2021-2023年高考数学真题分类汇编18 坐标系与参数方程、不等式选讲

专题18坐标系与参数方程、不等式选讲

知识点目录

知识点1：不等式选讲之面积问题

知识点2：不等式选讲之证明不等式、范围问题

知识点3：直角坐标方程与极坐标方程互化

知识点4:，的几何意义

近三年高考真题

知识点1：不等式选讲之面积问题

1.(2023•甲卷(文))设a>0,函数,f(x)=2|x-a|-a.

(1)求不等式/(x)<x的解集；

(2)若曲线y=/(x)与x轴所围成的图形的面积为2,求a.

2.(2023•乙卷(文))已知f(x)=2|x|+|x-2|.

(1)求不等式/(x),,6-x的解集；

(2)在直角坐标系xOy中，求不等式组八所确定的平面区域的面积.

[x+y-6,,0

3.(2023•甲卷(理))已知/(幻=2|X一〃|一々，tz>0.

(1)解不等式f(x)<x；

(2)若曲线y=/(x)与x轴所围成的面积为2,求

知识点2：不等式选讲之证明不等式'范围问题

4.(2022•乙卷(文))已知a,b,c都是正数，且/+扇+痴=i,证明:

(1)abc;,g;

b+ca+ca+b”

5.(2022♦甲卷(文))已知a,h,。均为正数，且/+廿+4/=3,证明:

(1)Q+/?+2G,3；

(2)若b=2c,则LL.3.

6.(2021•乙卷(文))己知函数/(x)=|x-a|+|x+3|.

(1)当a=l时，求不等式/。)..6的解集;

(2)若求〃的取值范围.

知识点3:直角坐标方程与极坐标方程互化

7.（2021•乙卷（文））在直角坐标系中,」C的圆心为C（2,l）,半径为1.

（1）写出二。的一个参数方程；

（2）过点尸（4,1）作C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的

极坐标方程.

2-+-t--

8.（2022•甲卷（文））在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为｛6为参数），曲线C2的参数方

x=__2__+_s

程为一6'（s为参数）.

y=-4s

（1）写出C1的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cos6-sin9=0,求C,

与C交点的直角坐标，及C：与C2交点的直角坐标.

9.（2022•乙卷（文））在直角坐标系X。），中，曲线C的参数方程为卜=6c°s”,（/为参数）.以坐标原点为

y=2sinr

极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为夕sin（e+^）+%=0.

（1）写出/的直角坐标方程；

（2）若/与C有公共点，求m的取值范围.

10.（2023•乙卷（文））在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲

线G的极坐标方程为0=2sin。（（知B与,曲线二2sina（0为参数，］<0<〃）♦

（1）写出G的直角坐标方程;

(2)若直线y=x+机既与G没有公共点，也与G没有公共点、求用的取值范围・

知识点4：/的几何意义

Ix=2+/cosct

11.(2023•甲卷(理))已知P(2,l),直线/:一..。为参数)，a为/的倾斜角，/与x轴，y轴正半

[y=l+fsina

轴交于A,8两点，|PA|-|PB|=4.

(1)求a的值；

(2)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求/的极坐标方程.

12.(2023•甲卷(文))已知点P(2,l),直线/:,.为参数)，a为/的倾斜角，/与x轴正半轴、

[y=1+/sina

y轴正半轴分别交于A,B,且|P4|“P8|=4.

(1)求a；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求/的极坐标方程.

专题18坐标系与参数方程、不等式选讲

知识点目录

知识点1：不等式选讲之面积问题

知识点2：不等式选讲之证明不等式'范围问题

知识点3：直角坐标方程与极坐标方程互化

知识点4：/的几何意义

近三年高考真题

知识点1：不等式选讲之面积问题

1.(2023•甲卷(文))设a>0,函数f(x)=2|x-a|-a.

(1)求不等式f(x)<x的解集；

(2)若曲线y=/(x)与x轴所围成的图形的面积为2,求。.

【解析】(1)。>(),.,.当x..a时，f(x)=2(x-a)-a=2x-3a»

当不<。时，/(x)=-2(x-a)-a=-2x+a,

则当x..a时，由/(x)<x得2x-3“<x,X<3Q,此时④X<3Q,

当时，由/(x)<x得一2X+QVX,X>~^9此时

综上］<x<3"，即不等式的解集为q，3a).

(2)作出了(x)的图象如图:

则A(-,0),8(—,0),C(a,-a),贝11A8|=即一州=a,

2222

则AABC的高/i=a,

则SMBC=2，得。2=4,即3=2.

2.(2023•乙卷(文))已知/(x)=2|x|+|x-2|.

(1)求不等式/(x),,6-x的解集；

(2)在直角坐标系xOy中，求不等式组八所确定的平面区域的面积.

[x+y-6,,0

【解析】(1)当"2时,f(x)=2x+x-2=3x-2,

当0cx<2时，/(x)=2x-x+2=x+2,

当用,0时，f(x)=-2x-x+2=-3x+2,

则当x..2时，由/得3x—2,6—x,得4工,8,即用,2,此时x=2.

