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文档简介
2023-2024学年福建省永春高一下册期初考试数学试题
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.设全集。=R,集合/={冲。<4},集合8={x[0<x<2},则集合4nM)=')
A.(1,2)B.(1,2]C.(2,4)D.[2,4)
【正确答案】D
【分析】利用补集和交集的定义可求得结果.
【详解】由已知可得电8={x|xK0或xN2},因此,Nc电6={x|2Kx<4},
故选:D.
2.已知函数/(x)的图像是连续的,根据如下对应值表:
X1234567
/(X)239-711-5-12-26
函数在区间[1,6]上的零点至少有().
A.5个B.4个C.3个D.2个
【正确答案】C
【分析】利用零点存在性定理即可求解.
【详解】函数/(x)的图像是连续的,/(2)/(3)=-63<0;
43)/(4)=-77<0;
/(4)/(5)=-55<0,
所以/(X)在(2,3)、(3,4),(3,4)之间一定有零点,
即函数在区间[1,6]上的零点至少有3个.
故选:C
3.下列函数既是奇函数又是周期为兀的函数是()
A.y=tan2xB.y=sin^2x-i-yI
C.y-|sinx|D.y=cos(1■乃一2x)
【正确答案】D
【分析】先判断函数的奇偶性,再求函数的周期,然后确定选项.
7T
【详解】J=tan2x是最小正周期为一的奇函数,故A错误;
2
TT
y=sin(2x+5)=cos2x的最小正周期是兀是偶函数,故B错误;
y=|sinx|是最小正周期是兀是偶函数,故C错误;
y=cos(学37r-2x)=-sin2x最小正周期为兀的奇函数,故D正确.
故选:D.
4.设a=3°7,b=,c=log07().8,则的大小关系为()
A.a<b<cB.b<a<cC.b<C<aD.c<a<b
【正确答案】D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质,即可得出凡b,c的大小关系.
【详解】因为a=3°,>l,
=3°8>3°7=4,
c=log070.8<log070.7=1,
所以c<l<a<6.
故选:D.
本题考查的是有关指数塞和对数值的比较大小问题,在解题的过程中,注意应用指数函数和对数
函数的单调性,确定其对应值的范围.
比较指对幕形式的数的大小关系,常用方法:
(1)利用指数函数的单调性:y=ax,当。〉1时,函数递增;当0<。<1时,函数递减;
(2)利用对数函数的单调性:y=lQg〃X,当。>1时,函数递增;当0<。<1时,函数递减;
(3)借助于中间值,例如:0或1等.
7T71।
5.已知函数/(x)=2+bg6tanx,xe,则函数y=/'(x)的值域为()
_63;
A.[1,3]B.[1,3)C.[2,3]D.[2,3)
【正确答案】B
【分析】先判断函数的单调性,再利用单调性求解.
【详解】因为尸tanxj=log0X,在xw专,。)上都是增函数,
jrjrA
由复合函数的单调性知:函数/(x)=2+log有tanx,在xe上为增函数,
_63)
所以函数夕=f(x)的值域为[1,3),
故选:B
6.素数也叫质数,部分素数可写成"2"-1”的形式(〃是素数),法国数学家马丁•梅森就是研究素
数的数学家中成就很高的一位,因此后人将"2"-1”形式(〃是素数)的素数称为梅森素数.2018
年底发现的第51个梅森素数是P=282589933_J,它是目前最大的梅森素数.已知第8个梅森素数
为尸=231—1,第9个梅森素数为0=261—1,则夕勺等于(参考数据:怆2=0.3)()
A.io7B.io'C.io9D.io10
【正确答案】C
【分析】根据尸,。两数远远大于1,义的值约等于雪,设<=人,运用指数运算法则,把指数式转
P231231
化对数式,最后求出左的值.
6161
【详解】因为P,。两数远远大于1,所以O卷的值约等于7金,设7%=%n2,°=左n1g230=1gA,
因止匕有301g2=lgA:=>lgA:=9=>^=109.
故选C
本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题.
