2023-2024学年江西省高二年级上册8月数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年江西省高二上册8月数学模拟试题

一、单选题

1.设全集U=R，集合/={xI2,<2},3={x|y=ln(x—1)},则图中阴影部分所表示的

A.{x|x>l}

B.{x|0<x<l)

C.{x|0<x<l)

D.{x\x<l}

【正确答案】D

【分析】先化简集合A,B,再根据现〃图求解.

【详解】解：全集U=R,集合力=I2V<2|={x|x<l},B={x|y=ln(x-l)}={x|x>l},

由ve〃图知：图中表示集合为/Icq/={才Ixv1},

故选：D

1.c兀)的值是()

2.已知sin[a+]J=-贝nl代in2a+一

f6

【正确答案】B

【分析】结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.

【详解】sin(2a+二］=-cosf2a+—+―=-cos(2a+—

=2sin21tz+—=2x(1i=

33i-4

故选：B

3.设2"=5%=加，K-+y=2,则，*等于（）

ab

A.100B.±710C.VioD.log,10

【正确答案】c

【分析】由2"=5"=机，得到〃=log?机,6=logsm，再由，+?=2求解.

ab

【详解】因为2"=5"=〃?，

所以a=log,m,b=log；m,

则，=bg,“2,；=log,”5，

ab

所以，+<=皿”2+108”5=1呜,10=2,

ab

则加=10,

解得m=A/TO,

故选：C

4.如图，已知P4J_平面ABC,ZABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于（）

A.6应B.6C.12D.144

【正确答案】C

【分析】在中，余弦定理可得AC?=108,由24,平面ABC可得R4LAC,进而得

△%C为直角三角形，再由勾股定理即可求得PC的值.

【详解】解:因为在_ABC中，AB=BC=6,ZABC=\20°,

由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB.BC-cos120°=108.

又因为尸A，平面ABC,

所以PA_LAC,

所以△PAC为直角三角形,

又因为PA=6,

所以在直角三角形PAC中由勾股定理可得：PC2=PA2+AC2=36+108=144,

所以尸C=12.

故选：C.

2-x-l,x<0

5.若函数y=I,当x=x0时函数值y>l,则X。的取值范围是()

x2,x>0

A.(—1,1)；B.(—l,+oo)；

C.(^»,-2)o(0,+<»)；D.(-<»,-l)o(l,+oo).

【正确答案】D

【分析】分与x°>。去解不等式，求出方的取值范围.

【详解】当天40时，2』—1>1，解得：与/40取交集，结果为不<-1；当%>。

时，xj>l>解得：/>1，综上：与的取值范围是S，T)51，”)・

故选：D

6.设q=3；，h=6h，c=10&21则()

A.c<h<aB.b<c<aC.c<a<hD.a<c<b

【正确答案】A

【分析】先判定4,8再比较。力的大小.

【详解】解：由题得〃=3!>3°=1"=6：>6°=1，c=log32<log33=l,

JI[

a=y=6=朝=9%>亭=b'

所以c<〃<a.

故选：A

7.若函数f(x)=x-4'-如-1在(-00,-1)上存在零点，则实数加的取值范围为()

【正确答案】C

【分析】由/*)=0分离参数得，〃=4'-4，引入函数g(x)=4'-,，确定g(x)在(Y»,T)上

XX

的单调性，值域，从而可得加的范围.

【详解】令〃x)=0,则，"=4'-,，设g(x)=4'-,，易知函数g(x)在(9,-1)上单调递增，

XX

而当X-F时，g(x)-O,且g(T)=j,故实数m的取值范围为(0,；),

故选：C.

8.设函数“X)的定义域为R,7(x—l)为奇函数，〃x+l)为偶函数，当xe［l,3］时，

f(x)=kx+,n,若〃0)-/(3)=-2,则〃4)=()

A.-2B.0C.2D.4

【正确答案】C

【分析】由题意表示出/(-x-l)=-/(x-D与/(—x+l)=f(x+l),令x=l,x=0,x=2,

结合题目所给条件列式求解女加，再由两式化简可推导出f(x)的周期为T=8,从而代入计

算.

