2023-2024学年四川省泸州市泸县高二年级下册开学考试数学（理）模拟试题（含答案）

2023-2024学年四川省泸州市泸县高二下册开学考试数学（理）

模拟试题

一、单选题

1.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2,…,

840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间［481,720］的人数为

A.11B.12C.13D.14

【正确答案】B

【详解】试题分析：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人.

从编号1〜480的人中，恰好抽取480/20=24人，

接着从编号481-720共240人中抽取240/20=12人

系统抽样

2.抛物线y=4/的焦点坐标是（）

A.（0,1）B.（1,0）C.总0.偿

【正确答案】C

【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可得抛物线的焦点坐标.

【详解】将抛物线y=4/的化为标准方程为P=L,开口向上，焦点在y轴的正

半轴上，

所以焦点坐标为（（*）.

故选：C.

3.已知两直线4：x-y+6=O与/2：-3x+3y—2=0,则4与4间的距离为（）

A.口B.—C.百D,当叵

33

【正确答案】B

【分析】把直线4的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解.

【详解】直线4的方程化为：+1=显然，“〃2，

所以4与4间的距离为d=」6-字=述

#7（^73

故选：B

4.执行如图所示的程序框图，如果输入。的值为-1,则输出5=()

A.2B.-3C.3D.-4

【正确答案】B

【分析】利用程序框图的循环结构依次计算即可

【详解】初始化数值a=-l，k=l,S=0,循环结果执行如下：

第一次：S=0—1=—1,a=l,k=2；

第二次：S=-1+2=1,a=—1,k=3；

第三次：S=l—3=—2,a=\,k=4；

第四次：S=—2+4=2,a=—1,k=5；

第五次：S=2—5=—3,a=\,k=6；

结束循环，输出S=-3.

故选:B.

5.用2,3,4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”与事件“这个

三位数大于342”()

A.是互斥但不对立事件B.不是互斥事件

C.是对立事件D.是不可能事件

【正确答案】B

【分析】根据题意列举出所有可能性，进而根据各类事件的定义求得答案.

【详解】由题意，将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有：

{234,243,324,342,423,432},其中偶数有{234,324,342,432},大于342的有{423,432}.

所以两个事件不是互斥事件，也不是对立事件.

故选：B.

6.“机>6”是“方程9+丫2-蛆+4y+机+7=0是圆的方程”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】若方程X?+y2-,〃x+4y+m+7=0表示圆，则（一根）。+4。-4（机+7）>0,

即*-4〃?-12>0,解得，">6或机<-2,

故"，">6”是“方程x2+y2-mx+4y+m+7=0是圆的方程”的充分不必要条件，

故选：A

7.命题。:若”>6,且必>0,则lnf>0,命题4：在一ABC中，若A>B,则sin4>sin5.

b

下列命题中为真命题的是（）

A<

A.（-1/7）AqB.P7C.p/\（F）D.（->p）A（->g）

【正确答案】A

【分析】根据不等式的性质及对数函数的单调性判断命题P的真假，根据大角对大边及正弦

定理可判断命题q的真假，再根据复合命题真假的判断方法即可得出结论.

【详解】解：若且灿>o,则o<£,

b

当a>8>0时，—>1,所以In丁>0,

bb

当0>a>%时，0<-<1,所以In^vO,

bb

综上命题P为假命题，则f为真命题，

在一ABC中，若A>B,则

由正弦定理得sinA>sinB,

所以命题4为真命题，r为假命题，

所以（一叩）八4为真命题，0A4,p八5q）,（力）八（F7）为假命题.

故选：A.

8.在矩形ABC£>中，AB=i,BC=&，P4_L平面ABC£>，PA^\,则PC与平面ABC。所

成角是.

A.30°B.45°C.60°D.90°

【正确答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，求出平面A8CO的法向量以及直线PC方向向量，利用空间向

量夹角余弦公式可求出PC与平面A8CQ所成角.

【详解】4°

建立如图所示的空间直角坐标系，

则P（0,0,l）,C（l,上,0卜.尸C=（l,夜,—1）,

易知平面A8CD的一个法向量为〃（0,0,1）,

.〔PC与平面ABCD所成的角为30,故选A.

求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，

利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利

用空间向量夹角余弦公式求解即可.

9.已知直线/：9=十+加与曲线x=有两个公共点,则实数〃，的取值范围是（）

A.[一2,2旬B.（-2>/2,-2]C.12,2旬D.（-2^,2]

【正确答案】B

【分析】画出图像,当直线/过点A,8时，求出机值;当直线/与曲线犬=7?二丁相切时•求出优,

即可得出，"的取值范围.

