河北唐山丰南区2023-2024学年九年级数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

河北唐山丰南区2023-2024学年九年级数学第一学期期末综合测试模拟试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每题4分，共48分）

1.用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a#0）,此方程可变形为（）

2.如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图

形ABCD,且点B,F的坐标分别为（-4,4）,（2,1）,则位似中心的坐标为（）

A.(0,3)C.(0,2)D.(0,1.5)

3.一个不透明的盒子有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有12个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任

意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%,那么估计盒子中

小球的个数门为（）

4.抛物线y=x?+kx-1与x轴交点的个数为（

A.0个B.1个C.2个D.以上都不对

5.如图，在正三角形ABC中，D,E,F分别是BC,AC,AB上的点，DE±AC,EF±AB,FD±BC,则厶DEF的面积与厶ABC

的面积之比等于（）

C

BD

A.1：3B.2：3C.G：2D.百：3

6.正方形A5CD内接于。O,若。。的半径是0,则正方形的边长是（）

A.1B.2C.D.20

7.抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（）

A.m<2B.m>2C.0<m<2D.m<-2

8.如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:6,堤高BC=4m,则坡面AB的长度是（）

9.如图，已知A（2,1）,现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到AL则A1的坐标是（)

A.长度为5cm、2cm和3cm的三条线段可以组成三角形

B.Ji石的平方根是±4

C.。是实数，点尸（/+1,2）一定在第一象限

D.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

11.某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到49万元.设平均月增长率为x,根据题意可列方程是

()

A.25(1+x%)2=49B.25(1+4=49

C.25(1+x2)=49D.25(1-*)2=49

12.如图，点A是双曲线丁=-纟在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作

X

等腰AABC,且NACB=120。,点C在第一象限,随着点A的运动,点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线、，丄

X

上运动，则k的值为()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题(每题4分，共24分)

195

13.铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-五x2+'x+§,铅球推出后最大高度是m,铅球落

地时的水平距离是m.

14.将一个含45°角的三角板ABC,如图摆放在平面直角坐标系中，将其绕点。顺时针旋转75°,点8的对应点B

恰好落在轴上，若点。的坐标为(1,0),则点8的坐标为.

15.如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、5的点E处，取AE、8E延长线上的C、。两

点，使得若测得C〃=5m,AD=15m,ED=3m,则4、8两点间的距离为m.

16.如图，）。的半径为6,048的面积为18,点P为弦AB上一动点,当0P长为整数时，P点有

个.

3—m

17.已知反比例函数＞=——,当了＞（）时，y随x的增大而增大，则加的取值范围为.

X

18.比较大小：V1T+14.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图1是小区常见的漫步机，从侧面看如图2,踏板静止时，踏板连杆与立柱OE上的线段AB重合，BE

长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得NC48=37，此时点。距离地面的高度。尸为0.44米.求:

（1）踏板连杆A8的长.

（2）此时点C到立柱OE的距离.（参考数据：sin37*0.60,cos37«0.80,tan37«0.75）

20.（8分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，每轮感染

中平均一台电脑会感染多少台电脑？

21.（8分）已知：PA=0,尸8=4,以A8为一边作正方形48CD,使尸、O两点落在直线48的两侧.

（1）如图，当NAP3=45°时，求43及的长；

（2）当NAPB变化，且其它条件不变时，求尸。的最大值，及相应NAPB的大小.

D

C

22.(10分)如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于C,交弦AB于D.

(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)若AB=24cm,CD=8cm,求(1)中所作圆的半径.

23.(10分)如图，在△ABC中，D为AC边上一点，ZDBC=ZA.

(1)求证：△BDC-△ABC；

(2)如果BC=6，AC=3,求CD的长.

24.(10分)如图，AB是。。的直径，点C是。。上一点(点C不与A,3重合)，连接C4,CB.NACB的平分线

CD与。。交于点D.

(1)求乙4co的度数；

(2)探究。1,CB,。三者之间的等量关系，并证明；

(3)E为。。外一点，满足AB=5,AE=3,若点尸为AE中点，求尸O的长.

25.(12分)在平面直角坐标系xOy中，^ABC的位置如图所示.