【详解】因为/(X—1)为奇函数，所以/(-%—。=一/炽一口①；又/(x+1)为偶函数，

所以/(—x+l)=/(x+l)②；令x=l,由②得：〃0)=/(2)=2女+“，又〃3)=34+w，

所以/(0)-/(3)=2%+〃?-(3A+m)=-Z=-2,得Z=2,

令x=(),由①得：/(-1)=-/(-1)^/(-1)=0；

令x=2,由②得：/(—1)=/(3)=0,所以〃3)=3k+〃z=0nm=-6.得*叩,3］时，

f(x)=2x-6,

结合①②得，/(x+2)=-/(x-2)=/(x+4)=-/(x)=/(x+8)=-/(x+4)=/(x),

所以函数“X)的周期为7=8,所以〃4)=〃-4)=_f⑵=_(2x2_6)=2.

故选：C

本题的关键是，根据题目给出的奇函数与偶函数条件进行转化，求解出函数的周期，利用函

数周期性将所给值转化到已知范围中求解.

二、多选题

9.设〃,7〃是两条不同的直线，a,尸是两个不同的平面，下列说法不正确的是()

A.若a_L£,“zua,nu。，则〃?J_〃

B.若mHn,n!Ip,则a_L/?

C.若〃?_L","，ua,"u尸，则a_L〃

D.若a〃夕，znua,nu0,则加〃“

【正确答案】ACD

【分析】利用空间直线和平面的位置关系进行逐个判断.

【详解】对于A,两个平面垂直不能得出两个平面内的两条直线垂直，还可能是平行，所以

A错误；

对于B,因为相〃叫wla,所以〃_Lc,因为〃//月，所以厂内存在一条直线”/〃，

所以/_La,由/u£,从而得到所以B正确；

对于C,因为〃不能得出线面垂直，所以无法得出a_L>0,所以C错误；

对于D,两个平面平行不能得出两个平面内的两条直线平行，还可能是异面，所以D错误;

故选：ACD.

10.(多选)在一ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.sinC+sin(A-B)=3sin2B,

C=J,则£=()

3b

A.-B.yC.2D.3

【正确答案】BD

【分析】根据三角恒等变换进行化简，然后利用正弦定理求解即可.

【详解】解：由题意得：

因为A+B=;r-C

所以sinC=sin(乃-C)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.

又sinC+sin(?4-B)=3sin28

所以2sinAcosB=6sinBcosB,即2cosB(sinA-3sinB)=0,解得cos8=0或sinA=3sinB.

■JTTT7T'

当cosB=0时，因为B£(0,乃)，所以8又。=7，所以4=：.则sinA=二,sin3=l,

2362

”,、tL。sinA1

所以由正弦TH理得7=—^;=7.

bsinB2

当sinA=3sinB时，由正弦定理得a=3/?,所以f=3.

b

综上所述，f=3或;.

b2

故选：BD.

11.设函数〃力=。叫5-亍）3>0）,已知在［0,可上有且仅有4个零点，则（）

-1n25、

A.。的取值范围是

L66）

B.y=〃x）的图象与直线y=l在（0,冷上的交点恰有2个

C.y=/（x）的图象与直线y=-l在（0,兀）上的交点恰有2个

D.上单调递减

【正确答案】AB

【分析】对于A,确定我-斗直-尊兀0_争，根据零点个数确定笠求得

参数范围；对于B,C,采用整体代换思想，结合余弦函数的图象和性质即可判断；对于D,

、।也con2兀con2兀.人+r..

当XG时,计算彳一丁,-相一7的范围，从而

确定上单调性.

【详解】当xe［（）,可时，Ttr-yet-y.Ttey-y］,因为/（力在［0,可匕有且仅有4个零点,

所以=4兀解得冬故A正确；

23266

又由以上分析可知，函数y=cosx在［-217r,兀。-彳27r］上有且仅有4个零点，

且gw兀0-与<T，则在［-与,等）上，y=cosx出现两次最大值，

此时函数y=cosx的大致图象如图示:

y=/（x）取最大值,

故y=/（x）的图象与直线y=i在（o,兀）上的交点恰有2个，故B正确;

,_/八,,2兀/2冗2兀、5冗27r77t

由于当X€（0,冗）时n，TIX----€（----，兀69------）,一＜7169-------＜一,

333232

当m-g=F时，y=/（x）取最小值-1,由于口-得是否取到立不确定,

故y=/（x）的图象与直线y=-l在（0,兀）上的交点可能是1个或2个，故C错误;

当XC时,

..1925「广,,am2兀八11兀27tl7兀

因为"4。〈工，所以丁一丁>0,

6643122312

故3-可的值不一定小于八

上不一定单调递减.

故选：AB.

本题考查了复合型余弦函数的解析式中参数的确定以及零点以及最值和单调性问题，综合性

强，计算量大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识灵活解答，关键是整体代换思想的

应用.

