2022-2023学年广东省广州大学附中八年级（下）月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州大学附中八年级（下）月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若二次根式仃寺有意义，则x的取值范围是（）

A.%>5B.%>—5C.%<5D.%>5

2.下列计算正确的是（）

A.B.2^+4V-2=6n

C.+C=3D.O=4yJ~2

3.一个三角形的三边长分别是3、4、5,则它的面积等于（）

A.6B.12C.15D.20

4.下列命题中错误的是（）

A.既是矩形又是菱形的四边形是正方形B.有一个角是直角的菱形是正方形

C.有一组邻边相等的矩形是正方形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

5.长方形的周长为30cm,其中一边长为xcm（其中0<x<15）,面积为ycm?,则这样的长

方形中y与x的关系可以写成（）

A.y=x2B.y=(15—x)2C.y=2(15—x)D.y=x(15—x)

6.如图，在平行四边形ABC。中，AB=4,CE平分NBCD交AD边于点E,且AE=3,则BC的

长为（）

A.4B.6C.7D.8

7.如图，AABC和AOCE都是边长为4的等边三角形，点B,C,E在同一条直线上，连接B。,

则BC的长为（）

A.<3B.C.3CD.4AT3

8.如图，在口4BC0中，BF平分NABC,交40于点F,CE平分NBC0交4D于点E,48=6,

BC=10,则EF长为（）

C.3D.4

9.如图，正方形4BCD中，^DAF=25°,4尸交对角线BO于点E,那么MEC等于（）

C.70°D.75°

10.如图，在。48co中，Z.ABC=45°,BC=4,点F是CO上一个动点，以凡4、FB为邻边

作另一个当F点由。点向C点运动时，下列说法正确的选项是（）

①QAEBF的面积先由小变大，再由大变小

②。AEBF的面积始终不变

③线段EF最小值为4广

A.①B.②C.①③D.②③

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11.的算术平方根是.

12.原命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是,逆命题是命题（填

“真"、"假”）

13.C的小数部分为a,则以a+4）=.

14.如图，将矩形4BCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无

重叠的四边形EFGH,EH=12厘米，EF=16厘米，则边4。的长是

15.在DZBCD中，已知AB=6,BE平分乙4BC交AD边于点E,点E将4。分为1：3两部分,

则4。的长为

16.如图，已知48=10,P是线段AB上的动点，分别以4P、PB为边在线段AB的同侧作等

边△力CP和APDB,连接CD,设CD的中点为G,当点P从点4运动到点B时，则点G移动路径

的长是

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题8.0分）

计算：（2-43）（2+_兀）。一（，）T.

18.（本小题8.0分）

如图，在a>4BCD中，已知4B=4cm,BC=9cm,Z.B=30°,求。4BC0的面积.

19.（本小题8.0分）

如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4m,CD=3m,AADC=90°,

AB=13m,BC=12m,小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积.

B

20.（本小题8.0分）

如图，在AABC中，AB=AC,Z1MC是△ABC的一个外角.

根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）

⑴作NZMC的平分线力M；

（2）作线段4C的垂直平分线，与AM交于点F,与BC边交于点E,连接4E,CF.

猜想并证明：

判断四边形4ECF的形状并加以证明.

21.（本小题8.0分）

先化简，再求值：©x，"五+y2—（/其中x=g,y=3.

22.（本小题8.0分）

如图，点C在线段BD上，AC1.BD,C4=CD,点E在线段C4上，且满足DE=4B,连接DE并

延长交4B于点F.

（1）求证：DE1AB；

（2）若已知BC=a,AC=b,2B=c,设EF=x,则44BD的面积用代数式可表示为；S^ABD=

；c(c+x)你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧.

3

23.(本小题8.0分)

如图1,已知锐角△ABC中，CD、BE分别是48、AC边上的高，M、N分别是线段BC、CE的

中点.

(1)求证：MN1DE.

(2)连结DM,ME,猜想乙4与NOME之间的关系，并证明猜想.

(3)当乙4变为钝角时，如图2,上述(1)(2)中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不

需证明；若结论不成立，说明理由.

24.(本小题8.0分)

如图，点尸为正方形4BC0边上CO上一点，平分N4BF交4D于点G,延长BF至点E,使尸E=

FD,连接DE.

(1)猜想448G与4E的数量关系，并证明：

(2)求证：BE=AD+AG；

(3)若BG=5,BE=7,求尊的值.

