2023-2024学年北师大版八年级数学上册第一章单元测试卷附答案

2023-2024学年八年级数学上册第一章单元测试卷

勾股定理（满分120分）

一、单选题（满分32分）

1.以下数组中，其中是勾股数的是（）

A.2.5,6,6.5B.9,40,41C.1,V2,1D.2,3,4

2.斜边为17cm,一条直角边长为15cm的直角三角形的面积为（）

A.60cm2B.30cm2C.90cm2D.120cm2

3.直角三角形中一直角边的长为10,另两边长为连续偶数，则直角三角形的周长为（）

A.49B.17C.60D.不能确定

4.三个正方形的面积如图，正方形A的边长为（）

A.8B.36C.64D.6

5.如图，在中，“=90。，AC=8,BC=6,按图中所示方法将ABCD沿80折叠，使点C

落在边A8上的点C'处，那么线段AQ的长为（）

A.6B.5C.4D.3

6.已知AABC中，AB=\1,AC=10,8c边上的高A£>=8,则边8c的长为（）

A.21B.6C.21或6D.21或9

7.如图，在Rt-BC中，ZACB=90°,AB=8,以AC和BC为底边分别向外作等腰直角AAFC和等腰

直角ABEC,若A4FC的面积为Si，ABCE的面积为52，则Si+S2的值为（）

B

A.8B.16C.24D.32

8.如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面9米处折断，树的顶端落在离树杆底部12米处，那么

这棵树折断之前的高度是（）

A.9米B.12米C.15米D.24米

二、填空题（满分40分）

9.在RSABC中，AB=8,BC=26,则以AC为边的正方形的面积为.

10.若一个三角形的三边长分别是6、8、a,如果这个三角形是直角三角形，则。2=.

11.如图，Rt^ABC中，4B=9,BC=6/B=90。，将AABC折叠，使A点与BC的中点O重合，折痕

为MN,则线段8N的长为.

12.如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点处有一只

小蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是.（7T取3）

13.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两个

相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到8点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到8点最短路程是

dm.

14.如图，沿AE折叠长方形ABC。，使。点落在BC边的点尸处，若AB=12cm,BC=13cm,则“的

长度是—.

2

15.如图，在△4BC中，ZACB=90°,BC=8,BE=4,AE=AC,求AE的长.

解题思路：设AE=AC=x,根据勾股定理，得ZC2+BC2=/B2,可列方程为

16.如图，要在河边/上修建一个水泵站，分别向A村和8村送水，已知A村、B村到河边的距离分别

为2km和7km,且AB两村庄相距13km,则铺设水管的最短长度是km.

河边,

三、解答题(满分48分)

17.如图，在△ABC中，ZACB=90°,A8=10cm,BC=6cm,CD_LA8交A8于点求:

(1)4C的长.

⑵△4BC的面积.

(3)。。的长.

18.如图是某“飞越丛林”俱乐部最近打造的一款项目的示意图，BC段和垂直于地面的A8段均由不锈钢

3

管材打造，两段总长度为26m,矩形COE尸为一木质平台的主视图.经过测量得CD=lm,AO=15m,请

19.如图1所示，一架梯子48长10米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为6米,

梯子底部向右滑动后停在OE的位置上(如图2所示)，测得。B的长为2米，求梯子顶端4下落了多

少米.

20.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力,

如图，有一台风中心沿东西方向4B由4行驶向B,已知点C为海港，且点C与直线，上的两点4B的距离

分别为4c=300km,BC=400km,又4B=500km,以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域.已

知台风运动速度为72km/h.

C

⑴求NACB的度数；

(2)求海港C到直线4B的最短距离;

4

(3)海港C受台风影响吗？若受影响请计算受影响时间，若不受影响请说明理由.

21.如图，在△ABC^hDCE中，AC=DE,4B=Z.DCE=90°,点A,C,。依次在同一直线上，且力B||DE.

(1)求证：4ABC三4DCE；

(2)连接4E,当BC=5,AB=12,时，求4D的长.

22.心AA8C中，ZBAC=90°,AD1BC,垂足为D,BE平分入48C,交AC于点、E,交AO于点尸.

(1)图1,求证：AF=AE；

(2)图2,过点尸作FGIIBC交AC于点G,FMII4C交BC于点何.求证：AF=CG.

(3)在(2)的条件下，若黑=|，求的号值.

参考答案

1.解：A选项，2.5,6.5不是正整数，不符合题意;

5

B选项，92=81,402=1600,412=1681,92+402=4H符合题意；

C选项，鱼不是正整数，不符合题意；

D选项，22=4,32=9,42=16,2?+3?弘2不符合题意；

故选：B.

2.解：由题意得：这个直角三角形的另一条直角边长为V172-152=8(cm),

则这个直角三角形的面积为3X8X15=60(cm2),

故选：A.

3.解：设另一直角边为x,则斜边为x+2,

根据勾股定理得：(x+2)2=/+io2,

解得424,

直角三角形的周长为10+24+26=60,故C正确.

故选：C.

4.解：设正方形4的边长为工,

根据图形可知I+64=100.

解得x=6(负值舍去)

故选：D.

5.解：：/C=90°,AC=8,BC=6,

根据折叠的性质，BC=BC,CD=DC,/C=NAC7)=90。.

AC'=10-6=4.

在△ACO中，设则A£»=8-x,根据勾股定理得

2

(8-x)=x24-42.

解得A=3.

.'.AD=8-x=5.

故选B.