12.在四面体A8CD中，AB=CD=AC=BD=5,AD=BC=3上,E、F分别是A。、BC

的中点.若用一个与直线E尸垂直，且与四面体的每个面都相交的平面a去截该四面体，由此

得到一个多边形截面，则下面的说法中正确的有（）

A.EF1AD,EFJ.BCB.四面体外接球的表面积为34万

7Q

C.异面直线AC与3。所成角的正弦值为《D.多边形截面面积的最大值为］

【正确答案】ABD

【分析】对A,连接尸，进而根据线面垂直得线线垂直可判断；

对B,将其补成长方体，转为为求长方体的外接球表面积可判断；

对C,结合B建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可判断；

对D,根据题意，证明截面MNKL为平行四边形，且KN+KL=非,由

K/V上更丫可判断.

SMNKL=NKKL-sinNNKL<

2

【详解】对A,连接BE,CE,AF,L»E,因为AB=CD=AC=%>=5,E、尸分别是A£）、BC

的中点，所以BC_LAF,BCJ,£>F,BErAD,CE±AD,因为AFcDF=F,BEcCE=E,

所以8c2平面A£>F,AQ_L平面BCE,所以EFSBC,EF±AD,故正确；

A

对B,该几何体可以在如图2的长方体中截出，设长方体的长宽高分别为

a2+b2=25

则/+/=18,所以〃+/+/=34,即长方体的体对角线的长度为。岩+廿+C2=后,

c2+b2=25

所以四面体的外接球即为该长方体的外接球，半径满足2R=4?+匕2+。2=取,

所以四面体外接球的表面积为S=4万尸=34%，故正确；

对C,由②得a=c=3,6=4,如图3,以。点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则4（3,0,3）,

C（3,4,0）,B（0,4,3）,0（0,0,0）,故AC=（0,4,-3）,DB=（0,4,3）,所以异面直线AC与即所

\AC-DB\7

成角的余弦值为一=R，故错误；

AC-DB25

对D,如图4,设平面a与双）,C£>,AC,AB分别交于M,N,K,L,

EF±a,:.BC//a,则由线面平行的性质可得8C//KL,BC//MN,则KL//AW,

同理，ML//NK,所以截面MNKL为平行四边形,

r’wCKKNAKKL

可得——=——,——=——，

CAADCABC

CKADAKBC3垃CK3让AKCK+AK

则KN+KL=-----------------1-----------------+=3夜=3四,

CACACACA-CA-

设异面直线8C和AD所成角为。，由③的讨论可得异面直线8C和A。所成角为90，

所以sinZLATV=sin夕=1,

则可得SMNXL=NK•KL-sinNNKL=NK•=|,当且仅当K7V=KL时等号成

立，故正确.

故选：ABD

三、填空题

13.己知a为钝角，且tana=・2,则sin（a-7J=.

【正确答案】亚

10

【分析】由已知可求出Sine,cose,由两角差的正弦公式代入即可得出$吊（”口的值.

fsincr=-2cosa

【详解】因为tana=・2,所以.？2「

[sma+cosa=1

因为。为钝角，解得：sina=2叵,cosa=-叵

5'5

后四.（吟.式.兀也.&3回

所以sina——=sinacos-----cosasin—=——sincr-------coscr=-------.

442210

故答案为•亚

10

14.已知A（3,5,-7）,8（-2,4,3）,则线段A8在yOz平面上的射影长为.

【正确答案】VioT

【分析】首先求点4B在yOz平面上的射影的坐标，即可求解射影长.

【详解】点A（3,5,—7）,B（—2,4,3）在yOz平面上的射影分别为A（0,5,-7）,（0,4,3）,所以线

段AB在yOz平面上的射影长=>/（0-0）2+（4-5）2+（3+7）2=J而.

故71所

15.在三棱锥P-A8C中，PA,PB,PC互相垂直，B4=P3=4,M是线段8c上一动点，

且直线AM与平面P8C所成角的正切值的最大值是石，则三棱锥P-MC外接球的体积是

【正确答案】36万

（分析】易证得_L平面PBC,WJZAMP即为直线AM与平面PBC所成角的平面角，当PM

最小时，直线4M与平面PBC所成角的正切值的最大值，此时求出此时PM的

长度，从而可求得PC,再求出外接球的半径，根据棱锥的体积公式及可得解.

