,2*2>0

・••/（七）一/（》2）<。，

故/（x）在R上单调递增;

【小问2详解】

由已知4"'+4--8+312,一丄）>k[2X~—

I2、丿（2、

化简得42'-----+3|2'---------12%（2"-------I，

I2,丿I2,丿IT）

人21

令m=2-----,

T

因为v=在（0,+8）上单调递增，又.=2-'之2，xeR,+e）

3

me—,+<x>

2

故4m2+3m>km2在—,+00j上有解，

33、

即4+—2左在+8）上有解,

m

4+—

1mmax

33

4+—<4+y=6

又m

2

k<6.

m

20.（1）是否存在实数，使加，使sinx=--—COSX=-------，且X是第二象限角？

若存在，请求出实数加；若不存在，情说明理由.

11的值.

（2）若xe0,—,sinxcosx=-,求-------1--------

221+sinx1+cosx

【正确答案】（1）不存在，理由见解析；（2）4-2应

【分析】（1）假设存在实数加，根据x是第二象限角，可得sinx>0、cosx<0求出参数〃?

的取值范围，再根据平方关系求出参数加的值，得出矛盾，即可说明；

（2）首先求出sinx+cosx,再通分计算可得.

|777

【详解】解：（1）假设存在实数加，使sinx=--------，cosx=---------

\-mm-1

因为X是第二象限角，

.1

所以sinx=-------->0,cosx=---------<0,解得0<加<1,

(iY(机丫

Xsin12x+cos2x=1»即-----+-----=1'解得加=0,

11一〃2丿\m-\)

与0〈加<1矛盾，故不存在实数加满足题意；

JI

(2)因为0,—,所以sinx+cosx>0,

v(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx=2,

?.sinx+cosx=y/2•

---1--1---1--=----1-+-c-o-sx----1-----1+--si-nx----

1+sinx1+cosx(1+sinx)(l+cosx)(l+sinx)(l+cosx)

2+sinx+cosx2+0

=4-25/2

1+sinx+cosx+sinxcosx、+6十

2

21.如图，病人服下一粒某种退烧药后，每毫升血液中含药量歹(微克)与时间x(小时)之

间的关系满足：前5个小时按函数_^=合递增，后5个小时了随着时间x变化的图像

（2）已知每毫升血液中含药量不低于3微克时有治疗效果，含药量低于3微克时无治疗

效果，试问病人服下一粒该退烧药后有治疗效果的时间为多少小时？

3Y

,0<x<5,

【正确答案】（1）_y=<8-x

10-x,5<x<10.

(2)3小时

【分析】(1)根据图像中特殊点，求出函数的解析式即可.

(2)根据题意构造不等式y>3，分段求解即可.

【小问1详解】

得Q=3.

5斤+6=5,k=-1,

由图可得〈得,s所以y=-x+10.

10左+6=0,6=10,

-----,0<x<5,

8-x

10-x,5<x<10.

【小问2详解】

[0<x<5,(./[八

5<x<10,

由题意得<3x.或《⑺,得4Kx<5或5Vx<7,即4<x<7.

\y=--23[y=10-x>3,

I8-x

故病人服下一粒该退烧药后有治疗效果的时间为7-