2023-2024学年中考数学16二次函数的存在性问题【含答案】

专题16二次函数的存在性问题

【考点1】二次函数与相似三角形问题

【例1】（2020•湖北随州•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线歹=。/+/+1的对称轴为直线

3

%=-,其图象与x轴交于点Z和点8（4,0）,与N轴交于点C.

2

（1）直接写出抛物线的解析式和/C4。的度数;

（2）动点M，N同时从Z点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段Z8上运动，点N以每秒0个

单位的速度在线段ZC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动的时间为

W>0）秒，连接再将线段绕点M顺时针旋转90°,设点N落在点。的位置，若点。恰好落

在抛物线上，求f的值及此时点。的坐标；

（3）在（2）的条件下，设尸为抛物线上一动点，。为N轴上一动点，当以点C,P,。为顶点的三角形

与相似时，请直谈写出点P及其对应的点。的坐标.（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）

【答案】（1）^=一；/+18+1,NC4O=45°；（2）t=3,。点坐标为（2,3(3)小一|),0(0,一£)

53

，Q碍;尸5

小,-1)，2g22:AC

/引，&。，-11517

-；A

1-Q93

1687]

"367)

251711613

0,2,20,

TT'E363

【分析】

(I)根据抛物线的对称轴以及点B坐标可求出抛物线表达式；

(2)过点N作NEL4B于E,过点。作。尸，46于R证明△NEA/gZSMFD,得到

NE=MF,EM=DF,从而得到点D坐标，代入抛物线表达式，求出t值即可；

(3)设点P(m,--«72+-«7+1),当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，过点P作PRd_y轴于点R,

44

CPPR

过点D作DS±x轴于点S,根据△CPQs/\MDB,得到,从而求出m值,再证明△CPQs/xMDB,

求出CQ长度，从而得到点Q坐标，同理可求出其余点P和点Q坐标.

【详解】

3

解：(1)；抛物线y=〃/+队+1的对称轴为直线x=],

•.•抛物线经过点B(4,0),

16a+4b+1=0,将b=-3a代入,

13

解得：a=----,b=一,

44

13

抛物线的解析式为：歹=一一f7+—x+1,

44

令y=0,解得：x=4或・1,

令x=0,则y=l,

.♦.A(-1,0),C(0,1),

CO1

/.tanZCAO=-----=1,

AO

：.ZCAO=45°；

(2)由(1)易知4(一1,0),

过点、N作NEtAB于E,过点。作于E,

,/ZDMN=90°,

JNNME+NDMF=90。，又NNME+NENM=90。，

AZDMF=ZENM,

•/NM=DM,NDMN=90。,

：.ANEM咨AMFD(AAS),

:.NE=MF,EM=DF,

由题意得：ZCAO=45°,AN=M，AM=3t,

AE=CE=t,EM=AM-4E=2t,

:.DF=2t,MF=t,OF=4t—l,

D(4/—1,2/),

1,3

一一(4r-l)2+-(4/-l)+l=2z,又。＞0,

44

3

故可解得：t=一或0(舍)，

4

3

经检验，当t=±时，点均未到达终点，符合题意,

4

此时。点坐标为〔21

(3)由(2)可知：D(2,3],t=3时，M(-,0),B(4,0),C(0,I),

I2j44

1,3

设点P(m,——m+—m+l),

44

如图，当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，

过点P作PRJ_y轴于点R,过点D作DSJ_x轴于点S,

3

则PR=m,DS=-,

2

若△CPQS^MDB,

，金二驾则”=驾，

MDDSMD'DS2

2ri23丫

m'+——m+—m

-----U-----匕』_=工2，解得：m=0（舍）或1或5（舍）,

459

164

故点P的坐标为：,

VACPQ^AMDB,

.CPCQPR

CQ1

当点p.。1时，1T=7,解得：CQ=—,—+1=—,

\2/~42666

17

・••点Q坐标为（0，—）,

同理可得：点P和点Q的坐标为:

小-5。3号｝十一|），。2（0，一||）

1151]7

-

6o,一-Q9J

引,。3

同碎，一答•借，荀,Q,-圜;耳。（不含）©。（°厂翳）;

耳

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，二次函数表达式，全等三角形的判定和性质，相

似三角形的性质，难度较大，计算量较大，解题时注意结合函数图像，找出符合条件的情形.

