93北京市三帆中学2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题

北京三帆中学第二学期初三数学阶段性学习反馈注意：（1）时间120分钟，满分100分；（2）答案一律填写在答题纸上．一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.抛物线的对称轴为直线，则m的值为（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】本题考查了抛物线的对称轴，根据抛物线的对称轴为直线，计算即可．【详解】∵抛物线的对称轴为直线，∴，解得，故选：B．2.围棋起源于中国，距今已有4000多年的历史，2017年5月，柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行了围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了中心对称图形的定义，理解定义：“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”是解题的关键．【详解】A.符合中心对称图形的定义，故此项符合题意；B.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；C.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；D.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；故选：A．3.在Rt△ABC中，，，，则tanB的值为（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC，再根据正切公式计算即可．【详解】在Rt△ABC中，，，，∴BC=，∴tanB=，故选：B．．【点睛】此题考查求角的正切值，勾股定理，熟记计算公式是解题的关键．4.下列函数中，当时，随的增大而增大的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数，二次函数和二次函数的性质，根据一次函数，二次函数和二次函数的性质即可求解，熟练掌握一次函数，二次函数和二次函数的性质是解题的关键．【详解】、二次函数，当时，随的增大而减小，不符合题意；、一次函数，当时，随的增大而减小，不符合题意；、反比例函数，当时，随的增大而增大，符合题意；、反比例函数，当时，随的增大而减小，不符合题意；故选：．5.大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．翻译：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物、像的位置．在如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，则蜡烛火焰倒立的像的高度与蜡烛火焰的高度的比为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，蜡烛火焰倒立的像的高度与蜡烛火焰的高度的比为，故选：D．6.一个不透明的盒子里装有红色和白色的小球共20个，除颜色外无其它区别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个，下图是某数学学习小组开展上述摸球活动的实验结果，下列推断合理的是（）A.当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33B.若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的概率一定是0.40C.随着试验次数增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35D.可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球8个【答案】C【解析】【分析】此题考查了利用频率估计概率．根据概率公式和给出的摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】解：A.当摸球次数是时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率接近，故该选项不正确，不符合题意；B.若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为时，“摸到红球”的概率接近，故该选项不正确，不符合题意；C.随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是，故该选项正确，符合题意；D.可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球个，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．7.如图，点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接，．则下面结论不一定成立的是（）A. B.C. D.若，则【答案】D【解析】【分析】本题考查了圆的判定和基本性质，根据圆的判定和基本性质判断即可．【详解】∵点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，∴，故点A，B，C，D都在以点O为圆心，为半径的圆上，且是直径，∴，故A正确；四边形是圆的内接四边形，∴，故B正确；根据同弧上的圆周角相等，得到，故C正确；作的平分线，交圆于点E，则，又，∴，∴，∵，∴．故D错误，故选D．8.