(1)分别写出aABC各个顶点的坐标；

(2)分别写出顶点A关于x轴对称的点A'的坐标、顶点B关于y轴对称的点B，的坐标及顶点C关于原点对称的

点C'的坐标；

(3)求线段BC的长.

2

26.(1)已知关于x的一元二次方程x+(O+3)x+a+l=l.求证：无论a取何值，原方程总有两个不相等的实数根:

(2)已知：二次函数7=ad+加什，(aWl)中的x和y满足下表：

・・・・・・

X-11123

y・・♦31-11m•••

①观察上表可求得m的值为

②试求出这个二次函数的解析式.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、A

【解析】首先进行移项，然后把二次项系数化为1,再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即

可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式.

【详解】•.,ar2+5x+c=0,

^.ax2+bx=-c,

,bc

Ax2+—x=--,

aa

bb2cb~

-x+----7-------*-----y

a4«-a4ir

h2-4ac

4a2

故选A.

2、C

【解析】如图，连接BF交y轴于P,

,••四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B,F的坐标分别为（-4,4）,（2,1）,

...点C的坐标为（0,4）,点G的坐标为（0,1）,

；.CG=3,

VBC/7GF,

.GPGF1

••-----=------=-f

PCBC2

/.GP=1,PC=2,

...点P的坐标为（0,2）,

故选C.

【点睛】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对

应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心

是解题的关键.

3、C

【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%,然后根据概率公式计算n的值即可.

12

【详解】根据题意得：一=30%,

n

解得n=40,

所以估计盒子中小球的个数为40个.

故选C.

【点睛】

本题考査了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越

小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，概率=所求情况数与总情况数之比.熟练掌握概率

公式是解题关键.

4、C

【分析】设y=0,得到一元二次方程，根据根的判别式判断有几个解就有与x轴有几个交点.

【详解】解：•••抛物线y=x2+kx-l,

.•.当y=o时，贝!]O=x2+kx-1,

A=b2-4ac=k2+4>0,

二方程有2个不相等的实数根，

二抛物线y=x2+kx-与x轴交点的个数为2个，

故选C.

5、A

【解析】DEIAC,EFA.AB,FDA.BC,

：.ZC+ZEDC=90°,ZFDE+Z.EDC=90°,

:.ZC=ZFDE,

同理可得：NB=NDFE,ZA=DEF,

:.△DEFsMAB,

(DEY

与△48C的面积之比=U——cJ，

又•••△ABC为正三角形，

.*.ZB=ZC=ZA=60o

...△EkD是等边三角形，

:.EF=DE=DF,

又丄AC,EFLAB,FD1.BC,

：.BF=AE=CD,AF=BD=EC,

在RSOEC中，

ni

DE=DCxsinZC=—DC,EC=cosNCxDC=-DC

22

又VDC+BD=BC=AC=-DC,

2

V3nr

,DEVV3

•-=—---------=9

AClDC3

2

...△OE尸与△48C的面积之比等于：（竺］=f-"I=1：3

【AC丿13丿

故选A.

点晴：本题主要通过证出两个三角形是相似三角形，再利用相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于对应边之

比的平方，进而将求面积比的问题转化为求边之比的问题，并通过含30度角的直角三角形三边间的关系（锐角三角形

DE

函数）即可得出对应边——之比，进而得到面积比.

AC

6、B

【分析】作OE丄AD于E,连接OD,在RtAODE中，根据垂径定理和勾股定理即可求解.

【详解】解:

作OE丄AD于E,连接OD,则OD=板.

在RtAODE中，易得NEDO为45。，4ODE为等腰直角三角形，ED=OE,

OD=+C£：2=,2E£）2=3.

可得：ED=1,

:.AD=2ED=2,

所以B选项是正确的.

【点睛】

此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形,利用垂径定理与勾股定理即可解决问题.

7、A

【解析】试题分析：由题意知抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个交点，所以△=b?-4ac>0,即4-4m+4>0,解得

m<2,故答案选A.

考点：抛物线与x轴的交点.

8、D

【分析】直接利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理得出答案.

【详解】•••河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：百,

BC\

41

解得：AC=4A/3>

故AB=JBC?+AC?=也2+(4.2=8(m),

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键.

