2023-2024学年江苏省南通市高一年级下册期中数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年江苏省南通市高一下册期中数学模拟试题

一、单选题

1.sin64cos40-cos64°sin4=()

A.3B.：C,-3D.--

2222

【正确答案】A

【分析】直接运用两角差的正弦公式即可.

【详解】sin64cos4-cos64sin4°=sin(64-4j=sin60=~~

故选:A.

2.已知“，人为不共线的向量，且A3=a+5/?，BC=-2a+Sb^CQ=4a+2b则()

A.A,8,C共线B.A8,£>共线C.A,CO共线D.aC,O共线

【正确答案】B

【分析】根据AB，BC，CD求出AC和80,再根据A8与BC不共线，可得4,8,C不共线,

根据A8与80共线，且有公共点8,可得共线，根据AC与CD不共线，可得4C,£>

不共线，根据BC与CO不共线，可得B,C,O不共线.

【详解】因为AB=a+56，BC=-2a+8b>C£>=4a+2b，

所以8O=8C+CQ=2a+10Z>，AC=AB+BC=-a+13b，

因为a，b为不共线，所以a,6为非零向量，

若存在;UR,使得A8=/13C，

贝!ld+5b=4(-24+86)=-2Aa+SAb,BP(1+22)6=(82-5)Z>,

,fl+2/l=0A=~2

因为a,6不共线，所以。，<八，即<，此方程组无解，

OA—3=()1J

IA=—

8

故AB与BC不共线，所以A,B,C不共线，故A不正确；

因为=即AB与BO共线，又AB与BD有公共点B，所以共线，故B正确;

若存在；IGR,使得AC=/LC£>，贝1」一4+13/?=4彳°+2；1。，即(1+42)。=(13-24止，

1+4/1=0

因为4,。不共线，所以,此方程组无解,

13-22=0

故AC与C。不共线，所以不共线，故C不正确;

右存在人wR,使得8c=2CZ)，则—2“+8h=44a+2効，即(42+2)4=(8—22)8,

[42+2=0彳=-丄

因为a,6不共线，所以匕»八，即2,此方程组无解，

18-24=0卜=4

故BC与C。不共线，所以反C。不共线，故D不正确.

故选：B

3.设2(z-4+12=3(z+4+8i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为()

A.2iB.2C.-2iD.-2

【正确答案】B

【分析】设z="+齿(a,beR),则]=a-历，利用复数运算以及复数相等可求得。、b的值,

即可得解.

【详解】设2=。+齿(abeR),则三=“_m，

由2(z-z)+12=3(z+z)+8i可得12+4〃i=6tz+8i,所以，解得a=/>=2,

因此，复数z的虚部为2.

故选：B.

4.在...ABC中，角A8,C的对边分别为a,6,c,且B=b=3,a=6,贝!|c=().

A.73B.2x/3C.3-73D.3

【正确答案】B

【分析】利用余弦定理可构造方程直接求得结果.

【详解】在_A3C中，由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=3+c2-y/3c=9.

即Gc—6=0,解得：c=2>/5或c=-G(舍)，.'.c=26.

故选：B.

5.已知在中，AB=2,AC=3,NBAC=(,点。为边BC上靠近8的三等分点，则

A£>.8C的值为（）

A.--B.--C.|D.-

3333

【正确答案】D

【分析】利用48、AC表示向量4。、BC，利用平面向量数量积的运算性质可求得AD8C

的值.

【详解】如下图所示:

由平面向量数量积的定义可得AB-AC=|ABHAqcos（=2x3xg=3,

因此，ADBC^^(2AB+--2

4C).(AC-A8+ABAC-2AB

=1X(32+3-2X22)=^.

故选：D.

6.已知一ABC中，a,b,。分别是角A,B,C的对边，且满足Z?cosC=a+ccosB,则该

三角形的形状是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形

【正确答案】C

【分析】利用正弦定理将边化为角，再逆用两角差的正弦公式及三角形内角和定理求解即可.

【详解】因为bcosC=〃+ccosB,

由正弦定理可得：sinBcosC=sinA+sinCcosB,

所以sinBcosC-sinCcos3=sin[%一(3+C)],

所以sin(B-C)=sin(3+C),

所以3—C=3+C或3—。=4一3-C,

即C=0(舍去)或8=5，

故_45C为直角三角形,

故选：c

7.已知sin]a则sin(2a+兀的值为(

)

6

D.V

A-ic-1

【正确答案】A

【分析】利用三角函数的诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解.

