山西省阳泉市矿区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷含解析答案

2022-2023学年山西省阳泉市矿区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，

只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑.

1.（3分）国家提倡推行生活垃圾分类，下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、可

回收物和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

▽

公X

2.（3分）当匕+c=l时，关于x的一元二次方程『+bx-c=0的根的情况为（）

A.有两个实数根B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根D.没有实数根

3.（3分）函数y=or+l与ynaa+ar+l（“W0）的图象可能是（）

4.（3分）如图，AB为。。的直径，弦CD交AB于点E,BC=BD,NCOB=30°,AC=

5.（3分）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说

法正确的是（）

准星芸口

A.学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平

分”

B.车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”

C.射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”

D.地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”

6.（3分）如图，点尸为。。外一点，过点P作。0的切线外、PB,记切点为A、B,点、C

为。。上一点，连接AC、BC.若NACB=62°,则/AP8等于（）

A

7.（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4.若

一次摸出1个，则取出的小球标号小于4的概率是（）

A.2B.—C.—D.1

424

8.（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若A8=4,则CG的长为（）

A.5B.6C.7D.8

9.（3分）如图，圆锥底面圆的半径AB=4,母线长AC=12,则这个圆锥的侧面积为（）

10.（3分）如图，在平面直角坐标系中，以M（2,3）为圆心，AB为直径的圆与X轴相切,

与y轴交于A,C两点，则AC的长为（）

A.4B.275C.2\[13D.6

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）已知点（2,yi）与（3,”）在函数了=上底-1）2+1的图象上，贝U1、”的大

3

小关系为.

12.（3分）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟

业》、《建军大业》.甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是

上述影片剧照，除此之外完全相同.将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，

洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是.

13.（3分）如图，A4BC内接于。。，直线EF与。。相切于点B,若NC=40°,贝IjNABF

14.（3分）端午假期鼓浪屿商场为了吸引顾客，举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均

可得到一次摸奖的机会，不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他

差别，随机摸出一个小球，如果摸到红色小球则有机会以优惠价28.88元购买“冰墩墩”

一个.如图显示了活动第一天开展上述摸球活动的获奖的结果.李老师在活动第二天去

购物，刚好消费了100元，推测李老师能以优惠价购买”冰墩墩”的概率为

♦4,

15.(3分)如图，。。的半径为2cm,正六边形内接于。。,则图中阴影部分面积为

三、解答题(本大题共8个小题，共75分)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.(8分)已知关于x的一元二次方程/-(2k+l)x+F+Z=0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边8c的长为5,当

△A8C是等腰三角形时，求△ABC三边的长.

17.(8分)已知抛物线＞=--加-5与直线y=fcr+3交于A(4,-5),8两点.

(1)求晨b的值;

(2)若点(6,7)关于抛物线对称轴对称的点为点M,则点M是否在直线y=fcv+3上？

18.(8分)如图，在RtZ\ABC中，NACB=90°,。是BC边上一点，以。为圆心，OB

为半径的圆与A8相交于点£),连接C。，且CD=AC.

(1)求证：8是。0的切线；

(2)若NA=60°,AC=2y/3,求命的长.

19.（9分）如图，在RtZiABC中，ZB=60°,ZA=90°,△ABC的内切圆。。与BC,

CA,AB分别相切于点£>,E,F.

（1）求/£0。的度数；

（2）若r=2,求阴影部分的面积.

20.（9分）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图I）,隋代建造的赵州桥距今约

有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何

图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为源.桥的跨度（弧所对的弦长）AB=26m,设篇所

在圆的圆心为。，半径OCLA8,垂足为。.拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5m.连

接OB.

（1）直接判断AD与BD的数量关系；

（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1%）.

21.（9分）一个不透明的箱子里装有2个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外

其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子

里，通过大量重复实验后，发现摸到白色小球的频率稳定于0.33左右.

（1）请你估计箱子里白色小球的个数；

（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球,

求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率.（用画树状图或列表的方法）

22.（11分）为落实“双减”政策，某校随机调查了50名学生平均每天完成书面作业所需

时间的情况，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图、表：

分组时间x（时）人数

A0«0.55

B0.516

ClWx<1.5a

DL50V2b

E2«2.54

（2）若该校有学生2000人，估计每天完成书面作业的时间不足1.5小时的学生约有多少

人？

（3）学校需要深入了解影响作业时间的因素，现从E组的4人中随机抽取2人进行谈话，

已知E组中七、八年级各1人，九年级2人，则抽取的2人都是九年级学生的概率为多

少？

23.（13分）综合与探究

【问题再现】

（1）课本中有这样一道概率题：如图①，是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转

盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？请你解答.