25.(本小题8.0分)

如图，在平行四边形4BCO中，AB=2,AD=4,M是40的中点，点E是线段AB上一动点(可

以运动到点4和点B),连接EM并延长交线段CO的延长线于点F.

(1)如图1,

①求证：AE=DF；

②若EM=3,Z.FEA=45°,过点M作MG1EF交线段BC于点G,请直接写出△GEF的形状,

并求点尸到4B的距离；

(2)改变平行四边形4BCC中48的度数，当4B=90。时可得到如图2所示的矩形4BCD,请判

断AGEF的形状，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，取MG中点P,连接EP,点P随着点E的运动而运动，当点E在线段48上运

动的过程中，请直接写出AEPG的面积S的范围.

答案和解析

1.【答案】D

解：由题意x-5>0,

解得X25,

故选：D.

根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得.

本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.

2.【答案】C

解：4、J(-3)2=|—3|=3,故选项错误；

B、2，？+4、2不1能合并,故选项错误：

C、+q=327+3=3,故选项正确；

D、门=2。，故选项错误.

故选C

A、利用二次根式的化简公式计算得到结果，即可做出判断；

B、原式不能合并，错误；

C、原式利用二次根式的除法法则计算得到结果，即可做出判断；

。、原式化为最简二次根式得到结果，即可做出判断.

此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

3.【答案】A

解：32+42=52,

二此三角形是直角三角形，

・•・$△=gx3x4=6.

故选A.

由于32+42=52,易证此三角形是直角三角形，从而易求此三角形的面积.

本题考查了勾股定理的逆定理.解题的关键是先证明此三角形是直角三角形.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

正方形的判定方法：

①有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形；

②有一个角是直角的菱形是正方形；

③有一组邻边相等的矩形是正方形.

本题考查了正方形的判定方法：既是矩形又是菱形的四边形是正方形.

要说明命题不是真命题，主要能举出一个反例即可.

【解答】

解：4、根据正方形的判定，故正确；

8、根据正方形的判定，故正确；

C、根据正方形的判定，故正确；

。、可以是内角不是直角的菱形，故错误.

故选：D.

5.【答案】D

解：・长方形的周长为30cm,其中一边长为xczn（其中0＜尤＜15）,

;另一边长为：（15—x）cm,

则y=x（15—x）.

故选：D.

直接表示出长方形的另一边长，进而利用长方形面积求法得出答案.

此题主要考查了函数关系式，正确表示出长方形边长是解题关键.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查平行四边形的性质，利用平行线的性质及角平分线的定义求得DE=DC是解题的关

键.

由平行四边形的性质可得4O〃BC,且40=BC,结合角平分线的定义可求得DE=DC=AB=4,

则可求得的长，可求得答案.

【解答】

解：••・四边形4BCC为平行四边形，

AB=CD=4,AD"BC,AD=BC,

:.乙DEC=乙BCE,

vCE平分48c0,

:.Z-DCE=乙BCE,

:.乙DEC=乙DCE,

・・・DE=DC=4,

•・・AE=3,

AD=BC=3+4=7.

7.【答案】D

解：・・•△ABC和△OCE都是边长为4的等边三角形，

・・•乙DCE=乙CDE=60°,BC=CD=4.

:.(BDC=乙CBD=30°.

・・・乙BDE=90°.

BD=VBE2-DE2=4c.

故选：D.

根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现NBDE=90。，再进一

步根据勾股定理进行求解.

此题综合运用了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质和勾股定理.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是依据数学模型“角平分线+平

行线=等腰三角形”转化线段.

根据平行四边形的性质可得N4FB=乙FBC,由角平分线可得N4BF=乙FBC,所以=/.ABF,

所以4F=4B=6,同理可得DE=CD=6,则根据EF=AF+DE-4D即可求解.

【解答】

解：•••四边形4BCD是平行四边形，

・・・AD//BC,AD=BC=10,DC=AB=6.

・•・Z.AFB=乙FBC.

•・•BF平分N/BC,

:.乙ABF=Z-FBC.

・•・Z.AFB=Z-ABF.

・•.AF=AB=6.

同理可得DE=DC=6.

EF=AF+DE-AD=6+6-10=2.

故选：B.

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，证明三△CEO是解题的关键.首

先证明△AEDw/kCED,即可证明4ECF=4/MF=25。，再根据三角形内角和定理即可求解.

【解答】

解：•.・四边形力BCD是正方形，

・・・Z,ADE=乙CDE=45°,AD=CD,

vAD=CD,Z,ADE=乙CDE,DE=DE,

AED=LCED,

・・・Z.ECF=Z.DAF=25°,

又•・•在△DEC中，Z.CDE=45°,

・•・乙CED=180°—25°-45°=110°,

・・・乙BEC=180°-110°=70°.

