根式指数对数

关于根式指数对数2．运算性质

第2页,共65页，2024年2月25日，星期天3.根式的定义

根指数被开方数根式第3页,共65页，2024年2月25日，星期天4.根式的性质当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）3.负数没有偶次方根。4.0的任何次方根为0。第4页,共65页，2024年2月25日，星期天5.常用公式1.2.当n为奇数时当n为偶数时

3.根式的基本性质：无此条件，公式不成立第5页,共65页，2024年2月25日，星期天指数-分数指数正数的正分数指数幂(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)正数的负分数指数幂和0的分数指数幂(a＞0，m,n∈N*,且n＞1)根指数是分母，幂指数是分子第6页,共65页，2024年2月25日，星期天0的正分数指数幂等于00的负分数指数幂无意义有理指数幂的运算性质第7页,共65页，2024年2月25日，星期天练习1求值：解：第8页,共65页，2024年2月25日，星期天2.用分数指数幂的形式表示下列各式：1).3.计算下列各式（式中字母都是正数）4a要点：分别计算系数和指数第9页,共65页，2024年2月25日，星期天4.计算下列各式：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。第10页,共65页，2024年2月25日，星期天举例第11页,共65页，2024年2月25日，星期天4a第12页,共65页，2024年2月25日，星期天(1)(2)第13页,共65页，2024年2月25日，星期天6.7.6第14页,共65页，2024年2月25日，星期天指数函数指数函数的定义函数y=ax,

(a>0,a≠1)

叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。

注意类似与2ax，ax+3的函数，不能叫指数函数。第15页,共65页，2024年2月25日，星期天第16页,共65页，2024年2月25日，星期天例2比较大小：①1.72.5，1.73；②0.8-0.1

，0.8-0.2

；

③1.70.3

，0.93.1利用函数单调性y=1.7x在R是增函数<y=0.8x在R是减函数<y=1.7x>1,y=0.8x<1>第17页,共65页，2024年2月25日，星期天练习底数化为正数。<(2).已知下列不等式，试比较m、n的大小

m<n

m<n第18页,共65页，2024年2月25日，星期天指数函数的应用例1.求下列函数的定义域、值域：函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围。（1）定义域为{x|x≠1}；值域为{y|y>0且y≠1}第19页,共65页，2024年2月25日，星期天（2）y≥1值域为{y|y≥1}（3）所求函数定义域为R值域为{y|y>1}第20页,共65页，2024年2月25日，星期天例2.求函数的单调区间，并证明。解一（作商法）：设，x1<x2y2/y1>1，函数单调增y2/y1<1，函数单调减结合图像第21页,共65页，2024年2月25日，星期天解法二.（用复合函数的单调性）在R内单减在[-∞,1)内，单减；[1,∞)内，单增。

∴函数y在上单调递增，在上单调递减。同增，异减。单调区间内的值域：边界值。第22页,共65页，2024年2月25日，星期天2x在R内单增，x1<x2：f(x1)<f(x2)所以对于a取任意实数，f(x)为增函数。第23页,共65页，2024年2月25日，星期天练习求下列函数的定义域和值域1.2.a>10<a<1当a>1时x≤0;当0<a<1时x≥0值域为0≤y<1x≠-3

y≠1,y>0值域为(0,1)∪(1,+∞)第24页,共65页，2024年2月25日，星期天指数函数3(函数的图象变换)1.y=f(x)→y=f(x-a)：左右平移

a>0时，向右平移a个单位；a<0时，向左平移|a|个单位.

y=f(x)y=f(x-a)，a>0y=f(x-a)，a<0平移变换第25页,共65页，2024年2月25日，星期天2.y=f(x)→y=f(x)+b：上下平移b>0时，向上平移b个单位；b<0时，向下平移|b|个单位.第26页,共65页，2024年2月25日，星期天对称变换y=f(x)y=f(-x)y=f(x)→y=f(-x)：（关于y轴对称）y=f(x)→y=-f(x)：（关于x轴对称）y=-f(x)y=f(x)→y=-f(-x)：（关于原点对称）y=-f(-x)第27页,共65页，2024年2月25日，星期天y=f(x)→y=f(|x|)：把y轴右边的图像翻折到y轴左边绝对值变换y=f(x)f(|x|)y=f(x)→y=|f(x)|：把x轴下方的图像翻折到x轴上方y=|f(x)|第28页,共65页，2024年2月25日，星期天反函数变换y=f(x)→y=f-1(x)：（关于y=x对称）y=f(x)y=xy=f-1(x)第29页,共65页，2024年2月25日，星期天作图练习1.在同一坐标系中作y=2x，y=2x+1，y=2x-2的图像1y=2xy=2x+1y=2x-2左移1个单位右移2个单位第30页,共65页，2024年2月25日，星期天2.作函数的图像第31页,共65页，2024年2月25日，星期天1把y轴右边的图形翻折到y轴的左边第32页,共65页，2024年2月25日，星期天4.作出函数y=│2x