【类比设计】

（2）在元旦晚会上班长想设计这样一个摇奖转盘：在图②中设计一个转盘，自由转动这

个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为旦，二等奖：指针落在

8

白色区域的概率为S,一等奖：指针落在黄色区域的概率为1.请你帮忙设计.

84

【拓展运用】

（3）在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为16份，顾

客每消费100元转动1次，对准红（1份），黄（2份），绿（4份）区域，分别奖励50

元，30元，20元、其他区域无奖励.则转动1次获奖金的概率是

图①图②

2022-2023学年山西省阳泉市矿区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共1（）个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，

只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑.

1.（3分）国家提倡推行生活垃圾分类，下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、可

回收物和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

▽

公X

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°,如果

旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图

形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判

断即可.

【解答】解：4不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；

C.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：B.

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关

键.

2.（3分）当b+c=l时，关于x的一元二次方程/+公-。=0的根的情况为（）

A.有两个实数根B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根D.没有实数根

【分析】利用c=l-b得到△=（6-2）22（），然后根据根的判别式的意义对各选项进

行判断.

【解答】解：."+0=1,

Ac=1-b,

：.A=信-4X（-c）=房+4（1-b）=（Z>-2）2）0,

二方程有两个实数解.

故选：A.

【点评】本题考查了根的判别式：•一元二次方程aj^+bx+c—O(aWO)的根与A—b2-4ac

有如下关系：当△>◊时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的

实数根；当△<()时，方程无实数根.

3.(3分)函数y=ox+l与(aWO)的图象可能是()

【分析】根据图象与系数的关系，看两个函数的系数符号是否一致，即可判断.

【解答】解：由函数y=or+l与抛物线丫=4f+以+1可知两函数图象交y轴上同一点(0,

1),抛物线的对称轴为直线x=-卫=-工，在y轴的左侧，

2a2

A、抛物线的对称轴在y轴的右侧，故选项错误；

8、抛物线的对称轴在y轴的右侧，故选项错误；

C、由一次函数的图象可知。>0,由二次函数的图象知道a>0,且交于y轴上同一点，

故选项正确；

D、由一次函数的图象可知。>0,由二次函数的图象知道。<0,故选项错误；

故选：C.

【点评】本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，熟练掌握一次函数和二次函数

的性质是本题的关键.

4.(3分)如图，48为00的直径，弦C£>交AB于点E,BC=BD,ZCDB=30°,AC=

【分析】根据垂径定理的推论可得ABLCD,再由圆周角定理可得/A=/C7)8=30°,

根据锐角三角函数可得AE=3,AB=4,即可求解.

【解答】解：为。。的直径，BC=BD,

.,.BC=BD>

：.AB±CD,

；NBAC=NCDB=30°,AC=2百，

.\AE=AC*cosZBAC=3,

〈AB为OO的直径，

AZACB=90°,

：.AB=——四——=4,

cos/BAC

：.OA=2,

：.OE=AE-04=1.

故选：D.

【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，

圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键.

5.（3分）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说

法正确的是（）

A.学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平

分”

B.车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”

C.射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”

D.地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”

【分析】根据两点确定一条直线，圆的认识，菱形的性质以及矩形的性质进行判断即可.

【解答】解：儿学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“四边形的不

稳定性”，故本选项错误，不合题意；

B.车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”，故本选项错误，不合题意；

C.射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，

故本选项正确，符合题意

。・地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故本选项错误，不

合题意.

故选：C.

【点评】本题主要考查了圆的认识，中心对称图形的概念，直线的性质，菱形的性质，

矩形的性质等知识点，熟记相关的性质或定理即可.

6.（3分）如图，点P为。。外一点，过点P作。。的切线附、PB,记切点为A、8,点C

为00上一点，连接AC、BC.若/ACB=62°,则NAP3等于（）

A.68°B.64°C.58°D.56°

【分析】先根据切线的性质得/出。=/98。=90°,再利用四边形的内角和和圆周角

定理即可得到NAPB的度数.

【解答】解：：以、PB是。0的切线，

：.0ALPA,0B1PB,

：.ZPAO=ZPBO=90°,

AZAOB+ZP=180°,

VZACB=62a,

.•.NAOB=2/ACB=2X62°=124°,

；.NAPB=180°-124°=56°,

故选：D.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来

进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关

问题.也考查了圆周角定理.

