2023-2024学年浙江省嘉兴市高二年级上册期中数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年浙江省嘉兴市高二上册期中数学模拟试题

一、单选题

1.若直线/的斜率为G，则该直线的倾斜角为（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【正确答案】C

【分析】根据斜率的定义求解.

【详解】由定义：斜率左=tanO,其中。为直线/的倾斜角，.•.tane=7^,

又0,404180',；.6=60,；

故选：C.

2.已知等差数列｛七｝的通项公式。“=-3〃+5,则它的公差为（）

A.3B.-3C.5D.-5

【正确答案】B

【分析】根据公差的定义求解.

【详解】由题意：公差"=。向—q,=—3（w+l）+5-（-3〃+5）=-3；

故选：B.

3.已知双曲线的上、下焦点分别为耳（0,3）,瑞（0,-3）,p是双曲线上一点且归耳|-|尸引=4,

则双曲线的标准方程为（）

【正确答案】C

【分析】设双曲线的标准方程为r-，=ig>（）,b>0）,由双曲线的定义知c=3,。=2,

即可求出双曲线的标准方程.

【详解】设双曲线的标准方程为/■-捺=1（承>0,6>0）,半焦距为c,

则由题意可知c=3,24=4,即”=2,故/=c2-/="4=5,

所以双曲线的标准方程为片-《=1.

45

故选：c.

4.数列｛《,｝中，%+2=%+|+%，4=3,%=5,则。4=（）

A.-3B.9C.-5D.13

【正确答案】D

【分析】根据题意，分别令〃=1,〃=2,代入计算，即可得到结果.

【详解】因为q=3,“2=5,B.a„+2=a„+l+a„,

令〃=1,则％=%+%=8，

令〃=2,则。4=4+4=8+5=13.

故选:D

5.若圆£:（x-iy+（y-2）2=4与圆。2：（工+。）2+3+1）2=9外切，则实数a的值为（）

A.3B.5C.3或-5D.5或-3

【正确答案】C

【分析】利用圆与圆的位置关系求解.

【详解】解：因为圆G：（X-iy+（尸2）2=4与圆。2：&+〃）2+3+1）2=9外切，

所以J（l+a）2+（2+1）2=3+2,

解得a=3或a=-5,

故选：C

6.若直线xcos®+ysin6=l（eeR）与圆/+^=4相交于点尸，。，则|「。|=（）

A.1B.V3C.20D.25/3

【正确答案】D

【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，求圆心到直线的距离，结合直线与圆相交弦长公式

求解即可.

【详解】直线xcose+ysin6>=l（eeR）与圆》2+/=4相交于点尸，Q,

则圆心（0,0）到直线A-COS。+ysin9=1（。GR）的距离为d=1曰，=1,

Vsin20+cos20

所以|P0|=2>/4^T=2V3.

故选：D.

7.抛物线/=4x上一点尸到点的距离与点尸到准线的距离之和的最小值是()

A.7?B.72C.72-1D.V2+1

【正确答案】B

【分析】先求出焦点厂坐标和准线方程，根据抛物线的几何性质：抛物线上的点到焦点的

距离等于到准线的距离，当P,F,4三点共线时所求距离之和最小.

【详解】对于_/=4x,2P=4,5=1,所以焦点坐标为尸(1,0),准线方程为X=-1,

则产点到准线的距离=|尸可，显然当尸，尸，/三点共线时，并且尸在4尸之间时归曰+四|

最小，如下图：

.••1^1+1^1的最小值=归/|=，石了=0;

故选：B.

8.如图，椭圆A/:£+4=l(a>b>0)的左、右焦点分别为耳，巴，两平行直线44分别过

ab~

耳，巴交M于4B,C,。四点，且N打，。外,|，巴卜4|。鸟|,则M的离心率为()

D.1

CI3

【分析】设⑷周=x,则|/q=4》，由椭圆定义得|/6|=2"4》，由椭圆的对称性可知

怛耳KPB|=X,连接B苞,则|叫|=2a-x.又l\〃l»AFRDF”利用勾股定理可得答案.

