2022-2023学年安徽省合肥市瑶海区行知学校九年级（上）期中数学试卷（附答案详解）

2022-2023学年安徽省合肥市瑶海区行知学校九年级（上）期中

数学试卷

1.抛物线y=5（£一3）2+1的顶点坐标为（

A.(3,-1)B.(3,1)C.(―3、—1)D.(-3,1)

2.3毫米精密零件画在图纸上是30厘米，图纸比例尺是（）

A.1：10B.1：100C.10：D.100：1

3.如果反比例函数y=T（a是常数）的图象在第一、三象限，那么“的取值范围是（）

A.a<0B,a>0C.a<2D,a>2

4.下列图形中，不一定相似的是（）

A.两条对角线的比相等的两个平行四边形

B.邻边之比相等的两个矩形

C.有一组角对应相等的两个菱形

D.四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形

5.已知点（>2，%）均在抛物线'=/一1上，下列说法正确

的是（）

A.若石--x2,则yi--y2

B.若丫i=y2,则/=x2

C.若久i<x2<0,则为<y2

D.若0<<%2，则<72

6.如图，在△ABC中，点。在线段BC上，请添加一条件使△ABCSA

DBA,则下列条件中一定正确的是（）

A.AB2=AC-BD

B.AB2=BC•BD

C.AB-AD=BD-BC

D.AB-AD=AC-BD

7.在同一•坐标系中一次函数y=ax-b和二次函数y=a/+bx的图象可能为（）

9.如图，点A是抛物线丫=以%一3）2+k与y轴的交点，AB〃久轴

点C为该抛物线的顶点，若△ABC为等边三角V/

交抛物线另一点于B,

形，则〃值为（）

A-I

°"

B?C

「y/-3

D.1

10.如图，在AABC中，。是8C的中点，DE1BC交AC与E,已知4D=A

AB,连接BE交AQ于F,下列结论:①BE=CE；®^.CAD=/.ABExA

③AF=DF；④S.BF=3sADEF：⑤4/IEFS^OAE,其中正确的有个.（）父\

A.5

B.4

C.3a/RnB

D.2

11.将二次函数y=/的图象向下平移一个单位,再向右平移一个单位，则平移以后的二次

函数的解析式为______.

12.科学家们通过研究发现，当外界环境温度与人体正常体温(37℃)之比等于黄金分割比

0.618时，人体感觉最舒适，这个气温约为℃(精确到0.1).

13.己知一个腰长为8,底边为6的三角形，请你以4为边画新的三角形，使之与己知等腰

三角形相似，所画三角形的腰长为

14.二次函数、=&/+次9/为常数)的图象如图所示，设关于x的

—元二次方程ax?+必+m=1的两个实数根分别为Xi，亚，若•x2>

0,则实数〃?的取值范围为.

15.如图，二次函数y=-/+轨的图象与x轴交于A、B两点.

(1)求A、8两点的坐标；

(2)若该抛物线的顶点为C点，求△ABC的面积.

16.已知线段“、匕满足a：b=3：2,且a+2b=28.

(1)求a、b的值.

(2)若线段x是线段a、6的比例中项，求x的值.

17.已知二次函数y=kx2+(fc+l)x+l(/c丰0).

(1)求证：无论％取任何实数，该函数图象与x轴总有交点；

(2)若图象与x轴仅有一个交点，当一2MxW1时，求y的取值范围.

18.如图所示，方格纸中每个小正方形的边长为1,AABC和ADEF的顶点都在方格纸的格

点上，判断AABC和AOEF是否相似，并说明理由.

19.如图，已知点P(6,3),过点P作PMlx轴于点M,PNly轴于点N,反比例函数y=：的

图象交于点A,交PN于点8.若四边形OAPB的面积为12.

(1)求人的值；

(2)设直线AB的解析式为y=ax+b,请直接写出不等式!>ax+b的解集.