10.【答案】D

解：过点C作CG_L48于点G,

则SMBF=2AB-CG,

•••AB与CG的值始终不变化，

：,△AB尸的面积始终不变化，

•PAEBF的面积=2XA4BF的面积,

.24EBF的面积始终不变

.••①错误，②正确；

连接EF,与AB交于点H,

•.•四边形4E8F是平行四边形，

AH=BH,EH=FH,

当FH14B时，FH的值最小，EF=2FH的值也最小，

此时，FH=CG,

/.ABC=45°,CGLAB,

BG=CG,

vBG2+CG2=BC2=16,

•••CG=2«，

FH=2AT2.

.••线段EF最小值为EF=2FH=4/1.

.•.③正确，

故选：D.

过点C作CG14B于点G,根据三角形的面积公式知AABF的面积始终不变化，进而根据平行四边

形与三角形的面积关系得出oAEBF的面积始终不变，便可判断①、②的正误；连接EF,与4B交

于点H,由于EF始终经过4B的中点H,当FH与4B垂直时，E尸的值最小，求出此时的E尸的值便可.

本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，平行线间的距离的性质，垂

线段最短性质，关键是综合运用这些性质进行解答.

11.【答案】3

解：V~81=9，C=3，

二9的算术平方根是3,

故答案为：3.

根据d=9，C=3即可得到答案.

此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键.

12.【答案】锐角三角形是等边三角形假

解：“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是“锐角三角形是等边三角形”，此逆命题为假命题.

故答案为锐角三角形是等边三角形，假.

把原命题的题设和结论部分交换即可得到逆命题，然后根据等边三角形的判定方法判断逆命题的

真假.

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组

成，题设是已知事项，结论是由己知事项推出的事项，一个命题可以写成”如果...那么...”形式.2、

有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.也考查了逆命题.

13.【答案】3

【解析】解；2<门<3,

•••a=>J-7—2>

・•・Q(Q+4)

=(-7-2)(，7-2+2)

=2)(/7+2)

=7-4

=3,

故答案为：3.

先根据，7的范围求出a的值，代入后进行计算即可.

本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，平方差公式的应用，解此题的关键是求出a

的值.

14.【答案】20厘米

解：•••AHEM=/.AEH,乙BEF=LFEM,

•••乙HEF=AHEM+"EM=gx180。=90。，

同理可得：乙EHG=乙HGF=乙EFG=90°,

••・四边形EFGH为矩形，

AD=AH+HD=HM+MF=HF,HF=VEH2+EF2=V122+162=20.

AD=20厘米.

故答案为：20厘米.

利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得的长即为边力。的

长.

此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，得出四边形EFGH为矩形是解题关键.

15.【答案】8或24

解：TBE平分乙4BC,

Z.ABE=乙CBE,

•••四边形4BC0是平行四边形，

AD//BC,

•••Z.BEA=Z.CBE,

Z.ABE=乙BEA,

•••AB-AE=6.

•••点E将力。分为1：3两部分，

DE=18或OE=2,

•••当DE=18时，AD=24；

当DE=2时，AD=8；

故答案为：8或24.

由角平分线的定义以及平行四边形的性质，求得4B=4E=6,点E将力。分为1：3两部分，可得

DE=18或DE=2两种情况，分别讨论即可求解.

本题主要考查了平行四边形的性质，以及等角对等边，分类讨论是解题的关键.

16.【答案】5

【解析】

【分析】

本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移

动的规律，判断出其运动路径，综合性较强.

分别延长AC、B。交于点H,过G作MN〃4B,分别交，”于M,BH于N,易证四边形CPD”为平行

四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹的中位线MN,运用中位线的性质求出MN的长

度即可.

【解答】

解：如图，分别延长4C、BD交于点H,过G作MN〃AB,分别交4H于M,BH于N,

TJ

•・•△8PD是等边三角形，小

z_A=Z.B=60°,/：

：,△4HB是等边三角形，C7一\

vZ.A=乙DPB=60°,：/\

：.AH〃PD,ApB

v乙B=Z-CPA=60°,

:.BH//PC,

二四边形CPD”为平行四边形，

二CO与HP互相平分.

vG为CD的中点，

•••G正好为PH中点，

・・・△4BH是等边三角形，

・•・在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为的中位线MN.

MN=^AB=5,即G的移动路径长为5.

