高中数学讲义（人教A版必修二）：第44讲 频率与概率（教师版）

第44课频率与概率

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课程标准课标解读

1.通过实验让学生理解当试验次数较大

时，实验频率稳定在某一常数附近，并据

此能估计出某一事件发生的频率.1.数学建模：概率的应用

2.通过对实际问题的分析，培养使用数学2.逻辑推理：频率与概率的关系

3.数学运算：频率与概率的计算

的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的

4.数据抽象：概率的概念

应用价值.5.数学抽象：随机模拟试验的理解.

3.理解随机模拟试验出现地意义.6.数学运算：利用随机模拟试验求概率.

4.利用随机模拟试验求概率.

瞅’知识精讲

知识点01频率的稳定性

为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾

鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库.经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库

中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中带记号的鱼，假设有40尾，根据上述数据，估计水库中鱼的

尾数为.

【解析】求2000尾鱼占水库中所有鱼的百分比f

求带记号的鱼在500尾鱼中占的百分比f

根据二者的关系列等式一求解，估计水库中鱼的尾数25000

知识点02利用随机模拟实验求概率

【即学即练2】在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概

率为0.6,乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.

【答案】0.65

【解析】设事件A="甲获得冠军”，事件3="单局比赛甲胜”，则P（5）=0.6.用计算器或计算机产生1~5之

间的随机数,当出现随机数1,2或3时,表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6.由于要比赛3局,所以每3个随机数

为一组.例如，产生20组随机数：

423123423344114453525332152342

534443512541125432334151314354

相当于做了20次重复试验.其中事件A发生了13次，对应的数组分别是

13

423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,334,151,314,用频率估计事件A的概率的近似似值为一=0.65.

20

解题技巧（利用随机模拟实验求概率）

用随机模拟来估计概率，一般有如下特点的事件可以用这种方法来估计：（1）对于满足“有限性”但不满

足“等可能性”的概率问题，我们可采取随机模拟方法来估计概率.（2）对于一些基本事件的总数比较大而导

致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性难于验证的概率问题，可用随机

模拟方法来估计概率.

[J能力拓展

考法01频率的稳定性

【典例1】某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表:

8101520304050

681217253239

0.780.70.80.80.80.80.80

50053

（1）计算表中进球的频率;

（2）这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？

⑶这位运动员进球的概率是0.8,那么他投10次篮一定能投中8次吗？

解析：概率约是0.8

不一定.投10次篮相当于做10次试验，每次试验的结果都是随机的，所以投10次篮的结果也是随机的.

【变式训练】新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数，通过抽样调查得知，我国2014年、2015年

出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.

(1)分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率，精确到0.001)；

(2)根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？

分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生的频率；由频率的稳定性，可以估计男

婴的出生率

解：(1)2014年男婴出生的频率为

2015年男婴出生的频率为

由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537,2015年男婴出生率约为0.532.

——«0.537

100+115.88

113,51^0.532

100+113.51

(2)由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度，

因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论.

由统计定义求概率的一般步骤

(1)确定随机事件A的频数nA；

(2)由f(4=计算频率f(Z)(n为试验的总次数);

(3)由频率f(4)估计概率P(A).

概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象,

当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率.

考法02利用随机模拟实验求概率

【典例2】袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”

两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整

数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“中、华、民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的

结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

232321230023123021132220001

IM1”Ml(KI1221(BTH

由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为()

1325

A.-B.—C.-D.—

918918

【答案】C

【解析】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有021,001,130,031,共4组随机数，恰好抽取三

42

次就停止的概率约为一=—,故选C.

189

【变式训练】一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球1个红球.现任取1个，若为红球就停止，

若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取.试设计一个模拟试验，计算恰好第三次摸到红球的概率.

【答案】0.1

【解析】用123,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数，因

为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组.例如，产生20组随机数.

666743671464571

561156567732375

716116614445117

573552274114622

就相当于做了20次试验，在这组数中，前两个数字不是7,

第三个数字恰好是7,就表示第一次、第二次摸的是白球，

第三次恰好是红球，它们分别是567和117共两组，因此

恰好第三次摸到红球的概率约为2=0.1.

fii分层提分

题组A基础过关练

一、单选题

1.在如图所示的电路图中，开关a,b,c闭合与断开的概率都是且是相互独立的，则灯亮的概率是（）

117_

A.-BC.一D.