【详解】画出如下图像:

当直线/过点A8时，相=-2,此时直线/与

曲线x=二手有两个公共点；

直线/与曲线相切时,％=-2&,

因此当_20＜利4-2时，直线/与

曲线》=斤丁有两个公共点.

故选B

本题考查了直线与圆相切时满足的关系，以及点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思

想，准确判断出曲线方程所表示曲线形状，且根据题意画出图形是解决问题的关键，属于中档

题.

10.已知三棱锥P-MC的各顶点都在同一球面上，且PAL平面ABC,AB=2,4c=1,

ZACB=90°,若该棱锥的体积为名叵，则此球的表面积为（）

3

A.16乃B.204C.8）D.5乃

【正确答案】B

作出三棱锥，找出球心的位置，进而求出球的半径，根据球的表面积公式即可求解.

【详解】作出三棱锥P-ABC,如图：

因为PA_L平面ABC,则

又因为NAC8=90。，所以8CJ.AC,由ACcPA=A,

所以BC/平面P4C,所以BCJ_PC,

所以PCB为直角三角形，

又」P钻为直角三角形，

所以三棱锥P-ABC的外接球球心在P8的中点上，

V„AKr=-SAHC-PA=-x-xlxy/3-PA=^-,解得*4,

r~~riOV3./iOV33

所以PB=y/4?+22=2石,

故三棱锥P-ABC的外接球半径r=0，

所以外接球表面积为4万产=4]x5=20万.

故选：B

11.设40,6）,点B为双曲线C：W-1=1（a>（U>0）的左顶点，线段A8交双曲线一条渐近

a-b-

3

线于C点，且满足cosNOCB=y,则该双曲线的离心率为（）

A.@B.6C.D.75

23

【正确答案】D

先求出点C的坐标，再根据余弦定理即可求出.

【详解】解：40，。），3（-。,0）,

b

二•直线A3的方程为y=—x+b,

a

h

抛物线的一条渐近线方程为J=--x,

a

由余弦定理可得^=4+V-2X^X^X1，

44225

整理可得5a2=/,

即e=£=石，

a

故选：D.

本题考查了双曲线的简单性质，以及余弦定理和离心率公式，属于中档题.

12.如图，在单位正方体中，点P在线段AR上运动，给出以下四个命题:

Di

wCi

①异面直线AP与BG间的距离为定值；

②三棱锥。-BPG的体积为定值；

③异面直线GP与直线C4所成的角为定值；

④二面角P-BC「。的大小为定值.

其中真命题有

A.1个B.2个C.3个D.4个

【正确答案】D

【详解】对于①，异面直线AP与BG间的距离即为两平行平面AORA和平面8"声间的

距离，即为正方体的棱长，为定值.故①正确.

=

对于②，由于^D-BPC,Vp-DBc、,而SADBC,为定值，又P^AD\,AD\〃平面BDC\,所以点P

到该平面的距离即为正方体的棱长，所以三棱锥O-8PG的体积为定值.故②正确.

对于③，由题意得在正方体ABCD-ABCR中，BlC,平面ABC\D\,而ClPu平面ABC\D\,

所以81CLC1P,故这两条异面直线所成的角为90。.故③正确；

对于④，因为二面角P-BC1-D的大小，即为平面ABC\D\与平面BDC\所成的二面角的大

小，而这两个平面位置固定不变，故二面角P-BG-。的大小为定值.故④正确.

综上①②③④正确.选D.

二、填空题

13.已知圆G：x2+y2+2x+3^+l=0,圆C?：%2+/+4x+3y+2=0,则圆G与圆G的

位置关系是.

【正确答案】相交

【分析】把两个圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径，利用两点间的距

离公式求出两圆心的距离，与半径和与差的关系比较即可知两圆位置关系.

2

9

【详解】G：Y+y2+2x+3y+l=0化为(x+iy+卜+|

4

2217

C2:X+/+4x+3y+2=0化为(x+2)+

I),半径分别为:

则两圆圆心分别为：CJ-2,

姮+3>i>姮-3

圆心距为d=1,

2222

所以两圆相交.

故相交.

14.某公司的班车在8：00准时发车，小田与小方均在7：40至8：00之间到达发车点乘坐

班车，且到达发车点的时刻是随机的，则小田比小方至少早5分钟到达发车点的概率为

9

【正确答案】

【分析】设小田到达发车点的时间为x,小方到达发车点的时间为》(为>)所构成的区域为

。={(x,y)140<x<60,40<y<60},小田比小方至少早5分钟到达发车点为事件

A={(x,y)|y-x>5},作出示意图，利用面积型的几何概型的概率计算公式计算即可.