7.设p:关于》的方程4“一2'+|-4=0有解;4:函数/(x)=log2(x+a-l)在区间(0,+oo)上恒
为正值,则p是4的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也
不必要条件
【正确答案】B
【分析】先化简p,4,再利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】因为方程4、—2川—a=0有解,即方程。=(2'1—2-T有解,
令f=2'>0,则歹=/一2"。-1)2-1€[—1,+8),即1,+8);
因为函数/(%)=log2(x+a-l)在区间(0,+oo)上恒为正值,
所以x+a-1〉1在区间(0,+8)上恒成立,即a〉-X+2在区间(0,+oo)上恒成立,
解得a22,
所以P是g的必要不充分条件,
故选:B
,、fsinx,0<x<
8.已知函数/(x)=<,若b,c互不相等,且〃a)=/(6)=/(c),
l°g2022(%—"+>71
则〃+力+。一2〃的取值范围是()
A.(0,2021)B,(0,2022)C.(1,2022)D,[0,2022]
【正确答案】A
【分析】画出图像,利用正弦函数的对称性求出a+b,再结合c的范围即可求解.
不妨设a<b<c,画出“X)的图像,/(a)=/(6)=/(c)即丁=/8)与丁=加有3个交点,由图像
jr
可知,关于x=,对称,即。+6=万,令log2()22(x-万+D=1,解得x=2021+%,所以
乃<c<2021+乃,故2万<。+6+。<2021+2%,0<a+b+c-27r<2021.
故选:A.
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项
符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.下列运算中正确的是()
儿”1。&5B,
晦5[27)2
______/1、一噫7
C.J(3_J)2=3-nD.I—I+ln(lne)=7
【正确答案】BD
【分析】利用指数、对数、根式的运算法则化简即可.
【详解】因为警j=log58*lo&5,所以A错误;
1%5
因为偿野同号’所以B正确;
因为J(3-万)?=|3—乃|=乃一3。3—万,所以C错误;
/]、一晦7
+ln(lne)=20°g”)+lnl=7+0=7,所以D正确.
故选:BD.
10.在下列四个命题中,正确的是()
A.命题“mxeR,使得f+x+lvO”的否定是“VxeR,都有f+x+lNO”
4
B.当x>l时,T+——的最小值是5
x—1
C.若不等式ax?+2x+c>0的解集为何一1<x<2},则。+c=2
D.“a〉1"是」<1”的充要条件
a
【正确答案】ABC
【分析】利用特称命题的否定为全称命题可判断A,利用基本不等式可判断B,利用二次不等式
的解法可判断C,利用充分条件必要条件定义可判断D.
【详解】对于A,命题“mxeR,使得V+x+ivO”的否定是“\/xeR,都有故
A正确;
44I4-4
对于B,当x〉l时,x+—=x-l+—+l>2j(x-l)--+1=5.当且仅当X-1=——,
x-1x-1V'x-1x-1
即x=3时,等号成立,故B正确;
.、2c
对于C,由不等式ax2+2x+c〉0的解集为{x|-1<X<2},可知一1+2=--,(-1)x2=-,
・'.Q=-2,c=4,a+c=2,故C正确;
对于D,由“a〉1”可推出由!<1,可得a〉l或"0,推不出“a〉l”,故D错误.
aa
故ABC.
11.下列命题中正确的是()
A.在zvlBC中,cos(?i+5)=cosC
a
B.若角。是第三象限角,则丁可能在第三象限
3
2
C.若tan6=2,则sii?。-2cos?。1
D.锐角。终边上一点坐标为尸(一cos2,sin2),则。=乃一2
【正确答案】BCD
a
【分析】选项A在三角形中由诱导公式可判断;选项B求出一的范围从而可判断;选项C由
3
sin26—2cos?0=‘an?-2可判断;选项D由三角函数的定义可得
tan-6+1
sin2
tana=——=tan(〃一2)可判断.
-cos2
【详解】选项A.在zUB。中,cos(y4+5)=cos(^-C)=-cosC,故选项A不正确.
3汽
选项B.若角a是第三象限角,即2左万+%<a<2左万+—,左eZ
2
2k兀7ia2k兀乃,〜
所以----+—<—<----+—,k&Z
33332
a
当斤=3%〃EZ时,;为第一象限角.
3
a
当%=3〃+l,〃wZ时,—为第三象限角.