7.（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4.若

一次摸出1个，则取出的小球标号小于4的概率是（）

A.AB.AC.—D.1

424

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二

者的比值就是其发生的概率.

【解答】解：袋中球的总数为：4,标号小于4的数有3个，

故取出的小球标号小于4的概率是3.

4

故选：C.

【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能

性相同，其中事件A出现〃?种结果，那么事件A的概率P（A）=旦.

8.（3分）如图，在正六边形ABCQEF中，点G是AE的中点，若48=4,则CG的长为（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】如图，连接AC，EC.证明aACE是等边三角形，利用等边三角形的性质求解.

•.•A8CQEF是正六边形，

.,.△ACE是等边三角形，

；AB=4,

：.AC^CE=AE=4y/3,

,:AG=GE=2M，

CG_LAE,

•*-CG=VAC2-AG2=V（4V3）2-（2VS）2=6,

故选:B.

【点评】本题考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵

活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

9.（3分）如图，圆锥底面圆的半径AB=4,母线长4c=12,则这个圆锥的侧面积为（）

A.16nB.24KC.48TTD.96n

【分析】先求出弧/L4'的长，再根据扇形面积的计算公式进行计算即可.

【解答】解：弧A4'的长，就是圆锥的底面周长，即如X4=8m

所以扇形的面积为」X8nX12=48TT,

2

即圆锥的侧面积为48n,

故选：C.

【点评】本题考查圆锥的计算，掌握弧长公式以及扇形面积的计算公式是正确解答的前

提.

10.（3分）如图，在平面直角坐标系中，以例（2,3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，

与y轴交于A,C两点，则AC的长为（）

A.4B.275C.2^/13D.6

【分析】设。M与x轴相切于点D,连接MD,过点M作MELAC,垂足为E,根据垂

径定理可得AC=2AE,再利用切线的性质可得NMOO=90°,然后根据点M的坐标可

得ME=2,MA=MD=3,最后在RtzXAEM中，利用勾股定理进行计算即可解答.

【解答】解：设0M与x轴相切于点。，连接过点M作垂足为E,

：.AC=2AE,

与x轴相切于点D,

AZMDO=90°,

,：M(2,3),

:.ME=2,MD=3,

：.MA=MD=3,

在RtZXAEM中，^£=VAM2-EM2=V32-22=代,

：.AC=2AE=2y[5,

【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件

并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）已知点（2,yi）与（3,"）在函数y=-2（x-l）2+l的图象上，则山、”的大

3

小关系为yi>y2.

【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线1=1,再根据二次函数的增减性，无VI

时，y随x的增大而减小解答.

【解答】解：•••丫=上年-1）2+1，

3

...二次函数图象开口向下，对称轴为直线X=l,

V3>2>1,

•*.yi>y2.

故答案为：y\>y2.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求

出对称轴解析式是解题的关键.

12.（3分）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟

业》、《建军大业》.甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是

上述影片剧照，除此之外完全相同.将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，

洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是工.

-4一

【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有

4种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：把影片剧照《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》的四张卡

片分别记为A、B、aD,

画树状图如下：

甲ABCD

/Zl\^T\

乙ABCDABCDABCDABCD

共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，

甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为-£=」，

164

故答案为：1.

4

【点评】此题考查的是树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的

结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试

验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

13.（3分）如图，aABC内接于O。，直线E尸与。。相切于点8,若NC=40°,贝“ABF

-40°

【分析】先根据切线的性质可得NO8F=90°,由NC=40°可得/。=80°,由此可以

求出/O8A的度数，根据角的和差可以求出/A8尸的度数.

【解答】解：•••直线EF与。。相切于点B,

：.NOBF=90°,

VZC=40°,

.,.NO=80°,

"：OA=OB,

：.ZOBA^ZOAB,

：.ZOBA=180°~80°=50°,

2

：.ZABF^ZOBF-ZOBA=90°-50°=40°.

故答案为：40°.

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识.熟练掌握直线与圆相切的性质，

圆周角定理是解题的关键.

14.（3分）端午假期鼓浪屿商场为了吸引顾客，举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均

可得到一次摸奖的机会，不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他

差别，随机摸出一个小球，如果摸到红色小球则有机会以优惠价28.88元购买“冰墩墩”

一个.如图显示了活动第一天开展上述摸球活动的获奖的结果.李老师在活动第二天去

购物，刚好消费了100元，推测李老师能以优惠价购买”冰墩墩”的概率为0.35.

~1002003004005006007008009001000模球次数

【分析】随着摸球次数的增加，“摸到红球”的频率逐渐稳定于0.35,据此利用频率估计

概率即可.

