高三第一轮复习《走向高考》配套1-2简易逻辑

4/12/20241●基础知识一、逻辑联结词1．逻辑联结词有或、且、非．2．不含逻辑联结词的命题叫做简单命题,由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．3．复合命题的构成形式有p或q、p且q、非p.4．判断下表中复合命题的真假：①④⑥⑨⑪⑫为假，其余为真.4/12/20242000000pq非pp或qp且q真真①②③真假④⑤⑥假真⑦⑧⑨假假⑩⑪⑫4/12/20243二、四种命题1．四种命题：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用┑p和┑q分别表示p和q的否定．于是四种命题的形式为：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若┑p则┑q；逆否命题：若┑q则┑p.4/12/202442．四种命题的关系：4/12/202453．原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真．4．反证法欲证“若p则q”为真命题，从否定其结论即“非q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非q”为假，即原命题为真，这样的方法称为反证法．4/12/20246三、充分必要条件1．若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p叫做q的充要条件．2．判断充要条件的方法：(1)定义法；(2)逆否法；(3)集合法．逆否法：若┑A⇒┑B,则A是B的必要条件，B是A的充分条件;若┑A⇒┑B且┑B/⇒┑A则A是B的必要非充分条件；若┑A⇔┑B，则A与B互为充要条件；若┑A/⇒┑B且┑B/⇒┑A，则A既不是B的充分条件也不是B的必要条件．4/12/20247集合法：从集合观点看，建立命题p，q相应的集合．p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：若A⊆B，则p是q的充分条件；若A

B，则p是q的充分非必要条件；若B⊆A，则p是q的必要条件；若B

A，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是必要条件．4/12/20248示意图为下图．4/12/20249●易错知识一、数学中的“或”与生活中的“或”混淆1．命题：方程x2－4＝0的解为x＝±2，使用的逻辑联结词为________．答案：“或”4/12/202410二、已知命题p、q写出复合命题“p或q”，“p且q”一定注意所写命题要符合真值表．2．下面写法对吗？它们与真值表相符吗？(1)p或q：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1或x＝2；(2)p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．你知道应该怎样写吗？答案：不对，与真值表不相符．p或q：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1或方程(x－1)(x－2)＝0的根为x＝2.p且q：四个角相等的四边形是正方形且四条边相等的四边形是正方形．4/12/202411三、命题的否定与否命题的混淆3．存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0的否定是________________________________；否命题是________________________________________________．答案：命题的否定是：“不存在实数x使得x2＋x＋1≤0”，即“对所有的实数x，有x2＋x＋1>0”否命题是：“不存在实数x，使得x2＋x＋1>0”，即“对所有的实数x，有x2＋x＋1≤0”4/12/2024124/12/202413四、判断充分必要条件时，因分不清命题的条件和结论而失误．5．若p：α＝β，q：tanα＝tanβ，则p是q的____________________条件．答案：既不充分也不必要五、用反证法证明问题时，结论的反面不能一一列举出来．6．用反证法证题命题：“若整数系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”，则应假设____________________________．答案：a、b、c都不是偶数4/12/202414●回归教材1．命题“2010≥2009” ()A．使用了逻辑联结词“或”B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“非”D．是假命题解析：“2010≥2009”是指“2010＞2009或2010＝2009”，故选A.答案：A4/12/2024154/12/2024163．用反证法证明“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”时的假设应为 ()A．x＝1或x＝2 B．x2－3x＋2＝0C．x2－3x＋2≤0 D．x2－3x＋2＞0解析：用反证法证明命题中的假设是原命题结论的否定，“x2－3x＋2≠0”的否定为“x2－3x＋2＝0”，故选B.答案：B4/12/2024174．(教材改编题)设集合P＝{x|－1≤x≤1}，Q＝{x|－2≤x≤1}．则“x∈P”是“x∈Q”的 ()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵P