8-14I

【答案】B

【解析】要使灯亮，必须a闭合，而开关b,或c闭合，再根据相互独立事件的概率乘法公式求得结果.

【详解】解：设开关a,b,c闭合分别为事件A,B,C,灯亮为事件E,

则灯亮这一事件E=ABCuABCuABC,

且A,B,C相互独立，ABC,ABC,4豆。两两互斥，

P(£)=P[(ABC)u(ABC)u(ABC)]

=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=尸(A)P(B)P(C)+P(A)尸(8)•P(C)+P(A)P(B)P(C)

故选：B.

【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题.

2.我国古代数学名著《九章算术》有"米谷粒分"题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷,

抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()

A.169石B.192石C.1367石D.1164石

【答案】B

【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果.

OQ1

【详解】由抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒估计夹谷频率为芸=：,

2248

所以这批米内夹谷约为1536xJ=192石.

O

故选：B.

3.下列说法正确的有()

①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；

②一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生；

③任意事件A发生的概率P(A)满足0<P(A)<1；

④若事件A的概率趋近于0,则事件A是不可能事件.

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

【答案】C

【分析】根据概率与频率的关系判断①正确；根据基本事件的特点判断②正确；根据必然事件，不可能事

件，随机事件的概念判断③错误；根据小概率事件的概念判断④错误.

【详解】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律.在大量重复试验时，频率具有一定的稳定

性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事

件的概率.

•••随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，二①正确；

基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，

•••一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生.,②正确；

必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,随机事件的概率大于。小于1,

任意事件A发生的概率P（A）满足。4P（A）<1.-③错误；

若事件A的概率趋近于0,则事件A是小概率事件.•.④错误.

说法正确的有2个，

故选：C.

4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大

幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未

配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第

二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者（）

A.42名B.32名C.24名D.18名

【答案】D

【分析】只要第二天能把原有积压500份和第二天新订单（按1600份计算）消化掉，就能满足题意.

【详解】由于"第二天的新订单超过1600份的概率为0.05%即"第二天的新订单量小于或等于1600份的概

率为0.95",

所以只要第二天能把原有积压500份和第二天新订单（按1600份计算）消化掉，就能满足题意：

第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,第二天新增积压订单数为1600-1200=400,两

天共积压500+400=900份，

因为婴=18,故至少需要志愿者18名.

故选：D

5.下列命题中不正确的是

A.根据古典概型概率计算公式P(A)=区求出的值是事件A发生的概率的精确值

n

B.根据古典概型试验，用计算机或计算器产生随机整数统计试验次数N和事件A发生的次数M,得到的值与

是P(A)的近似值

C.频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率

D.5张奖券中有一张有奖，甲先抽,乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可性相同

【答案】C

【解析】根据概率的定义以及古典概型概率计算方法逐个选项判断即可.

【详解】对于A,即古典概型概率计算公式，很明显正确的；

对于B,随机模拟中得到的值是概率的近似值，则B项命题正确；

对于C,频率稳定在某个常数上，这个常数叫做概率，但与概率的趋近程度不是试验次数的函数，C命题不

正确；

对于D,5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性都是:，。命题正确；

故选：C.

【点睛】本题主要以命题的真假判断为载体，考查了概率的基本概念，难度不大，属于基础题.

6.某城市有连接8个小区A、B、C、D、E、F、G、H和市中心。的整齐方格形道路网，每个小方格

均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H,则他经过市中

心。的概率是()

13

C.一D.一

44

【答案】B

【分析】列举出所有的基本事件，记“此人经过市中心为事件确定事件”所包含的基本事件，然后

利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.

【详解】此人从小区A前往”的所有最短路径为：A告BiCrEfH,ATBFOTEFH,

AfBfO-G-H,ATDTOTETH,ATD-O4G-H,AfDrF—GfH,共6条

记“此人经过市中心O”为事件M,则M包含的基本事件为：A->B^O告ErH,Af3-OfG-H,

AfDfOfEfH,A—DTO—G—H,共4条.

4??

P（M）=-=-,即他经过市中心的概率为［.

633

故选：B.

【点睛】本题考查概率的应用，是中等题.解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的灵活运用.