如图，抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图，则下面结论中：①；②；③；④；⑤若点在此抛物线上，且，则．所有正确结论的序号为（）A.①② B.②④ C.②③ D.④⑤【答案】B【解析】【分析】本题考查了抛物线图象综合，根据抛物线开口向下，；对称轴为，，得到，，判断；；设抛物线与x轴的交点为且在正半轴上，结合，对称轴是直线，判定，从而判定时，，结合，可判断得正误；结合，，得到，结合，可判定④的正误；根据题意，，得到；故，结合，得到，解得或，可判断⑤的正误．【详解】∵抛物线开口向下，；对称轴为，，∴，，∴；；故①错误；②正确；设抛物线与x轴的交点为且在正半轴上，∵，对称轴是直线，∴，解得，∵，∴，∴时，，∵，∴，故③错误；∵，，∴，∵，∴故④正确；根据题意，，∴；∴，∵，∴，解得或，可判断⑤的正误．故⑤错误；故选B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．【答案】##【解析】【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，根据方程有两个不相等的实数根求解即可得到答案；【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，故答案为：．10.将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位得到_____．【答案】##【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．【详解】解：抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是，故答案为：或．11.草坪上的自动喷水装置的旋转角为，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为平方米，则这个扇形的半径是__米．【答案】3【解析】【分析】根据已知得出自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5平方米，圆心角为200°，利用扇形面积公式S扇形=求出即可．【详解】解：∵草坪上的自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5平方米，圆心角为200°，∴它能喷灌的草坪的面积为：=5．解得：R=3，故答案为3．【点睛】此题主要考查了扇形面积求法.12.若点，在反比例函数的图象上，则m，n的大小关系是m_______n（用“”或“”号连接）．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数值大小的比较，解题的关键是根据反比例函数解析式求出m、n的值，然后比较大小即可．【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，∴，，∵，∴．故答案为：．13.如图，在中，点在上（不与点，重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是_________(写出一个即可)．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法可求解．【详解】解：添加的条件为：，理由如下：，，，故答案为：．14.若关于x的一元二次方程有一个根是，则___________．【答案】【解析】【分析】把代入已知方程，求出a的值，根据一元二次方程的定义舍去不合题意的值即可．【详解】解：把代入，得，解得：，，∵，即，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义．熟知方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．15.如图，等边的边长为2，点A，B在上，点C在内，的半径为，将△绕点A逆时针旋转，当AC第一次与相切时，旋转角为__________°．【答案】【解析】【分析】本题考查了切线的判定，等边三角形的性质，旋转的性质，根据切线垂直于过切点的半径，解答即可．【详解】等边的边长为2，点A，B在上，点C在内，的半径为，且，∴，，∴，当AC第一次与相切时，，∵，∴，∴，∴，故答案为：．16.在平面直角坐标系中，点P在y轴上，点，，为的外接圆．当最大时，点P的坐标为__________．【答案】，【解析】【分析】本题考查了勾股定理，切线的性质，三角形相似的判定和性质，圆的性质，熟练掌握切线的性质，相似的性质是解题的关键.【详解】当的外接圆与y相切时，切点为P时，最大，设外接圆圆心为Q，G是异于点P的一点，连接，，交圆于点T，则，根据三角形外角性质，得，故，∴最大，∵，∴点Q一定在线段的垂直平分线上，连接，，根据切线性质，∴，作直径，连接，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得（舍去），故，当点P在y轴的负半轴时，根据对称性，可得；故，.三、解答题（共68分，第17～19、21～23题各5分、20、24～26题各6分、27、28题各7分）17.解方程：．【答案】，.【解析】【分析】利用求根公式即可以求出方程的解.【详解】求根公式为,将a,b,c分别代入即得，即，.【点睛】熟练掌握求根公式是本题解题的关键.18.关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先求出一元二次方程根的判别式为，即可证明结论；（2）根据题意得到是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．【小问1详解】证明：由得，，∵，∴方程总有两个实数根；【小问2详解】∵，∴，∴，∵方程的两个实数根都是正整数，∴．∴．∴m的最小值为．