2023-2024学年六盘山高级中学高二数学上学期第一次月考卷附答案解析

2023-2024学年六盘山高级中学高二数学上学期第一次月考卷

2023.9

时间：120分钟满分:150分

一、单选题(每小题5分，共40分)

1.直线)，=—1的倾斜角是()

A.30B.60°C.120°D.150°

2.己知点A(7,4),8(4,a),且4,8两点的距离为5,则。=()

A.0B.8C.0或8D.4

3.己知空间向量a，。，忖=1,忖=应，且与“垂直，则a与。的夹角为()

A.60B.30C.135D.45

4.如图，在长方体。ABC—OAEC中，OA=1,OC=3,OO，=2,下列说法错误的是()

B.点8'关于尢轴的对称点坐标为(1,-3,-2)

C.点"关于坐标平面的对称点坐标为(1,-3,-2)

D.点&关于原点。的对称点坐标为(-L-3,-2)

5.如图，空间四边形。43。中，QA=〃,OB=4OC=c,点M在Q4上，且。河=2叔4,点N为8C中

点，则MN=()

L二"c

A.B.二”"‘c—D.

23232222232

6.过点(1,6),且平行于直线x-2y=0的直线方程是()

A.2x+y—8=OB.2x-y-8=0C.x-2y+ll=0D.x+2y+l1=()

7.若向量方=(2,2,3)/=(-1,0,l)Q=(0,1,1),则a-S+c)=()

1

A.6B.8C.10D.12

8.如图，已知直三棱柱AgG的所有棱长都相等，M为AG的中点，则A"与Bq所成角的余弦

值为（）

A岳口岳「我

A.-----D•-----X-•----

354

二、多选题（每小题5分，共20分）

9.下列命题正确的是（）

A.任何直线方程都能表示为一般式

B.两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等

C.直线x+2y-4=0与直线2x-y+2=0的交点坐标是（0,2）

D.直线方程6+5+Dy="（a+1）可化为截距式为』-+上=1

。+1a

10.下列直线中，与3x-2y+l=o垂直的是（）

2

A.2x+3y-4=0B.3x-2y+5=0C.y=——x+1D.+y=1

33，

11.下列说法中正确的是（）

A.若向量共线，则向量a,匕所在的直线平行

B.已知不共面，则〃++c,c+〃一定能构成空间的一个基底

C.A,B,C三点不共线，对空间任意一点。，若。尸=3OA+：OB+GOC,则尸,AB,C四点共面

488

D.若P,A,8,C为空间四点，且有PA"尸8+〃PC（P8,PC不共线）,则几+〃=1是AB,C三点共线的

充要条件

12.如图，在棱长为1的正方体A88-AAGP中，E为线段。。的中点，则下列说法正确的是（）

A.四面体的体积为工

B.向量R8在。C方向上的投影向量为OC

2

C.直线AE与直线BR垂直D.点A到直线的距离亚

3

三、填空题(每小题5分，共20分)

13.已知直线/过点A(2,4),8(l,6),则直线/的斜率为.

14.两条平行直线4:3x-4y+6=0与:3x-4y+1=0间的距离为.

15.如图，已知线段48,8。在平面a内，8。_1.4氏4C?_1_2,且/18=4,3。=3,/^^=5,则0£>=.

16.如图，在棱长为1的正方体488-A4GP中，M,N分别是棱48,8C上的动点，且|AM|=|CN|,

则当平面gMN与平面ABC。所成角的余弦值为［时，三棱锥何-48N的体积为.

四、解答题(17题10分，其余各题每小题12分，共70分)

17.已知旗。的顶点坐标分别是A(0,5).8(1,3),C(—3,6).

(1)求直线AB的方程(答案用一般式方程表示)；

⑵求AB边上的高线的长.

18.己知向量a=(l,0,1),&=(1,2,0).

⑴求。与的夹角余弦值；

⑵若(2叫乎-防),求f的值.

19.如图，在四面体ABC。中，ZBAC=90°,ZBAD=ZC4D=60°,AB=AC=AD=6,设

AB=a,AC=b,AD=c.

⑴求8c的值;

3

(2)已知F是线段C。中点，点E满足CE=；EB,求线段EF的长.

20.如图，长方体48。。-44，口，例=48=2,8。=4,£是HQ的中点.

⑴求证：AB〃平面E4C；

⑵求直线与平面EAC夹角的正弦值.

21.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，45=AC=2,AB1AC,M=3,点分别在棱CG，441

上，且GM=gcq,=

(1)求证：平面5CN_L平面A8M；

⑵求点与到平面相何的距离.