【变式1-1］(2019•湖南娄底•中考真题)如图，抛物线丁=⑪2+瓜+。与工轴交于点4(一1,0),点3(3,0),

与y轴交于点C,且过点。(2,-3).点P、。是抛物线y=ax?+bx+c上的动点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当点P在直线。。下方时，求APOD面积的最大值.

(3)直线与线段8c相交于点E,当A06E与A48c相似时，求点。的坐标.

149

【答案】(1)抛物线的表达式为：y=x2-2x-3；(2)SAP。。有最大值，当机=一时，其最大值为一；(3)

416

0(3-2向或(-后2扬或［三姮，¥卜(4普,笔叵］

【分析】

(1)函数的表达式为：y=a(x+1)(x-3),将点D坐标代入上式，即可求解；

(2)设点尸(加，加2一2机—3),求出OG=3+2m，根据

2

S&POD=；xOG(XD-XJ=；(3+2m)(2-m)=-/w+|m+3,利用二次函数的性质即可求解；

(3)分NACB=/BOQ、ZBAC=ZBOQ,两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而

求解.

【详解】

解：(1)函数的表达式为：_y=a(x+l)(x-3),将点D坐标代入上式并解得：。=1,

2

故抛物线的表达式为：y=x-2x-3...®i

(2)设直线PD与y轴交于点G,设点一2加-3卜

图1

将点P、D的坐标代入一次函数表达式：V=M+f并解得，直线PD的表达式为：y=mx-3-2m,则

0G=3+2m»

S&POD=5xOG（x。—Xp）=5（3+2〃？）（2—/n）——+—/??+3,

149

V-1<0,故“POQ有最大值，当机=一时，其最大值为一；

416

口丫：OB=OC=3.：・NOCB=/OBC=4S，

•；AABC=/OBE,故A08E与A4BC相似时，分为两种情况:

①当NACB=NBOQ时,AB=4,BC=3日

过点A作AH1BC与点H,

图2

S》BC=；x/"x8C=；/8x°C，解得：AH=26.

ACH=72

则tanNJC6=2,

则直线0Q的表达式为：y=-2x...@,

联立①②并解得：x=±G，

故点。（JJ,—26）或（―26）：

②/比时，

OC3

tanNBAC=—=-=3=tanZBOQ,

OA1

则直线OQ的表达式为：y=-3x...③，

联立①③并解得：x=〜，

2

也上T3-3付"-1-g3+3付

故点外J一+yA—，-^产［一^，「一J；

综上，点0（省,-2折或（-省,2折或（安国匕普）或（三叵，三誓

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3）,要注意

分类求解，避免遗漏.

【变式1-2］（2019•辽宁盘锦•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+反+c经过点/（-1,

0）和点C（0,4）,交x轴正半轴于点8,连接/C,点E是线段08上一动点（不与点。，5重合），以

OE为边在x轴上方作正方形OEFG,连接F8,将线段F8绕点尸逆时针旋转90。，得到线段尸P,过点P

作尸4〃y轴，尸目交抛物线于点，，设点£（a,0）.

（1）求抛物线的解析式.

（2）若△ZOC与AFEB相似，求a的值.

（3）当尸H=2时，求点尸的坐标.

【答案】(1)y=-x2+3x+4；(2)a=*或4；(3)点户的坐标为(2,4)或(1,4)或(驾亘，4).