二、多选题

7.（多选）关于频率和概率，下列说法正确的是（）

A.某同学投篮3次，命中2次，则该同学每次投篮命中的概率为:

B.费勒抛掷10000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.4979；皮尔逊抛掷24000次硬币，得到硬币正面

向上的频率为0.5005.如果某同学抛掷36000次硬币那么得到硬币正面向上的频率可能大于0.5005

C.某类种子发芽的概率为0.903,若抽取2000粒种子试种，则一定会有1806粒种子发芽

D.将一颗质地均匀的骰子抛掷6000次，则掷出的点数大于2的次数大约为4000次

【答案】BD

【分析】通过对频率和概率的定义的理解，即可判断各选项，从而得出答案.

【详解】解：A中，某同学投篮3次，命中2次，只能说明频率为:，而不能说明概率为亨，故A选项错误;

B中，当试验次数很多时，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5,也可能小于0.5,故B选项

正确；

C中，只能说明大约有1806粒种子发芽，并不是定有1806粒种子发芽，故C选项错误；

D中，点数大于2的概率为:，故抛掷6000次点数大于2的次数大约为4000次，故D选项正确.

故选：BD.

8.某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下面的统计表,

其中"V"表示购买，“X”表示未购买.

顾客人数甲乙丙T

100VXVV

217XVXV

200VVVX

300VXVX

85VXXX

98XVXX

根据表中数据，下列结论中正确的有（）

A.顾客购买乙商品的概率最大

B.顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2

C.顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3

D.顾客仅购买1种商品的概率不大于0.2

【答案】BCD

【分析】根据统计表逐项分析可得答案.

【详解】对于A,由于购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，故A错误；

对于B,因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购

买乙和丙的概率可以估计为蒜=0.2,故B正确；

对于C,因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位

顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种

商品的概率可以估计为1°；器°0=0.3,故C正确；

对于D,因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，所以顾客仅购买1

种商品的概率可以估计为Q183<Q2,故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

9.在一个不透明的布袋中，红色，黑色，白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多

次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在15%和45%,则口袋中白色球的个数可能是

个.

【答案】16

【分析】根据红色球和黑色球的频率稳定值，计算红色球和黑色球的个数，从而得到白色球的个数.

【详解】根据概率是频率的稳定值的意义，

红色球的个数为40x0.15=6个；

黑色球的个数为40x0.45=18个；

故白色球的个数为40-6-18=16个.

故答案为：16.

【点睛】本题考查概率和频率之间的关系：概率是频率的稳定值.

10.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中

十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2,4,6,8表示命中十环，0,1,3,5,

7,9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机

数：321421292925274632800478598663531297396021506318230113507965据此估计，小张三

次射击恰有两次命中十环的概率约为.

【答案】0.3

【分析】确定随机数组中以恰有两个数字是2,4,6,8,再由概率公式计算.

【详解】由题意，随机数组421,292,274,632,478,663共6个，表示恰有两次命中十环，

所以概率为P=*Q3.

故答案为：0.3.

11.一个样本的容量为70,分成五组，已知第一组、第三组的频数分别是8,12,第二组、第五组的频率

都为;，则该样本第四组的频率为.

【答案】巳

【解析】根据频率的计算公式，结合题目已知信息，即可容易求得.

【详解】因为样本容量为70,根据题意可得：

第一组和第三组的频率为=

根据频率之和为1，即可求得：

第四组的频率为=

故答案为：—.

【点睛】本题考查频率的计算公式，属基础题.

12.如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球（只是颜色不同），从中任取一球，取了10次有9

个白球，估计袋中数量多的是.

【答案】白球

99

【详解】取了10次有9个白球，则取出白球的频率是一，估计其概率约是―，那么取出黑球的概率约是

1010

—,那么取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量多的是白球.

10

考点：随机事件的概率.

四、解答题

13.盒中有大小、形状相同的5只白球和2只黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：

⑴任取一球，得到白球；

（2）任取三球，都是白球.

【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析

【解析】（1）用1，2,3,4,5表示白球,6,7表示黑球，利用计算器或计算机产生1到7的整数值随机数，每一个数为

一组，统计组数”，统计这〃组数中小于6的组数m，即可求得答案；

（2）用123,4,5表示白球,6,7表示黑球，统计这“组数中，每个数字均小于6的组数加，即可求得答案.