【详解】解：因为=

所以尸A，平面PBC,

则NAA小即为直线AM与平面P8C所成角的平面角,

PA4

则tan/LAMP=——=——

PMPM

当PM最小时，tanNAMP最大,

4I-

此时——=V5,

PM

所以PM15C时，PM=正

5

则cosNBPM=—=—,

PB5

所以sinNCPM=sinK-NBPM=cosNBPM=正

5，

所以cosNCPM=、一PM

5~PC

所以PC=2,

所以三棱锥P-ABC外接球的半径为：J16+16+4=3,

2

所以三棱锥P-ABC外接球的体积是g*33万=36n.

故答案为.36万

16.已知0(0,0,0),40,2,3),8(2,1,2),P(l,l,2),点Q在直线0P上运动，当QAQB取

最小值时，点。的坐标是

【正确答案】弓，

【分析】先利用向量共线定理设出。点坐标(t,t,2/),再利用向量的数量积运算得到QAQB关

于f的函数式，利用二次函数求最值即可得到答案.

【详解】因为点2在直线OP上运动，所以存在teR,使得OQ=/OP,

因为OP=(1,1,2),所以OQ=fOP=(r,f,2r),所以点。的坐标为(r,r,2r).

所以©4=(17,27,3—2。，Qfi=(2-r,l-Z,2-2z),

所以QAQB=(lT)(2T)+(2T)(lT)+(3_2f)(2—2/)=6/-16r+10,

-164(448、

所以当，=-者=:时，Q4Q8取最小值，此时点。的坐标为K.G

2x63<33

故答案为•匕

四、解答题

17.已知向量。=(x,4,l),6=(-2,y,-l),c=(3,-2,z),a//b>blc.

⑴求a，b>c;

⑵求a+c与b+c所成角的余弦值.

【正确答案】⑴a=(2,4,1),b=(-2,T,-l),c=(3-2,2)

(2)--

19

【分析】(1)根据向量平行得到a=/lb，根据向量垂直得到"c=0,计算得到答案.

(2)计算a+c=(5,2,3),A+c=(l,-6,1),再根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】(1)a//b.故H，BP(x,4,l)=(-2A,y2,-2),

故4=-1,x=2,y=-4,BPa=(2,4,1),6=(—2,—4,-1),

blc，故从c=(-2,7,T)・(3,—2,z)=-6+8-z=0,z=2,故c=(3,—2,2)

(2)a+c=(5,2,3),Hc=(l,-6,1),°+c与6+c所成角的余弦值为：

(a+c>仅+c)5-12+32

|a+c|•+c|V52+22+32-Vl2+62+1219

18.现给出以下三个条件：

①/(x)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为］；

②/(X)的图象上的一个最低点为4

③"0)=1.

请从上述三个条件中任选两个，补充到下面试题中的横线上，并解答该试题.

已知函数/(x)=2sin(ox+e)(o<0<5,o<8<]),满足,.

(1)根据你所选的条件，求A*)的解析式；

(2)将/(X)的图象向左平移£TT个单位长度，得到g(x)的图象求函数y=f(x)g(x)-l的单调

6

递增区间.

【正确答案】答案见解析.

(1)选择①②：由①可得0=2,再将《芥臼代入/(x)得0选择①③：由①可得

3=2,又/(())=2sino=l,所以夕=2；选择②③：由/(o)=2sine=l,所以°再

将A(朗,-2)代入/(x)得0=2；所以f(x)=2sin(2x+£)；

(2)根据平移可得函数g(x)=2cos2x,故y=2sin(4x+£j,根据三角函数图象性质可得

函数的单调递增区间.

【详解】解：(1)选择①②：由己知得T=m27r=2-7gE="，所以。=2,

co2

从而/(x)=2sin(2x+e),

将A仔,J代入/(x)得，2sin与+夕)=-2,

解得°=2+2kn,keZ,

6

又o<e<],所以夕=9，

26

所以“r)=2sin(2x+3

27r

选择①③：由已知得T=*=2x上7T=万，所以。=2,

co2

从而/(x)=2sin(2x+e),

又/(O)=2sin9=l,

因为0<e<TWT，所以尹=-T^T.

26

所以/(x)=2sin(2x+j]；

选择②③：由/(O)=2sin°=l,又0<9<1,所以0=£,

26

将A〔W，-2j代入/(x)得,2sinl—(W+—1=-2,

解得3=2+33kwZ,

又0<(y<5,所以<v=2,

所以/(x)=2sin(2x+?)