【详解】设|。用=孙则|/6|=4',由椭圆定义得用=2a-4x,由椭圆的对称性可知

\BF\=\DF^x,连接8中,则此|=2a-x.又I、〃12访工DF2,

所以N4Xg=N/KZ)=9(y,在M中，\BF2f=\AB^+\AF2f,

所以(2a-34+(4x)2=(2a-x)?,解得

所以的=等,网=?,Rt/用中，|"『+/「=闺可，

所以仔)+仔)=(2c＞，得5a、%2,所以M的离心率6，=冬

故选：D.

二、多选题

9.下列各结论，正确的是()

A.直线x-y-l=O与两坐标轴交于48两点，则|力四=&

B.直线2x—y=0与直线2x—y_&=0之间的1?巨离为石

C.直线J1x+y-2=0上的点到原点的距离最小为1

D.点D-L1)与点3(2,0)到直线X-尸0的距离相等

【正确答案】ACD

【分析】由两点间、点到直线，平行线的距离公式对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A,直线x-y-l=0与两坐标轴的交点力(0,-1),8(1,0),

则|/8|=五,故A正确；

对于B,直线2x-y=()与直线2x-y-6=0之间的距离为

”=J叫.=1,故B不正确;

V4+1

对于C,直线gx+”2=0上的点到原点的距离最小为

原点到直线6-"2=0的距离即4=需喜

=1,故C正确;

对于D,点力(-1,1)到直线x-y=0的距离为上口=后

与点8(2,0)到直线x-y=0的距离为2*=0.

J2

所以点4(7,1)与点8(2,0)到直线x-y=0的距离相等，故D正确.

故选：ACD.

2a,,〃为奇数

10.设数列｛““｝的前〃项和为5,，且满足q=1,4川=<,,〃为偶数，则下列说法中正确的

有()

A.%=2B.数列m｝为递增数列C.a2022=1

D.S20=22.5

【正确答案】AD

【分析】根据题意，分别求得％,出，/，%，4，…，得到数列｛““｝构成以1,2,；』为周期的周期

数列，逐项判定，即可求解.

2%,〃为奇数

【详解】由题意，数列｛。〃｝满足q=l,%+i=,J_〃为偶数，

4,

11

当〃=1时，〃2=2%=2；当〃=2时，生=7=5；当〃=3时，。4=2%=1；

当〃=4时，a5=~~=h当〃=5时，。6=2%=2;当〃=6时，ai=~~=~；，

。4。62

归纳可得数列｛凡｝构成以1,2,；』为周期的周期数列，所以%=%=2,A正确，B不正确;

又由。2022=。5053+2=。2=2,所以C不正确；

199

因为q+%+%+。4=2+]+1+1=§,所以S2。=5XQ=22.5,所以D正确.

故选：AD.

11.己知直线/:3+了+3〃一0=0和圆C:f+y2=i2,则下列说法正确的是（）

A.直线/恒过定点（3,-瓜）

B.直线/与圆相切时，m=-^3

C.若直线的倾斜角为120°,则直线/与圆相交所得弦长为6

D.若直线/与圆相交所得弦的长为2仃，则该弦45在x轴上的投影长为3

【正确答案】BCD

r-x+3=0

【分析】对A,通过将直线整理为加（x+3）+y-6=0,则得至解出即可，对

B,利用圆心到直线的距离等于半径即可得到方程，解出即可，对C,求出机代入直线，利

用弦长公式即可，对D,根据弦长求出旭，得到直线倾斜角，即可求出答案.