9、A

【解析】根据点(x,y)绕原点逆时针旋转90。得到的坐标为(-y,x)解答即可.

【详解】已知A(2,1),现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A“

所以Ai的坐标为(-1,2).

故选A.

【点睛】

本题考查的是旋转的性质，熟练掌握坐标的旋转是解题的关键.

10、C

【分析】根据三角形三边关系、平方根的性质、象限的性质、平行线的性质进行判断即可.

【详解】A.长度为5cm、2cm和3cm的三条线段不可以组成三角形，错误；

B.J正的平方根是±2,错误；

C.。是实数，点尸+1,2)一定在第一象限，正确；

D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误；

故答案为：C.

【点睛】

本题考査了判断命题真假的问题，掌握三角形三边关系、平方根的性质、象限的性质、平行线的性质是解题的关键.

11、B

【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量x(1+增长率)，如果设利润的年平均增长率为x,然后

根据已知条件可得出方程.

【详解】解：依题意得七月份的利润为25(1+x)2,

/•25(1+x)2=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键.同时要注意增长率问题

的一般规律.

12、B

【解析】试题分析：连接CO,过点A作AD丄x轴于点D,过点C作CE丄x轴于点E,1•连接AO并延长交另一分

支于点B,以AB为底作等腰△ABC,且NACB=220。，ACOXAB,NCAB=30。，则NAOD+NCOE=90。，

VZDAO+ZAOD=90°,/.ZDAO=ZCOE,又VZADO=ZCEO=90°,/.△AOD^AOCE,

ADDOA.Oi—.4^AADO,I•点A是双曲线丫=一纟在第二象限分支上的一个动点，

..---------------------=tan60°=囱，则N。=3

EOECCOSACOEX

1..1111

:.-bty=-AD»DO=-x6=3,:.-k=-ECxE()=2,贝！|ECxEO=2.故选B.

2112222

Tx

考点：2.反比例函数图象上点的坐标特征；2.综合题.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、310

【分析】利用配方法将函数解析式转化为顶点式,利用二次函数的性质，可求得铅球行进的最大高度；铅球推出后落

地时，高度y=0,把实际问题可理解为当y=0时求得X的值就是铅球落地时的水平距离.

125

【详解】Vy=--x2+yx+-,

1,

，y=-—(x-4)2+3

Ed1

因为—-<0

12

所以当x=4时，y有最大值为3.

所以铅球推出后最大高度是3m.

令y=0,即

0=-—(x-4产+3

12

解得xi=10,X2=-2(舍去)

所以铅球落地时的水平距离是10m.

故答案为3、10.

【点睛】

此题考查了函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解.正确解答

本题的关键是掌握二次函数的性质.

14、（1+72,0）

【分析】先求得NACO=60°,得出NOAC=30°,求得AC=2OC=2,解等腰直角三角形求得直角边为0,从而求

出B'的坐标.

【详解】解：,••NACB=45°,ZBCB,=75°,

.,.ZACBZ=120°,

AZACO=60°,

AZOAC=30",

/.AC=2OC,

•.•点c的坐标为（1,0）,

.*.OC=1,

.\AC=2OC=2,

•••△ABC是等腰直角三角形，

AB=BC=y[2

：.BC=AB=41

：.OB=1+V2

：.B'点的坐标为（1+夜,0）

【点睛】

此题主要考査了旋转的性质及坐标与图形变换，同时也利用了直角三角形性质，首先利用直角三角形的性质得到有关

线段的长度，即可解决问题.

15、20m

【详解】VCD/7AB,

.'.△ABE^ADCE,

.AB_AE

••=,

CDDE

VAD=15m,ED=3m,

/.AE=AD-ED=12m,

又CD=5m,

AB12

••-9

53

A3AB=60,

:.AB=20m.

故答案为20m.

16>4

【分析】从。。的半径为6,Q46的面积为18,可得NAOB=90。，故OP的最小值为OP丄AB时，为30,最大

值为P与A或B点重合时，为6,故3亚<OP<Q,当OP长为整数时，OP可以为5或6,根据圆的对称性，这

样的P点共有4个.