3
当左=3〃+2,〃EZ时,区为第四象限角,所以选项B正确.
3
海京c1+.,acecri.2zic2zisin_0—2cos_0tan"0—2.4-22.、土
选项C.由tan。=2,所以snr6-2cos28=——----------=——-----=----=一,故选
sin2^+cos26>tai?8+14+15
项C正确.
选项D.锐角a终边上一点坐标为尸(-cos2,sin2),则
sin2、/
tana=------=-tan2=tanpr-2
-cos2
又%-2,a均为锐角,所以a=万一2,故选项D正确.
故选:BCD
12.已知定义在R上的函数/(x)的图象是连续不断的,且满足以下条件:①DxeR,
/(-x)=/(x);②VX],A:2e(0,+8),当玉/马时,,(*)_/(玉)>0;③/(一1)=0.则下
X2~X\
列选项成立的是()
A./(-3)</(-4)B.若—1)<〃2),则加«-«),3)
C.若^^>0,则xe(—l,0)U(l,+8)D,VXGR,m/weR,使得/(x)N加
x
【正确答案】ACD
【分析】根据给定条件探求出函数/")的奇偶性和在(0,+s)的单调性,再逐一分析各选项的条件,
计算判断作答.
【详解】由VxeR,/(r)=/(x)得:函数/⑺是R上的偶函数,
由VX1,X2W(0,+W,X,*X2,\\"〉0得:/(X)在(0,+8)上单调递增,
X2-Xj
对于A,/(-3)=/(3)</(4)=/(-4),A正确;
对于B,/(团一1)</(2)=/(|〃?一1|)</(2),又函数/(x)的图象是连续不断的,
则有I加一1|<2,解得-1<机<3,B不正确;
对于C,由/(x)>0及/(-1)=0得,/(|x|)>/(l)o|x|>l,解得x<—l或x>l,
由/(x)<0得:/(|x|)</(l)=|x|<l,解得
/(X)[f[x)>0f/(x)<0/、/、
化为:《:或《:,解得x>l或一l<x<0,即xe(—l,0)u(l,+o)),C
x[x>0[x<0
正确;
对于D,因R上的偶函数/(x)的图象连续不断,且"X)在(0,+8)上单调递增,
因此,VxeR,/(x)N/(0),取实数加,使得加=/(0),则VxeR,/(x)N加,D正确
故选:ACD
思路点睛:解涉及奇偶性的函数不等式,一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性,再利用
其单调性脱去函数的符号了',转化为解不等式(组)的问题,若左)为偶函数,则道-x)=/(x)=/(M).
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,其中有这样一个问题:'‘今有宛田,下周
三十步,径十六步.问为田几何?”其意思为:“有一块扇形的田,弧长为30步,其所在圆的直径
为16步,问这块田的面积是多少平方步?”该问题的答案为平方步.
【正确答案】120
【分析】利用扇形的面积公式求解.
【详解】由题意得:扇形的弧长为30,半径为8,
所以扇形的面积为:5=-7r=-x30x8=120,
22
故120
14.若函数/(x)=a-+2x_l在区间(一8,6)上单调递增,则实数。的取值范围是.
【正确答案】一二,0
【分析】按。值对函数/(X)进行分类讨论,再结合函数/(X)的性质求解作答.
【详解】当4=0时,函数/(x)=2x-l在R上单调递增,即"X)在(-00,6)上递增,则。=0,
当时,函数“X)是二次函数,又/(X)在(-00,6)上单调递增,由二次函数性质知,a<0,
----261
则有<a,解得—K。<0,
a<06
所以实数。的取值范围是一’,0.
6
故-go
_6_
15.若函数/⑶是定义在R上的奇函数,且满足/(x+%)=/(x),当xe°,、)时,
f(x)=2sinx,则一+.
[正确答案]-J3+V2##V2-V3
【分析】由/(x+%)=/(x),可得函数/(X)是以左为一个周期的周期函数,再根据函数的周
期性和奇偶性将所求转化为已知区间即可得解.