当0cx<2时，由)(X),,6—元得x+2,6-x,得2xv4,即x<2,此时0vxv2.

当用,0时，由f(x),,6—x得一3x+2,6—x,得2x.「4,即",一2,此时一2领k0.

综上-2触2,即不等式的解集为[-2,2J.

y..2\x\+\x-2\

(2)不等式组C等价为

x+y-6„0x+y-6,,0

作出不等式组对应的平面区域如图：则5。2),£>(0,6),

得户；

由,即C(2,4),

y=x+2[y=4

x+y-6=0fx=—2

得：｛，即A(-2,8),

y=-3x+2[y=8

则阴影部分的面积++—+.

3.(2023•甲卷(理))已知/(工)=2|工一〃|一々，ez>0.

(1)解不等式/(x)<x；

(2)若曲线)，=/(%)与工轴所围成的面积为2,求

【解析】(1),f(x)=2\x-a\-a»。>0,

二./(%)<%可化为:

2\x-a\-a<x♦

:.2\x-a\<x+a,

/.-(x+a)<2(x-a)<x+a,

3x>a

今，又a>0,

x<3a

一<x<3ci，

3

••・原不等式的解集为九)'其中

2x-3a,x..a

(2)f(x)=2\x-a\-a=，a>0,

a-2x,x<a

.•./(%)的对称轴为x=a,且最低点的坐标为(a,-〃)

令/(x)=2|x-a|-a=0,可得f(x)的两零点分别为x=@和工=与

函数图象大致如下:

，曲线y=/（x）与x轴所围成的面积为』x（至-当xa=2,

解得4=2.

知识点2:不等式选讲之证明不等式、范围问题

333

4.（2022•乙卷（文））已知。，b,c都是正数，且/+扇+9=1,证明：

（1）aba,g；

/八abc1

（2）+----+----„—

b+ca+ca+b21abe

【解析】（1）证明：a,b,c都是正数，

333_2

空+乐+U..3面,当且仅当a=b=c=3三时，等号成立.

333

因为“5+京+Q=1,

所以1..3（〃bc）2,

11

所以].（而C）2,

所以Hc,,l，得证.

（2）根据基本不等式人+c..2痴，a+c..2\[ac,a+h..2>fah,

333333

.a+b+ca+b+c_a2+b2+c2_a2+b2_1

b+ca+ca+h2>fbc2y[ac2y[ah2\[abc24abe2y[abclyjahc2\[abc

当且仅当。=人=。时等号成立，故得证.

5.（2022•甲卷（文））已知a,b,。均为正数，且/+/+4。2=3,证明：

（1）。+人+2G,3；

(2)若b=2c,贝H+1..3.

ac

【解析】证明：(1)a,b,c均为正数，且/+从+4,2=3,

由柯西不等式知,(a2+b2+4c2)(12+12+12)..(«+/?+2c)2,

EP3x3..(Q+Z?+2c)2f:a+b+2<^,3；

当且仅当〃=〃=2c,BPa=fo=l,c=J时取等号；

2

(2)法一、由(1)知，a+b+2G,3且。=2c,

故0<a+4q,3,则—1—.」，

a+4c3

由权方和不等式可知，-+-=-+—^―3,当且仅当工=2,即a=i,c，时取等号,

aca4ca+4。a4c2

故LL.3.

ac

法二、山(1)知，a+4G,3,当且仅当a=2c=l等号成立，

111JL111、/,、

/.-+-=o3..-♦(—+-)•(«+4c)

ac3ac3ac

=-(—+-+5)...-(2,/—--+5)=3,当旦仅当a=2c=l等号成立,

3ac3\ac

故'+L.3.

ac

6.(2021•乙卷(文))已知函数/(x)=|x-a|+|x+3|.

(1)当。=1时，求不等式/(©..6的解集；

(2)若/(x)>-a,求。的取值范围.

—2.x-2,兄，—3

【解析】(1)当。=1时，/(X)=|X-1|4-|X+3|=M,-3<X<1,

2x+29x..l

用，-31一3<冗<1卜..1

一2九一2..6以14..6[2x4-2..6

.二不，一4或X..2,

・,.不等式的解集为(TO,-4]J[2,+oo).

(2)f(x)=\x-a\+\x+3\..\x-a-x-3\^a+3\f

若f(x)>-。，贝ij|a+31>-a,

当a.O时，不等式恒成立；

当〃<0时，一.>0,不等式|i+3|>-a两边平方可得/+6a+9>/,解得一二<白<(),

2

综上可得，”的取值范围是(-|,+oo).

知识点3:直角坐标方程与极坐标方程互化

7.(2021•乙卷(文))在直角坐标系X。)，中，C的圆心为C(2,l),半径为1.

(1)写出的一个参数方程；

(2)过点尸(4,1)作[C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的

极坐标方程.