22.如图，四棱锥S-AB8的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的正倍，尸为侧棱S£>上的点,

且SZU平面PAC.

/"：二.....,>D

//_•________"If/

・C

(1)求平面PAC与平面A8CO所成的角；

⑵侧棱SC上是否存在一点E,使得BE〃平面尸AC,若存在，求出点E的位置；若不存在，试说明理由.

4

1.B

【分析】求出直线斜率，即可得出倾斜角.

【详解】因为直线y=0x-l的斜率为石，所以倾斜角为60。.

故选：B.

2.C

【分析】根据两点距离公式即可求解.

【详解】由题意可得|AB|="32+(4-4=5na=0或a=8,

故选：C

3.D

【分析】根据已知可得(a-b)”=0,根据数量积的运算律即可求出cos(a,6)=乎，进而求出结果.

【详解】因为与a垂直，所以

即a"-1«|•|/J|COS(CI,b^=l-y/lcos(^a,b^=0,

所以cos卜,/?)=YZ.

又0«词4180,所以(叫=45。.

故选：D.

4.C

【分析】根据空间中的点对称的特征即可结合选项逐一求解.

【详解】点8'的坐标为(1,3,2),故A正确，

点8'关于x轴的对称点坐标为(1,-3,-2),B正确，

点8'关于坐标平面。广的对称点坐标为(-1,3,2),C错误，

点3'关于原点。的对称点坐标为(-1,-3,-2),D正确，

故选：C

5.B

【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.

2

【详解】因为OM=2M4,所以OM=2M4,所以。m=§。4,

又点N为BC中点，所以ON=g(OB+OC),

1011

所以MN=0N—0M=一(。8+0。)——OA=——a+-b+-c.

2、>3322

5

故选：B.

6.C

【分析】根据平行直线系即可求解.

【详解】与直线x-2y=0平行的直线可设为x-2y+c=0,

将(1,6)代入x-2y+c=0可得c=ll,

故直线方程为x-2y+ll=0,

故选：C

7.A

【分析】先利用空间向量的线性运算得到b+c的坐标，再利用数量积运算求解.

【详解】解：因为匕=(-1,0,1),。=(0,1,1),

所以A+c=(―1,1,2),又4=(2,2,3),

所以4.(6+c)=2x(-l)+2xl+3x2=6,

故选:A

8.D

【分析】取AC的中点。，连接。和、BD,可得A例〃DC；,从而异面直线40与8G所成角就是直线

0G与直线BG所成的角，然后在三角形中，利用余弦定理，即可求解.

【详解】如图，取AC的中点O,连接。G、BD,易知AM〃OG，

所以异面直线AM与BC,所成角就是直线DC,与直线BG所成的角，即NBC0,

因为直三棱柱ABC-A4G的所有棱长都相等，

可设三棱柱的棱长都为2,则|。端=石，怛。|=6，怛团=2a,

则在BOQ中，由余弦定理可得：cojCD=(")"叫一阴=而

'2x75x2724

即异面直线AM与8C所成角的余弦值为：叵.

4

故选：D.

9.AC

6

【分析】根据具体条件对相应选项作出判断即可.

【详解】对A：直线的一般是方程为：Ax+By+C^O,

当A=O,3HO时，方程表示水平线，垂直了轴；

当AHO,3=O时，方程表示铅锤线，垂直x轴；

当AHO,8KO时，方程表示任意一条不垂直于x轴和y轴的直线；故A正确.

对B：两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等且不重合，故B错.

(x+2y-4=0[x=0

对C：联立cc八，解得,故C正确.

[2x-y+2=0[y=2

对D：若a=0或a=-1时，式子一\+2=1显然无意义，故D错.

故选：AC.

10.ACD

【分析】根据垂直满足的斜率关系即可求解.

【详解】直线3龙-2y+l=()的斜率为女=会3故与其垂直的直线斜率为-：2，

2

对于ACD,斜率为符合，

对于B,斜率为|,不符合，

故选：ACD

11.BCD

【分析】利用共线向量定义可知，当向量。力共线时，向量。力所在的直线不一定平行，即A错误；根

据不共面的空间向量可构成一组基底可利用反证法证明B正确；由空间向量证明点共面可知C正确；由

共线定理可证明几+〃=1是A,B,C三点共线的充要条件，可得D正确.