【详解】解:因为/(x+—)=/a),
所以函数/(x)是以"为一个周期的周期函数,
又因为函数/(X)是定义在R上的奇函数,
所以/
所以/
故答案为.-6+近
16.已知函数/'(x)=lg(or-3)的图象经过定点(2,0),若左为正整数,那么使得不等式
2/(x)>1g依2)在区间[3,4]上有解的k的最大值是.
【正确答案】1
Q12
【分析】由/(2)=0可得出。=2,由已知不等式结合参变量分离法可得出左<=--+4,令
XX
f=",求出函数g(7)=9/-12f+4在上的最大值,即可得出实数左的取值范
围,即可得解.
【详解】由已知可得〃2)=lg(2a—3)=0,则2。-3=1,解得。=2,故/(x)=怆(2%-3),
由2/(x)>1g依2)得lg(2x-3)2〉lg依2),
oio
因为x£[3,4],则依2<4工2_12x4-9,可得%<二-----F4,
xx
令f=,g(f)=9『一12/+4,则函数g(/)在上单调递减,
(]、25
所以,g⑺3=g|j卜记k二
16
因此,正整数左的最大值为1.
故答案为.1
四、解答题(第17题10分,第18-22题每题12分,共6小题70分)
17.已知基函数/(x)=(m2-3m+3)£"的图象关于V轴对称,集合Z={x|l-“<x«3a+l}.
(1)求〃?的值;
「后
(2)当xe—,21时,/5)的值域为集合B,若xeB是xe/成立的充分不必要条件,求实
数”的取值范围.
【正确答案】(1)m=2
(2)a>\
【分析】(1)根据基函数的定义可得〃3加+3=1,求出加的值,再检验即可得出答案.
(2)先求出函数/(x)的值域,即得出集合8,然后由题意知8=/,根据集合的包含关系得到不
等式组,从而求出答案.
【小问1详解】
由事函数定义,知〃/一3加+3=1,解得他=1或〃?=2,
当〃?=1时,/(x)=x的图象不关于了轴对称,舍去,
当〃?=2时,/*)=X2的图象关于y轴对称,
因此加—2.
【小问2详解】
当xe[—l,2]时,/⑴的值域为1,4,则集合8=;,4,
1-a<3«+1
由题意知8A,得|\-a<-,解得a»l.
2
3a+l>4
sin(27t-«)tan(7r+a)sin|-|
18.已知/(a)=-------7-----r-------------.
sinI(2--Itan(371-6Z)
(1)若ae(O,27t),且/((/)=—;,求a的值.
(2)若/(«)-/(万+&]=,,且了),求tana的值.
【正确答案】(1)&=?或&=坐;
66
【分析】(1)利用诱导公式结合tana=3吧化简/(a),再解方程结合ae(0,2兀)即可求解;
cosa
(2)结合(1)中/(a)将已知条件化筒可得sina+cosa=(,再由同角三角函数基本关系即
可求解.
【小问1详解】
sin(27T-(z)tan(7r+a)sin-----a
一sinatana•(一cosa)
,㈤=---------7-----------
一coscrtan(-a)
sina-]Jtan(3兀一a)
.sina
sma-cosa-
__________cosasin2a.
------=sina.
sina
cosa------sina
cosa
所以/(a)=sina=—;,因为二£(0,2兀),则二=1,或三
【小问2详解】
由(1)知:/(a)=sina,
.(3K.1
所以+a二=sina-sm----\-a=sina+cosa=一
I25
即sina+cosa=一,所以sina=——cosa,
55
所以COS2Q+cosaj=1,即(5cosa-4)(10cosa+6)=0,
_43
可得cosa=二或cosa=
兀371311/3、4
因为aw,贝i」cosa=——,所以sin。=——cosa=——一一=—
29T555{5)5
叱…sina4(5)4-4
所以tana二-----=—x=——,故tana=——.
cosa5I3j33
19.已知函数/(、)=&,g(x)=|x-2|.
।----1-----1-----rT----
r
r「4-
।I।।
i-----1-----1------r-J"
3;4
(1)求方程/(x)=g(x)的解集;
,、\a,a>b丫、,、
(2)定义.max{a,b}=,bq<6已知定义在[0,+°0)上的函数〃(x)=max{/(x),g(x)},求函
数A(x)的解析式;
(3)在(2)的条件下,在平面直角坐标系中,画出函数力(x)的简图,并根据图象写出函数方(X)
的单调区间和最小值.
