2023年中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测-圆

中考数学一轮复习资料五合一

《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》

（全国通用版）

第21年圆

^^■1：圆的基本概念

1.与圆有关的概念和性质

1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.

2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.

3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.

4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.

6）弦心距：圆心到弦的距离.

2.注意

1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；

2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.

3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.

：垂径定理

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造

直角三角形.

2.推论

1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

：圆心角、弧、弦的关系

1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.圆心角、弧和弦之间的等量关

系必须在同圆等式中才成立.

2.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余

各组量都分别相等.

：圆周角定理及其推论

1.定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

2.推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.2）直径所对的圆周角是直角.

圆内接四边形的对角互补.在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周

角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.

:与圆有关的位置关系

1.点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d.（l）d<r=>点在。。内；（2）仁点在。。上；（3）d>r=点在。。外.

判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.

2.直线和圆的位置关系

位置关系相离相切相交

图形©CD

公共点个数0个1个2个

数量关系d>rd<r

由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.

:切线的性质与判定

1.切线的性质

1）切线与圆只有一个公共点.2）切线到圆心的距离等于圆的半径.3）切线垂直于经过切点的半径.

利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.

2.切线的判定

1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.

2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公

共点时，作垂直，证垂线段等于半径.

:三角形与圆

i.三角形的外接圆相关概念

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内

接三角形.外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.

2.三角形的内切圆

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外

切三角形.内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等.

:正多边形的有关概念

正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径.

正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角.

正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

：与圆有关的计算公式

1.弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长/=—；扇形的面积S=Q=-lr.

1803602

2.圆锥与侧面展开图

1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.

2）若圆锥的底面半径为「，母线长为/,则这个扇形的半径为/,扇形的弧长为如

1,

圆锥的侧面积为SwfMk一/-2兀厂=兀〃.圆锥的表面积：S©傕表二S网雏ffll+S网锄g=TT/7+TT/=TT-（/+「）.

2

在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解

圆中最重要的有三个考点：其一，圆周角定理；其二，切线的性质与判定定理;其三，与圆有关的计算

目1——考查圆周角定理

1.如图，OA,。8是O的两条半径，点C在。上，若NC=38。，则NAQB的度数为（）

A.38°B.76°C.80°D.60°

g【答案】B

【分析】根据圆周角定理求解即可.

【详解】解：；ZAOB=2NC,ZC=38°,

ZAOB=76°,

故选:B.

【反思】本题考查了圆周角定理，熟练掌握一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题的关键.

2.如图，RtaABC中，AB1BC,AB=4,BC=3,尸是内部的一个动点，且满足

ZPAB=ZPBC,则线段CP长的最小值为（）

A.V13-2B.2C.VH-2D.77-2

g【答案】A

【分析】首先证明点P在以AB为直径的O上，连接OC交。于点P,此时PC最小，再利用勾股定理

求出OC即可解决问题.

【详解】解：・：

ZABC=90°,

ZABP+NPBC=90。,

又/PAB=/PBC,

ZABP+Z.PAB=90°,

・•.ZAPB=90°,

一•点户在以AB为直径的。上，连接OC交一。于点尸，此时PC最小,

在RizXBCO中，Z(9BC=90°,BC=3,

AB=4,

03=2,

oc=JOB'+3c2=V22+32=而.

•••CP=0C-0P=9-2,

•••C尸最小值为JB-2,

故选：A.

【反思】本题考查点与圆的位置关系、圆周角定理、动点线段最值问题等知识，解题的关键是确定点P

的位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型.

窗2—考查直线与圆的位置关系

3.如图，48为O的弦，点P在弦AB上，BP=9,AP=3,点。到AB的C距离为5,则0P长为

()

A.7B.8C.A/34D.国

【分析】过点。作垂足为点C,根据垂径定理得到AB=12,AC=BC=6,OC=5,从而得到

PC=3.根据勾股定理计算即可.

【详解】解：过点。作垂足为点C,

因为BP=9,AP=3,点。到A8的距离为5,

o

所以AB=12,AC=BC=6,OC=5,

所以PC=AC-»l=6-3=3,

所以op=Joe?+PC2=J52+32=蝎-

故选：C.

【反思】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键.

