2023-2024学年福建省永春高一年级下册期初考试数学试题（含答案）

2023-2024学年福建省永春高一下册期初考试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

一、选择题（每小题5分，共40分）

1.设全集。=R,集合/={冲。<4},集合8={x［0<x<2},则集合4nM）='）

A.（1,2）B.（1,2］C.（2,4）D.［2,4）

【正确答案】D

【分析】利用补集和交集的定义可求得结果.

【详解】由已知可得电8={x|xK0或xN2},因此，Nc电6={x|2Kx<4},

故选：D.

2.已知函数/（x）的图像是连续的，根据如下对应值表：

X1234567

/（X）239-711-5-12-26

函数在区间［1,6］上的零点至少有（）.

A.5个B.4个C.3个D.2个

【正确答案】C

【分析】利用零点存在性定理即可求解.

【详解】函数/（x）的图像是连续的，/（2）/（3）=-63<0；

43）/（4）=-77<0；

/（4）/（5）=-55<0,

所以/（X）在（2,3）、（3,4）,（3,4）之间一定有零点,

即函数在区间［1,6］上的零点至少有3个.

故选：C

3.下列函数既是奇函数又是周期为兀的函数是（）

A.y=tan2xB.y=sin^2x-i-yI

C.y-|sinx|D.y=cos（1■乃一2x）

【正确答案】D

【分析】先判断函数的奇偶性，再求函数的周期，然后确定选项.

7T

【详解】J=tan2x是最小正周期为一的奇函数，故A错误；

2

TT

y=sin（2x+5）=cos2x的最小正周期是兀是偶函数，故B错误；

y=|sinx|是最小正周期是兀是偶函数，故C错误；

y=cos（学37r-2x）=-sin2x最小正周期为兀的奇函数，故D正确.

故选：D.

4.设a=3°7,b=,c=log07（）.8,则的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<C<aD.c<a<b

【正确答案】D

【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出凡b,c的大小关系.

【详解】因为a=3°,>l，

=3°8>3°7=4，

c=log070.8<log070.7=1,

所以c<l<a<6.

故选：D.

本题考查的是有关指数塞和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数

函数的单调性，确定其对应值的范围.

比较指对幕形式的数的大小关系，常用方法：

（1）利用指数函数的单调性：y=ax,当。〉1时，函数递增；当0<。<1时，函数递减；

（2）利用对数函数的单调性：y=lQg〃X，当。>1时，函数递增；当0<。<1时，函数递减；

(3)借助于中间值，例如：0或1等.

7T71।

5.已知函数/(x)=2+bg6tanx,xe,则函数y=/'(x)的值域为()

_63；

A.[1,3]B.[1,3)C.[2,3]D.[2,3)

【正确答案】B

【分析】先判断函数的单调性，再利用单调性求解.

【详解】因为尸tanxj=log0X,在xw专,。)上都是增函数，

jrjrA

由复合函数的单调性知：函数/(x)=2+log有tanx,在xe上为增函数，

_63)

所以函数夕=f(x)的值域为［1,3),

故选：B

6.素数也叫质数，部分素数可写成"2"-1”的形式(〃是素数)，法国数学家马丁•梅森就是研究素

数的数学家中成就很高的一位，因此后人将"2"-1”形式(〃是素数)的素数称为梅森素数.2018

年底发现的第51个梅森素数是P=282589933_J,它是目前最大的梅森素数.已知第8个梅森素数

为尸=231—1，第9个梅森素数为0=261—1,则夕勺等于(参考数据：怆2=0.3)()

A.io7B.io'C.io9D.io10

【正确答案】C

【分析】根据尸，。两数远远大于1,义的值约等于雪，设<=人,运用指数运算法则，把指数式转

P231231

化对数式，最后求出左的值.

6161

【详解】因为P,。两数远远大于1,所以O卷的值约等于7金，设7%=%n2，°=左n1g230=1gA,

因止匕有301g2=lgA：=>lgA：=9=>^=109.

故选C

本题考查了数学估算能力，考查了指数运算性质、指数式转化为对数式，属于基础题.