【详解】由2a+二-2a+^=',^2a+-=-+2a--,

632623

7T

所以sin(2a+F=sin-+2a--=cosla--

23I3

所以sin12a+看=cosl2a--]=1-2sin21a--|=l-2x

3694

故选:A.

8.某观测站C在目标A的南偏西25方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C处

测得与。相距31m的公路8处有一个人正沿着此公路向A走去，走20而到达。，此时测得

CD距离为21析1,若此人必须在20分钟内从O处到达A处，则此人的最小速度为()

B

A.30切？/〃B.45kmihC.\4km/hD.\5hnlh

【正确答案】B

【详解】由已知得/。48=25。+35。=60。，BC=31,CD=21,80=20,可得

皿3=此2+8庁-8；3『+2。2-212年那么s所竽

2BCxBD2x31x20

于是在“BC中，Q窯翳=24,

222222

在aABC中，BC=AC+AB-2ACABcos600fKfl31=24+AB-24AB,解得A8=35或

AB=-11(舍去)，因此AD=AB-BD=35~20=15.

故此人在。处距A处还有15km,若此人必须在20分钟，即§小时内从。处到达A处，则

其最小速度为15+g=45(km/h).

故选B.

二、多选题

9.欧拉公式/=cosO+isin，（其中i为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，

该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论

里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）

A./=也+立iB.启为纯虚数

C.复数*的模长等于1D.方的共枕复数为丄-@i

e22

【正确答案】ABC

【分析】利用欧拉公式计算岀各选项指数式的复数代数形式，即可判断各项的正误.

【详解】A：由题意，/=cos&+isinX=^+《li,正确；

4422

B：由题意，=cos工+isin^=i为纯虚数，正确；

22

C：由题意，/=cos乃+isin）=一1,其模长为1,正确；

D：由题意，Ji=cos-+isin-=^+i,则其共辄复数为且一丄，错误.

662222

故选：ABC

10.设向量a=（%,2）,k（l,-l）,则下列叙述错误的是（）

A.若a与人的夹角为钝角，则左<2且左工一2

B.口的最小值为2

c.与各共线的单位向量只有一个为孝，一孝）

D.若忖=2忖，贝也=2近或-2a

【正确答案】CD

【分析】利用向量的夹角公式可判断A的正误；利用向量的模长公式及二次函数的性质可

判断B的正误；利用向量共线的坐标表示可判断C的正误；利用模长公式可求出％的值，

进而判断D的正误.

【详解】A：若a与6的夹角为钝角，则有“力=k-2<0，且“与6不共线，

即上<2且厶片一2,故A正确;

B：口=厶2+4,当且仅当女=0时，也有最小值为2,故B正确；

c：与6共线的单位向量有（等，-孝和-4，乎］两个，故C错误；

D：若忖=2忖，则42+4=20，解得左=±2,故D错误；

故选：CD.

11.在一/WC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,以下说法中正确的是（）

A.若4>B,则sinA>sin8

B.若a=4力=5,c=6,则一ABC为钝角三角形

C.若a=5,b=10,A=:，则符合条件的三角形不存在

4

D.若acosA=%cos8,贝ijABC一定是等腰三角形

【正确答案】AC

【分析】利用正余弦定理，三角函数的性质逐一判断即可.

【详解】若4>8,则”>b,所以由正弦定理可得sinA>sinB,故A正确；

若。=4,b=5,c=6,则/</+〃，即cosC/U”>0,所以角C为锐角，B|J.ABC

2ab

为锐角三角形，故B错误；

若a=5,b=10,4=£,根据正弦定理可得sinB=%4=Wxe=0>l

4a52

所以符合条件的三角形不存在，即C正确；

若acosA=Z?cosB,则sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin28,因为2Ac（0,兀）,2Bs（0,兀）,

TT

所以2A=28或2/1+28=1,即A=B或4+8=万，

所以/SC为等腰或直角三角形，故D错误.

故选：AC

12.已知；.ABC中，AB=1,AC=4,BC=JT5,。在3c上，AO为254C的角平分线,

E为AC中点下列结论正确的是（）

A.BE=y/3B..A6C的面积为旧

C.AD=­D.尸在的外接圆上，则/>8+2PE的最

5

大值为24

【正确答案】ACD

【分析】先由余弦定理算出N明C=q,再计算面积，验证B选项，在中，利

用余弦定理求BE验证A选项，用等面积法SA0C=SA.+SAS，求AD验证C选项，用正

弦定理表示尸8,PE,结合三角函数性质验证D选项.