【详解】对A,直线/的方程化为：加（x+3）+y-6=0,

x+3=0

则故直线/恒过定点卜3,道），故A错误;

解得1

对B,由题得圆心（0,0）到直线/的距离等于半径，而圆C的半径为26，

2工,化简得（加+石）=0,解得故B正确;

对C,若直线的倾斜角为120，，则左=tanl20°=-6=-m，解得加=百，

则直线/的方程为:怎+夕+26=0,

M「厂

设圆心到直线/的距离为d,则㈣2.=73<273,

则直线/与圆相交所得弦长为24々2=2/2-（例2=6,故C正确;

对D,若圆心到直线/的距离为d,根据弦长2，六-的,

「I------隘-

则有2泰=2，12-7,则d=3,则有I：J=3

yjm2+1

化简得片?=-1,解得加=一］，则勺=乎，设直线的倾斜角为a,

•/k,=tana=——，且0°Wa<180°,贝！Ja=30°，

/3

所以该弦N8在x轴上的投影长为2石xcos30°=26'x也=3,故D正确.

2

故选：BCD.

12.设点尸为抛物线C：V=2px（p>0）的焦点，过点尸斜率为％的直线/与抛物线C交于

两点（点M在第一象限），直线/交抛物线C的准线于点P,若|标卜3|丽|=4,则下

列说法正确的是（）

A.p=4B.FP+FM=0

C.k=y/3D.△A/CW的面积为40（。为坐标原点）

【正确答案】BC

【分析】设加（占,凹）山（匕,必），利用焦半径公式求出国=4-舁2=，勺进而求出

%2=80-p2，W='-p2,并结合耨=耨|1=3,求出P,即可判断A；求出尸,P,例三

点的坐标，从而求出向量而，丽的坐标，即可判断B；已知E"两点坐标，且左="的，

利用斜率公式可得左，即可判断C；由S0MN=S8M+S。q，求出△MON的面积，即可判

断D.

如图,设收（再,必）,“（々,力），

.•・疗=8。-

MF=\MMt\

X-NF|MV,|

:Sp-p_

••.4=9,即8P,

y2y-p'

解得：P=2；

故选项A不正确;

由上述分析可知加（3,2百）

133J

又容易知广。,0）产卜1,-2万），

则涔=（-2,-273）,FM=（2,2⑹,

故所+厢=0成立;

故选项B正确;

273-0

k=%==y/3;

3-1

故选项C正确;

=ixlx2^+lxlx答*

S4OMN=SAOFM+SMfFN

故选项D不正确;

故选：BC.

三、填空题

13.圆的方程为x2+/+2x+2y+l=0,则该圆的半径为—

【正确答案】1

【分析】将圆的方程化为标准式，即可求出圆的半径.

【详解】由V+_/+2x+2y+l=0可得（》+1）2+（夕+1）。=1,

所以圆心坐标为半径r=l.

故1

14.记邑为等差数列｛q｝的前〃项和，已知S$=I5,则如

【正确答案】3

【分析】根据等差数列的前〃项和公式和通项公式求解.

【详解】设公差为d,

因为S5=5%+10d=15,所以％+25=3,即%=3,

故答案为3

15.己知片，心分别是双曲线±-£=1的上、下焦点，过心的直线交双曲线于4、8两点,

若|/8|=9,则|/镇+忸用的值为.

【正确答案】29

【分析】根据双曲线方程及已知有4B在双曲线的下支上，应用双曲线定义及|/8|=9,即

可求目标式的值.

【详解】由题设2。=10>9,故48在双曲线的下支上，如下图示，

根据双曲线定义：|“片卜|/周=忸用-|8同=2。=10,

所以|力4|+忸胤=4〃+(以周+|8用)=20+|/同=29.

故29

16.在平面内，一只蚂蚁从点4-2,-3)出发，爬到夕轴后又爬到圆。：。+3)2+(尸2)2=2上,

则它爬到的最短路程是.

【正确答案】472

【分析】求得点4-2,-3)关于歹轴的对称点为0(2,-3),结合圆的性质，即可求解.