-1│的图像1y=2xy=2x-1把x轴下方的图形翻折到x轴上方y=│2x

-1│第33页,共65页，2024年2月25日，星期天5.作出函数y=|x-2|(x＋1)的图象分段函数：x≥2,y=(x-2)(x+1)x<2,y=-(x-2)(x+1)-12

x<2的部分关于x轴对称y=|x-2|(x＋1)第34页,共65页，2024年2月25日，星期天6.如图，点A、B、C都在函数y=的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2.又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a).(1)求函数f(a)和g(a)的表达式；(2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论.ABCA’B’C’f(a)=SAA’C’C-SAA’B’-SB’C’C第35页,共65页，2024年2月25日，星期天(★★★★)当a≠0时，y=ax+b和y=bax

的图象只可能是()∵y=bax=(ba)x,∴这是以ba为底的指数函数.

观察直线方程可知：在选择B中a>0,b>1,∴ba>1,C中a＜0,b>1,∴0＜ba＜1,D中a＜0,0＜b＜1,∴ba>1.故选择B、C、D均与指数函数y=(ba)x的图象不符合.A第36页,共65页，2024年2月25日，星期天练习题定义域：x

R；值域：

0<y≤111第37页,共65页，2024年2月25日，星期天2.求下列函数的单调区间

1）2）：单增复合函数：同增，异减减区间为(-∞,2];增区间为[2,+∞)解答见后面第38页,共65页，2024年2月25日，星期天2）分段讨论增增减减区间为[0.5,+∞)；增区间为(-∞,0.5]第39页,共65页，2024年2月25日，星期天解：2y=2x+2-x2x×2y=2x×2x+2x×2-xu=2x:u2-2yu+1=0x

R,∴△≥0

y>0:y≥1x

R;y≥1偶函数第40页,共65页，2024年2月25日，星期天5.函数y=ax+m-1,(a>0)的图像在1，3，4象限，求：a,m的取值范围1y=ax,(0<a<1)图像上下移动，过2，3，4象限1y=ax,(a>1)

向下移动超过1个单位

m-1<-1,∴m<0a>1且m<0第41页,共65页，2024年2月25日，星期天6.求下列函数的值域1）2）定义域：│x│+x≠0

x>0，u>010u：增函数值域:(1,+∞)10u

t=2x,u=t2+6t+10

t>0,u>10第42页,共65页，2024年2月25日，星期天7.讨论函数

的单调性。令：t=ax，0<a<1,单减;a>1,单增。单增结论：0<a<1,f(x)单减a>1,f(x)单增。第43页,共65页，2024年2月25日，星期天方程有负实数解，求：a的取值范围。第44页,共65页，2024年2月25日，星期天对数底数幂指数

知a,x求b：乘方

知b,x求a：开方

知a,b求x：?第45页,共65页，2024年2月25日，星期天定义一般地，如果a的b次幂等于N,

就是:ab=N那么数b叫做a为底N的对数记作：对数符号底数真数以a为底N的对数对数的值和底数，真数有关。第46页,共65页，2024年2月25日，星期天例如：2-3第47页,共65页，2024年2月25日，星期天探究⑴负数与零没有对数（∵在指数式中N>0）(2)⑶对数恒等式第48页,共65页，2024年2月25日，星期天⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。记作lgN⑸自然对数在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数

记作lnN第49页,共65页，2024年2月25日，星期天（6）底数的取值范围真数的取值范围范围第50页,共65页，2024年2月25日，星期天对数举例例1.将下列指数式写成对数式

log327=a第51页,共65页，2024年2月25日，星期天例2.将下列对数式写成指数式27=12810-2=0.01

e2.303=10第52页,共65页，2024年2月25日，星期天例3.计算

9x=27,32x=33,2x=316-13第53页,共65页，2024年2月25日，星期天

练习

1.把下列指数式写成对数式第54页,共65页，2024年2月25日，星期天2.把下列对数式写成指数式

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