6.解：如图所示，

6

在RtMC。中，AC=10,AD=8,

由勾股定理得，CD=yjAC2-AD2=V102-82=6,

在Rt/MBC中，AB=17,AD=8,

由勾股定理得，BD=\/AB2-AD2=V172-82=15,

.•.当AO在三角形ABC内部时，BC=BD+CD=15+6=21,

当AO在三角形ABC外部时，BC=BD-CD=15-6=9,

综上，BC的长为21或9,

故选：D.

7.解：VZACB=90°,AB=8,

：.BC2+4c2=482=82=64,

•••△8EC和△AFC是等腰直角三角形，

BE=CE=—2BC,A2F=FC=—AC,

22

:.S1+S2=^BE+^AF

=；*（争c）+；X（多C）

=-（BC2+AC2）

4

=-x64

4

=16；

故选:B.

8.解：如图，AB=9米，AC=12米，

根据勾股定理得BC"+122=15（米），

于是折断前树的高度是15+9=24（米）.

故选D.

9.解：当AC边为斜边时：AC2=AB2+BC2=82+262=740,

7

当AC边为直角边时：AC2=BC2-AB2=262-82=612,

故答案为:612或740.

10.解：当8为直角边时，由勾股定理可得：a2=62+82=100：

当8为斜边时，由勾股定理可得：a2=82-62=28,

故答案为：100或28.

11.解：设BN=x,由折叠的性质可得ON=4V=9-x,

v。是BC的中点，

:.BD=3,

在Rt/iBNO中，x2+32=（9-%）2,

解得x=4.

故线段BN的长为4.

故答案为：4.

12.解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，则4c即为最短路程（两点之间线段最短）.

由题意可知，这个矩形中，4。等于圆柱的底面周长的一半，即为3兀=9厘米，CD等于圆柱的高，即为

12厘米，

则AC=yjAD2+CD2=V92+122=15（厘米），

即沿圆柱侧面爬行的最短路程是15厘米，

故答案为：15厘米.

13.解：展开图为：

AC

B

则AC=20dm,8c=3x3+2x3=15(dm),

8

在RtxABC中，AB=y/AC2+BC2=V202+152=25(dm).

所以蚂蚁所走的最短路线长度为25dm.

故答案为：25.

14.解：根据题意得：△AOEgZwlfE,

.,.AF=AD=13cm,

在R/AAB尸中，AF=13cm,AB=12cm,

BF=V132-122=5cm,

：.FC=BC-BF=Scm.

故答案为8cm.

15.解：设AE=AC=x,

VZACB=90°,BC=8,BE=4,AE=AC,

根据勾股定理，得4c2+BC2=4口2,

BPx2+82=(X+4)2,

故答案为：/+82=(%+4/.

16.解:作点A关于河边所在直线I的对称点D,连接QB交/于P,则点P为水泵站的位置，此时，(出+P8)

的值最小，即所铺设水管最短，最小值为。B的长；

过B点作/的垂线，过。作/的平行线，设这两线交于点C,

过4作AE,8C于E,则四边形ADCE和四边形AMNE都是矩形,

:.EN=AM=2,EC=4O=2+2=4,DC=AE,

在吊A4BE中，依题意得：BE=BN-EN=1-2=5,AB=13,

根据勾股定理可得：AE^AB2~BE2=\2,

在欣△BOC中，BC=BE+EC=5+4=9,DC=AE=\2,

根据勾股定理可得：DB=yJDC2+BC2=V122+92=15,

.•.铺设水管的最短长度是15km,

故答案为：15.

9

17.(1)解：VZACB=90°fA8=10cm,8C=6cm,

:・AC=V102—62=8(cm)；

(2)解：SAA8C=：BC・4C=；X6X8=24(cm2)；

⑶解：VS^ABC=^BC'AC=lCD>AB,

：.CD=^^=-(cm).

AB5

则CG±AB,AG=CD=\m,GC=AD=15m,

tS：BG-xm,则8C=(26-I-x)m,

在RSBGC中，

'：BG2+CG2=CB2,

.*.*+152=(26-1-x)2,

解得k8,

BA=BG+GA=S+1=9(m),

.••AB的长度为9m.

19.解：在RtAABC中，ZC=90°,根据勾股定理，得AC=7AB2—BC2="(P-62=8(米)，

\"CD=BC+DB=6+2=8(米)，

在Rt△DCE中，EC=y/DE2-CD2=6米，

：.AE=AC-EC=8-6=2(米)，

即梯子顶端A下落了2米.

20.解：(1)在A4CB中，AC=300km,BC=400km,AB=500km

\'AC2+BC2=AB2

.•.乙4cB=90°

(2)如图，作CG_LAB

10

c

・・c_ACBC

•^LACB~~2-

4RCG

又.：S^ACB2

・•・ACxBC=ABxCG

9：AC=300km,BC=400km,AB=500/cm

ACxBC

・・.CG==240km

AB

故海港C到直线48的最短距离为240km

(3)会影响

设DC=EC=260km

在RtADGC中，DG2=DC2-CG2

VCG=240km,DC=260km

：.DG=V2602-2402=100km

同理可得：EG=100km

・：DE=EG+DG

.\£>E=200km

,•*s=vt

*.*5=200km,v=72km/h

・・・r=-h

9

故受到影响时间为意h

21.(1)解：证明：•.,点A,C,。依次在同一直线上，5.AB||DE.

：./.BAC=乙EDC

XV/1C=DE,ZB=A.DCE=90°,

11

在△48C和中，

ZB=Z-DCE=90°

ABAC=Z.EDC

AC=DE

：.^ABC=^DCE(AAS).

(2)•；AABC"DCE

:・BC=EC,AC=DE,AB=CD,

在ABC中，AB=12,BC=5,

根据勾股定理可得AC=7AB2+BC2=V122+52=13,