【详解】解：在.ABC中，由余弦定理得cosNBAC=4£上上"二=丄，

2ACAB2

因为/B4Ce(O㈤，所以NBAC..

所以S〃比=；A®ACsinNBAC=6故B错误；

在亠/WE中，BE2=AE1+AB--2AE-ABcosZBAE=3,所以BE=G，故A正确:

因为AO为一班C的角平分线，

由等面积法得SABC=SABD+SACD=^AB-ADsin笞坦+；AC•AQsin考G,

整理得解得4。=生叵，故C正确；

45

P在的外接圆上，如图

所以在aBPE中，记NPBE=a,4BEP=(i,由正弦定理得PB=2sin£,PE=2sma,又

所以P5+2PE=2sin/+4sin。=2sin^-y--crj+4sincz=Gcos2+5sina

=2>/7sin（a+e）,其中tanp=#，

又因为ae（0，K）,所以P8+2PE的最大值为2近，故D正确.

故选：ACD

本题考查正余弦定理的综合应用，考查数学运算能力，是中档题.

三、填空题

13.在复平面内，AB对应的复数是1-i,4。对应的复数是2i-3,则DB对应的复数是

【正确答案】4-3i

【分析】由向量的线性运算和复数的减法运算可求得答案.

【详解】解：由题意可知，DB=AB-AD，则。B对应的复数是（IT）一⑵一3）=4-3i.

故答案为.4-3i

2coslQOsin2Q

14-°=

,cos200,

【正确答案】73

【分析】利用cosl00=cos（30°-20°）展开计算即可

［详解］2cos10°-sin20°_2cos（30o-20°）-sin20°6cos20°+sin20°-sin20°_陋

cos20°cos20°cos20°

故答案为

15.已知向量a1的夹角为称，若冋=1,|。+司=近，则|可.

【正确答案】3

222

【详解】由题意可得：（a+/?）=a+b+2a-b=l+\bf+2xlx\b\xCOs^=7,

整理可得：好—2>冈小6=0,.••個—3）個+2）=0,

据此可得"|=3

四、双空题

16.已知由sin2x=2sinxcosx,cos2x=2cos2x-l,cos3x=cos（2x+x）可推得三倍角余弦

公式cos3x=4cos3;c-3cosx,已知cos54=sin361结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式

可得sinl8=;如图，已知五角星ABCDE是由边长为2的正五边形6小西和

五个全等的等腰三角形组成的，则HE-HG=

【正确答案】丄二5+75

4

【分析】由cos54=sin36结合三倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式可得出关于sin18的

二次方程，结合0<sinl8<1可求得sinl8的值；求得N〃EG=18,NEHG=54,过点，作

HM丄BE,垂足为点求得“M=2cosl8,E”=上上电，然后利用平面向量数量积

sin18

的定义可求得结果.

【详解】因为cos54=cos（90-36）=sin36,所以，4cos“8-3cosl8=2sinl8cos18,

即4cos?18-3=2sin18,即4（l-sirr18）-3=2sinl8,即4$评18+2sinl8-1=0»

因为0<sin18<1»解得sin18--+^4+16_

84

在五角星ABCDE中，EG=EI,HG=H1,HE=HE,故△EHGwAEHI,

从而可得NHEG=」NCE8=18,NEHG=>NIHG=54,

22

过点H作“河丄BE,垂足为点M,则NGHM=18,于是cosNGHM=--

Gn

从而有MW=GHcosNGHM=2cosl8,于是EH=--------------=----------

sinZHEGsin18

2O18

所以，HEHG=\HE\\HG\CO354=2XCSxsin36=8cos218=8-8sin218

=8-8x=8-（3-V5）=5+V5.

故在zl；5+6

4

五、解答题

17.已知复4=l-2i,Zz=3+4i,i为虚数单位.

⑴若复数4+虚2对应的点在第四象限，求实数〃的取值范围;

(2)若2=纟三，求z的模.

【正确答案】丿

⑵应

【分析】(1)利用复数代数形式的运算法则化简复数4+近2,求出对应点利用点在第四象

限，得到不等式组，即可求实数。的取值范围；

Z.—Z,

(2)利用复数代数形式的除法运算化简复数2二七亠，从而求出其模.

马+Z2

【详解】(1)解：4=1-2i,a=3+4i,

/.Z]+az?=(1—2i)+a(3+4i)=(1+3a)+(4tz—2)i,

则复数Z+用在复平面内所对应的点为(1+3d4。-2),

由题意可得)c八，解得一〈”:，即。£工，3.