7.设p：关于》的方程4“一2'+|-4=0有解；4：函数/(x)=log2(x+a-l)在区间(0,+oo)上恒

为正值，则p是4的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也

不必要条件

【正确答案】B

【分析】先化简p，4,再利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】因为方程4、—2川—a=0有解,即方程。=(2'1—2-T有解，

令f=2'>0,则歹=/一2"。-1)2-1€[—1,+8),即1,+8)；

因为函数/(%)=log2(x+a-l)在区间(0,+oo)上恒为正值，

所以x+a-1〉1在区间(0,+8)上恒成立，即a〉-X+2在区间(0,+oo)上恒成立，

解得a22，

所以P是g的必要不充分条件，

故选：B

,、fsinx,0<x<

8.已知函数/(x)=<，若b,c互不相等，且〃a)=/(6)=/(c),

l°g2022(%—"+>71

则〃+力+。一2〃的取值范围是()

A.(0,2021)B,(0,2022)C.(1,2022)D,[0,2022]

【正确答案】A

【分析】画出图像，利用正弦函数的对称性求出a+b，再结合c的范围即可求解.

不妨设a<b<c,画出“X)的图像，/(a)=/(6)=/(c)即丁=/8)与丁=加有3个交点，由图像

jr

可知，关于x=,对称，即。+6=万，令log2（）22（x-万+D=1，解得x=2021+%,所以

乃<c<2021+乃，故2万<。+6+。<2021+2%，0<a+b+c-27r<2021.

故选：A.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.下列运算中正确的是（）

儿”1。&5B,

晦5[27）2

______/1、一噫7

C.J（3_J）2=3-nD.I—I+ln（lne）=7

【正确答案】BD

【分析】利用指数、对数、根式的运算法则化简即可.

【详解】因为警j=log58*lo&5,所以A错误;

1%5

因为偿野同号’所以B正确;

因为J（3-万）?=|3—乃|=乃一3。3—万,所以C错误；

/]、一晦7

+ln(lne)=20°g”)+lnl=7+0=7,所以D正确.

故选：BD.

10.在下列四个命题中，正确的是（）

A.命题“mxeR,使得f+x+lvO”的否定是“VxeR,都有f+x+lNO”

4

B.当x>l时，T+——的最小值是5

x—1

C.若不等式ax?+2x+c>0的解集为何一1<x<2},则。+c=2

D.“a〉1"是」<1”的充要条件

a

【正确答案】ABC

【分析】利用特称命题的否定为全称命题可判断A,利用基本不等式可判断B,利用二次不等式

的解法可判断C,利用充分条件必要条件定义可判断D.

【详解】对于A,命题“mxeR,使得V+x+ivO”的否定是“\/xeR,都有故

A正确；

44I4-4

对于B,当x〉l时，x+—=x-l+—+l>2j(x-l)--+1=5.当且仅当X-1=——，

x-1x-1V'x-1x-1

即x=3时，等号成立，故B正确；

.、2c

对于C,由不等式ax2+2x+c〉0的解集为{x|-1<X<2},可知一1+2=--,(-1)x2=-,

・'.Q=-2,c=4,a+c=2,故C正确；

对于D,由“a〉1”可推出由!<1,可得a〉l或"0,推不出“a〉l”，故D错误.

aa

故ABC.

11.下列命题中正确的是()

A.在zvlBC中，cos(?i+5)=cosC

a

B.若角。是第三象限角，则丁可能在第三象限

3

2

C.若tan6=2,则sii?。-2cos?。1

D.锐角。终边上一点坐标为尸(一cos2,sin2),则。=乃一2

【正确答案】BCD

a

【分析】选项A在三角形中由诱导公式可判断；选项B求出一的范围从而可判断；选项C由

3

sin26—2cos?0=‘an?-2可判断;选项D由三角函数的定义可得

tan-6+1

sin2

tana=——=tan(〃一2)可判断.

-cos2

【详解】选项A.在zUB。中，cos(y4+5)=cos(^-C)=-cosC,故选项A不正确.