【详解】由圆C:(x+3)2+a-2)2=2,得圆心坐标。(-3,2),半径为血，

求得点/(-2,-3)关于V轴的对称点为力'(2,-3),

可得“目="C|-r=J(-3-2>+(2+3尸_忘=4五.

如图所示，可得爬到的最短路程为4VL

故4立

四、解答题

17.已知直线/”4x+2y+6=0和直线/2.x+(。-l)y+。--1=0

(1)当。/〃2时，求实数。的值；

(2)当"JJ2时，求实数”的值.

【正确答案】(1)-1；(2)j.

【分析】(1)根据两直线平行的位置关系建立关系式求解参数即可；

(2)根据两直线垂直的位置关系建立关系式求解参数即可.

【详解】解：由题意得：

(1)(方法1)当a=l时,h：x+2y+6=0,l2-x=0,"不平行于历

当a=0时，"：y=-3,h：x—y—1=0,//不平行于〃；

当今1且存。时，两直线可化为。：y=-^x-3tl2：y=±x-(a+l)

a_1

“〃2时,421-a解得〃=-1

-3工-(a+1)

综上可知，当。=-1时，hllh

(方法2)・・Z/〃2

[tz(a-l)-lx2=0(a2-(7-2=0.

/.5解得〃=—1

[a(a2-1)-1x6w0a(a26

故当Q=-l时，Z////2.

(2)(方法1)当〃=1时，x+2y+6=0,b：x=0,//与/2不垂直，故a=l不成立;

当a=0时，//:y=-3,I2-x—y—1=0,//不垂直于历故“=0不成立；

v

当今1且存00h//：y=-^-x-3,l2：y=x-(a+l)由=T，='1

21-aI2J\-a3

2

(方法2)..Z，，2,：.a+2(a~\)=0,解得a=]

18.已知圆C:x2+(y-2>=1,

(1)若。(LO)，直线。/、。8分别与圆C相切于48两点，求这两条切线的方程;

(2)若。(3,0),过点。且斜率为T的直线交圆C于M,N两点，求CMN的面积.

【正确答案】(l)3x+4y-3=0或x=l

⑵3

【分析】(1)根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径即可求解；

(2)利用直线被圆截得的弦长公式和点到直线的距离公式求解.

【详解】(1)由题意，过点。(L0)且与x轴垂直的直线为x=l,与圆阳相切,

此时，切线方程为x=l,

当过点。(1,0)的直线不与x轴垂直时,

由"=1

设其方程为V=即依-y-A=0,

a+1

3

解得人-“此时切线方程为3—=。.

综上所述，这两条切线的方程为x=l或3x+4)，-3=0.

(2)因为直线过。(3,0)且斜率为-1,则直线方程为x+y-3=0

|0+2-3|_y/2

圆心C到直线的距离为"=

Vi+T—2

则|"N|=2ylr2-d2=72,

SACMN=；\MN\d=；xCq=g

19.如图1,太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面

形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分(如图2),盛水或食物的容器放在抛物线的隼

卓处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑(图中尸点为放置容器处，其余6

个焊点在镜口圆上).已知镜口圆的直径为12dm,镜深2dm.

(1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标；

(2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的层馋廖(单位

dm).

【正确答案】(l)/=18x,尸(4.5,0)

(2)架子所用钢筋总长度为39dm

【分析】(1)先建立直角坐标系，得到Z点坐标，然后设出抛物线方程进而求得。的值，从

而可以确定抛物线的方程和焦点的位置.

(2)根据盛水或食物的容器在焦点处，结合两点间距离公式可得每根铁筋的长度.

在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，

使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口直径.由已知，得力点坐

标是(2,6),

设抛物线方程为/=2px(p>0),则36=2px2,解得p=9,

则抛物线的标准方程是/=18x,

焦点坐标是R(4.5,0).