20.如图，点8、D、E在一条直线上，8E与AC相交于点F,黑=黑=综

ADDEAE

(1)求证：^BAD=Z.CAE-,

(2)若NB40=21。，求“BC的度数；

(3)连接EC,若AB=4C,BD=5,求EC的长.

21.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱

为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池

中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标

系.

(回)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；

(团)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅

站立时必须在离水池中心多少米以内？

22.如图，已知，在锐角AABC中，CE1AB于点E,点。在边AC上，连接BO交CE于点

F,且EF-FC=FB-DF.

(1)求证：BD1AC；

(2)求证：△AECS^FEB；

(3)连接AF,已知EBBE=3：5,求AF：BC.

23.己知二次函数丫=产+以+<:的图象经过4(0,-2),B(2,0).

(1)求二次函数解析式；

(2)若点C是二次函数y=/+必+©的图象上一点，且满足CA=C8,求C1点坐标：

(3)直线““I'•I的图象与二次函数y=/+版+c的图象交点坐标为(.，%),

(%2<72)>且。<0<%2,求丫2-丫1的最小值一

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式解析式求顶点的方法是解题的关键.

根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可.

【解答】

解：抛物线y=-3)2+1的顶点坐标为(3,1).

故选：B.

2.【答案】D

【解析】解：30厘米=300毫米，

300：3=100：1.

答：图纸比例尺是100：1.

故选：D.

根据比例尺=图上距离：实际距离，把实际长度3毫米，图上长度是30厘米代入得出图纸比例尺.

此题考查了比例线段，熟练掌握图上距离：实际距离=比例尺是解题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：••・反比例函数y=*(a是常数)的图象在第一、三象限，

CL—2>0,

・,•a>2.

故选：D.

反比例函数y=5图象在一、三象限，可得k>0.

本题运用了反比例函数y=g图象的性质，关键要知道％的决定性作用.

4.【答案】A

【解析】解：4两条对角线的比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，不一定相似，故此选

项符合题意；

8.邻边之比相等的两个矩形各边对应成比例，各角对应相等，一定相似，故此选项不符合题意；

C.有一组角对应相等的两个菱形各边对应成比例，各角对应相等，一定相似，故此选项不符合题

-1V-

忠；

D四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形一定相似，故此选项不符合题意;

故选：A.

相似多边形要求各边对应成比例，各角对应相等，按照定义逐一判断即可.

本题考查相似形，解题的关键熟悉四边形的性质.

5.【答案】D

【解析】解：4、若%1=—犯，则丫1=丫2，故本选项不符合题意；

B、若%=、2,则由1=%|，故本选项不符合题意;

C、若<x2<0>则为>72>故本选项不符合题意；

。、若0<X]<x2>则y1<y2>本选项正确，

故选：D.

利用二次函数的性质即可一一判断；

本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，所以中考常考

题型.

6.【答案】B

【解析】解：若添加4加=4C-BD,不能判定AABCSADBA；故A选项不符合题意，

若添力口482=BOB。，能判定△ABCsZiDBA；

理由：•••AB2=BC-BD,

.ABBC

••，

BDAB

又•・•乙CBA=乙ABD,

••・△ABC^LDBA.

故B选项符合题意，

若添加4BSD=BD-BC,不能判定△ABCSADBA；故C选项不符合题意，

若添加4BAD=AC-BD,不能判定4ABC^hDB4故。选项不符合题意，

故选：B.

根据相似三角形的判定定理可得出答案.

本题考查的是相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：A、由抛物线可知，a<0,由直线可知，a>0,矛盾，不合题意；

B、由抛物线可知，a<0,x=-?>0,得b>0,由直线可知，a<0,b>0,一致，符合题

2a

后、；

C、由抛物线可知，a>0,X=>0,得b<0,由直线可知，a>0,b>0,矛盾，不合题

2a

意；

D、由丫=。/+以可知，抛物线经过原点，不合题意;

故选：B.

可先由一次函数y=ax-b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=a%2+版的图象相比较看

是否一致.