【正确答案】(1){1,4}
2-x,0<x<1
(2)h(x)=<4x,\<x<4
x-2,x>4
(3)图象见解析,单调递减区间是[0』,单调递增区间是(1,+8),最小值为1
【分析】(1)根据题意可得五=卜-2|,平方即可求解.
(2)由题意比较正与卜-2|的大小,从而可得出答案.
(3)由(2)得到的函数关系,作出函数图像,根据图像可得函数的单调区间和最小值.
【小问1详解】
由=得/一5X+4=0且xN0,解得X]=l,*2=4;
所以方程/(x)=g(x)的解集为{1,4}
【小问2详解】
2-%,0<x<1
,/、Iy/x,4x>|x-2|
由己知得力(x)=(,/-,=y/x,l<x<4.
|x-2|,Vx<|x-2|
Ix-2,x>4
【小问3详解】
函数人(x)的图象如图实线所示:
函数人(x)的单调递减区间是[0,1],单调递增区间是(1,+8),其最小值为1.
20.已知函数/(x)=Zsin((ax+0)+@/>0,①>0,|0|<—的部分图象如图所示.
\2)
(2)先把〃x)的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,得到函数g(x)的图象,若当
JTJT
xe—9—时,求g(x)的值域.
71k7l71八/,〜、
【正确答案】(1)/(x)=2sin(2x+y)-l,了一石'一1(丘Z)
(2)[0,2]
【分析】(1)先根据图象得到函数的最大值和最小值,由此列方程组求得43的值,根据周期求
得0的值,根据/(展)=1求得夕的值,由此求得了(x)的解析式,进而求出/(x)的对称中心;
(2)根据三角变换法则求得函数g(x)的解析式,再换元即可求出g(x)的值域.
【小问1详解】
A+B=\
由图象可知:一/+6=-3'解得:』=2,八一1,
又由于工=卫—C,可得:T=%,所以。=至=2
21212T
由图像知/(今)=1,sin(2x^|+e)=l,又因为一?<7+0(年
7T7L7T7C
所以2乂5+夕=5,8=§•所以/(x)=2sin(2x+§)-l
._7T..t./rkjT乃/f,\
令2xH—=/CTT(kwZ),得:x-------(ZrGZ)
326
k兀71八/,丁、
所以/(x)的对称中心的坐标为彳一%,-1"cZ)
【小问2详解】
乃+1=2sin(2x+'^)「、,RR
依题可得g(x)=/X~\—,因为——-
6496
人c22万乃71
令2x+——=tW——,71,所以sinfe[0,l],即g(x)的值域为[0,2].
36
21.上海市某地铁项目正在紧张建设中,通车后将给更多市民出行带来便利,已知该线路通车后,
地铁的发车时间间隔,(单位:分钟)满足2V/W20,/eN*,经测算,在某一时段,地铁载客
量与发车时间间隔t相关,当10W20时地铁可达到满载状态,载客量为1200人,当2Wf<10
时,载客量会减少,减少的人数与(10-。的平方成正比,且发车时间间隔为2分钟时载客量为
560人,记地铁载客量为回«).
(1)求p«)的解析式;
(2)若该时段这条线路每分钟的净收益为0=4⑺;336()―360(元),问当发车时间间隔为多
少时,该时段这条线路每分钟的净收益最大?
-10/2+200?+200,2</<10
【正确答案】(1)p(t)=<(twN*);(2)6分钟.
1200,10W20
【分析】(1)2«/<10时,求出正比例系数阮写出函数式即可得解;
(2)求出每一段上的最大值,再比较大小即可得解.
'nQ0-k(\Q-t)2,2<t<lQ
【详解】(1)由题意知P«)=(/eN*),1为常数),
1200,10<Z<20
因2(2)=1200—左(10—2)2=1200—64左=560,贝巾左=io,
-10r2+200/+200,2</<10
所以〃(/)=<(teN*);
1200,10<Z<20
6(-10r+200z+200)-3360_3602^<1()
(2)由Q=6p。)-3360—360得0=]'
t
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