4.如图，C。是。的直径，弦AB垂直C。于点E,连接AC,BC,AD.BD,则下列结论不7军成

立的是（）

A.AE=BEB.CE=OEC.AC=BCD.AD=BD

⑥【答案】B

【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可.

【详解】解：是。的直径，弦AB垂直C。于点E,

AE=BE,AC=BC,AD=BD<

AC=BC,AD=BD,

而CE=OE不一定成立，

故选：B.

【反思】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的

关键.

5.如图，已知〈的半径为0,正三角形A8C的边长为6,P为A8边上的动点，过点P作C的切线

P。，切点为。，则尸。的最小值为（）

A.5B.734C.2MD.6

@【答案】A

【分析】连接CQ、CP,过点C作SLAB于“，根据切线的性质得到CQLPQ,根据勾股定理求出

PQ,根据等边三角形的性质求出CH,根据垂线段最短解答即可.

【详解】解：连接C。、CP,过点C作C〃J_AB于H,

••・PQ是，C的切线，

CQ1PQ,

PQ=y]CP2-CQ2=‘CP?-（可，

当CPLA3时，CP最小，PQ取最小值,

；ABC为等边三角形，

•1-4=60。，

ZBC//=30°,

BH=-BC=3

2

CH=y/6-3?=3+，

PQ的最小值为：43可-（可=5,

故选：A.

【反思】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的

半径是解题的关键.

陟一考查切线的性质定理

6.如图，A8是。的切线，8为切点，连接A。交。于点C,延长A。交O于点D连接8。.若

Z4=2ZL>,且AB=3,则AC的长度是（）

A.1B.372-3C.3-亚D.当

⑥【答案】B

【分析】如图，连接08.由圆周角定理可得ZBOC=2ZD,等量代换可得4=ZB0C,进而可得

0B=AB^3,根据切线的定义得出利用勾股定理求出0A=3五，贝

AC=OA-OC=3yf2-3-

【详解】解：如图，连接。8.

由圆周角定理可得ZBOC=2ZD,

ZA=2ZD,

ZA=ZBOC,

OB=AB,

AB=3,

・•.OB=OC=3.

AB是。的切线，

「•ABLOBy

OA=ylOB2+AB2=V32+32=30-

AC=OA-OC=3y/2-3-

故选B.

【反思】本题主要考查圆周角定理、切线的定义、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，利用圆周角

定理得出NBOC=2"是解答本题的关键.

・考查正多边形与圆

7.如图，正六边形43cQE厂内接于O,。的半径为2,则边心距的长为（）

-------

A.1B.gC.2x/3D.4G

g【答案】B

【分析】证明。A8是等边三角形，得出A8=Q4=2,由等边三角形的性质求出4W,再由勾股定理求

出即可.

【详解】解：如图所示，连接OAOB,

六边形ABCDEF为正六边形,

360°

ZAOB=--=60°,

6

,/OA=OB,

是等边三角形,

AB=OA=2,

•/OM±AB,

：.AM=BM=-AB=\,

2

OM=\lo/^-AM2=V22-l2=y/3，

故选：B.

【反思】本题考查了正多边形和圆，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.

考查圆锥的侧面积

8.圆锥的底面半径为40cm,母线长80cm,则它的侧面展开图的圆心角度数是（）

A.180°B.150°C.120°D.90°

g【答案】A

【分析】根据圆锥的底面半径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用已知的母线长求得圆锥的侧面展

开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可.

【详解】圆锥的底面半径为40cm

，圆锥的侧面展开扇形的弧长为2m*=2x40万=80万

母线长80cm

二圆锥的侧面展开扇形的面积为1/r=[x80;rx80=3200万

22

•,丝”眩=3200〃

360

解得，»=180

二侧面展开图的圆心角度数为180。

故答案选A.

【反思】本题考查圆锥的底面半径，侧面积，明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的侧面关系解题的关键.

考查切线的判定定理

囹7—

9.如图，A3是。的直径，C,D是,。上两点，C是的中点，过点C作AO的垂线

E,

A

B

O

⑴求证：CE是O的切线；

(2)若/=",

求cos/ABO的值.

