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文档简介
2023-2024学年八年级数学上册第一章单元测试卷
勾股定理(满分120分)
一、单选题(满分32分)
1.以下数组中,其中是勾股数的是()
A.2.5,6,6.5B.9,40,41C.1,V2,1D.2,3,4
2.斜边为17cm,一条直角边长为15cm的直角三角形的面积为()
A.60cm2B.30cm2C.90cm2D.120cm2
3.直角三角形中一直角边的长为10,另两边长为连续偶数,则直角三角形的周长为()
A.49B.17C.60D.不能确定
4.三个正方形的面积如图,正方形A的边长为()
A.8B.36C.64D.6
5.如图,在中,“=90。,AC=8,BC=6,按图中所示方法将ABCD沿80折叠,使点C
落在边A8上的点C'处,那么线段AQ的长为()
A.6B.5C.4D.3
6.已知AABC中,AB=\1,AC=10,8c边上的高A£>=8,则边8c的长为()
A.21B.6C.21或6D.21或9
7.如图,在Rt-BC中,ZACB=90°,AB=8,以AC和BC为底边分别向外作等腰直角AAFC和等腰
直角ABEC,若A4FC的面积为Si,ABCE的面积为52,则Si+S2的值为()
B
A.8B.16C.24D.32
8.如图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面9米处折断,树的顶端落在离树杆底部12米处,那么
这棵树折断之前的高度是()
A.9米B.12米C.15米D.24米
二、填空题(满分40分)
9.在RSABC中,AB=8,BC=26,则以AC为边的正方形的面积为.
10.若一个三角形的三边长分别是6、8、a,如果这个三角形是直角三角形,则。2=.
11.如图,Rt^ABC中,4B=9,BC=6/B=90。,将AABC折叠,使A点与BC的中点O重合,折痕
为MN,则线段8N的长为.
12.如图所示,有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点处有一只
小蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是.(7T取3)
13.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两个
相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到8点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到8点最短路程是
dm.
14.如图,沿AE折叠长方形ABC。,使。点落在BC边的点尸处,若AB=12cm,BC=13cm,则“的
长度是—.
2
15.如图,在△4BC中,ZACB=90°,BC=8,BE=4,AE=AC,求AE的长.
解题思路:设AE=AC=x,根据勾股定理,得ZC2+BC2=/B2,可列方程为
16.如图,要在河边/上修建一个水泵站,分别向A村和8村送水,已知A村、B村到河边的距离分别
为2km和7km,且AB两村庄相距13km,则铺设水管的最短长度是km.
河边,
三、解答题(满分48分)
17.如图,在△ABC中,ZACB=90°,A8=10cm,BC=6cm,CD_LA8交A8于点求:
(1)4C的长.
⑵△4BC的面积.
(3)。。的长.
18.如图是某“飞越丛林”俱乐部最近打造的一款项目的示意图,BC段和垂直于地面的A8段均由不锈钢
3
管材打造,两段总长度为26m,矩形COE尸为一木质平台的主视图.经过测量得CD=lm,AO=15m,请
19.如图1所示,一架梯子48长10米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C的距离为6米,
梯子底部向右滑动后停在OE的位置上(如图2所示),测得。B的长为2米,求梯子顶端4下落了多
少米.
20.台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候,有极强的破坏力,
如图,有一台风中心沿东西方向4B由4行驶向B,已知点C为海港,且点C与直线,上的两点4B的距离
分别为4c=300km,BC=400km,又4B=500km,以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域.已
知台风运动速度为72km/h.
C
⑴求NACB的度数;
(2)求海港C到直线4B的最短距离;
4
(3)海港C受台风影响吗?若受影响请计算受影响时间,若不受影响请说明理由.
21.如图,在△ABC^hDCE中,AC=DE,4B=Z.DCE=90°,点A,C,。依次在同一直线上,且力B||DE.
(1)求证:4ABC三4DCE;
(2)连接4E,当BC=5,AB=12,时,求4D的长.
22.心AA8C中,ZBAC=90°,AD1BC,垂足为D,BE平分入48C,交AC于点、E,交AO于点尸.
(1)图1,求证:AF=AE;
(2)图2,过点尸作FGIIBC交AC于点G,FMII4C交BC于点何.求证:AF=CG.
(3)在(2)的条件下,若黑=|,求的号值.
参考答案
1.解:A选项,2.5,6.5不是正整数,不符合题意;
5
B选项,92=81,402=1600,412=1681,92+402=4H符合题意;
C选项,鱼不是正整数,不符合题意;
D选项,22=4,32=9,42=16,2?+3?弘2不符合题意;
故选:B.
2.解:由题意得:这个直角三角形的另一条直角边长为V172-152=8(cm),
则这个直角三角形的面积为3X8X15=60(cm2),
故选:A.
3.解:设另一直角边为x,则斜边为x+2,
根据勾股定理得:(x+2)2=/+io2,
解得424,
直角三角形的周长为10+24+26=60,故C正确.
故选:C.
4.解:设正方形4的边长为工,
根据图形可知I+64=100.
解得x=6(负值舍去)
故选:D.
5.解::/C=90°,AC=8,BC=6,
根据折叠的性质,BC=BC,CD=DC,/C=NAC7)=90。.
AC'=10-6=4.
在△ACO中,设则A£»=8-x,根据勾股定理得
2
(8-x)=x24-42.
解得A=3.
.'.AD=8-x=5.
故选B.