3汽

选项B.若角a是第三象限角，即2左万+%<a<2左万+—,左eZ

2

2k兀7ia2k兀乃,〜

所以----+—<—<----+—,k&Z

33332

a

当斤=3%〃EZ时，；为第一象限角.

3

a

当％=3〃+l,〃wZ时，—为第三象限角.

3

当左=3〃+2,〃EZ时，区为第四象限角，所以选项B正确.

3

海京c1+.，acecri.2zic2zisin_0—2cos_0tan"0—2.4-22.、土

选项C.由tan。=2,所以snr6-2cos28=——----------=——-----=----=一,故选

sin2^+cos26>tai？8+14+15

项C正确.

选项D.锐角a终边上一点坐标为尸(-cos2,sin2),则

sin2、/

tana=------=-tan2=tanpr-2

-cos2

又%-2,a均为锐角，所以a=万一2,故选项D正确.

故选：BCD

12.已知定义在R上的函数/(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①DxeR,

/(-x)=/(x)；②VX],A：2e(0,+8),当玉/马时，，(*)_/(玉)>0；③/(一1)=0.则下

X2~X\

列选项成立的是()

A./(-3)</(-4)B.若—1)<〃2),则加«-«),3)

C.若^^>0,则xe(—l,0)U(l,+8)D,VXGR,m/weR,使得/(x)N加

x

【正确答案】ACD

【分析】根据给定条件探求出函数/")的奇偶性和在(0,+s)的单调性，再逐一分析各选项的条件,

计算判断作答.

【详解】由VxeR,/(r)=/(x)得：函数/⑺是R上的偶函数，

由VX1,X2W(0,+W，X,*X2,\\"〉0得:/(X)在(0,+8)上单调递增，

X2-Xj

对于A,/(-3)=/(3)</(4)=/(-4),A正确;

对于B,/(团一1)</(2)=/(|〃?一1|)</(2),又函数/(x)的图象是连续不断的,

则有I加一1|<2,解得-1<机<3,B不正确；

对于C,由/(x)>0及/(-1)=0得，/(|x|)>/(l)o|x|>l,解得x<—l或x>l,

由/(x)<0得：/(|x|)</(l)=|x|<l,解得

/(X)[f[x)>0f/(x)<0/、/、

化为：《：或《：，解得x>l或一l<x<0,即xe(—l,0)u(l,+o)),C

x[x>0[x<0

正确；

对于D,因R上的偶函数/(x)的图象连续不断，且"X)在(0,+8)上单调递增，

因此，VxeR,/(x)N/(0),取实数加，使得加=/(0),则VxeR,/(x)N加，D正确

故选：ACD

思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用

其单调性脱去函数的符号了'，转化为解不等式(组)的问题，若左)为偶函数，则道-x)=/(x)=/(M).

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：'‘今有宛田，下周

三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径

为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为平方步.

【正确答案】120

【分析】利用扇形的面积公式求解.

【详解】由题意得：扇形的弧长为30,半径为8,

所以扇形的面积为：5=-7r=-x30x8=120,

22

故120

14.若函数/(x)=a-+2x_l在区间(一8,6)上单调递增，则实数。的取值范围是.

【正确答案】一二,0

【分析】按。值对函数/(X)进行分类讨论，再结合函数/(X)的性质求解作答.

【详解】当4=0时，函数/(x)=2x-l在R上单调递增，即"X)在(-00,6)上递增，则。=0,

当时，函数“X)是二次函数，又/(X)在(-00,6)上单调递增，由二次函数性质知，a<0,

----261

则有<a，解得—K。<0,

a<06

所以实数。的取值范围是一’,0.

6

故-go

_6_

15.若函数/⑶是定义在R上的奇函数，且满足/(x+%)=/(x),当xe°，、)时，

f(x)=2sinx,则一+.

［正确答案］-J3+V2##V2-V3

【分析】由/(x+%)=/(x),可得函数/(X)是以左为一个周期的周期函数，再根据函数的周

期性和奇偶性将所求转化为已知区间即可得解.