DF

田【答案】（1）见解析

⑵逑

3

【分析】（1）连接0C交3£＞于点G,可证明四边形即GC是矩形，可求得NECG=90。，即可得证；

（2）连接BC,设尸G=x,O8=j利用塔=指，设。/=九DC=®利用Rt^BCGsRtZXBrC的

DF

性质求出CGOG,利用勾股定理求出半径，进而求解.

【详解】（1）证明：连接。。交8。于点G

,•0点C是BD的中点,

•••0C垂直平分BD,

••・ZDGC=90°.

「AB是。的直径，

••・ZADB=90°,

・•.ZEDB=90°,

.•CE±AE,

・•.ZE=90°.

四边形EQGC是矩形,

ZECG=9（f.

CE1OC,

,•,0C是。的半径，

••.CE是。的切线；

(2)解：连接BC,设FG=MO8=L

设DF—t,DC=,

由（1）得，BC=CD=®BG=GD=x+t,

.「A3是。的直径，

ZACB=90°,

ZBCG+/FCG=90：

VNDGC=90。,

「・NCFB+NFCG=90。,

ZBCG=ZCFB,

「•RtABCG^RtABFC,

•・BC?=BGBF,

（>/6r）2=（x+/）（2x+f）

解得M=r,x2=-gr（不符合题意，舍去），

•••CG=y）BC--BG-=J（而『一⑵）2=y/2t,

OG=r->/2t,

在Rt^OBG中，由勾股定理得OG?+BG2=OB2,

•,.(r-V2z)2+(2r)2=r2,

解得著

2t20

cosZABD=—--==r-

■OB3万3

2

【反思】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质等知识，解决本题的关键是能够利用圆的

对称性，得到垂直平分，利用相似与勾股定理的性质求出边，即可解答.

10.如图1,AB是，。的直径，点。产在O上，OD-LAB,延长A8至点C,连接。凡交A8于点

£,连接。尸，CF=CE.

图1图2

⑴证明：CF是。。的切线；

(2)如图2,连接AO,G是的中点，连接3G,若CF=5,BC=3,求tan/ABG的值.

g【分析】(1)如图1,连接。尸.由等边对等角可得NO£>F=NOED,ZCFE^ZFEC.由对顶角相

等可得NOED=NFEC,则NOE£>=NCFE.由题意知/OOE=90。，可证

NCFE+ZOFD=ZOED+NODE=90°,则N。尸C=90°,即。尸_LCF,进而结论得证.

(2)如图2,过点G作GH,Afi于点”.由题意知，ZZMfi=45°,ZGHA=90°,贝Ij/AG〃=45。，有

AH=HG,由G”，A3,DOLAB,可得HG〃DO,进而可证价为△AOO的中位线，即

HG=AH=-DO=-OB=-OA,可得O"=OA—AH=A",BH=OH+OB=3AH,在RtZ\BG”中，

222

tanZABG=gg=桨，计算求解即可.

BH3AH

【详解】(1)证明：如图，连接OF.

图1

•,OD=OF、

•••ZODF=ZOFD.

FC=CE,

ZCFE=ZFEC.

又「ZOED=ZFEC,

••・ZOED=ZCFE.

OD1.AB,

NDOE=90。,

••・ZOED+ZODE=90°,

1.ZCFE+ZOFD=90°,即ZOFC=90°,

AOFLCF.

又〈OF是半径，

・•.CF是。O的切线.

(2)解：如图2,过点G作G”,4?于点”.

图2

由题意知，ZZMB=45°,NG〃4=90。,

ZAG//=45°,

AH=HG,

vGHYAB,DOLAB,

「•HG〃DO、

G为A£＞中点,

二用为△ADO的中位线，

HG=AH=-DO=-OB=-OA,

222

OH=OA-AH=AHtBH=OH+OB=3AH,

在RtZJ5G〃中，tanZABG=—=^-=-,

BH3AH3

tanZABG=­.

3

【反思】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，垂径定理，中位线，正切等知识.解题的关键在

于对知识的熟练掌握并灵活运用.

11.如图，以ABC的BC边上一点。为圆心的圆，经过A、8两点，且与BC边交于点E,。为BE的下

半圆弧的中点，连接AD交BC于凡若AC=FC.