【详解】（1）用1,2,3,4,5表示白球,6,7表示黑球.

步骤：

①利用计算器或计算机产生1到7的整数值随机数，每一个数为一组,统计组数”；

②统计这n组数中小于6的组数m；

③任取一球，得到白球的概率估计值是竺.

n

（2）用1,2,3,4,5表示白球,6,7表示黑球.

步骤：

①利用计算器或计算机产生1到7的整数值随机数，每三个数为一组,统计组数”；

②统计这n组数中，每个数字均小于6的组数m；

③任取三球,都是白球的概率估计值是竺.

n

【点睛】本题考查了随机模拟法估计事件概率,解题关键是掌握随机模拟法估计事件的概率方法，考查了分析

能力,属于基础题.

14.国家规定每年的7月1日以后的60天为当年的暑假.某钢琴培训机构对20位钢琴老师暑假一天的授课量

进行了统计，如下表所示:

授课量（单位：小时）[0,2)［训[4,6)[6,8)[8,10]

频数27731

培训机构专业人员统计近20年该校每年暑假60天的课时量情况如下表:

课时量（单位：天）[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50]

频数36632

（同组数据以这组数据的中间值作代表）

（1）估计20位钢琴老师一日的授课量的平均数；

（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为200元/小时，每天的各类生活成

本为80元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师60天暑假授课利润不少

于2万元的概率.

【答案】（1）4.4小时；（2）0.4.

【解析】（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以20可得出20位老师暑假一日的授课量的平均数；

（2）设一位钢琴老师每年暑假60天的授课天数为x,计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师

60天暑假授课利润不少于2万元求得工的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率.

_1

【详解】（1）估计20位老师暑假一日的授课量的平均数为无=/（1X2+3X7+5X7+7X3+9X1）=4.4小时；

（2）设每年暑假60天的授课天数为x,则利润为y=（4.4x200-80）尤=800x.

由800x220000,得x225.

一位老师暑假利润不少于2万元，即授课天数不低于25天，

3+3+2

又60天暑假内授课天数不低于25天的频率为£=0.4.

预测一位老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率为0.4.

【点睛】本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题.

15.某盒子内装有三种颜色的玻璃球，一位同学每次从中随机拿出一个玻璃球，观察颜色后再放回，重复

了50次，得到的信息如下：观察到红色26次、蓝色13次.如果从这个盒子内任意取一个玻璃球，估计：

（1）这个球既不是红色也不是蓝色的概率；

（2）这个球是红色或者是蓝色的概率.

【答案】(1)0.22；(2)0.78

【解析】(1)计算红色球、蓝色球出现的频率，即为概率，由事件的关系可计算既不是红色也不是蓝色的

概率；

(2)红球为事件A,蓝球为事件B,这个球是红色或者是蓝色为事件A+8,由互斥事件概率公式可计算.

【详解】记取到红球为事件4取到蓝球为事件8,取到的球不是红球也不是蓝球为事件C.

(1)因为||=0.52,1|=0.26,所以尸(A)=0.52,P(B)=0.26

由题意，C=A^B,且A3互斥，则P(C)=1-尸(A+B)=1—P(A)-P(B)=0.22.

(2)由题意知，这个球是红色或者是蓝色为事件A+庆则P(A+B)=尸(A)+P»)=0.78.

【点睛】本题考查用频率估计概率，考查互斥事件的概率公式.掌握互斥事件的概率是解题基础.

16.某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:

赔付金额(元)01000200030004000

车辆数(辆)500130100150120

⑴若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率.

(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%,估计在

已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.

【答案】(1)0.27；(2)0.24

【详解】试题分析：(1)设A表示事件"赔付金额为3000元"，8表示事件"赔付金额为4000元"，以频率估

计概率求得尸(4),P(B),在根据投保金额为2800,赔付金额大于投保金额对应的情形时3000元和4000

元，问题就得以解决;

(2)设C表示事件"投保车辆中新司机获赔4000元"，分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额为

4000元的车辆中车主为新司机人数，在求出其频率，最后利用频率表示概率.