【详解】

(1)点C(0,4),则c=4,

二次函数表达式为：y=-x2+bx+4,

将点A的坐标代入上式得：0=-1-b+4,解得：b=3,

故抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4；

、AO1

(2)tanZACO=——=一，

CO4

△AOC与aFEB相似，则NFBE=NACO或NCAO,

即：tan/FEB=工或4,

4

,/四边形OEFG为正方形，则FE=OE=a,

EB=4-a,

,,a1a“

则----=一或-----=4,

4-a4A-a

164

解得：a=一或一；

55

(3)令y=-X2+3X+4=0,解得：x=4或-1,故点B(4,0)；

分别延长CF、HP交于点N,

VZPFN+ZBFN=90°,NFPN+NPFN=90°,

，NFPN=NNFB,

:GN〃x轴，；.NFPN=/NFB=/FBE,

VZPNF=ZBEF=90°,FP=FB,

.,.△PNF^ABEF(AAS),

；.FN=FE=a,PN=EB=4-a,

.•.点P(2a,4),点H(2a,-4a2+6a+4),

：PH=2,

即：-4a2+6a+4-4=|2|,

解得：a=l或4或上叵或三叵（舍去），

244

故：点P的坐标为（2,4）或（1,4）或（色姮，4）.

2

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，其中（2）、（3）,要注意分类求解，避免遗漏.

【考点2】二次函数与直角三角形问题

【例2】（2020•湖北咸宁•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-（》+2与》轴交于点4

2（53、

与y轴交于点儿抛物线N=—^f+bx+c过点8且与直线相交于另一点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点尸是抛物线上的一动点，当NR4O=ZS4O时，求点尸的坐标；

（3）点N（〃,0）在x轴的正半轴上，点M（0,m）是y轴正半轴上的一动点，且满足

NMNC=90".

①求加与〃之间的函数关系式；

②当用在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？

【答案】（1）y=--x2+—x+2；（2）或（3,--）或（-2,-3）；（3）®m=--n2+—/?；

36k24j233

,-、25

②0<m<—

12

【分析】

（1）利用一次函数求出A和B的坐标，结合点C坐标，求出二次函数表达式；

（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，当点P在x轴下方时，AP与y轴交于点Q,求出AQ表达

式，联立二次函数，可得交点坐标，即为点P;

(3)①过点C作CD，x轴于点D,证明△MNOs^NCD,可得"2=3一，整理可得结果；

NDCD

②作以MC为直径的圆E,根据圆E与线段OD的交点个数来判断M的位置，即可得到m的取值范围.

【详解】

解：(1):直线y=—+2与x轴交于点4,与'轴交于点8,

令x=0,则y=2,令y=0,则x=4,

AA(4,0),B(0,2),

2(53、

:抛物线歹=+bx+c经过B(0,2),CI,

2=cbJ

32255，解得:6，

—=——x—+—Lb+c

14342c=2

27

抛物线的表达式为：y=——X2+-X+2；

36

(2)当点P在x轴上方时，点P与点C重合，满足ZP4O=NA4O,

当点P在x轴下方时，如图，AP与y轴交于点Q,

,/ZPAO=ZBAO,

AB,Q关于x轴对称，

.♦.Q(0,-2),又A(4,0),

设直线AQ的表达式为y=px+q,代入,

__1_

-2=q解得：r;=2,

0=4p+q

a=-2

直线AQ的表达式为：y=-x-2,联立得:

2

1c

y--x-2

2

Jr，解得：x=3或-2,

27c

y=—x2H-x+2

"36

•••点P的坐标为（3,----）或（-2,-3）,

2

53

综上，”1NR40=ABAO与，点P的坐标为:或（3,----）或（-2,-3）；

2542

(3)①如图，NMNC=90。，过点C作CD_Lx轴于点D,

.".ZMNO+ZCND=90°,

ZOMN+ZMNO=90°,

NCND=NOMN,又NMON=NCDN=90。,

/.△MNO^ANCD,

n

MONO-^—

：.——=——，即un57,

NDCD

4

②如图，VZMNC=90°,

以MC为直径画圆E,

•••N(〃,0)0<n<-1j,

点N在线段0D上（不含O和D）,即圆E与线段OD有两个交点（不含O和D）,

:点M在y轴正半轴，

当圆E与线段OD相切时，

有NE」MC,即NE2=—MC2,

当点M与点O重合时，如图,

此时圆E与线段OD（不含O和D）有一个交点,

25一

，当0cm<—时,圆E与线段OD有两个交点,

12

25

故m的取值范围是:0<m<——.

12

【点睛】

本题是二次函数综合，考查了求二次函数表达式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一次函数表达

式，难度较大，解题时要充分理解题意，结合图像解决问题.