【详解】解：因为/(x+—)=/a),

所以函数/(x)是以"为一个周期的周期函数，

又因为函数/(X)是定义在R上的奇函数,

所以/

所以/

故答案为.-6+近

16.已知函数/'(x)=lg(or-3)的图象经过定点(2,0),若左为正整数，那么使得不等式

2/(x)>1g依2)在区间［3,4］上有解的k的最大值是.

【正确答案】1

Q12

【分析】由/(2)=0可得出。=2,由已知不等式结合参变量分离法可得出左<=--+4,令

XX

f="，求出函数g(7)=9/-12f+4在上的最大值，即可得出实数左的取值范

围，即可得解.

【详解】由已知可得〃2)=lg(2a—3)=0,则2。-3=1,解得。=2,故/(x)=怆(2%-3),

由2/(x)>1g依2)得lg(2x-3)2〉lg依2),

oio

因为x£［3,4］,则依2<4工2_12x4-9，可得％<二-----F4,

xx

令f=,g(f)=9『一12/+4,则函数g(/)在上单调递减,

(］、25

所以，g⑺3=g|j卜记k二

16

因此，正整数左的最大值为1.

故答案为.1

四、解答题(第17题10分，第18-22题每题12分，共6小题70分)

17.已知基函数/(x)=(m2-3m+3)£"的图象关于V轴对称，集合Z={x|l-“<x«3a+l}.

(1)求〃？的值；

「后

(2)当xe—,21时，/5)的值域为集合B,若xeB是xe/成立的充分不必要条件，求实

数”的取值范围.

【正确答案】(1)m=2

(2)a>\

【分析】(1)根据基函数的定义可得〃3加+3=1，求出加的值，再检验即可得出答案.

(2)先求出函数/(x)的值域，即得出集合8,然后由题意知8=/,根据集合的包含关系得到不

等式组，从而求出答案.

【小问1详解】

由事函数定义，知〃/一3加+3=1，解得他=1或〃？=2,

当〃?=1时，/(x)=x的图象不关于了轴对称，舍去，

当〃？=2时，/*)=X2的图象关于y轴对称，

因此加—2.

【小问2详解】

当xe[—l,2]时，/⑴的值域为1,4,则集合8=；,4,

1-a<3«+1

由题意知8A,得|\-a<-,解得a»l.

2

3a+l>4

sin(27t-«)tan(7r+a)sin|-|

18.已知/(a)=-------7-----r-------------.

sinI(2--Itan(371-6Z)

(1)若ae(O,27t),且/((/)=—；,求a的值.

(2)若/(«)-/(万+&]=，，且了)，求tana的值.

【正确答案】(1)&=?或&=坐；

66

【分析】(1)利用诱导公式结合tana=3吧化简/(a),再解方程结合ae(0,2兀)即可求解;

cosa

(2)结合(1)中/(a)将已知条件化筒可得sina+cosa=(,再由同角三角函数基本关系即

可求解.

【小问1详解】

sin(27T-(z)tan(7r+a)sin-----a

一sinatana•(一cosa)

,㈤=---------7-----------

一coscrtan(-a)

sina-]Jtan(3兀一a)

.sina

sma-cosa-

__________cosasin2a.

------=sina.

sina

cosa------sina

cosa

所以/(a)=sina=—；，因为二£(0,2兀)，则二=1，或三

【小问2详解】

由(1)知：/(a)=sina,

.(3K.1

所以+a二=sina-sm----\-a=sina+cosa=一

I25

即sina+cosa=一，所以sina=——cosa,

55

所以COS2Q+cosaj=1，即(5cosa-4)(10cosa+6)=0,

_43

可得cosa=二或cosa=

兀371311/3、4

因为aw,贝i」cosa=——,所以sin。=——cosa=——一一=—

29T555{5)5

叱…sina4(5)4-4

所以tana二-----=—x=——,故tana=——.

cosa5I3j33

19.已知函数/(、)=&,g(x)=|x-2|.