试题解析:

(1)设A表示事件"赔付金额为3000元"，3表示事件"赔付金额为4000元〃，以频率估计概率得:

150

P0)==0.12,

WOO

由于投保金额为2800,赔付金额大于投保金额对应的情形时3000元和4000元，所以其概率为:

P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27

设C表示事件"投保车辆中新司机获赔4000元"，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1x1000=100,而

赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2x120=24

所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为砺=0.24

由频率估计概率得P（C）=0.24

考点：古典概型及其概率计算公式.

题组B能力提升练

一、单选题

1.下列说法正确的是（）

A.甲、乙两人做游戏：甲、乙两人各写一个数字，若都是奇数或都是偶数则甲胜，否则乙胜，这个游戏公

平

B.做"次随机试验，事件A发生的频率就是事件A发生的概率

C.某地发行福利彩票，回报率为47%,某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报

D.有甲、乙两种报纸可供某人订阅，事件3“某人订阅甲报纸”是必然事件

【答案】A

【解析】对于A,利用列举法,写出所有可能，计算两个人胜的概率是否相等，即可判断游戏是否公平;利用频率

与概率的定义可判断B;利用概率的意义可判断C;利用随机事件的定义，可判断D.

【详解】对于A,甲、乙两人各写一个数字，所有可能的结果为（奇，偶），（奇,奇），（偶，奇）,（偶，偶），则都

是奇数或都是偶数的概率为故游戏是公平的；

对于B,随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率,故事件A发生的频率就是事件A发生的概率是不正确

的；

对于C,某人花100元买福利彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故C不正确；

对于D,事件5可能发生也可能不发生,故事件B是随机事件，故D不正确

综上可知，正确的为A.

故选:A.

【点睛】本题考查了随机事件概率的概念和意义，频率与概率的关系，古典概型概率的求法,属于基础题.

2.下列四个命题中正确的是（）

A.设有一批产品，其次品率为0.05,则从中任取200件，必有10件是次品

B.做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是需

C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率

D.抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是4

【答案】D

【分析】依据频率与概率的基本知识进行判断即可.

【详解】对于A,次品率是大量产品的估计值，并不是必有10件是次品，故A错误；

对于B,抛硬币出现正面的概率是方，而不是故B错误；

对于C,频率与概率不是同一个概念，故C错误；

对于D,利用频率计算公式求得频率，故D正确.

故选：D

3.每道选择题有四个选项，其中只有一个选项是正确的.某次数学考试共有12道选择题，有位同学说：〃每

个选项正确的概率是：，我每道题都选择第一个选项，则一定有3道选择结果正确.”该同学的说法

A.正确B.错误

C.无法解释D.以上均不正确

【答案】B

【解析】由概率的含义可判断其错误.

【详解】解每一道选择题都可看成一次试验，每次试验的结果都是随机的，经过大量的试验其结果呈一定

的规律，即随机选取一个选项选择正确的概率是1•做12道选择题做对3道的可能性比较大，但并不能保

证一定做对3道，也有可能都选错，因此该同学的说法错误.

故答案为B.

【点睛】这个题目考查了概率的意义，概率是通过大量实验统计下来的一定的规律.

4.从标有数字1,2,6的号签中，任意抽取两张，抽出后将上面数字相乘，在10次试验中，标有1的号

签被抽中4次，那么结果"12”出现的频率为（）

1317

A.-B.-C.-D.—

25510

【答案】B

【分析】由标有1的号签出现4次，可知另外6次应抽到标有2,6的号签，所以乘积12出现6次，由此

即可求出答案.

【详解】标有1的号签出现4次，另外6次应抽到标有2,6的号签,

所以乘积12出现6次，频率为R=|.

故选：B.

5.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，有人送来532石，验得

米内夹谷，抽样取米一把，数得54粒内夹谷6粒，则这批米内夹谷约为

A.59石B.60石C.61石D.62石

【答案】A

【分析】运用抽样结果得到米内夹谷的概率，然后估算这批米内夹谷的结果

【详解】由题中54粒内夹谷6粒可得其概率为：二=:，

549

则这批米内夹谷为532义2=591，约为59石

故选A

【点睛】本题主要考查了抽样调查的实际运用，由抽样结果得到概率后然后估算其结果，较为简单.