【变式2-1】如图，抛物线歹=0?+公—4经过A(-3,6),B(5,-4)两点，与y轴交于点C,连接

AB,AC,BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求证：AB平分NC4。；

(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得A48V是以AB为直角边的直角三角形.若存在，求出点M

的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(I)y=-x2--X-4；(2)详见解析；(3)存在，点M的坐标为(?-5

-9）或（一11）.

6622

【分析】

(1)将A(-3,0),B(5,-4)代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值;

(2)先求得AC的长，然后取D(2,0),则AD=AC,连接BD,接下来，证明BC=BD,然后依据SSS

可证明△ABCZ/\ABD,接卜来，依据全等三角形的性质可得到NCAB=NBAD；

(3)作抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F,作点A作AMUAB,作BM_LAB,分别交抛物线的

对称轴与M\M,依据点A和点B的坐标可得到tanZBAE--,从而可得到tanZM(AE=2或tan/MBF=2,

2

从而可得到FM和M，E的长，故此可得到点M，和点M的坐标.

【详解】

解：(1)将A(-3,0),B(5,-4)两点的坐标分别代入，

9"36—4=0,

25a+5b—4=—4,

1

解得J

故抛物线的表达式为y=y=1x2—』x—4.

66

(2)证明：VA0=3,0C=4,

.♦.AC=力：+42=5.

由两点间的距离公式可知BD=7(5-2)2+(-4-0)2=5.

VC(0,-4),B(5,-4),

二BC=5.

/.BD=BC.

在AABC和AABD中，AD=AC,AB=AB,BD=BC,

.♦.△ABCdABD,

.*.ZCAB=ZBAD,

AAB平分/CAO；

(3)存在.如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F.

抛物线的对称轴为x=-,则AE=—.

22

VA(-3,0),B(5,-4),

/.tanZEAB=—.

2

VZM,AB=90°.

/.tanZM,AE=2.

.*.M,E=2AE=11,

5

.♦.M'（一，11）.

2

同理：tanNMBF=2.

r5

又：BF一，

2

；.FM=5,

5

AM（-,-9）.

2

...点M的坐标为（*,11）或（*,-9）.

22

【点睛】

本题考查了二次函数的综合应用，主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、

锐角三角函数的定义，求得FM和M，E的长是解题的关键

【变式2-2］（2019•甘肃兰州•中考真题）二次函数歹=族2+笈+2的图象交X轴于力（一1,0）,8（4,0）两

点，交N轴于点C.动点”从点4出发，以每秒2个单位长度的速度沿48方向运动，过点Mr作MN_Lx

轴交直线8C于点N,交抛物线于点。，连接4C.设运动的时间为/秒.

（1）求二次函数夕+bx+2的表达式：

（2）连接8。，当/时，求ADNS的面积：

（3）在直线上存在一点P,当AP8C是以/8PC为直角的等腰直角三角形时，求此时点。的坐标；

（4）当/=*时，在直线上存在一点Q,使得N/QC+NO4C=90°,求点。的坐标

4

1Q(35、

【答案】(1)y=一一x12+-X+2(2)2(3)。(1,3)(4)。一，一或

22122J

【解析】

【分析】

(1)直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可；

(2)根据题意得出AM,OM,设3C的解析式为：y=kx+b(k^O),将点C(0,2),8(4,0)代入求出解析式,

然后将尤=2分别代入_)/=一;x2+^x+2和丁=一;x+2中，得：0(2,3),N(2,l),再根据三角形面

积公式，即可解答

(3)过点P作x轴的平行线，交N轴于点E,过点8作歹轴的平行线，交EP的延长线于点尸，设

。(加(加2+|加+2),£(0,〃),尸(私〃),产(4,〃)，根据题意得出"ECMA5EP,根据

PE=BF,CE=PF,即可解答

(4)当/=』时，/"=』，此时A/点在二次函数的对称轴上，以〃点为圆心，4H长为半径作圆，交

42

MN于。2。2两点，得出/。力8+/。巳4=90°,再根据NC0/=NC48,ZCQ,A=ZCAB(同弧所

对圆周角)，即可解答

【详解】

(1)将点力(-1,0),4(4,0)代入y=。氏2+&+2,得：

a—6+2=0

16。+4b+2=0

1

a=—

解得：\?2

b=>

2

1,3

所以，二次函数的表达方式为：y=--X2+-X+2

22

3

(2)1.'/=—AM—3

2

乂..OZ=1:.OM=2

设5C的解析式为:y=kx+b(k^Q),将点。(0,2),8(4,0)代入,得:

-

b=2k=

\=>s2

4攵+6=0LC

b=2

、

所以，直线3c的解析式为：y--x+2.