B

D

⑴求证：AC是,。的切线；

⑵若ZAD8=60。，BD=\,求阴影部分的面积.

@【分析】（1）连接。4、0D,易得NO0F=9O。，证明NQ4c=90。，即可得证；

（2）连接8。，利用与影=5."-5南形进行求解即可.

【详解】（1）证明：连接。4、OD,

A

O!

D

,「£＞为弧的中点,

OD上BC,

・•.ZDOF=90。,

ZODF+ZOFD=90°,

AC=FC,OA=OD,

Z.CAF=ZCFA,ZOAD=NODA,

4CFA=4OFD、

・•・ZOAD+ZCAF=90°,

•••OA1AC,

・••Q4为半径，

二•AC是O切线；

(2)解：连接BD,

D

•「ZADB=60°,

z64OB=120°,

.・.ZAOC=60°,

•・•OA±ACt

AZC=30°,

在RtBOD中，BD=1

•••OB=OD=OA=—,

2

在Rt.AOC中，ZC=30°,OA=—,

2

..0C-5/2>AC—।

2

604

V2V61I2J_3V3-71•

S阴影=S4OAC-S扇形0AE=----X----X--------------------=---------

22236012

【反思】本题考查圆周角定理，垂径定理的推论，切线的判定和性质，求阴影部分的面积.熟练掌握相

关知识点，并灵活运用，是解题的关键.

一学会一题多解，一题多解

很多同学在学习数学时,感觉数学很难，其实学习数学并不像你想像的那样难，只要你做到从不同角度思

想同一个问题，做到学会一题多解，一题多解，你的数学成绩一定会突飞猛进！

秘籍十五：学会一题多解，一题多解

一、选择题

1.如图，点A,B,C是。上的点，A0=3,ZC=30°,则A8的长是（）

A.4B.2乃C.34D.4九

2.如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A,8,C.AE的延长线经

C

3.如图，在圆内接四边形ABC。中，AD=CD,AC为直径，若四边形ABC。的面积是S,3。的长是

x,则S与x之间的数关系式是（）

12

A.S=x2B.S=V2x2C.S=-x2D.S=-x2

4.如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于LAB的长为半径作弧，两弧相交于力，E两点,

2

作直线OE；分别以点8和点C为圆心，大于;BC的长为半径作弧，两弧相交于凡G两点，作直线

尸G.直线OE与尸G相交于点。，若以点。为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（）

A.点B在。上B.。是ABC的外接圆

C.A8是。的弦D.AC是。的切线

5.如图，点A,B,C在。上,AC=2AB,ZABC=38°,连接。4交BC于点则NAMC的度数

是（）

A.108°B.109°C.110°D.112°

6.如图，在边长为4正方形ABC。中,点E在以8为圆心的弧AC上，射线OE交AB于尸，连接CE,

若CELDF,则DE=()

C.1石

7.如图，正五边形ABCDE内接于。,其半径为1,作O尸_LBC交，。于点尸，则尸4的长为（）

2c2

A.nB.—71C.3D•—71

53

8.如图，扇形Q4B中，ZAOB=90°,。4=4,点C为。B的中点，将扇形绕点C顺时针旋转90。,

得到扇形。AE,则图中阴影部分的面积为（）

Bf

A.—+^-4B.-+273-4

333

c4）l\/3.c4万80.

3333

9.已知圆锥的底面半径为5cm,设圆锥的母线与高的夹角为。（如图所示），且sin。的值为卷，则侧面

积为（）

A.36,rcm2B.45^cm2C.65-rcm2D.78兀cm?

10.如图，直线y=-等x+百与X轴、）'轴分别相交于A、B两点,圆心户的坐标为（TO）,P与y

轴相切于原点。，若将圆P沿x轴向右移动，当P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是

A.2B.3C.4D.5

二、填空题

11.如图，ABC中，ZC=90°,ZBAC=30°,AB=2,点P从C点出发，沿C8运动到点8停止，过

点3作射线AP的垂线，垂足为。，点。运动的路径长为

A

Q

12.如图，P是矩形ABCD对角线AC上的一个动点，以点P为圆心，PC长为半径作尸.若AC=：且

3

tan/AC3=—，当P与矩形A8CQ的边相切时，PC的长为_____.