(2)因为盛水的容器在焦点处，所以力、尸两点间的距离即为每根铁筋长，

所以每根铁筋长为2+与=2+4.5=6.5dm,

所以架子所用钢筋总长度为6.5x6=39dm.

20.己知｛q｝是等差数列，%+6=8,其前5项和Ss=40.

(1)求｛与｝的通项见；

(2)求｛%｝前〃项和S”的最大值.

【正确答案】(1)。“=—2〃+14

(2)42

【分析】(1)设｛%｝的公差为d,结合等差数列通项公式和前〃项和的性质可得d,进而求

得通项公式；

(2)结合等差设数列的函数性质直接求解即可.

【详解】(1)•.•｛%｝为等差数列，5s=40,.-.5S=5a3=40,%=8.又知+&=8,即

%+d+/+"=8,解得d=—2>故。“=。3+(〃—3)d=8—2(〃—3)=—2〃+14,即an=—In+14

(2)因为为=-2〃+14,随着"的增大而减小，且%=0,4=-2<0,故当〃=6或〃=7时，

S,有最大值S7=7%=7(-2x4+14)=42.

21.已知点在抛物线C:/=2px(p>0)上.过点尸(3,-1)的直线/与抛物线C交于/,

B两点(异于点M).

⑴若/的倾斜角为45。，求弦长|/8|；

(2)试探究直线力”与2例的斜率之积是否为定值：若为定值，求出该定值，若不是，说明理

由.

【正确答案】(1)A

【分析】(1)根据题意可得抛物线的方程，然后联立抛物线与直线方程结合弦长公式，即可

得到结果；

(2)根据题意，分直线/斜率存在与不存在讨论，当直线斜率存在时，联立直线与抛物线方

程结合韦达定理，代入计算，即可得到结果.

【详解】(1)因为点在抛物线C：y2=2"(p>0)上，

所以2P=1,

所以C：V=》.

因为/:y=x-4.

Wx2-9x+16=0，设/（占,珀,3（孙％）

则xx+x2=9,X（X2=16,

所以|力81=^（1+1）（92-4X16）=A/34

（2）假设存在该定值.

若直线/_Lx轴，

则/:x=3此时/（3,百）,8（3,-C）

所以3”•％=3二1

AMDM222

解法一：

若直线/斜率存在，设为工一3=加（歹+1）,且4（菁,耳）,8（工2，%），

v2=X

则由°

x=即+加+3

可得y2_叩_加_3=0,

所以必+、2=根，必夕2=_〃？_3

而k一必一18_1_必一1%T_1

所以44W■《BM~77~~―7'~~7一''"T

2-1x2-1y]-1y2-1必必+必+%+1

=----7----7=一:为定值.

-m一3+机+12

解法二:

若直线/斜率存在，设为y+l=A（x-3）,且/（片,凹）,5（%,%），

y2-x

则由

y=kx-3k-l

可得42工2-(642+24+l)x+(34+1)2=0,

uuz6k2+2k+l(3%+1)2

所以%+%=----p----，%%=-p—

kk一%T_)1TI

所以kAM•----―—~•——■~-7~7w~T\

X]_lx2-1必一1y2-1(必+1)3+1)

_________1___________________1_________________________]

2

一^(X,-3)(X2-3)--2[中2-3(X]+々)+9]―(3)+1)2—3(6女2+24+1)+9公

=-g为定值.

2=1（。＞1）的左、右顶点，离心率为日

（2）过M点作两条互相垂直的直线M4,仞3与椭圆交于A,8两点，求D48面积的最大值.

丫2

【正确答案】⑴3+/=1；

/64

⑵后

【分析】（1）由离心率及〃=1联立方程求解即可；

（2）设18的直线方程为：x=w+m,/（xqJ,B（x2,y2）,联立直线与椭圆方程，由一元

TT

二次方程根与系数的关系及UMB=|可利用向量数量积为0化简求出m,据此可得三角形

的面积｛2-对，化简后换元利用均