【点睛】本题考查的是根的判别式及解一元二次方程，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．19.在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧，C是弦上一点．（1）根据提示完成尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)；①作线段的垂直平分线，分别交劣弧于点D，垂足为E；②以点D为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点F(F，A两点不重合)，连接．（2）引理的结论为：．证明：连接，，，．∴为的垂直平分线，∴，∴．又∵四边形为圆的内接四边形∴______．（）．又∵，∴．又∵，∴__________，∴，（）．∴，∴．【答案】（1）①见解析②见解析（2），圆的内接四边形，对角互补；，同圆或等圆中，等弧所对圆周角相等；【解析】【分析】本题考查了垂直平分线的基本作图，三角形全等的判定和性质，圆的内接四边形的性质．（1）①根据基本作图的基本步骤画图即可；②按照步骤画图即可．（2）根据三角形全等的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，圆的内接四边形的性质等推理证明即可．小问1详解】①根据基本作图的基本步骤画图如下：则即为所求．②根据题意，画图如下：．则即为所求．【小问2详解】证明：连接，，，．∴为的垂直平分线，∴，∴．又∵四边形为圆的内接四边形∴．（圆的内接四边形，对角互补）．又∵，∴．又∵，∴，∴，（同圆或等圆中，等弧所对圆周角相等）．∴，∴．20.有一个袋中摸球的游戏．设置了甲、乙两种不同的游戏规则：甲规则：乙规则：红1红2黄1黄2红1（红1，红1）（红2，红1）（黄1，红1）②红2（红1，红2）（红2，红2）（黄1，红2）（黄2，红2）黄1（红1，黄1）①（黄1，黄1）（黄2，黄1）黄2（红1，黄2）（红2，黄2）（黄1，黄2）（黄2，黄2）请根据以上信息回答下列问题：（1）袋中共有小球__________个，在乙规则的表格中①表示__________，②表示__________；（2）甲的游戏规则是：随机摸出一个小球后__________(填“放回”或“不放回”)，再随机摸出一个小球；（3）根据甲、乙两种游戏规则，要摸到颜色相同的小球，哪一种可能性要大，请说明理由．【答案】（1）4；（红2，黄1）；（黄2，红1）（2）不放回（3）乙游戏规则两次摸到颜色相同的小球的可能性更大，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率：（1）根据树状图和表格可知一共有2个黄球，2个红球，共4个球，在乙规则的表格中①表示（红2，黄1），②表示黄2，红1）；（2）由树状图可知，第二次摸球只有3个球，据此可得答案；（3）分别计算出甲规则和乙规则中两次摸到相同颜色的球的概率即可得到答案．【小问1详解】解：由题意得，一共有2个黄球，2个红球，共4个球，在乙规则的表格中①表示（红2，黄1），②表示黄2，红1），故答案为：4；（红2，黄1）；（黄2，红1）；【小问2详解】解：由树状图可知，第二次摸球只有3个球，∴甲的游戏规则是：随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，故答案为：不放回；【小问3详解】解：乙游戏规则两次摸到颜色相同的小球的可能性更大，理由如下：∵在甲游戏规则中，从树状图可以看出，所有等可能出现的结果共有12种，而两次摸到颜色相同的两个小球共有4种，∴P（甲两次摸到颜色相同的小球）；∵在乙游戏规则中，从列表可以看出，所有等可能出现的结果共有16种，而两次摸到颜色相同的两个小球共有8种，∴P（乙两次摸到颜色相同的小球），∵，∴乙游戏规则两次摸到颜色相同的小球的可能性更大．21.如图，已知二次函数的图象经过点.（1）求的值和图象的顶点坐标．（2）点在该二次函数图象上.①当时，求的值；②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围.【答案】（1）；（2）①11；②.【解析】【分析】（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a；（2）①把m=2代入解析式即可求n的值；②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可.【详解】（1）解：把代入，得，解得.∵，∴顶点坐标为.（2）①当m=2时，n=11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴-2＜m＜2，∴2≤n＜11.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．22.如图，在中，，的中垂线交边于点E，交的延长线于点F，连接．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，中垂线的性质，对顶角的性质，勾股定理．（1）根据的中垂线交边于点E，得到，，，结合，得到，证明即可．（2）根据，得到，根据，列出比例式，得，求得，勾股定理计算即可．【小问1详解】∵的中垂线交边于点E，,∴，，，∵，,∴，∴，∵，∴；【小问2详解】∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．23.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，．与双曲线的交点为，．（1）当点的横坐标为时，求的值；（2）若，结合函数图象，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（）先把点代入双曲线求出点坐标，再把点坐标代入一次函数方程求出的值；（）根据题意即可求得若，的取值范围；本题考查了反比例函数与一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．