故答案为：5.

17.【答案】解：(2—门)(2+门)+(—1)2。1。(「一兀)。一©)T

=22-(O+1x1-2

=4-34-1-2

=0.

【解析】先计算二次根式的乘法，同时运算(-1)2。2。，零次基与负整数指数累，再合并即可得到

答案.

本题考查的是二次根式的乘法运算，乘方的符号的确定，零次基与负整数指数基的运算，掌握以

上运算是解题的关键.

18.【答案】解：过点4作4E1BC于点E,------------------7D

•••Z.B=30°,AB=4cm,~专------£

AE=3AB=2cm,

ABC。的面积为：AExBC=2x9=18(cm2).

【解析】过点4作4EIBC于点E,直接利用直角三角形中30。所对的边等于斜边的一半，可求4E的

长，再利用平行四边形的面积求法得出即可.

此题主要考查了平行四边的性质以及直角三角形中30。所对的边性质，正确得出4E的长是解题关

键.

19.【答案】解：连接AC,如图所示：

在Rt/iACD中，^ADC=90%AD=4m,CD=3m,

由勾股定理得：AC=742+32=5(m),

•••AC2+BC2=52+122=169,AB2=132=169,

AC2+BC2=AB2,

乙ACB=90°,

.•.铺满草坪的面积S=SAACB-S-Dc=jx5x123x4=24(m2).

答：这块空地铺满草坪的面积是247n2.

【解析】连接AC,根据勾股定理求出4C,根据勾股定理的逆定理求出乙1CB=90。，求出区域的

面积，即可求出答案.

本题考查了勾股定理的应用，三角形面积，勾股定理的逆定理等知识，解此题的关键是求出铺满

草坪的面积.

20.【答案】解：如图所示

D,

四边形4EC尸的形状为菱形.理由如下：

・・・AB=AC,

:.Z.ABC=乙ACB,

，Z.DAM=乙CAM,

而4D4C=/.ABC+乙ACB,

:.Z.CAM=Z.ACB,

・•・EF垂直平分4C,

:.OA=OC,Z-AOF=Z-COE,

在△AOF和ACOE中

Z.FAO=乙ECO

OA=OC，

Z.AOF=(COE

•••△AOFWACOEQIS/),

・•・OF=OE,

即4c和EF互相垂直平分，

，四边形4ECF的形状为菱形.

【解析】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几

何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形

的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了垂直平分线的性质和菱形的判定方

法.

先作角的平分线，再作线段的垂直平分线得到几何图形，由力B=AC得乙4BC=L4CB,由AM平

分ND4C得NZX4M=NC4M,则利用三角形外角性质可得4a4M=4ACB,再根据线段垂直平分线

的性质得04=。。，^AOF=Z.COE,于是可证明△AOF三△COE,所以。F=0E,然后根据菱形

的判定方法易得四边形4ECF的形状为菱形.

21.【答案】解：由题意得：“。弓>。，

•e•%>0,y>0,

=x\T~x+y]xy—xy[~x+5y/xy

=6/xy，

当x=y—3时，原式=6Jgx3=6=6x=3A/-6«

【解析】先确定x>0,y>0,再利用二次根式的性质化简，然后计算二次根式的加减法，最后

将％,y的值代入计算即可得.

本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键.

22.【答案】（1）证明:在RtZkABC和RMDCE中,

(CA=CD

IDE=AB

，RtAABCwRtADCE(HL)

工乙BAC=4EDC（全等三角形的对应角相等）,

•・•^AEF=4DEC（对顶角相等），乙EDC+乙DEC=90。（直角三角形两锐角互余）,

・•・ABAC+Z.AEF=LEDC+乙DEC=90°.

：•Z-AFE=180°-{Z.BAC+Z/1EF)=90°.

・•・DE1AB；

(2)解：由题意知：

12121

=^ABCE+^AACD+^^ABE=261+22CX'

v

S^ABD=1c(c+x),

Ia2+押+|cx=1c(c4-X).

••・a2+b2=c2

【解析】（1）首先证明Rt△ABC^Rt△DCE,得出NBAC=乙EDC,进而求出zAFE=180°-

（NBAC+乙4EF）=90。，即可得出答案；

（2）根据SAABD=SHBCE+^AACD+SA.BE，^^ABD=2C（C+x）得出a?+b2=c?即可.

此题主要考查了勾股定理的证明和全等三角形的判定与性质，根据图形面积得出SfBO=SABCE+

SHACD+SMBE=+；炉+TCX是解题关键.