2

1,31

将x=2分别代入^=一]工2+5工+2和y=+2中，得：0(2,3),N(2,l).

DN=2

S&DNB=1x2x2=2.

(3)假设过点尸作X轴的平行线，交y轴于点E,过点8作歹轴的平行线，交加的延长线于点厂，

设£>(加,-3加2+|_”?+2),£(0,〃),尸(加,〃),;?(4,〃),由题意得：

APEC三ABFP

:.PE=BF,CE=PF

-

4-m=2-nm-1

.I=〈

—n=m[〃=_]

所以，点。的坐标为：。(1,3)

(4)当f=2时，AM此时河点在二次函数的对称轴上，

42

以朋■点为圆心，ZM长为半径作圆，交于两点

•••C(0,2),〃(|,0)

CM―—-R

2

；.C点在该圆上

:.ZACB=90。

：.ZCAB+ZCBA=9Q°

•;NCQiA=NCAB,NCQ]A=NCAB(同弧所对圆周角)

NC°m+NCB4=90"

ZCQ2A+ZCBA=90°

【点睛】

此题考查二次函数的综合应用，解题关键在于将已知点代入解析式

【考点3】二次函数与等腰三角形问题

【例3】(2020•山东济南・中考真题)如图1,抛物线》=-炉+bx+c过点/(-1,0),点、B(3,0)与y

轴交于点C.在x轴上有一动点E(加，0)(0<w<3),过点E作直线/_Lx轴，交抛物线于点

(1)求抛物线的解析式及C点坐标；

(2)当m=l时，。是直线/上的点且在第一象限内，若△/CO是以为底角的等腰三角形，求点。

的坐标；

(3)如图2,连接8M并延长交y轴于点N,连接4",OM,设△N期的面积为S,△MON的面积为

若S=2S2,求机的值.

【答案】(1)>=—一+28+3,。(0,3)；(2)(1,1)或(1,痛)；(3)77-2

【分析】

(1)用待定系数法即可求解；

(2)若△/CD是以为底角的等腰三角形，则可以分8=/。或/C=/。两种情况，分别求解即可;

(3)SI=-AEX,2S=ON»X,即可求解.

2VM2M

【详解】

-l-b+c=0

解：(1)将点4、8的坐标代入抛物线表达式得《八八，

-9+3b+c=0

b=2

解得〈

故抛物线的表达式为y=-『+2x+3,

当x=0时，y=3,故点C(0,3)；

(2)当加=1时，点E(l,0),设点。的坐标为(1,a),

由点4、C、。的坐标得，4C=0+1/+(3-0/:如,

同理可得：/0=信+4,C£>=Jl+(a-3/，

①当CZ)=Z。时，即Ja?+4=Jl+(a-3)2,解得a=l；

②当/C=4)时，同理可得a=±JZ(舍去负值)；

故点。的坐标为(1,1)或(1,网);

(3),：E(m,0),则设点-w2+2w+3),

f-m2+2m+3=sm+t

设直线8M的表达式为尸sx+r,则〈，

0=3s+t

m+1

解得：

3

故直线BM的表达式为y=-

33

当x=0时，y=—,故点N(0,二一),则ON=

(-"式+2用+3),

31

2SI=ON-XM=----X〃?=$=—X(w+1)X(-〃7+2加+3),

m+12

解得w=-2士J7(舍去负值)，

经检验加=J7-2是方程的根，

故加=J7-2.

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中(2),

要注意分类求解，避免遗漏.

【变式3-1】（2020•贵州黔东南•中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（aWO）与x轴交于4、8两点（点4

在点8的左边），与y轴交于点C（0,-3）,顶点。的坐标为（1,-4）.

（1）求抛物线的解析式.