本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们

加强训练即可掌握，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：如图，过点。作川/〃BC交AE于H,

,•1。是AB边的中点，

.••点H是AE的中点，

•••是△ABE的中位线，

DH=\BE,

设BE=3x,则CE=2x,DH=|x,

vDH//BC,

.DHDF

••，

CECF

,DF—£l—x——3,

"CF~2x~4

故选：B.

过点。作DH〃BC交AE于H,可得。”为△ABE的中位线，可得OH=：BE,设BE=3x,则CE=2x,

根据平行线分线段成比例定理即可求解.

本题考查了平行线分线段成比例，三角形的中位线，过点。作构造三角形的中位线是

解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：过C作CO_LAB于。，

•••抛物线y=a(x-3>+k的对称轴为x=3,△ABC为等边三角形，且

AB〃x轴，

•••AD=3,CD=3/3，C(3,k)

•・,当％=0时,y*1,：.

・•・4(0,9a+fc),

**•9a4-k-k=373，

yT3

ci=""—.

故选：c.

根据抛物线解析式求出对称轴为％=3,再根据抛物线的对称性求出AB的长度，然后根据CD=

3，？列方程求解即可.

本题考查了二次函数的性质，等边三角形的性质，熟练掌握抛物线的对称轴与两个对称点之间的

关系是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：是8C的中点，且OE1BC,

DE是8c的垂直平分线，CD=BD,

•.CE=BE,故本答案正确；

Z.C=Z.7,

vAD=AB,

Z.8=/.ABC=Z6+z7»

vz8=zC+z.4,

ZC+Z4=Z6+Z.7,

AZ4=Z6,即4a4。=乙4BE,故本答案正确；

作4G1BO于点G,交BE于点H,

•••AD=AB,DE±BC,

••・42=43,DG=BG=3BD,DE//AG,

：.4CDEs&CGA,ABGHSRBDE,EH=BH,/.EDA=z3,45=41,

:.CD：CG=DE：AG,HG=\DE,

设。G=x,DE=2y,则G8=%,CD—2xfCG=3%,

:.2%：3%=2y：AG,

解得：AG=3y,HG=y,

・•,AH=2y,

DE=AH,且ZED/=43,z5=zl

・•・△DEF^^AHF

・•.AF=DF,故本答案正确；

EF=HF=且EH=BH,

・•,EF：BF=1：3,

**•^^ABF=3sMEF»

丁S〉DEF=S—EF，

••・S〉ABF=3s△DEF，故本答案正确；

vzl=z2+z6,且44=46,z2=z3,

・•・z_5=43+44,

・•・Z5HZ4,

:ADEFs^DAE,不成立，故本答案错误.

综上所述：正确的答案有4个.

故选B.

要解答本题，首先由中垂线的性质可以求得8E=CE,利用外角与内角的关系可以得出=

N4BE,通过作辅助线利用等腰三角形的性质和三角形全等可以得出EF=FH=2"B,根据等高

的两三角形的面积关系求出4尸=OF,SMBF=3SADEF，利用角的关系代替证明乙5H44,从而得

出ADEF与4ZME不相似.根据以上的分析可以得出正确的选项答案.

本题考查了中垂线的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形的中位

线及相似三角形的判定及性质和等积变换等知识.

11.［答案］y=(%-I)2-1

【解析】解：原抛物线y=/的顶点为(0,0),向下平移1个单位，再向右平移1个单位，那么新

抛物线的顶点为

可设新抛物线的解析式为：y=(x-/i)2+/c,代入得：y=(x-I)2-1.

故答案为：y=(%—I)2—1.

根据二次函数图象上点的平移规律(左减右加，上加下减)进行解答即可.

此题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律”左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求

得平移后的函数解析式.

12.【答案】22,9

【解析】解:根据黄金比的值得：3；-Otil>-JJ.fh：C

故本题答案为：22.9.

根据黄金比的值知，身体感到特别舒适的温度应为37℃的0.618倍.

本题考查了黄金分割在实际生活中的应用，根据黄金分割比的意义得出身体感到特别舒适的温度

应为37℃的0.618倍是解题的关键.