[4a-2<032I32丿

e2,-z(l-2i)-(3+4i)-2-6il+3i

(2)ft?-z=~2-=---------------=--------=---------

川干.z+z2(l—2i)+(3+4i)4+2i2+i

(l+3i)(2-i)2-i+6i-3i25+5i..

=-----------------=-------------------=---------=-1-i,

(2+i)(2-i)55

所以目=J(-l)2+(-l)2=VL

18.已知平面向量)=(1,2),6=(-3,-2).

(1))在a方向上的投影向量；

(2)当上为何值时，ka+h^a-ibW.

【正确答案】

【分析】(1)直接利用投影向量的定义计算即可;

(2)由数量积的坐标表示计算即可.

,aab72)

HcosSy5，-5),

(2)•••?£+「与£-3与垂直,ka+b=(k-3,2k-2),a-3b=(10,8),

二(厶a+b)―(a-3〃)=0,即10(左一3)+8(2左一2)=0,解得厶=昌.

19.己知向量。=(cosa,J^sin/7+2sina),〃=(sina,々cos夕-2cosa),且W/8.

(1)求cos(a+/?)的值；

⑵若a/e(0,9,且tana=g,求2a+£的值.

【正确答案】(1)厶叵；(2)

54

【分析】(1)由共线向量的坐标表示列出等式，利用两角和的余弦公式化简等式即可得解;

(2)由cos(a+£)的值求出ian(a+£),再利用两角和的正切公式求出tan(2a+〃)，根据

2。+夕的范围即可求得2a+〃.

【详解】(1)因为:〃)，所以cosa(&cos/一2cosa)-sina(逐sin/7+2sina)=0,

A/5(COSacos/3-sinasin戶)=2(cos2a+sin22)=2,

?77

A/5cos(cr+/?)=2,即cos(a+/?)=-y-.

(2)由得0va+夕〈冗，

又因为cos(a+/)=—1>0,

所以0<a+/?<],则sin(a+")=手，tan(a+〃)=；,

11

—i—

因为tana=g,所以tan(2a+〃)=tana+tan(a+〃)32

11

I-tanatan(a+/3)।——x—

32

7TTT

因为0<a<—,所以0<2a+/?</,所以2々+夕=—.

24

本题考查两角和与差的余弦、正切公式，已知三角函数值求角，涉及向量共线的坐标表示,

属于中档题.

20.在“4BC中,内角A8,C所对的边分别为4c.已知asinA=4Z?sin8,

ac=^/5(a2-h2-c2).

(I)求cosA的值;

(II)求sin求8-A)的值.

【正确答案】(I)一好(II)-込

55

【详解】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系。=»,再根据余弦定理

求出cosA,

进而得到sinA,由a=2Z?转化为sinA=2sinB,求出sin3,进而求出cosB,从而求

出25的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.

试题解析：(I)解：由asinA=4Z?sinfi,及丿7=-^77，得〃=2/?.

sinAsinn

L,、石

^ac=45(a2-b2-c2)及余弦定理，得人b2^-c2-a2~^ac卮

\t'cosA=--------------=——-------=-------

2bcac5

(II)解：由(I),可得sin4=2，代入於inA=4加inB,得如8=竺她=好.

54〃5

由(I)知，A为钝角，所以cosB=Jl-sin%=厶&.于是sin28=2sin8cos8=3,

53

cos2B=1-2sin2B=,故

百132石275

sin(28-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=—x-----------------X-----------=---------------

55J555

正弦定理、余弦定理、解三角形

【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边'’寻求边的

关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角

函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角

和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.

21.某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境.如图，准备在道路48的一侧进行

绿化，线段AB长为4百米，C,。都设计在以AB为直径的半圆上.设

TT

（1）现要在四边形A8CD内种满郁金香，若NCOO=],则当8为何值时，郁金香种植面

积最大；

（2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段8C,8和D4组成，若BC=

CD,则当。为何值时，栈道的总长/最长，并求/的最大值（单位：百米）.

7T7T

【正确答案】（1）当6=三时，郁金香种植面积最大；（1）当为时，栈道的总长/最

长，/的最大值为6百米.

【分析】（1）求出利用三角形的面积公式可得四边形ABC。关于6的函数，利用三角函数的恒

等变换可以得到“一角一函”的形式，然后根据角的范围利用正弦函数的性质可求得面积最大

值；

（2）利用余弦定理求得8CD4关于。的三角函数，相加可求出/关于。的三角函数表达式，利

用二倍角公式和换元思想转化为二次函数的最值，进而求解.

【详解】解：（1）

•••线段AB长为4百米，所以圆的半径为2百米，即。4=O