（2）在y轴上找一点E,使得△口（7为等腰三角形，请直接写出点E的坐标.

（3）点尸是x轴上的动点，点。是抛物线上的动点，是否存在点尸、Q,使得以点P、0、B、。为顶点，

8。为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、。坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（l）y=x2-2x-3；（2）满足条件的点E的坐标为（0,3）、（0,-3+如）、（0,-3-屈）、（0,

4

--）；（3）存在，P（-1+20,0）、Q（1+20,4）或P（-1-272，。）、QC-2丘,4）.

【分析】

（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；

（2）先求出点4C坐标，设出点E坐标，表示出4E,CE,AC,再分三种情况建立方程求解即可；

（3）利用平移先确定出点。的纵坐标，代入抛物线解析式求出点。的横坐标，即可得出结论.

【详解】

解：（1）I•抛物线的顶点为（1,-4）,

•••设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4,

将点C（0,-3）代入抛物线y=a（x-1）2-4,得a-4=-3,

・'・a=1,

；•抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4=/-2x-3；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为丁=（-2.3,

令y=0,则X2-2X-3=0,

Ax=-1或4=3,

：.B(3,0),力(-1,0),

令x=0,贝Uy=-3,

：.C(0,-3),

••AC—J10,

设点E(0,m),则/£=，/+1,CE=|"?+3|,

•••△/CE是等腰三角形，

，①当AC=AE时，yjlO=J"J+1>

，m=3或/n=-3(点C的纵坐标，舍去)，

：.E(3,0),

②当/C=CE时，川=|小+3],

.,.附=-3+y/w,

：.E(0,-3+布)或(0,-3-V10)«

③当NE=CE时，J他2+1=|加+3],

4

.'.in=---,

3

4

..E(01—-),

3

即满足条件的点E的坐标为(0,3)、(0,-3+)记)、(0，-3-J16)、(。，-1

(3)如图，存在，川。(1,-4),

，将线段8。向上平移4个单位，再向右(或向左)平移适当的距离，使点8的对应点落在抛物线上，这

样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P,

.,.点0的纵坐标为4,

设Q(t,4),

将点Q的坐标代入抛物线夕=/-2x-3中得，1-2L3=4,

.1=1+20或f=l-272，

：.Q(1+272-4)或(I-20,4),

分别过点。，。作x轴的垂线，垂足分别为凡G,

•.,抛物线y=x2-2x-3与x轴的右边的交点8的坐标为(3,0),且。(1,-4),

:.FB=PG=3-1=2,

二点P的横坐标为(1+2贬)-2=-1+2也或(1-2贬)-2=-1-272)

即尸(-1+2拒，0)、。(1+28，4)或尸(-1-2血，0)、Q(1-272-4).

【点睛】

此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解

题关键.

4

【变式3-2】(2019・四川眉山・中考真题)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=--V+bx+c经过点

9

Z(-5,0)和点6(1,0).

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)点尸是抛物线上工、。之间的一点，过点P作尸EJ_x轴于点E,PG,夕轴，交抛物线于点G,过点

G作GE_Lx轴于点当矩形尸跖G的周长最大时，求点尸的横坐标；

(3)如图2,连接Z0、80,点加■在线段上(不与4、8重合)，作NDMN=/DBA,交线段

于点N,是否存在这样点"，使得ADAW为等腰三角形？若存在，求出ZN的长；若不存在，请说明理

由.

【答案】⑴歹=一黑一胃+衰。(-2,4)；(2)点尸的横坐标为-*⑶AN=1或

【分析】

(1)根据2(-5,0)和点5(1,0)可得抛物线的表达式为y=—(x+5)(x-l),可知对称轴为x=-2,代入解析

7

式即可得出顶点坐标；(2)设点2(根,-2"2-£加+当］,则尸£=-,加2-3加+改，

1999J999

PG=2(-2-m)=-4-2m,可得矩形PEFG的周长=2(PE+PG),即可求解；(3)由D为顶点，A、B

为抛物线与x轴的交点可得AD=BD,即可证明ZDAB=NDBA,根据NDMN=/DBA,利用角的和差关

系N得NNMA=NMDB,即可证明△5DM:\AMN,可得四=也；分MN=DM、NM=DN、

BMBD

DN=DM,三种情况分别求解即可.