【解答】解：由题意知，随着摸球次数的增加，“摸到红球”的频率逐渐稳定于0.35,

所以推测李老师能以优惠价购买”冰墩墩”的概率为0.35,

故答案为：0.35.

【点评】本题主要考查利用频率估计概率，在同样条件下，做大量的重复试验，利用一

个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率.

15.（3分）如图，0。的半径为2cm,正六边形内接于。。，则图中阴影部分面积为2工

一3

【分析】根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积，将原图阴影部分面积转化

为扇形面积求解即可.

【解答】解：如图，连接8。，CO,OA.

,：正六边形ABCDEF内接于0。，

.*.N4OB=NBOC=^—=60°,OA=OB=OC,

6

/.△O8C,△AOB都是等边三角形，

AZAOB=ZOBC=60°,

J.OA//BC,

/\OBC的面积=/\48。的面积,

..•图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积=60兀°2=空

故答案为：空

【点评】本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键

是学会用转化的扇形思考问题，属于中考常考题型.

三、解答题(本大题共8个小题，共75分)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.(8分)已知关于x的一元二次方程7-(2k+l)x+F+Z=O.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边8c的长为5,当

△ABC是等腰三角形时，求AABC三边的长.

【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得出A=l>0,进而可证出方程有两

个不相等的实数根；

(2)利用因式分解法解方程得到...xi=k,x2=k+l,AB,AC的长为k、Hl,讨论当48

=BC时，即&=5；当4C=BC时，k+1=5,解得上=4,进而即可求得△ABC三边的长.

【解答】(1)证明：•；△=[-(2^+1)]2-4X(话+k)=1>0,

,无论％取何值，方程有两个不相等的实数根.

(2)解：•.,由?-(2H1)x+S+Z=O,得G-k)[x-(Z+1)]=0,

***X1=kiX2~1.

即AB、AC的长为鼠Z+L

当AB=BC时，即女=5,满足三角形构成条件，则△ABC三边的长为5、5、6；

当AC=BC时，2+1=5,解得左=4,满足三角形构成条件，则△ABC三边的长为5、5、

4；

综上所述，△ABC三边的长为5、5、6或5、5、4.

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若xi,X2是一元二次方程。x2+"+c

=0(aWO)的两根，x\+x2—-—,XIX2=£■.也考查了根的判别式.

17.(8分)己知抛物线y=/-bx-5与直线y=fcv+3交于A(4,-5),B两点.

(1)求鼠一的值;

(2)若点(6,7)关于抛物线对称轴对称的点为点则点”是否在直线>=入+3上？

【分析】(I)将点A(4,-5)分别代入抛物线、=/-云-5与直线><=履+3,即可求得

%,上的值;

(2)根据二次函数图象上点的坐标特点可得点M坐标为(-2,7),计算当x=-2时，

y=-2x+3的值，即可得出结论.

【解答】解：(1)：抛物线y=/-云-5与直线y=fcr+3交于A(4,-5),8两点.

，-5=42-4〃-5,-5=4k+3,

解得：b—4,k--2,

即上的值为-2,b的值为4；

(2)由(1)知：抛物线为y=/-4x-5=(x-2)2-9,直线为y=-2x+3,

•••抛物线的对称轴是直线x=2,

若点(6,7)关于抛物线对称轴对称的点为点M,

贝I」7-4x-5=7,解得xi=6,X2—-2,

二点何坐标为(-2,7),

直线y=-2r+3中，当x=-2时，

y=-2x+3=7,

・••点M在直线y=-2x+3上.

【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特点和一次函数图象

上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键.

18.(8分)如图，在RtZ\ABC中，NACB=90°,0是BC边上一点，以。为圆心，0B

为半径的圆与AB相交于点。，连接C。，且CQ=AC.

(1)求证：CZ)是。0的切线；

(2)若乙4=60°,AC=2代，求俞的长.

【分析】(1)连接0D.由等腰三角形的性质及圆的性质可得NA=NAOC,NB=N

BDO.再根据余角性质及三角形的内角和定理可得/ODC=180°-(NAOC+NB。。)

=90°.最后由切线的判定定理可得结论；

(2)根据等边三角形的判定与性质可得NQCO=NACB-/AC£>=30°.再由解直角三

角形及三角形内角和定理可得NBOD的度数，最后根据弧长公式可得答案.

【解答】(1)证明：连接0D

9

：AC=CDf

：.ZA=ZADC.

,:OB=OD,

：.ZB=ZBDO.