4

13.如图，A8C的内切圆（圆心为点0）与各边分别相切于点。，£,F,连接EF,DE,DF.以

点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交A8,BC于G,〃两点；分别以点G,，为圆心，以大于

的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线3P,下列说法正确的是.（填代码即可）

A.射线BP一定过点0

B.点。是。射三条中线的交点

C.若4?C是等边三角形，则£>E=；8C

D.点。是一£）所三条边的垂直平分线的交点

14.如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆0,EF与BC,CD分别相交于点G,H.若A£=6,

则EG的长为.

15.如图，在矩形48。中，43=4,BC=6,点E是BC的中点，连接AE,点。是线段AE上一点,

。的半径为1,如果。与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段A。长的取值范围是

BEC

16.如图，在矩形A8CZ)中，AB=6,8c=8,。为矩形A8C3的对角线的交点，以。为圆心，半径为

1作D,P为。上的一个动点，连接4＞、0P,则AOP面积的最大值为.

三、解答题

17.如图，A8为。的直径，CH为。上的两点，C为的中点，于。.

⑴求证：DE是，。的切线；

(2)若EF_LA£,EF=6,BE=4,求A。的长.

18.如图，BC是。的直径，PB是。的切线，切点为B,连接尸0,过点C作ACPO交。于点

A,连接.

⑴求证：AP是。的切线；

4

(2)若cos4PO=g,。的半径为3,求4c的长.

19.如图，A8是，。的直径，C,E在」。上，AC平分NE4B,CD1AE,垂足为DDC,AB的延

长线交于点F.

⑵若Z)E=1,AE=2,求图中阴影部分的面积.

20.如图，AB,BC,CO分别与O相切于E,F,G三点，且EG为。的直径.

PRPFR

⑴延长OF,EB交于点P,若BE=1,AEBF=2NOPC、求图中阴影部分的面积；

⑵连接爪与次交于点M若如L-2,求患的值.

一、选择题

1.如图，二。是他C的外接圆，若NBAC=45。，。半径为2,则劣弧BC的长为()

A

A.2x/2B.4D.兀

2.如图，点A、B、C是。上的三点，连接AB,AC,BC,若。的半径是13,且AB=13,sinZACfi

的值是（）

B

A-I-I

3.如图，在平面直角坐标系xQy中,点A在X轴的正半轴，点5在）‘轴的负半轴,。经过A、B、。、C

四点，ZACO=120°,AB=2,则点B的坐标为（）

4.如图，在ABC中，AB=AC,以AC边为直径作。交8C于点。，过点。作。的切线，交A3于

3

点E,交AC的延长线于点尸；若半径为3,且sin/C*D=],则线段AE的长是（）

,B

E

24

AA.——B.5

5-7

5.如图，AB是。的直径，ZX?是。的切线,切点为点。，过点A的直线与0c交于点C,则下列结

论错误的是（）

A.ZBOD=2ZBAD

B.如果AD平分N8C,AD=&)D

C.如果A。平分/84C,那么ACIOC

D.如果COLA。，那么AC也是。的切线

6.如图，不等边.ABC内接于。，/是其内心,BILOI,AC=14,3c=13,_MC内切圆半径为

A.4B.-y[2C.D.36

2|G

7.如图，在正方形ABC。中，E、尸分别是AO、A8上一点，CE交对角线8。于点G,FG1CE,交

CE于点G,现给出下列结论：①NFCG=45。；（2）GH2=BH2+DG2；③加=HGHD；④△FHGs

\BCH.其中正确的是（）

C.D.①2W)