【详解】

4

X2

(1)；抛物线^=9-+bx+c经过点/I(-5,0)和点3(1,0).

4

4X21620

...抛物线的表达式为：y=——(x+5)(x—1)=9----X4---

99

-5+1

，对称轴为：x=----=-2,

2

4

把x=-2代入歹=一§(》+5)(工一1)得：y=4,

.••顶点。(—2,4).

」41620

(2)设点尸2-yw+—

则PE=一士加2一3加+小，PG-2(-2-m]--4-2m,

999''

矩形PERG的周氏=2(尸£+尸6)=2(—]加2—募/„+?—4—2加)=一±(m+?)+箸，

：上。,

9

1717

.•.当加=一_L时，矩形尸EEG周长最大，此时，点尸的横坐标为一一-

44

(3八•点D为抛物线顶点，A、B为抛物线与x轴的交点,

/.AD=BD,

/.ZDAB=ZDBA,

ADMN=/DBA,/BMD+NBDM=180°—/DBA，ANMA+NDMB=180°—ZDMN-

二ANMA=ZMDB，

\BDM:\AMN,

.ANAM

VD(-2,4),A(-5,0),B(1,0)

AB=6,4)=8。="2+32=5,

①当A/N=£)忖时，

VZNAM=ZMBD,ZNMA=ZMBD,

\BDM=M.MN,

AM=BD—5，

AN=MB-AB-AM=1；

②壬NM=DN时，则ZNDM=/NMD,

VZDMN=ZDBA,

/.ZNDM=ZDBA,

VZDAB是公共角，

\AMD:\ADB,

,ADAM

••----=------，

ABAD

AD2=ABxAM>即：25=6x4",

..A…M——25,

6

25

ANAMANT

——=——，即an一,

BMBD6—255

6

A八N，——55:

36

③当ZW=Z)A/时，

ZDNM>NDAB，而ZDAB=ZDMN，

，ZDNM>4DMN,

:.DN片DM；

综上所述：AN=l或应.

36

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中(3),

要注意分类求解，避免遗漏.

【考点4］二次必教与平行四边形问题

【例4】(2020•四川绵阳•中考真题)如图，抛物线过点A(0,1)和C,顶点为D,直线AC与抛物线的

对称轴BD的交点为B(，0)，平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E,与直线AC交于点F,点F的

横坐标为述，四边形BDEF为平行四边形.

3

(1)求点F的坐标及抛物线的解析式；

(2)若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当4PAB面积最大时，求点P的坐标及4PAB面积的

最大值；

(3)在抛物线的对称轴上取一点Q,同时在抛物线上取一点R,使以AC为一边且以A,C,Q,R为顶点

的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标.

(备用图)

2

【答案】(1)—）；y--x+2y/3x+1（2）（—5/3,—）；—yfi

361224

f4/-37"、，厂、10r-37

Rl———~I或Q（,3，-10）,R（。3,——）

【分析】

(I)由待定系数法求出直线AB的解析式为y=-»x+l,求出F点的坐标，由平行四边形的性质得出-

3

3a+l=—a-8a+l-(--求出a的值，则可得出答窠;

33

(2)设P(n,-n2+2J3n+1),作PPJ_x轴交AC于点F,则F(n,-3n+1),得出PP=-M+Zjin,

33

由二次函数的性质可得出答案；

(3)联立直线AC和抛物线解析式求出C(-73,-设Q(、石，m),分两种情况：①当AQ为对

33

角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可.

【详解】

解：⑴设抛物线的解析式为y=ax?+bx+c(a#0),

VA(0,1),B(60),

设直线AB的解析式为y=kx+m,

.V3k+m=0

m=1

一也

解得＜3，

m=1

二直线AB的解析式为y=-3x+1,

3

..•点F的横坐标为生8,

3

.•.F点纵坐标为-也x勺8+1=-

333

41

**•F点的坐标为(—,\/3,-r-

33

又：点A在抛物线上，

Ac=l,

对称轴为：x=----=V3，

2。

；.b=-2年,

，解析式化为:y=a