VZACB=90°,

Z.ZA+ZB=90°.

AZADC+ZBDO=90a.

：.ZODC=ISOQ-CZADC+ZBDO)=90°.

又〈OD是。。的半径，

・・・CO是G)O的切线.

(2)解：*：AC=CD=2^3，ZA=60°,

・•.△ACO是等边三角形.

AZACD=60°.

・・・ZDCO=ZACB-ZACD=30°.

在RtZ\OC。中，OD=CDtmZDCO=273tan30°=2.

VZB=90°-NA=30°,OB=OD,

：.ZODB=ZB=30°.

：.ZBOD=\SO°-(NB+NBDO)=120°.

•.应的长=安＞

【点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅

助线是解决此题的关键.

19.(9分)如图，在RtZXABC中，ZB=60°,ZA=90°,△ABC的内切圆。。与BC,

CA,AB分别相切于点DE,F.

(1)求/E。。的度数；

(2)若r=2,求阴影部分的面积.

A

E

BDC

【分析】（1）根据切线的性质得OO，BC,OELAC,OFLAB,由三角形内角和定理求

得NC,再根据四边形的内角和求得结果；

（2）连接08,0C,解直角三角形求得BQ与BR再证明四边形AE。尸为正方形，得

AE的长度，求得A8,BC,CD,CE,再将阴影部分面积转化为三角形与扇形的面积和

差进行计算便可.

【解答】解：（1）;△ABC的内切圆。。与8C,CA,A8分别相切于点。，E,F.

J.ODYBC,OEYAC,OFVAB,

VZB=60°,/A=90°,

AZC=30°,

：.ZEOD=360°-/C-/OEC-NOOC=150°；

(2)连接OB,OC,则/OB£>=/O8F=/NABC=30°，

"=，O=ta.。金=1'

~3~

尸O=/AEO=90°,

四边形AEOF为矩形，

由切线长定理知，AE=AF,

二四边形AE。尸为正方形，

：.AE=AF=OE=OF^2,

，4B=AF+B/=2«+2,

：NAC8=30°,

：.BC=2AB=4yf3+4.

：.CD=CE=BC-8。=2如+4,

150兀X22=4料+8-

AS阴影=SAOCE+SaOCQ-S扇形ODE=yX(273+4)X2X2-

__360

【点评】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，矩形与正方形的判

定，扇形的面积公式，第（2）关键是把阴影部分面积转化为三角形与扇形面积的和差来

计算.

20.（9分）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1）,隋代建造的赵州桥距今约

有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何

图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为源.桥的跨度（弧所对的弦长）AB=26〃?，设篇所

在圆的圆心为O,半径OC_LAB,垂足为。.拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5m.连

接08.

（1）直接判断AD与8。的数量关系；

（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1/«）.

图1

图2

【分析】（1）根据垂径定理便可得出结论;

（2）设主桥拱半径为凡在RtaOBO中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果.

【解答】解：（1）,：OC1AB,

：.AD=BD；

（2）设主桥拱半径为R,由题意可知AB=26,CD=5,

：.BD=2AB=13,

2

0D=0C-CD=R-5,

；NOOB=90°,

：.OD1+BD2=OB2,

：.（R-5）2+132=/?2,

解得R=19.4七19,

答：这座石拱桥主桥拱的半径约为\9m.

【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理.此题难度不大，解题的关键是方程思想的应

用.

21.（9分）一个不透明的箱子里装有2个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外

其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子

里，通过大量重复实验后，发现摸到白色小球的频率稳定于0.33左右.

（1）请你估计箱子里白色小球的个数：

（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球,

求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率.（用画树状图或列表的方法）

【分析】（1）设箱子里白色小球的个数为x个，根据发现摸到白色小球的频率稳定值即

为其概率列出上=0.33,解之即可；

x+2

（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

【解答】解：（1）设箱子里白色小球的个数为x个，

则」一=0.33,

x+2

解得X=箜，

67

经检验：x=/是分式方程的解，

67

所以估计箱子里白色小球的个数为1；

（2）列表得：

红1红2白

红1（红1,红1）（红1,红2）（红1,白）

红2（红2,红1）（红2,红2）（红2,白）

白（白，红1）（白，红2）（白，白）

•••所有等可能情况一共有9利3其中颜色恰好不同有4种，

两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为9.

9

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复

不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两

步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

22.（11分）为落实“双减”政策，某校随机调查了50名学生平均每天完成书面作业所需

时间的情况，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图、表:

分组时间X（时）人数

A