8.如图，。是四边形A8CQ的外接圆，点E在CD的延长线上，若/4£>£=80。，则NA3C的度数是

A.60°B.80°C.90°D.100°

9.如图，边长为2夜的正方形A8CZ）内接于。，PA,分别与。相切于点A和点。，的延长

线与BC的延长线交于点E,则图中阴影部分的面积为（）

_冗

A.10—4B.10—2万C.5D.5—2万

2

10.如图，扇形纸片408的半径为2,沿AB折叠扇形纸片，点。恰好落在AB上的点C处，图中阴影部

分的面积为（）

AO

A.-7t—5/3B.-71-5/3C.-7c—2^3D.-71-243

4333

二、填空题

11.如图1是博物馆展出的战国时期车轮实物，《周礼・考工记》记载："…故兵车之轮六尺有六寸，田车

之轮六尺有三寸…”据此，为验证博物馆展出车轮类型，我们可以通过计算车轮的半径推断.如图2所

示，在车轮上取A、B两点,设AB所在圆的圆心为。，半径为em.作弦AB的垂线0C,。为垂足，经

测量，=120cm,CD=30cm,则此车轮半径为cm,通过单位换算（在战国时期，一尺大约是

23cm左右），得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮.

12.如图，四边形ABO是。的内接四边形，若NBCD=121。,则/BOO的度数为

13.已知。的半径为4cm,圆心。到直线/的距离为30mm,贝直线/与。的位置关系是.

14.如图，网格中每个小正方形的边长为1,点P是。外一点，连接0P交。于点A,PN与。相切

于点N,点P,A.0均在格点上.

(I)切线长PN等于；

(II)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中作。的切线PM并简要说明切点M的位置是如何找到

的(不要求证明).

15.刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近

似计算圆周率，方法如图：作正六边形4BCOEF内接于。，取A3的中点G,0G与A3交于点H；连

接AG、BG；依次对剩余五段弧取中点可得一个圆内接正十二边形，记正十二边形的面积为正六边

S,

形的面积为邑，则^=.

32

三、解答题

16.如图，已知点。是。上一点，点C在直径54的延长线上，BE与。相切，交C。的延长线于点

E,且BE=DE.

⑴求证：CO是。的切线；

(2)若AC=4,sinC=；,

①求。的半径；

②求8。的长.

17.如图，已知等边ABC,以A8为直径的。与边AC相交于点。.过点。作。垂足为E；

过点E作EF_L/W,垂足为尸.

(2)若EF=26求直径AB的长.

18.如图，以线段43为直径作O,交射线AC于点C,AD平分/C4B交。于点£>,过点。作直线

。后147于点2交的延长线于点尸.连接8。并延长交AC于点M.

(2)若NF=30。，ME=\,求DM的长.

19.如图，半圆。与AABC的AC边相切于点C,与A8,8C边分别交于点£>,E,DE//OA,CE是半

圆。的直径.

⑴求证：48是半圆。的切线；

(2)若即=4,EC=6,求AC和OE的长.

20.如图，点。在/APB的平分线上，。与R4相切于点C.

⑴求证：PB是，。的切线；

⑵。尸与）。相交于点。，直线交所于点E,若CE工PB,CE=4,求）。的半径.

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第勿饼

观俎特钢样解

一、选择题

C是。上的点，AO=3,ZC=30°,则AB的长是（）

B.2乃C.37rD.4乃

【答案】A

【分析】根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，得出乙403=60。，代入弧长计算公式即

可.

【详解】AB所对的圆周角NC=30°,所对的圆心角为NAQ3,

ZAOB=60°,

弘［/曰60%x3

…AB的长TH—=冗,

1oU

故选：A

【点睛】本题考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系及弧长的计算公式，解题的关键是求

出NAQB=60。.

2.如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A,B,C,

【答案】D

【分析】如图，作48、8c的垂直平分线，两线交于0,尸为AB的中点，连接

。4、0E、0C,由垂径定理可得AE=gAB=2,。尸=|,再运用勾股定理求得。4=|,再

根据ZAOE=90。和弧长公式即可解答.

【详解】解：如图，作AB、的垂直平分线，两线交于。，F为AB的中点，连接

040E、OC、AB.BC、CD

13

由垂径定理得：AF=—AB=2,0F=-

22

0A=y/AF2+OF2=/2+图=g

•••ZABC=90°

AC是直径

根据网格图形可知：AC=CD=V32+42=725.AD=Q+f=痴

•••AC2+CD2=AD2=50,

・・•,.A8是等腰直角三角形，

ZACO=90°,ZC4E=45°,

ZEC4=45°,

•••aE所对的圆心角是90。，

・•・弧AE的长是9°x2"x?_5

--------------------=-71

3604

【点睛】本题主要考查了垂径定理、弧长公式等知识点，根据题意找到圆心是解答本题的

关键.