（详解】•••）0的半径为6,OAB的面积为18

:.ZAOB=90°

又OA=OB=6

：.AB=ylOA2+OB2=6A/2

当OP丄AB时，OP有最小值，此时OP=gAB=3j5

当P与A或B点重合时，OP有最大值，为6,故3次<0P<&

当OP长为整数时，OP可以为5或6,根据圆的对称性，这样的P点共有4个.

故答案为：4

【点睛】

本题考査的是圆的对称性及最大值、最小值问题，根据“垂线段最短”确定OP的取值范围是关键.

17、m>l

【分析】根据反比例函数>=上'，如果当x>0时，y随自变量x的增大而增大，可以得到Lm<0,从而可以解答

X

本题.

3—n?

【详解】解：・・,反比例函数y=—,当x>0时，y随x的增大而增大，

x

Al-m<0,

解得，m>l,

故答案为：m>l.

【点睛】

本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答.

18、>

【分析】用放缩法比较即可.

【详解】•••日〉次=3，

:.而+1>3+1=4.

故答案为：>.

【点睛】

此题主要考查了估算无理数的大小，在确定形如&（a>0）的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据

是平方和开平方互为逆运算.在应用“夹逼法''估算无理数时，关键是找出位于无理数两边的平方数，则无理数的整数部

分即为较小的平方数的算术平方根.

三、解答题（共78分）

19、（1）1.2米（2）0.72米

【解析】（1）过点C作CG丄AB于G,得到四边形CFEG是矩形，根据矩形的性质得到EG=CF=0.44,故BG=0.24

设AG=x,求得AB=x+0.24,AC=AB=x+0.24,根据余弦的定义列方程即可求出x,即可求出AB的长；

（2）利用正弦即可求出CG的长.

【详解】（1）过点C作CG丄AB于G,

则四边形CFEG是矩形,

.*.EG=CF=0.44,

故BG=0.24

设AG=x,

，AB=x+0.24,AC=AB=x+0.24,

在RtZ\ACG中，ZAGC=90°,ZCAG=37°,

,AGx

cosZCAG=——=-----------=0.8,

ACx+0.24

解得：x=0.96,

经检验，x=0.96符合题意，

.,.AB=x+0.24=1.2（米），

（2）点C到立柱OE的距离为CG,

故CG=ACsin37°=L2x（）.6=0.72（米）

【点睛】

此题主要考査了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键.

20、每轮感染中平均一台电脑感染11台.

【分析】设每轮感染中平均一台电脑感染x台，根据经过两轮被感染后就会有（1+x）2台电脑被感染，即可得出关于

x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑感染x台，

依题意，得：（1+x）2=144,

解得：X1=11,X2=-13（不合题意，舍去）.

答：每轮感染中平均一台电脑感染U台.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用-传播问题，掌握传播问题中的等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

21、(1)AB=yflO,PD=2這；⑵的最大值为1

【分析】（1）作辅助线，过点A作AE丄PB于点E,在RSPAE中，已知NAPE,AP的值，根据三角函数可将AE,PE

的值求出，由PB的值，可求BE的值，在RtAABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；

求PD的值有两种解法，解法一：可将APAD绕点A顺时针旋转90。得到AP,AB,可得APAD纟△P&B,求PD长即为

求P，B的长，在RtAAPT中，可将PP，的值求出，在RtAPP'B中，根据勾股定理可将P，B的值求出；

解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F,交PB于G,在RtAAEG中，可求出AG,EG的长，进而

可知PG的值，在RtAPFG中，可求出PF,在RtAPDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；

（2）将APAD绕点A顺时针旋转90°,得到APAB,PD的最大值即为PB的最大值，故当P'、P、B三点共线时，PB

取得最大值，根据P'B=PP"PB可求PB的最大值，此时NAPB=18（T-NAPP，=135。.

【详解】⑴①

D

C

如图，作AE丄尸8于点E,

1•△APE中，ZAPE=45°,PA=-/2>

.,.AE=PE=&x零=1,

"8=4,：.BE=PB-PE=3,

在RtAABE中，NAE5=90。,

VAE2+BE2=VTO-

②解法一：

如图，因为四边形A5C。为正方形，可将

APAD绕点A顺时针旋转90°得到△PA8,

可得△240纟△PA8,PD=P'B,PA=P'A.