Q，∴“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件．答案：A4/12/2024185．(课本P42,11题改编)已知命题p：若a，b都是偶数，则a＋b是偶数．命题P的否命题为__________________________．答案：若a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数4/12/202419【例1】指出下列复合命题的形式及其构成，并判断复合命题的真假：(1)10≤10；(2)方程x2－6x＋1＝0没有实数根；(3)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形．[解析](1)是“p或q”形式的复合命题，其中p：10＝10；q：10＜10，为真命题；也可认为是“非p”形式的复合命题，其中p：10＞10.(2)是“非p”形式的复合命题，其中p：方程x2－6x＋1＝0有实根，为假命题．4/12/2024(3)是“p且q”形式的复合命题，其中p：有两个角为45°的三角形是等腰三角形；q：有两个角为45°的三角形是直角三角形，为真命题．[反思归纳]学习逻辑知识，要学会把复杂命题分拆成简单命题的组合，从而化归为对简单命题的判断，达到判定复合命题真假的结果，并会运用简单命题去构造新的命题．4/12/202421分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题，并判断其真假．(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；(2)p：a∈{a，b，c}，q：{a}{a，b，c}；(3)p：不等式x2＋2x＋2＞1的解集是R，q：不等式x2＋2x＋2≤1的解集为∅.解析：(1)p或q：3是9的约数或18的约数，为真命题．p且q：3是9的约数且是18的约数，为真命题．非p：3不是9的约数，为假命题．4/12/202422(2)p或q：a∈{a，b，c}或{a}{a，b，c}，为真命题.p且q：a∈{a，b，c}且{a}{a，b，c}，为真命题．非p：a∉{a，b，c}为假命题．(3)p或q：不等式x2＋2x＋2＞1的解集为R或x2＋2x＋2≤1的解集为∅，为假命题．p且q：不等式x2＋2x＋2＞1的解集为R且x2＋2x＋2≤1的解集为∅，为假命题．非p：不等式x2＋2x＋2＞1的解集不是R，为真命题．4/12/202423【例2】判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．[命题意图]本题主要考查四种命题及其真假的判定.考查分析、推理的能力．[分析]先写出逆否命题，再判断真假或利用原命题与其逆否命题同真假的关系等方法解决．[解答]解法1：写出逆否命题，再判断其真假.原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根，逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0，4/12/202424判断如下：∵x2＋x－a＝0无实根，∴△＝1＋4a<0，∴a<－<0，∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”为真命题.解法2：利用命题之间的关系：原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)证明.∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1>0，∴方程x2＋x－a＝0的判别式△＝4a＋1>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真.又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真.4/12/2024254/12/2024264/12/202427写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：(1)若a＝b，则a2＝b2；(2)若x2＋y2＋2x＋1＝0(x、y∈R)，则x＝－1且y＝0；(3)若△ABC≌△PQR，则S△ABC＝S△PQR.解析：(1)逆命题为：若a2＝b2，则a＝b,此命题为假；否命题为：若a≠b，则a2≠b2，此命题为假；逆否命题为：若a2≠b2，则a≠b，此命题为真．4/12/202428(2)逆命题为：若x＝－1且y＝0，则x2＋y2＋2x＋1＝0，此命题为真；否命题为：x2＋y2＋2x＋1≠0，则x≠－1或y≠0，此命题为真；逆否命题为：若x≠－1或y≠0(x、y∈R)，则x2＋y2＋2x＋1≠0，此命题为真．(3)逆命题为：若S△ABC＝S△PQR，则△ABC≌△PQR，此命题为假；否命题为：若△ABC与△PQR不全等，则S△ABC≠S△PQR,此命题为假；逆否命题为：若S△ABC≠S△PQR，则△ABC与△PQR不全等，此命题为真.4/12/202429【例3】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分而不要条件”、“必要而不充分”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC；(2)对于实数x、y、p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)在△ABC中，p：sinA＞sinB，q：tanA＞tanB；(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[解析](1)在△ABC中，显然有∠A＞∠B⇔BC＞AC，∴p是q的充要条件．4/12/202430(2)∵逆否命题：x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，∴p是q的充分不必要条件．(3)取A＝120°，B＝30°，p⇒/q，又取A＝30°，B＝120°，q⇒/p，∴p是q的既不充分又不必要条件．(4)∵p：x＝1且y＝2，q：x＝1或y＝2，∴p是q的充分不必要条件．[反思归纳](1)分析p是q的什么条件时，一定要结合命题p与q所涉及的知识，进而全面分析，严格按四种条件的结构和定义进行判断．(2)分析判断时，为了得出命题p与q的准确关系，有时需对命题p与q进行化简，然后再分析．4/12/202431(2009·陕西，7)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的 ()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C4/12/202432(2007·高考山东卷)下列各小题中，p是q的充要条件的是 ()①p：m＜－2或m＞6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点．②p：＝1；q：y＝f(x)是偶函数．③p：cosα＝cosβ；

q：tanα＝tanβ.④p：A∩B＝A;

q：∁UB⊆∁UA.A．①②B．②③ C．③④ D．①④答案：D解析：①q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点⇔q：△＝m2－4(m＋3)＞0⇔q：m＜－2或m＞6⇔p；4/12/202433【例4】已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论．(2)写出其逆否命题，并证明你的结论．[分析]4/12/202434[解答](1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它是成立的．可用反证法证明它．假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，与条件矛盾．∴逆命题为真．(2)逆否命题是：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.此命题为真命题．可证明原命题为真来证明它．∵a＋b≥0.①若a＋b>0，则a>－b，b>－a，由f(x)在(－∞，＋∞)上递增，∴f(a)>f(－b)，且f(b)>f(－a)，因此f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．4/12/202435②若a＋b＝0，则a＝－b，b＝－a，由函数