3.如图，在圆内接四边形ABCD中，AD=CD,AC为直径，若四边形ABC。的面积是

S,BO的长是x,则S与x之间的数关系式是（）

D

I2

A.S=x2B.S=42X2C.S=*D.S=1x2

【答案】C

【分析】延长54到E,使A£=C8,连接£)E,先证明△D4£^ADC8(SAS),得到

BD=DE=x,54耐=S△叩，NAOE=ZCDB、再证明

S四边形ABCD=SAME，NCAE=N8A£)=90°,最后得到S四边形的,=~~x'x~~x2-

【详解】解：如图，延长54到E,使钻=CB,连接DE.

四边形ASC。是圆内接四边形，

ZDAB+ZDCB=180°=ZDAB+ZDAE,

:.NDAE=NDCB,

在_04£和ADCB中，

AD=CD

<NDAE=NDCB

AE=CB

AZME^ADCB(SAS),

BD=DE=x,S^DAE=S40cB，NADE=ZCDB,

S.+S.ABD=S&1KB+S&AB»,ZADE+ZADB=ZCDB+ZADB

即S四边形A0co=S&BDE，ZCAE=ZBAD=90°.

=XX=X

一S四边形A8CD=SgDE^^2,'

故选：c.

【点睛】本题考查了圆的内接四边形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助

线，构造丝ZkOCB.

4.如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于;AB的长为半径作弧，两弧相交

于。，E两点，作直线DE；分别以点2和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧

相交于凡G两点，作直线尸G.直线小与尸G相交于点0,若以点。为圆心，为半径

作圆，则下列说法错误的是（）

A.点8在0O上B.二。是JU5c的外接圆

C.AB是。的弦D.AC是O的切线

【答案】D

【分析】根据作图可得直线与广G分别为的垂直平分线，从而得到。是他C

的外接圆，即可求解.

【详解】解：根据题意得：直线QE与FG分别为AB,3c的垂直平分线，

点0到ABC的三个顶点的距离相等，

。是A8C的外接圆，故B选项正确，不符合题意；

•••点A、B、C在。上，故A选项正确，不符合题意；

AB,AC是。的弦，故C选项正确，不符合题意；D选项错误，符合题意；

故选：D

【点睛】本题主要考查了尺规作图，三角形的外接圆，熟练掌握相关知识点是解题的关

键,

5.如图，点A,B,C在CO上，AC=2AB,ZABC=38°,连接交BC于点则

N40C的度数是（）

c

B

A.108°B.109°C.110°D.112°

【答案】B

【分析】连接。8,OC由已知条件求得NAOB,由OC=O8,得NOCB=NOBC,继而

求得N/V0C=NOM3=1O9。，再根据三角形内角和性质，即可求得/AWC.

【详解】如解图，连接。8,OC,

-：ZABC=38°,

•••ZAOC=2ZABC=76°.

•••AC=2AB,

ZAOB=-ZAOC=3S°.

2

1/OC=OB,

NOCB=NOBC=|x(180°-76°-38°)=33°,

NOMB=1800-ZAOB-NOBC=180°-38°-33°=109°,

•••ZAMC=ZOMB=109°.

故选B.

【点睛】本题考查了圆心角定理，圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角，熟悉以

上知识是解题的关键.

6.如图，在边长为4正方形A3C。中，点E在以B为圆心的弧AC上，射线DE交A8于

F,连接CE,若CEJ_O尸，则£>E=()

AD

£

u

A.2B.—^5C.—A/5D.~y/s

555

【答案】C

【分析】设射线。F交8于点G,连接8G,证明/DCE=NG,勾股定理得出G。，进

而根据sinZDCE=sinNG,列出方程，解方程即可求解.

【详解】解：如图所示，设射线。尸交8于点G,连接BG,

•••CELDF,

・•.GC是B的直径，

BC=2BC=8,

••・四边形ABC。是正方形，

CD=BC=4,2DCG=90°,

22

••NDCE=90°-NGDC=NG,GD=ylCD+GC=4石，

..ED.「CD

…sinZ.DCE==sinG=,

CDGD

.巾CD2164石

GD465

故