।----1-----1-----rT----

r

r「4-

।I।।

i-----1-----1------r-J"

3；4

(1)求方程/(x)=g(x)的解集；

,、\a,a>b丫、,、

(2)定义.max{a,b}=,bq<6已知定义在[0,+°0)上的函数〃(x)=max{/(x),g(x)},求函

数A(x)的解析式；

(3)在(2)的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数力(x)的简图，并根据图象写出函数方(X)

的单调区间和最小值.

【正确答案】(1){1,4}

2-x,0<x<1

(2)h(x)=<4x,\<x<4

x-2,x>4

(3)图象见解析，单调递减区间是［0』，单调递增区间是(1,+8),最小值为1

【分析】(1)根据题意可得五=卜-2|,平方即可求解.

(2)由题意比较正与卜-2|的大小，从而可得出答案.

(3)由(2)得到的函数关系，作出函数图像，根据图像可得函数的单调区间和最小值.

【小问1详解】

由=得/一5X+4=0且xN0，解得X]=l,*2=4;

所以方程/(x)=g(x)的解集为{1,4}

【小问2详解】

2-%,0<x<1

，/、Iy/x,4x>|x-2|

由己知得力(x)=(,/-,=y/x,l<x<4.

|x-2|,Vx<|x-2|

Ix-2,x>4

【小问3详解】

函数人(x)的图象如图实线所示：

函数人(x)的单调递减区间是[0,1],单调递增区间是(1,+8),其最小值为1.

20.已知函数/(x)=Zsin((ax+0)+@/>0,①>0,|0|<—的部分图象如图所示.

\2)

(2)先把〃x)的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，若当

JTJT

xe—9—时，求g(x)的值域.

71k7l71八/,〜、

【正确答案】(1)/(x)=2sin(2x+y)-l,了一石'一1(丘Z)

(2)[0,2]

【分析】(1)先根据图象得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得43的值，根据周期求

得0的值，根据/(展)=1求得夕的值，由此求得了(x)的解析式，进而求出/(x)的对称中心;

(2)根据三角变换法则求得函数g(x)的解析式，再换元即可求出g(x)的值域.

【小问1详解】

A+B=\

由图象可知:一/+6=-3'解得：』=2,八一1,

又由于工=卫—C,可得：T=%，所以。=至=2

21212T

由图像知/(今)=1，sin(2x^|+e)=l,又因为一?<7+0(年

7T7L7T7C

所以2乂5+夕=5,8=§•所以/(x)=2sin(2x+§)-l

._7T..t./rkjT乃/f,\

令2xH—=/CTT(kwZ),得:x-------(ZrGZ)

326

k兀71八/,丁、

所以/(x)的对称中心的坐标为彳一%,-1"cZ)

【小问2详解】

乃+1=2sin(2x+'^)「、，RR

依题可得g(x)=/X~\—,因为——-

6496

人c22万乃71

令2x+——=tW——,71，所以sinfe[0,l],即g(x)的值域为[0,2].

36

21.上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后,

地铁的发车时间间隔，（单位：分钟）满足2V/W20,/eN*，经测算，在某一时段，地铁载客

量与发车时间间隔t相关，当10W20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2Wf<10

时，载客量会减少，减少的人数与（10-。的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为

560人,记地铁载客量为回«）.

（1）求p«）的解析式;

（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为0=4⑺;336（）―360（元），问当发车时间间隔为多

少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？

-10/2+200?+200,2</<10

【正确答案】（1）p（t）=<(twN*)；(2)6分钟.

1200,10W20

【分析】（1）2«/<10时，求出正比例系数阮写出函数式即可得解;

（2）求出每一段上的最大值，再比较大小即可得解.

'nQ0-k(\Q-t)2,2<t<lQ

【详解】（1）由题意知P«）=(/eN*),1为常数),

1200,10<Z<20

因2(2)=1200—左(10—2)2=1200—64左=560,贝巾左=io,

-10r2+200/+200,2</<10

所以〃(/)=<(teN*)；

1200,10<Z<20

6(-10r+200z+200)-3360_3602^<1()

(2)由Q=6p。)-3360—360得0=]'

t