6.近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分

别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000，

生活垃圾.经分拣以后数据统计如下表（单位：t）:根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误

的是（）

厨余垃圾"箱可回收物"箱其他垃圾"箱

厨余垃圾400100100

可回收物3024030

其他垃圾202060

7

A.厨余垃圾投放正确的概率为:

B.居民生活垃圾投放错误的概率为本

C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是"可回收物"箱

D.厨余垃圾在“厨余垃圾"箱、"可回收物"箱、"其他垃圾”箱的投放量的方差为20000

【答案】C

【分析】由表格可求得：厨余垃圾投放正确的概率，可回收物投放正确的概率，其他垃圾投放正确的概率,

再结合选项进行分析即可.

4002

【详解】由表格可得：厨余垃圾投放正确的概率=,”=：；可回收物投放正确的概率

400+100+1003

=2"4了0+3?0+3〃0=〈5；其他垃圾投放正确的概率=2"0+2f0+605

对A,厨余垃圾投放正确的概率为。，故A正确；

3003

对B,生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300,故生活垃圾投放错误的概率为隔=历，故B正确；

40082402

对C,该市厨余垃圾箱中投放正确的概率可回收物垃圾箱中投放正确的概率==二，其他垃圾箱中

投放正确的概率瑞哈

所以该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是"厨余垃圾"箱，故C错误；

对D,厨余垃圾在“厨余垃圾"箱、"可回收物"箱、"其他垃圾”箱的的投放量的平均数于=史时詈&=200,

可得方差

s2=1x[(400-200)2+(100-200)2+(100-200)2]=20000,故D正确.

故选：C.

【点睛】本题考查概率与统计的计算，考查推理能力与数据处理能力，属于中档题.

二、多选题

7.小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有()

A.抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜

B.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜

C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜

D.小明、小华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜

【答案】ACD

【分析】在四个选项中分别列出小明与小华获胜的情况，由此判断两人获胜是否为等可能事件.

【详解】解：对于4抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平;

对于8,恰有一枚正面向上包括(正，反)，(反，正)两种情况，而两枚都正面向上仅有(正，正)一种情况,

所以游戏不公平；

对于c,从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平;

对于。，小明、小华两人各写一个数字6或8,一共四种情况：(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)；两人写的数字

相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平.

故选：ACD.

【点睛】本题考查等可能事件的判断，考查运算求解能力，是基础题.

8.以下命题成立的是()

A.函数y=〃x+l)是偶函数，则y=〃x)关于直线x=l对称

B.盒子中有5张奖券，只有一张上面写着“中奖"，其它四张上都写着“谢谢".学生甲先抽，已知甲抽中的是"谢

谢"，学生乙接着抽，则乙抽至广中奖”的概率为2

C.某个红绿灯路口的红灯持续时间共为50秒钟.李先生开车到达路口时，此时信号灯显示为红灯，则他等

3

候红灯时间不超过30秒的概率为歹

D.yusinx+^cos无向右平移■个单位得到一奇函数.

【答案】ACD

【解析】结合奇偶函数的性质，及函数图象的平移变换规律，可知AD正确；结合古典概型、几何概型知识,

计算可得B错误，C正确.

【详解】对于A,函数y=F(x+l)是偶函数，其图象关于，轴对称，因为y=/(x+l)的图象向右平移1个

单位后，得到y=/(x)的图象，所以y=的图象关于直线X=1对称，故A正确；

对于B,5张奖券，其中1张上面写着“中奖"，学生甲已经抽了一张，没有中奖，因为是不放回抽奖，所以

还剩4张奖券，其中1张上面写着“中奖"，学生乙接着抽，则乙抽到"中奖"的概率为!，故B错误；

4

303

对于C,根据几何概型的概率公式可得，等候红灯时间不超过30秒的概率为P=c=y,故C正确；

对于D,y=sinx+百cosx=2^-sinx+^-cosx=2sin^x+^,贝ljy=2sin[x+g]的图象向右平移■个单

位得到y=2sin|x-§+§J=2sinx的图象，y=2sinx是奇函数，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】本题考查古典概型、几何概型知识，考查函数的奇偶性，及函数图象平移变换规律，考查三角函

数的恒等变换，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.

三、填空题

9.我国南宋数学家秦九韶所著《数书九章》中有“米谷粒分"问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验

得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约石.

【答案】189

【分析】利用频率估计概率，运算求解.

【详解】由已知：抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为2壬7=：1,

2168

则由此估计总体中谷的含量约为1512x：=189石.

O

故答案为：189.