【解析】(D3c的圆心为C(2,l),半径为1,

则：C的标准方程为(x-2)2+(>-1)2=1,

I1*—0-4-COS0

C的一个参数方程为一.二(。为参数).

[y=1+sin”

(2)由题意可知两条切线方程斜率存在，

设切线方程为y-1=左。一4),即日一丁一4%+1=0,

圆心C(2,l)到切线的距离"=吐二竺」=1,解得&=±且，

心+13

所以切线方程为'=±?1)+1,

因为x=pcos。，y=psin。，

n

所以这两条切线的极坐标方程为夕sin。=±y(夕cos。-4)+1.

8.(2022•甲卷(文))在直角坐标系xO)，中，曲线G的参数方程为""一1'(/为参数)，曲线G的参数方

、y=W

2+5

程为《一6'(s为参数).

,y=->/s

(1)写出G的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G,的极坐标方程为28s6-sin，=o,求C3

与G交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标.

2+t

X=---,

【解析】(1)由6(f为参数)，消去参数£,

可得C,的普通方程为y2=6x-2(y..0)；

2+s

X=------,

(2)由«6(S为参数)，消去参数6,

y=-&

可得G的普通方程为V=-6x-2（%0）.

由2cos9-sine=0,得2/7cos。一夕sin，=0,

则曲线G的直角坐标方程为2x-y=O.

1

%=一为x=\

联立解得2或

j=2

」二1

，C3与G交点的直角坐标为d，D与(1,2)；

x=-\

联立解得x__］或

y=-2

）=-1

C3与C2交点的直角坐标为(-1,-1)与(-1,-2).

X=^COS”,«为参数).以坐标原点为

9.(2022•乙卷(文))在直角坐标系X。)，中，曲线C的参数方程为＜

y=2sinr

极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为psinS+()+,〃=().

(1)写出/的直角坐标方程；

(2)若/与C有公共点，求机的取值范围.

jrjrjr

【解析】（1）由夕Sin（8+1）+m=0,得夕（5缶％057+85。$吊5）+m=0,

；/?sin6+亨Pcose+〃？=0,

I

Xx=pcosd,y=psind,/.—y^-—^-x+m=0,

即I的直角坐标方程为JIr+y+2"?=0；

x=8cos2%为参数）,

(2)由曲线C的参数方程为

y=2sinr

消去参数t,可得丁=一芋*+2,

6x+y+2"?=0

联立、2月，得3y2一2〉一4加一6=0（-2领52）.

y2=-----x+2

3

4m=3y2-2y-6,

令8（〉）=3/一2〉-6（-2领52）,

可得g（y）〃丽=g（；）=；-［一6=-*当>=-2时,g（y）M=g（—2）=10,

ioio5

10,-—^in

3122

.・.，〃的取值范围是［-2,-］.

122

10.（2023•乙卷（文））在直角坐标系直力中，以坐标原点。为极点，工轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲

线C1的极坐标方程为夕=2sin6（?领投行,曲线G｛；［；：：：3为参数，%<a<a

（1）写出a的直角坐标方程；

（2）若直线>=x+m既与G没有公共点，也与G没有公共点、求m的取值范围.

【解析】（1）曲线G的极坐标方程为夕=2sin。（（麴8I），

x=pcosd

根据y=psin0转换为直角坐标方程为f+（y—炉=1,

x2+y2=p1

因为三领B»—^$,04，x=pcos0=2sin0cos0=sin20e[O,1],

422

y=psin^=2sin20=l-cos2^e[l,2],

所以G的直角坐标方程为V+（y—1尸=1,xe[0,1],yc[l,2]；

（2）由于曲线G的方程为Y+（y-l）2=l,（喷*1,啜52）,曲线C,:｛「（a为参数，-<a<7c）,

-[y=2sina2

转换为直角坐标方程为Y+y2=4,（-2<x<0,0<y<2）；

如图所示：

由于y=x与圆G相交于点（1，D，即，"=0,

当，w<0时，直线y=x+m与曲线C1没有公共点;

当曲线。2与直线y=x+相相切时，圆心G（°，°）到直线y=工+%的距离d==2，解得加=20（负值

V2

舍去）,

由于直线y=x+m与曲线C2没有公共点，

所以机＞2血，

故直线y=x+m既与&没有公共点，也与G没有公共点、实数机的取值范围为（ro,（））U（2及,y）.

知识点4：r的几何意义

Ix=2+/cosct

11.（2023•甲卷（理））已知尸（2,1）,直线/:一。为参数），a为/的倾斜角，/与x轴，y轴正半

[y=1+fsiniz

轴交于A,3两点，|PA|」P8|=4.

（1）求a的值；

（2）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求/的极坐标方程.

■X=2+1cosa

，.。为参数），/与x轴，y轴正半轴交于A,B两点,

{y=l+tsina

\PA\-\PB\=4.

令X=0,解得4=—―,令y=。，解得/2=..—»

cosasin