【详解】对于A,若向量a,b共线，则向量a,b所在的直线可能平行，也可能重合，故A错误；

对于B,假设向量a+0,b+c,c+&共面，则存在实数Q满足4+6=x(>+c)+y(c+a),

所以可得(l-y)a=(x-l)〃+(x+y)c,

若y=l，则0=(x—l)》+(x+y)c,可得从c两向量共线，这与a,b,c不共面矛盾；

若丁*1,则a=可得共面，与已知矛盾，

所以假设不成立，即可得向量〃+力,力+C,C+〃不共面，所以〃++C,C+4一定能构成空间的一个基底,

即B正确；

对于C,因为A,8,C三点不共线，对空间任意一点。，若。「=金。4+?。8+?。。，

7

因为=3+1951=1，所以可知P,AdC四点共面,即C正确；

488

对于D,若R4氏C为空间四点，且有PA=/IP5+〃PC(P5,PC不共线)，

当；1+〃=1,即〃=1-2时，可得PA-PC=4(P8+CP),即CA=2CB，所以AB,C三点共线；

当A,B,C三点共线时，根据共线定理可知可知对于空间中任意一点尸，

存在实数4〃满足PA=/IP8+〃PC(尸8,PC不共线)，且4+〃=1,即D正确.

故选：BCD.

12.ABD

【分析】以。为原点，DA,。。,。，所在的直线分别为无轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，利用体积公

式判断A；利用空间向量法判断BCD.

【详解】解：以。为原点，0Aoe所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，如图所

示：

则0(0,0,0),C(0,l,0),D,(0,0,1),8(1,1,0),Ad，。/)，£(0,0,1),B,(1,1,1),

对于A,因为％.=gSg“EA=„lxk皮卷,故正确;

对于B,因为一1),DC=(0,1,0),

所以。=|3。|=1,田3|=百，

所以在DC方向上的投影向量为：DCD'8DC=DC,故正确；

\DC\

-.11

对于C,因为AE=(-1,O,-]),3R=(—1,—1,1),AEBR=耳片

所以BR与AE不垂直，即直线AE与直线8R不垂直，故错误；

对于D,因为耳上=(―1,0,—万)，=,

8

1+-

所以cos(AE,EB)=%印

m

、/|£A,|•|EBt|3，

所以sin(AE,EB)=Jl一号2=|

所以点A到直线用E的距离”=|A国.sin（AE,网=争g邛，故正确.

故选：ABD.

13.-2

【分析】根据斜率公式即可求解.

【详解】由斜率公式可得左=片=-2,

故答案为：-2

14.1

【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.

6-1

【详解】依题意可知，两直线的距离为卜2“2=「

V3+4-

故答案为：1

15.50

【分析】根据空间向量的线性表示，结合模长公式，即可求解.

【详解】由于ACLc,48,8。在平面a内，所以AC,A3,AC_L3£）,又43,

所以AC-AB=0,AC8£)=0,BDAB=0,

由于。。=6+48+8。,所以|。。『=CA'+AB'+BD2+2CAAB+2ABBD+2CABD=25+l6+9=50,

所以|CD|=5&,

故答案为：5夜

16.±

24

【分析】以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法结合面面角求出AM,再根据锥体的体积公式

即可得解.

【详解】如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，

设|AM|=ICN|=a,ae[O,l],

则M（l,a,0）,N（a,l,0），4（l,l,l）,

故M7V=（a-=（0,1-a,1）,

9

设平面qMN的法向量为w=(x,y,z),

nMN=^a-\）x+[\-a）y=O

则有＜/、，

匕•MB1=（l-6?）y+z=0

令x=l,则y=l,z=a-l,所以〃=（1,1,々一1）,

因为z轴J.平面458,

则可取平面ABC。的法向量为m二（0,0,1）,

则卜OS（风，7，=-p-=—/1"----==!,解得"=:或a=［（舍去）

11m\\nIx^l+l+^-l）-322

所以|AM\=\CN\=~,

2

.u_v1111.1

故VfBM=VB,-MNB=3X2X2X2X1=24

故答案为：士•.

【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下:

(1)建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；

(2)设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量(注：若半平面

为坐标平面，直接取法向量即可)；

(3)计算(2)中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝

角，从而得到二面角的余弦值.

17.⑴2x+y-5=0⑵。

【分析】(1)由点A(0,5),B(l,3),结合直线的点斜式方程，即可求得A8的方程；

(2)过点作结合点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】(1)解：由点A(0,5),8(1,3),可得直线AB的斜率为3"=衿=-2,

所以直线AB的方程为y—5=—2。—0),即2x+y—5=0.