13.【答案】竽或4

【解析】解：如图所示，新的三角形中以4为底边时,

设新的三角形中腰为x时，根据题意得，x=学,

I13

如图所示，新的三角形中以4为腰时，

6

八

4

设新的三角形中底边为y时，根据题意得，y=3,

综上，所画三角形的腰长为竽或3,

故答案为：学或$

新的三角形中以4为底边时，设新的三角形中腰为x时，根据题意得，鸿,新的三角形中以4

为腰时，设新的三角形中底边为y时，根据题意得，号=；,进行计算即可得.

本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点.

14.【答案】1W4

【解析】解：由Q/+b%+m=1可得，ax2+bx=1—m,

2

・•.方程ax?+"+m=1的根即为二次函数y=ax+bx的图象与直线y=1-m的交点横坐标，

当直线y=1-m与二次函数y=Q/+"在％轴下方图象相交时，满足%口不均小于。，

则％1.%2>0，

特殊的,当1—771=—3时，।।，

-341—tn<ZOf

A1<m<4,

故答案为：1Vm44.

根据题意得出方程a/+ft%4-m=1的根即为二次函数y=ax2+bx的图象与直线y=1-m的交

点横坐标，结合函数图象得出当直线y=1-zn与二次函数y=ax2+bx在x轴下方图象相交时,

满足%1，不均小于。，工厂％2>0,再考虑临界条件1-6=一3,然后求解即可.

题目主要考查利用图象法求解未知数的取值范围，理解题意，将方程变形为两个函数的交点问题

是解题关键.

15.【答案】解：(1)令y=0得一%2+4%=0,

解得：%i=0,x2=4,

・••点4(0,0),B(4,0)；

(2)・・・4(0,0),8(4,0),

••・AB=4,

由y=-X2+4%=-(x-2)2+4得。点坐标为(2,4),

11

4BC的面积为1力BX\yc\='x4x4=8.

【解析】(1)根据二次函数与一元二次方程的关系，令y=0解一元二次方程即可；

(2)根据函数解析式确定点C的坐标为(2,4),然后结合(1)中结论得出4B=4,求三角形面积即可.

本题主要考查二次函数的基本性质及与坐标轴的交点问题，三角形面积问题等，理解题意，熟练

掌握运用二次函数的基本性质是解题关键.

16.【答案】解：⑴•.s6=3：2

二设a—3k,b-2k,

..1•21)-2M,

..U+Ik28,

•••k=4,

a=12,b=8；

(2),：x是a：6的比例中项,

.r'=(i/>=!«»>

x是线段，x>0,

x=4V-6.

【解析】(1)利用a：b=3：2,可设a=3k,b=2k,贝l」3k+4k=28,然后解出女的值即可得

到a、b的值；

(2)根据比例中项的定义得到/=ab,即尤2=96,然后根据算术平方根的定义求解.

本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另

两条线段的比相等，如出b=c：d^ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例

线段.注意利用代数的方法解决较为简便.

17.【答案】解：（1）令y=0,则k/+（卜+1）%+1=o,

•;A=信+1广-缺=■+2Jk+I-0=1-2k+I=仕-1尸20，

••・无论k取任何实数，方程k/+（卜+1）%+1=0总有实数根，

无论％取任何实数，该函数的图象与X轴总有交点；

（2）•••该函数的图象与x轴只有一个交点，

:.A=（k—I）2=0.

解：k=1,

y=%2+2x+1=（X+l）2,

.•.该二次函数开口向上，对称轴为x=-1,

.•・当》=-1,函数取得最小值0；当％=1时，函数取得最大值4,

•1•y的取值范围为0<y<4.

【解析】（1）令y=o，贝欣/+（卜+1废+1=0,说明此方程的d2o即可；

（2）利用该函数的图象与x轴只有一个交点，得到4=0,解关于上的方程求得上值，再利用二次函

数的性质解答即可.

本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，确定二次函数解析式是解题的关键.