：.ZPAP'=90°,ZAPP'=45°,NPPB=90。

：.PP'=y/2PA=2,

PD=P'B=>/pp72+PB2=A/22+42=2\/5;

解法二：

如图，过点尸作A8的平行线，与04的延长线交于尸，与ZM的

延长线交尸8于G.

在R3AEG中,

可得AG=———=———=叵,12

EG—-,PG=PE-EG=-.

cosZEAGcosZABE333

在RtA尸尸G中,

可得PF=PG»cosZFPG=PG*cosZABE=2^2,FG=.

515

在RtAPD尸中，可得,

PD=‘PF?+(AD+AG+FG『==2A/5•

(2)如图所示,

将△力。绕点A顺时针旋转90°

得到△PA6,尸。的最大值即为尸,8的最大值,

,.•△尸'尸8中，P'B<PP'+PB,尸尸'=亚PA=2,尸8=4,

且尸、O两点落在直线A3的两侧，

...当P、尸、5三点共线时，P5取得最大值(如图)

此时P'B=PP'+PB=1,即P'B的最大值为1.

此时NAP5=180°-/APP'=135度.

【点睛】

考査综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中通过添加辅助线，确定

取得最大值时点"的位置.

22、（1）答案见解析；（2）13cm

【分析】（1）根据垂径定理，即可求得圆心；

（2）连接OA,根据垂径定理与勾股定理，即可求得圆的半径长.

【详解】解：（1）连接BC,作线段BC的垂直平分线交直线CD与点O,

以点O为圆心，OA长为半径画圆，

圆O即为所求；

（2）如图，连接OA

VOD1AB

1

.".AD=—AB=12cm

2

设圆O半径为r,则OA=r,OD=r-8

直角三角形AOD中，AD2+OD2=OA2

/.122+（r-8）2=r2

r=13

:.圆O半径为13cm

【点睛】

本题考査了垂径定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握圆中任意两条弦的垂直平分线的交点即为圆心.

23、（1）详见解析；（1）CD=1.

【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可；

（1）根据相似得出比例式，代入求出即可.

【详解】证明：（1）VZDBC=ZA,ZC=ZC,

.".△BDC^AABC；

(1)VABDC^AABC,

.BCCD

••一,

ACBC

,V6CD

376

.,.CD=1.

【点睛】

考核知识点：相似三角形的判定和性质.

24、(1)ZACD=45°；(2)BC+AC=近CD,见解析；(3)0P=厶5+3历.

2

【分析】(1)由圆周角的定义可求NACB=90°,再由角平分线的定义得到/4以=45°；

(2)连接CO延长与圆。交于点G,连接OG、BG,延长OG、C5交于点尸；先证明尸是等腰直角三角形，得

至ljBG=5F,AG=BF,再证明尸是等腰三角三角形，得到即可求得BC+AC=0CZ)；

(3)过点A作AMLED,过点B作BNLED交ED延长线与点N,连接BE；先证明Rt/^AMD^Rt/^DNB(AAS),

再证明△AE。是等腰三角形，分别求得EN=X1+基2,BN=擎，在RtZ^EBN中，8E=丿25+3面，。P=

2105vv

LRN=《25+3向

22

【详解】解：(1)•••AB是直径，点C在圆上，

/.ZACB=90°,

VNACB的平分线CD与。O交于点D,

：.ZACD=45°；

(2)BC+AC=V2CD,

连接C。延长与圆O交于点G,连接。G、BG,延长OG、C8交于点尸；

...NCOG=NC8G=9()°,

VZACB=90°,

：.AC//BG,

：.ZCGB=ZACG,

:.NCGB=45°+NOCG,

VZCBF=90°+NDCG,

；.NBGF=45°,

••.△8GF是等腰直角三角形，

:・BG=BF,

■:AACOgABGO(SAS),

：.AG=BF9

・・・△CO尸是等腰三角三角形，

ACF=V2CD,

：.BC+AC=yj2CDi

(3)过点A作AM丄E0,过点3作BN丄ED交延长线与点M连接BE：

VZACD