(2)解：如图所示，过点作即设的边AB上的高线为8,

由直线A3的方程为2x+y-5=0,

10

12x(—3)+6-5|

又由C(-3,6),根据点到直线的距离公式，可得|cq==亚,

即A8边上的高线的长石.

【分析】(1)利用向量坐标夹角公式计算可得答案;

(2)利用向量垂直的坐标运算可得答案.

【详解】(1)因为a=(l,0,1),>=(1,2,0),

所以4-6=((),一2,1),

忖=&,卜_0=石，

所以=R=记;

(2)2a+6=2(l,(),1)+(1,2,0)=(3,2,2),

a-r/>=(l,0,l)-f(l,2,0)=(l-Z,-2M)

因为(2a+Z?)jL(a-f°),所以(2a+b)-(a-rZ?)=3(l-r)-4r+2=0,

解得/=1

19.(1)36(2)6

【分析】(1)根据空间向量的线性运算即可求解，

(2)根据空间向量的线性，结合模长公式即可求解.

【详解】(1)由N8AC=90。，Z/M£>=NC4£)=60。，钻=AC=A£>=6可得

ABAD=ADAC=6x6x^=\S,ABAC=0,

所以BC-8£>=(AC-AB).(4O-4B)=ACAD-ACAB-AB-AO+4/=18-0-18+36=36

(2)由于尸是线段CO中点，点E满足CE=；EB,

11

所以A尸=g（AO+AC）,AE=AC+gcB=AC+；（AB-AC）=：AB+|AC,

■（^EF=AF-AE=^AD+AC）-^AB+^AC^=^AD-^AB-^AC,

所以|E尸「=（LAO-，A8-LAC）=-AD2+-AB2+—AC2--ADAB--ADAC+-ACAB

I1u36J4936369

=-x36+-x36+—x36--xl8--xl8+-x0=9+4+l-6-3+0=5,

4936369

所以|所|=6

9

20.⑴见解析；（2）冒

【分析】（1）连接8。交AC于。，再连接OE,由线面平行的判定定理证明即可；

（2）以A为原点，ARAO,"所在的直线分别为x轴、>轴、z轴，建立空间坐标系，利用空间向量求

解即可.

【详解】（1）证明：连接8。交AC于O,再连接0E,

由题意可知。是8。中点,

又因为E是4。的中点,

所以。E〃A8,

又因为A8<z平面E4C,OEu平面E4C,

所以A/〃平面E4C；

（2）解：以A为原点，AB.AD，M所在的直线分别为X轴、y轴、Z轴，建立空间坐标系，如图所示:

因为AA=AB=2,8C=4,

所以A(0,0,0),8(2,0,0),C(2,4,0),£>(0,4,0),A(°，°⑵，月(2,0,2),C(2,4,0),D/0,4,2),£(0,2,1),

12

所以A4t=(0,0,2),AE=(0,2,l),AC=(2,4,0),

设平面EAC的法向量为"=(x,y,z),

AEn=2y+z=0

则有，

ACn=2x+4y=0

取〃=(2,—l,2),

设直线Ad与平面E4C夹角为6,

|Ay川_4_2

则有sin8=|cos<A4,,n>|=

|A4J.|〃「2x3一§

所以直线AA与平面E4C夹角的正弦值为|.

21.(1)证明见解析(2)还

2

【分析】(1)以A为坐标原点建立空间直角坐标系，可求得平面8CN和平面网的法向量，可证得法

向量互相垂直，由此可得结论；

(2)利用点到平面距离的向量求法可求得结果.

【详解】(1)三棱柱ABC-AB。为直三棱柱，，例，平面ABC,

以A为坐标原点，AC,A3,A4,正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

则8(0,2,0),C(2,0,0),N(0,0,2),A(0,0,0),M(2,0,2),

BC=(2,-2,0),8N=(O,-2,2),AB=((),2,0),AM=(2,0,2),

设平面BCN的法向量”=(x,y,z),

BCn=2x-2y=0...

则，令y=l,解得：x=l,z=l,=；

BN-n=-2y+2z=0

设平面ABM的法向量m=(a,A,c),

AB•m=2h=0

则<,令a=l,解得：b=0,c=—1,/.m=(l,0,-l)；

AM•加=2〃+2c=0

U1

mn=l+0-l=0»•二平面BCNJL平面AftW.

13

（2）8（020）,耳（0,2,3）,=（0,0,—3）,

又平面4加的法向量〃2=（1,0,-1）,

陶8.词33人

•・•点8倒平面43例的距离d=L