6.解:如图所示,
6
在RtMC。中,AC=10,AD=8,
由勾股定理得,CD=yjAC2-AD2=V102-82=6,
在Rt/MBC中,AB=17,AD=8,
由勾股定理得,BD=\/AB2-AD2=V172-82=15,
.•.当AO在三角形ABC内部时,BC=BD+CD=15+6=21,
当AO在三角形ABC外部时,BC=BD-CD=15-6=9,
综上,BC的长为21或9,
故选:D.
7.解:VZACB=90°,AB=8,
:.BC2+4c2=482=82=64,
•••△8EC和△AFC是等腰直角三角形,
BE=CE=—2BC,A2F=FC=—AC,
22
:.S1+S2=^BE+^AF
=;*(争c)+;X(多C)
=-(BC2+AC2)
4
=-x64
4
=16;
故选:B.
8.解:如图,AB=9米,AC=12米,
根据勾股定理得BC"+122=15(米),
于是折断前树的高度是15+9=24(米).
故选D.
9.解:当AC边为斜边时:AC2=AB2+BC2=82+262=740,
7
当AC边为直角边时:AC2=BC2-AB2=262-82=612,
故答案为:612或740.
10.解:当8为直角边时,由勾股定理可得:a2=62+82=100:
当8为斜边时,由勾股定理可得:a2=82-62=28,
故答案为:100或28.
11.解:设BN=x,由折叠的性质可得ON=4V=9-x,
v。是BC的中点,
:.BD=3,
在Rt/iBNO中,x2+32=(9-%)2,
解得x=4.
故线段BN的长为4.
故答案为:4.
12.解:如图,展开圆柱的半个侧面是矩形,则4c即为最短路程(两点之间线段最短).
由题意可知,这个矩形中,4。等于圆柱的底面周长的一半,即为3兀=9厘米,CD等于圆柱的高,即为
12厘米,
则AC=yjAD2+CD2=V92+122=15(厘米),
即沿圆柱侧面爬行的最短路程是15厘米,
故答案为:15厘米.
13.解:展开图为:
AC
B
则AC=20dm,8c=3x3+2x3=15(dm),
8
在RtxABC中,AB=y/AC2+BC2=V202+152=25(dm).
所以蚂蚁所走的最短路线长度为25dm.
故答案为:25.
14.解:根据题意得:△AOEgZwlfE,
.,.AF=AD=13cm,
在R/AAB尸中,AF=13cm,AB=12cm,
BF=V132-122=5cm,
:.FC=BC-BF=Scm.
故答案为8cm.
15.解:设AE=AC=x,
VZACB=90°,BC=8,BE=4,AE=AC,
根据勾股定理,得4c2+BC2=4口2,
BPx2+82=(X+4)2,
故答案为:/+82=(%+4/.
16.解:作点A关于河边所在直线I的对称点D,连接QB交/于P,则点P为水泵站的位置,此时,(出+P8)
的值最小,即所铺设水管最短,最小值为。B的长;
过B点作/的垂线,过。作/的平行线,设这两线交于点C,
过4作AE,8C于E,则四边形ADCE和四边形AMNE都是矩形,
:.EN=AM=2,EC=4O=2+2=4,DC=AE,
在吊A4BE中,依题意得:BE=BN-EN=1-2=5,AB=13,
根据勾股定理可得:AE^AB2~BE2=\2,
在欣△BOC中,BC=BE+EC=5+4=9,DC=AE=\2,
根据勾股定理可得:DB=yJDC2+BC2=V122+92=15,
.•.铺设水管的最短长度是15km,
故答案为:15.
9
17.(1)解:VZACB=90°fA8=10cm,8C=6cm,
:・AC=V102—62=8(cm);
(2)解:SAA8C=:BC・4C=;X6X8=24(cm2);
⑶解:VS^ABC=^BC'AC=lCD>AB,
:.CD=^^=-(cm).
AB5
则CG±AB,AG=CD=\m,GC=AD=15m,
tS:BG-xm,则8C=(26-I-x)m,
在RSBGC中,
':BG2+CG2=CB2,
.*.*+152=(26-1-x)2,
解得k8,
BA=BG+GA=S+1=9(m),
.••AB的长度为9m.
19.解:在RtAABC中,ZC=90°,根据勾股定理,得AC=7AB2—BC2="(P-62=8(米),
\"CD=BC+DB=6+2=8(米),
在Rt△DCE中,EC=y/DE2-CD2=6米,
:.AE=AC-EC=8-6=2(米),
即梯子顶端A下落了2米.
20.解:(1)在A4CB中,AC=300km,BC=400km,AB=500km
\'AC2+BC2=AB2
.•.乙4cB=90°
(2)如图,作CG_LAB
10
c
・・c_ACBC
•^LACB~~2-
4RCG
又.:S^ACB2
・•・ACxBC=ABxCG
9:AC=300km,BC=400km,AB=500/cm
ACxBC
・・.CG==240km
AB
故海港C到直线48的最短距离为240km
(3)会影响
设DC=EC=260km
在RtADGC中,DG2=DC2-CG2
VCG=240km,DC=260km
:.DG=V2602-2402=100km
同理可得:EG=100km
・:DE=EG+DG
.\£>E=200km
,•*s=vt
*.*5=200km,v=72km/h
・・・r=-h
9
故受到影响时间为意h
21.(1)解:证明:•.,点A,C,。依次在同一直线上,5.AB||DE.
:./.BAC=乙EDC
XV/1C=DE,ZB=A.DCE=90°,
11
在△48C和中,
ZB=Z-DCE=90°
ABAC=Z.EDC
AC=DE
:.^ABC=^DCE(AAS).
(2)•;AABC"DCE
:・BC=EC,AC=DE,AB=CD,
在ABC中,AB=12,BC=5,
根据勾股定理可得AC=7AB2+BC2=V122+52=13,
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