18.【答案】解：△48。和4£^?相似；

理由如下：根据勾股定理，得ZB=2c=5,AC=V~5;DF=2C，DE=4y/~2,EF=2<10,

AB__AC_B£_

''DE~~DF~~EF~4

•••△ABCsADEF.

【解析】首先根据小正方形的边长，求出AABC和ADEF的三边长，然后判断它们是否对应成比

例即可.

此题主要考查的是相似三角形的判定方法：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个

三角形相似.（SSS）

19.【答案】解：（1）、•点P（6,3）,.•.点A的横坐标为6,点B的纵坐标为3,

代入反比例函数y=5得，

点A的纵坐标为1点B的横坐标为。，即4M=£NB=。,

o363

v

S四边形QAPB=12,即S矩形OMPN—S/kOAM—S〉NBO=12,6x3—1x6x1—1x3x^=12,

解得：k=6；

（2）由（1）得k=6,

・••反比例函数的解析式为y=，

.♦•4(6,1),8(2,3),

连接AB并双向延长，

根据图象得不等式“>ax+b的解集为0<xW2或x>6.

X

【解析】(1)根据题意及反比例函数得出4M=5，NB=号,结合图象得S版的MPN-SAOAMTANBO=

12,代入求解即可；

(2)根据(1)中结论确定4(6,1),B(2,3),结合函数图象即可得出不等式的解集.

题目主要考查反比例函数的几何意义，确定反比例函数的解析式及与一次函数的交点与不等式问

题，理解题意，确定反比例函数的解析式是解题关键.

20.【答案】(1)证明：・••瑞=言=兼，

・•・△ABCs公ADE；

・•・Z-BAC=Z.DAE,

・・・乙BAC-Z.DAF=Z.DAE-Z.DAF,

即乙BAD=Z.CAE；

(2)解：-^ABC^^ADE,

:.Z.ABC=Z-ADE,

vZ-ABC=Z-ABE+乙EBC,乙ADE=(ABE+Z-BAD,

，ZEBC,ZBAD・21；

(3)解：连接CE,

**•Z-BAC-Z-DAF=乙DAE-Z-DAF,

U^BAD=ACAEf

ABAC

***AD=AE9

•••△ABDsxACE,

：

♦AB=ACfBD=5,

・•・CE=BD=5.

【解析】（1）根据相似三角形的性质定理得到NB4C=NZME,结合图形，证明即可；

（2）根据相似三角形的性质与三角形外角的性质即可得到结论；

（3）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

21.【答案】解：（团）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x-3）2+5（a蕾0）,

将（8,0）代入y=a（x-3）2+5,得：25a+5=0,

解得：a=—

.••水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-|（X-3）2+5（0<X<8）.

（团）当y=1.8时，有一审—3）2+5=1.8,

解得：%1=-1,%2=7，

・•.为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.

【解析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二

次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值.

（回）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8,0）,求出。值，此题得解；

（团）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论.

22.【答案】(1)证明：・・・EF・FC=FB,DF,

.如_竺

'~FB=~FCf

vZ-BFE=乙CFD,

BFEs>CFD,

:.乙FEB=乙FDC,

,:CE1AB,

・・・乙FEB=90°,

・・・Z-FDC=90°,

即80-C；

(2)证明：由(1)得△BFEs/iCF。，

・・乙

•EBF=Z.DCFf

vCE1AB.

，ZFEB■Z.AEC■疗，

AECsxFEB；

(3)解：由(2)得△4ECsZkFEB,

AE__EC_

而二而

CELAB,

Z.AEF=乙CEB=90°,

△AEF^h.CEB,

AF__EF_

前=而'

vEF：BE=3：5,

:.AF：BC=3：5.

【解析】(1)由己知条件E尸FC=FB-DF得比例式篙=朦，又因为NBFE=MFD,得^BFEs&

rDrC

CFD,由相似三角形的对应角相等得NFDC="EB,由CEL4B,即可求解；

(2)由(1)得△BFESACFD,得出NEBF=NDCF,又因为C