(2)由已知得g(x)=2sin2(x+看)+看=2sin(2x+])=2cos2x,

故y=/(x)g(x)T

=4sin2x+—cos2x-1

I6j

=25/3sin2A-cos2x+2cos22x-l

=5/3sin4x+cos4x

=2sin(4x+1],

TTTT7T

令一彳+2Z"<4x+—<—+2k7r,kGZ,

0冗k兀，，冗kjr,〜

得——+—<x<—+—,keZ,

62122

所以函数y=/(x)g(x)-l的单调递增区间为-9+”，白+竺]，kwz.

021ZZ

求三角函数的解析式时，由。=包即可求出g确定9时，若能求出离原点最近的右侧图

T

象上升(或下降)的"零点''横坐标X0,则令的切+3=0(或①xo+9=?r),即可求出9,否则需要

代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出G和仰若对A,

口的符号或对(p的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

19.已知定义域为R的函数〃力=等詈是奇函数.

⑴求〃值；

⑵若对任意的fwR,不等式/•(r-2。+/(2--Z)<0恒成立，求实数〃的取值范围.

【正确答案】⑴。=1;

(2)(F,g).

【分析】(1)根据奇函数的性质，结合奇函数的定义进行求解即可:

(2)根据函数单调性的性质，结合奇函数的性质进行求解即可.

【详解】(1)因为定义域为R的函数/(司=三詈是奇函数，

所以有〃O)=O=m^=O=a=l，即/3=苓汁，

因为〃-)=展m=一羽=一"')，

所以该函数是奇函数，故a=1;

(2)/(x)=^^=——-1,由函数的单调性的性质可知：该函数是实数集上的减函数,

而该函数是奇函数，于是有：

f(t2-2t)+f[2t2-k)<0^f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k),可得：

t--2t>一2/+k=>k<3t2-2t=3(r-1)2-g,因此有k<；,

即实数&的取值范围为(-8,；).

20.已知_A8C中，a,h,c分别为角A,B,C的对边，且(2a—b)cosC=ccosB

⑴求角C

(2)若a=2,b=3,8为角C的平分线，求CO的长；

(3)若a8sB+AosA=4,求锐角二ABC面积的取值范围.

TT

【正确答案】(1)§

⑵迪

5

⑶(T，4石

【分析】(1)利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出cosC=1,即

可得解；

(2)设CD=x,根据SACO+$88=SA0c及面积公式得到方程，解得即可；

(3)首先利用正弦定理求出c,再由正弦定理得到a=*8sinA,b=^-sinB,再根据

33

S=:〃戾inc转化为关于A的三角函数,根据正弦函数的性质求出面积的取值范围；

【详解】（1）解：由（2Q-A）COSC=CCOS3及正弦定理得（2sinA-sinfi）cosC=sinCcosB

所以2sinAcosC=sin(B+C)=sinA

sinAw0,/.cosC=—

2

TC

・・・0vC＜万，：.C=-

3

(2)解：设CD=X由SACD+Ssc/)=SAAC得

1.X.11.X.11X6X^

232+222=22

解得x=即角平分线CO的长度为她

55

（3）解：设.45C外接圆半径为R,由acos8+AosA=4

4c

2/?sinAcosB+2/?sinBcosA=4,HP2/?sinC=4,即2R=------=-------,/.c=4

sinCsinC

iA

所以一ABC的面积S=—ahsinC=——ah

24

ba4

=^nB

VsinBsinA上,b

3

T3

s=l^lsinAsin

3

=sinAfsin—cosA-cos至sinA)

3I33J

HiM&sA+LinA

3I22

啜亭…A+*A

11、

sin2A——cos2A+一

44

述5届一勺+递

3L6；3

,0<34，A+8#

V0<A<-

2

.2%冗

••0<------A<一,

32

・.・4—<A4<—4,

62

.4c，715JT.£<sin[2/4-^-

：.—<2A——<——,<1,

6662

/.Se愣,40

21.如图甲，直角梯形ABC。中，AB_LAO,AO//BC,F为A。中点，E在BC上，且砂〃AB,

已知AB=AD=CE=2,现沿EF把四边形CDFE折起如图乙使平面CDFE1.平面ABEF.

图甲图乙

(1)求证：4)//平面2CE；

(2)求证：平面ABC_L平面BCE；

(3)求三棱锥C-AOE的体积.

【正确答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)

【分析】(1)由题意知A尸〃BE,DF//CE,然后利用面面平行的判定可得平面AOF//平面

BCE,进一步得到A。//平面BCE；

(2)在图甲中，EF//AB,AB1AD,可得E凡LAZ),则在图乙中，