【详解】设小田到达发车点的时间为x,小方到达发车点的时间为》a，y)所构成的区域为

Q={(x,y)|40<x<60,40<y<60},对应的面积S=2()x2()=4(X),则小田比小方至

少早5分钟到达发车点为事件4={(*q)及-*25},作出示意图，则符合题意的区域为

_A5C及其内部区域，联立解得C(55,60),联立[)'一：二5,解得以40,45),

[y=60[y=40

1225

则SMC=2><15X15=；-，由几何概型的概率计算公式，知小田比小方至少早5分钟到

225

达发车点的概率为三二9.

400-32

本题考查面枳型的几何概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.

15.设函数yu)=|x+〃|,g(x)=x-1,对于任意的xGR,不等式也(x)恒成立，则实数a

的取值范围是.

【正确答案】［-1,+oo)

【分析】对于VxeR,不等式〃x)2g(x)恒成立，等价于/(x)=|x+a|的图象在g(x)=x-1

的图象上方，根据数形结合可求出实数。的取值范围.

不等式y(x)沟(X)恒成立

如图，作出函数4x)=|x+a|与g(x)=x-l的图象，

观察图象可知：当且仅当一把1,即生一1时，不等式兀r依(x)恒成立，

因此a的取值范围是［―I,+oo).故答案为［―1,+oo).

本题主要考查利用函数图象解答不等式恒成立问题，属于中档题.不等式恒成立问题常见方

法：①分离参数aN/(x)恒成立(aN/(x)niM即可)或a4/(x)恒成立(a〈/(了心即可)；

②数形结合(y=/(x)图象在y=g(x)上方即可)；③讨论最值/(可僦20或/(司皿*40

恒成立；④讨论参数.

16.过抛物线V=2px(p>0)的焦点F作斜率大于0的直线/交抛物线于A,5两点(4在B

I4/7I

的上方)，且/与准线交于点C,若CB=3BF,则焉=_________.

IBF\

【正确答案】2

分别过A,B作准线的垂线，垂足分别为A，%由耨=隅=摺可求

【详解】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为4，4,

设|BF|=x,\AF\=y,则但旦1=空」=y31,

又'\BC\\BC\\AC\

.y_i.空=上=2

**y+x+3x3'"\BF\x'

故2.

三、解答题

17.己知P：X2-7X+10<0,q：x2-4;nx+3w2<0.其中机>0.

(1)若机=4且。八4为真，求x的取值范围；

(2)若F是▼的充分不必要条件，求实数，”的取值范围.

【正确答案】(1)4Vx<5；(2)|</n<2

【分析】(1)由?人<7为真，可知P，。都为真，进而求出命题PM,可得到答案；

(2)先求出命题P，4,由F是力的充分不必要条件，可得P是4的充分不必要条件，进

而可列出不等式，求出实数”?的取值范围.

【详解】由V-7x+10<0,解得2cx<5,所以P：2<x<5,

又/一4mx+3???vO,且〃2>0,解得"zvx<3相，所以4.〃2c工〈3机

(1)当m=4时，q：4cxv12,

因为〃八夕为真，所以〃国都为真，所以4Vx<5.

(2)因为F是力的充分不必要条件，所以〃是4的充分不必要条件，

m<2

3m>5,解得*4%42.

因为。：2<x<5,q：m<x<3m,所以，

m>0

本题考查一元二次不等式的解法，考查利用复合命题的真假求参数的范围，考查充分不必要

条件的应用，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.

18.从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数

据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.

分组频数

[2,4)2

[4,6)10

[6,8)16

[8,10)8

[10,12]4

合计40

（1）求频率分布直方图中。，6的值；

（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；

（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量

为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均

用水量不低于8吨的概率.

4

【正确答案】⑴""2；⑵0.7；⑶1

【详解】试题分析：（1）利用频率分布直方图中小矩形的高的实际意义进行求解；（2）利用频

率来估计概率；（3）先利用分层抽样得到各层抽得的人数，列举出所有基本事件和满足要求

的基本事件，再利用古典概型的概率公式进行求解.

试题解析：（1）因为样本中家庭月均用水量在［4,6）上的频率为£=0.25,

40

在［6,8）上的频率为2=0.4,

40

0.25八…,0.4”

所以〃=---=0.125,b=—=0.2

22

（2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有16+8+4=28个，

所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是黑=0.7.