23.【答案】解：(1)证明：如图，连接OM,ME,

"CD,BE分别是48、AC边上的高，M是BC的中点，

DM=\BC,ME=gBC,

ADM=ME,

又•:N为。E中点，

•••MN1DE；

(2)在△ABC中，LABC+^ACB=180°-LA,

•••DM=ME=BM=MC,

•••乙BMD+ACME=(180°-2"BC)+(180°-2/4CB),

=360°-2(NABC+Z.ACB),

=360°-2(180°-44),

=24力，

・••Z.DME=180。-244；

(3)结论(1)成立，结论(2)不成立，

理由如下：在AABC中，乙4BC+乙4cB=180。一乙4,

・・•DM=ME=BM=MC,

・・・乙BME+ACMD=24cB+2Z.ABC,

=2(180。一乙4),

=360。-244

：•Z-DME=180°一(360°-2乙4),

=2Z.A-180°.

【解析】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中

线等于斜边的一半是解题的关键.

(1)连接DM,ME,根据直角三角形的性质得到DM=2BC,ME^^BC,得到。M=ME,根据等

腰三角形的性质证明；

(2)根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算；

(3)仿照(2)的计算过程解答.

24.【答案】(1)猜想：Z.ABG+ZF=90°.

证明：•.•四边形4BCD是正方形，

AB//CD,

:.Z.ABF=Z.DFE,

•・・平分乙

11

・•・Z,ABG=乙GBF=*BF="DFE,

vFE=FD,

P，―—―180O—Z.DFEcco1„

・•・(E=乙EDF=---------=90°—2乙DFE,

：.乙ABG+"=g乙DFE+90。-g乙DFE=90°；

(2)证明：过点G作GH1BE于点H,延长HG、ED交于点M,延长BG交EM于点N,如图，

贝IJ/BHG=乙MHE=90°,

由(1)知：乙ABG=AGBF,AABG+Z.E=90°,

•••4GBF+Z_E=90。，

乙BNE=90°,

•••正方形4BCD中，AB=AD,Z/4=90°,

GA±4B,乙MHE=

•・•平分NABF,

・•・GH=GA,

在Rt△BGH^WRt△8G4中，

(GH=GA

iBG=BG'

・・・Rt△BGH=Rt△BGA(HL),

：•BH=BA=AD,

•・•4M+=Z.ABG+NE=^ABG+Z.AGB=乙DGN+乙GDN=90°,^LAGB=乙DGN,

Z-M=Z-ABG=乙GDN,

••・MG=DG,

・・・GH+GM=G4+GD,

即M”=4D,

・・・MH=AB,

在和AB/G中，

ZM=Z.ABG

MH=AB，

ZMHE=/,BAG

•••△MHEwz\BAG(4SA),

HE=AG,

・・・BE=8”+E”=AD+4G；

(3)若8G=5,BE=7,

则48+4G=BE=7,

设AB=AD=CD=BH=x,则4G=7-x,

在RtUBG中，AB2+AG2=BG2,

/.%2+(7-x)2=52,

解得：xx=3,&=4,

-AB=AD>AG,即x>7—x,

•1•X>p

・,・%=4,

即AB=4,AG=3,

・•・AD=CD=AB=BH=4,

•••DG=AD-AG=1,

•••△MHE三AB4G,

MH=AB=4,ME=BG=5,HE=AG=3,

设FE=FD=k,

则FC=CD-FD=4-k,BF=BE-EF=7-k,

在RtABCF中，4c=90。，

BF2-CF2=BC2,即(7-k)2-(4-fc)2=42,

解得：k==,

o

17177

・•・EF=—,FC=4—k=4——=7，

o66

17

.史一五一1Z

6

【解析】(1)猜想：4486+4=90。.根据正方形性质可得48〃。。，由平行线性质可得乙1BF=

乙DFE,再结合角平分线性质即可证得结论；

(2)过点G作GH1BE于点H,延长HG、ED交于点M,延长BG交EM于点N,△BGH^Rt△

BGA^HL),得出：ZM=AABG,MH=AB,再证明△MHE三△B4G(AS4),即可证得结论；

(3)设AB=AC=CD==x,则AG=7-x,利用勾股定理可得：AB=4,AG=3,设FE=

FD=k,运用勾股定理建立方程求解可得k=EF==,FC=4-k=4-^-=L即可求得

6666

答案.

本题是四边形的综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形性质、角平

分线性质、平行线性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

25.【答案】证明：(1)①・.・M是