10.李明和张健站在罚球处进行定点投篮比赛其结果如下表所示：

李明张健

投中数3025

未中数2015

上表数据显示，李明投中的频数是;投中的频率是;张健投中的频数是

，投中的频率是，两人中投中率更优秀的是.

【答案】3060%2562.5%张健

【分析】根据表格中给出的数据，求得频数和频率值，进而得到两人在投中率上谁更优秀一些.

【详解】根据表格中的数据，可得李明投中的频数是30,频率是3言0=60%,

张健投中的频数是25,频率是2胃5=62.5%,

40

所以张健更优秀一些.

故答案为：30；60%；25；62.5%；张健.

11.在某市举办的城市运动会的跳高比赛中，甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是

0.7,0.6,且每次试跳成功与否相互之间没有影响，若甲、乙各试跳两次，两人中恰有一人第二次才成功的

概率为.

【答案】0.3492

【解析】记"甲第，次试跳成功”为事件4,"乙第，次试跳成功"为事件B,,依题意得P（A）=0.7,P（Bj=0.6,

且4，耳。=1,2）相互独立，由此能求出两人中恰有一人第二次才成功的概率.

【详解】解：记"甲第，次试跳成功”为事件4,"乙第/次试跳成功"为事件瓦，

依题意得P（A）=0-7,P（耳）=0.6,且4，耳《=1,2）相互独立.

“甲第二次试跳才成功”为事件且两次试跳相互独立，.“（44）=P（A）P（d）=03x0.7=0.21,

故甲第二次试跳才成功的概率为0.21,

同理，可求得乙第二次试跳才成功的概率为尸（百也）=尸（区）尸出）=04x0.6=0.24,

故两人中恰有一人第二次才成功的概率为021*（1-0.24）+0.24x（l-0.21）=0.3492,

故答案为：0.3492.

【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.

12.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第998次抛掷恰好出现“正面向上”的概率为

【答案】|

【分析】根据概率概念可得概率与抛掷次数无关，即得结果.

【详解】因为概率与抛掷次数无关,所以第998次抛掷恰好出现"正面向上”的概率等于1次抛掷恰好出现"正

面向上"的概率，为;.

【点睛】本题考查概率概念，考查基本分析求解能力，属基础题.

四、解答题

13.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了25根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质

量的重要指标）（单位：mm）,所得数据都在区间［5,40］中，具体数据如下：

1214161717

1920202122

2323232424

2525262727

2829303234

试估计这批棉花中长度小于20mm的棉花纤维的占比.

【答案】24%.

【分析】算出样本对应的概率，用样本估计总体

【详解】由题，样本中棉花中长度小于20mm的棉花纤维有6根，则占比为2=0.24,

由样本估计总体，故估计这批棉花中长度小于20mm的棉花纤维的占比为24%.

14.某水产试验厂进行某种鱼卵的人工孵化，6个试验小组记录了不同的鱼卵数所孵化出的鱼苗数，如下表

所示:

鱼卵数200600900120018002400

孵化出的鱼苗数188548817106716142163

孵化成功的频率0.9400.9130.908①0.897②

（1）表中①②对应的频率分别为多少（结果保留三位小数）？

（2）估计这种鱼卵孵化成功的概率.

（3）要孵化5000尾鱼苗，大概需要鱼卵多少个（精确到百位）？

【答案】（1）0.889,0.901（2）0.9（3）翳。5600

【解析】（1）计算黑，黑的值，即可得答案；

（2）从表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多，孵化成功的频率稳定在0.9

附近，即可得答案；

（3）利用频率等于频数除以总数计算，即可得答案.

【详解】（1）牖。6889,若|。0901,所以①②对应的频率分别为。889,0.901.

（2）从表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多，孵化成功的频率稳定在0.9

附近，由此可估计该种鱼卵孵化成功的概率为09

（3）大概需要鱼卵翳々5600（个）.

【点睛】本题考查频率计算、频率估计概率的思想，属于基础题.

15.某市从高二年级随机选取1000名学生，统计他们选修物理、化学、生物、政治、历史和地理六门课程

（前3门为理科课程，后3门为文科课程）的情况，得到如下统计表，其中"V"表示选课，"空白”表示未选.

科目

物理化学生物政治历史地理

方案人数

一220VVV

二