40

利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于

6吨的概率约为0.7

（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量

为7的样本，

则在［6,8）上应抽取7x普=4人，记为A8,C,D,

28

Q

在［8,10）上应抽取7x2=2人，记为£,产，

28

在口0,12］上应抽取7乂4?=1人，记为G

28

设“从中任意选取2个家庭，求其中恰有1个家庭的月均用水量不低于8吨”为事件，

则所有基本事件有：{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C］，{氏£>},{8,E事件「卜

{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G］,{F,G］,共21种.

事件包含的基本事件有：{AE},{AF},{AG},

{8,E},{8,1},{B,G},{C,EMC,F},{C,G},{£>,©,{£>,产},{£>,G},共12种.

124

所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为

1.频率分布直方图；2.分层抽样；3.古典概型.

19.从某居民区随机抽取2021年的10个家庭，获得第i个家庭的月收入七（单位：千元）与

101010

月储蓄%（单位：千元）的数据资料，计算得工占=80，2%=2°，2y=184,

1=11=1f=l

10

2>；=720.

J=1

(i)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程。=队+机

(2)判断变量X与y之间是正相关还是负相关；

(3)利用(1)中的回归方程，分析2021年该地区居民月收入与月储蓄之间的变化情况，并

预测当该居民区某家庭月收入为7千元，该家庭的月储蓄额.附：线性回归方程系数公式.

/__

工占必一"

y=中，»-*a-y-bxy其中x，y为样本平均值.

E2-2

X：-nx

i=l

【正确答案】(l)y=0.3尤一0.4

(2)正相关

(3)1.7千元

【分析】(1)由题意得到”=10,求得反9，进而求得分,储写出回归方程；.

(2)由方=0,3>0判断;

(3)将x=7代入回归方程求解.

【详解】(1)由题意知

-13800-1320c

n—10,x=—>x：=—=8,y=—>y：=­=2,

lOtT，1010210

__

贝ljb=耳---------=0.3,a=y-bx=-0.4,

i=l

所以所求回归方程为y=0.3x—0.4.

(2)因为匕=0.3>0，

所以变量y的值随x的值增加而增加，故x与y之间是正相关.

(3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为>=0.3x7-0.4=1.7(千元).

20.已知抛物线)，2=2px(p>0)的焦点为F,过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A,B两

点，|AB|=4.

(1)求抛物线的方程；

（2）过点尸的直线/交抛物线于P,Q两点，若40。。的面积为4,求直线/的斜率（其中

0为坐标原点）.

【正确答案】（1）/=4x；（2）土B.

3

【分析】（1）根据抛物线的定义以及抛物线通径的性质可得2〃=4,从而可得结果；（2）设

直线/的方程为卜=碎-1）,「（4,乂）,。（七,%），x=Rl代入V=4x,得炉_?_4=0,

利用弦长公式，结合韦达定理可得的归。值，由点到直线的距离公式，根据三角形面积公式

可得S8°=:|PQ|M="客=4,

从而可得结果.

2\K\

【详解】（1）由抛物线的定义得A、B到准线的距离都是P,

所以|AB|=2p=4,

所以抛物线的方程为V=4x.

（2）设直线/的方程为y=A（x-l）,P（x/,yi）,Q（X2,yi）-

因为直线/与抛物线有两个交点，

所以原0,得x=4+l，代入f=4x,得/一冬一4=0,且△=黑+16>0恒成立,

kKK

4

则%+>2=:，郎=-4,

k

H+0\k\

又点。到直线1的距离d==-fLL=,

ylk2+lylk2+\

所以5叽=9尸。|刀=如产=4,解得/=；,即Z=±3.

2困33

本题主要考查直线与抛物线的位置关系的相关问题，意在考查综合利用所学知识解决问题能

力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，

然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.

21.如图所示，平面ABC。，四边形AE7方为矩形，BCAD,BAYAD,

AE=AD=2AB=23C=4.

E

（1）求证：CF〃平面A£>E；

（2）求平面C£>尸与平面AEE8所成锐二面角的余弦值.

*【正确答案】（1）证明见解析

【分析】（1）由面面平行判断定理证平面8FC：平面AOE,再证C/〃平面AZ）E即可；

（2）建立空间直角坐标系如图，由向量法即可求

【详解】（1）证明：四边形明归为矩形，...B尸AE,又5C〃AO,AE、ADu平面ADE,

BF、ADE,故8尸,平面AOE,BC平面AOE,

又BF、BC=B,BF、BCu平面BFC,：.平面BFC/平面ADE,

：CFu平面BFC,：.CF//平面ADE；

（2）建立空间直角坐标系如图，则

C（2,2,0）,D（0,4,0）,F（2,0,4）,DF=（2,-4,4）,DC=（2,-2,0）,

/、m-DF=2x-4y+4z=0