【小问1详解】∵点的横坐标为，且在双曲线，∴，∵在直线上，∴，解得：；【小问2详解】解：由得，当时，；当时，，∴，，∴，即，如图，由，整理得，解得：，，分别代入得，，，∴，或，，则，当时，即，∴，解得：，又∵，∴的取值范围为或．24.如图是的直径，，与分别相切于点B，C，交的延长线于点D，交的延长线于点E．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，三角函数的计算即可．（1）根据切线长定理，得到；根据切线性质，得到，结合，证明即可．（2）根据切线的性质，得，结合，连接，利用勾股定理，三角函数计算即可．【小问1详解】∵是的直径，，与分别相切于点B，C，∴；,∵,∴，∵，∴,∴．【小问2详解】由题意得，，∵，解得，∴，∴，连接，则，∴，解得，∴，∴，∴，解得．25.“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图，北京地铁（BeijingSubway）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．（1）建立模型①收集数据t（秒）04812162024s（米）256196144100643616②建立平面直角坐标系为了观察s（米）与t（秒）关系，建立如图所示的平面直角坐标系；③描点连线请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接；④选择函数模型观察这条曲线的形状，它可能是__________函数的图象；⑤求函数解析式（2）应用模型列车从减速开始经过__________秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为__________米．【答案】（1）③见解析④二次；⑤（2）32；【解析】【分析】本题考查了列表、描点、连线，画二次函数图形，待定系数法求解析式，根据二次函数的性质求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．（1）③根据题意连线即可求解；④根据曲线判断函数图象为二次函数图象；⑤待定系数法求解析式即可求解；（2）根据二次函数的解析式，当时，解得，进而求得当，时的函数值，即可求解．【小问1详解】③根据题意连线如下：④根据曲线的形状，可判断函数图象为二次函数图象，故答案为：二次；⑤设抛物线的解析式为，根据题意，得，解得，故抛物线的解析式为．【小问2详解】当，得，解得．当时，；当时，，故（米），故答案为：32，．26.在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）抛物线经过点和，请比较和的大小；（2）若抛物线与x轴的一个交点的坐标为．①求抛物线与x轴的另一个交点的坐标；②抛物线上两点，，满足，求的取值范围．【答案】26.27.①；②或【解析】【分析】本题考查了抛物线的增减性应用，抛物线与x轴的交点问题，（1）根据，根据对称轴距离远近，结合开口方向，解答即可．（2）①根据，确定抛物线的对称轴，设抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，列式计算即可；②抛物线上两点，，根据，结合图象列出关于的不等式组，进而即可求解【小问1详解】∵，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，∵，∴．【小问2详解】①∵，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为，设抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，根据题意，得，解得；故抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，②∵抛物线上两点，，满足，∴两个点中，必定一个在x轴的上方，另一个在x轴的下方，∵抛物线与x轴的交点的坐标为，，，∴或，解得或，故的取值范围是或．27.如图，在中，，点D是边上的一点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，使点E落在线段上，连接，点F为线段的中点，连接，．（1）①依题意补全图形；②若，判断的形状，并证明；（2）若，，当点D在线段上运动，且时，线段的最小值为__________．【答案】（1）①依题意补全图形；②等腰直角三角形，见解析（2）【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理（1）①依题意补全图形．②延长到点G，使得，连接，证明四边形是平行四边形，直线是线段的垂直平分线，利用三角形全等和两直线平行，同旁内角互补，证明即可（2）过点A作于点H，连接，并延长交于点M，证明是等边三角形，且边长为3，根据垂线段最短，作，当点F与点G重合时，最小计算即可．【小问1详解】①根据题意，补图如下：②当，是等腰直角三角形，理由如下：延长到点G，使得，连接，∵F是的中点，，，∴四边形是平行四边形，直线是线段的垂直平分线，∴，，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，解得，∴，∴，故是等腰直角三角形．【小问2详解】过点A作于点H，连接，并延长交于点M，∵，，，∴，∵点F为线段的中点，∴，∴，∴，∴，∴，∴是等边三角形，且边长为3，根据垂线段最短，作，当点F与点G重合时，最小，故，故答案为：．28.已知平面上的点P和直线，，定义点P关于直线，的“和距离”如下：若点P到直线，的距离分别为，，则称为点P关于直线，的“和距离”，记作．特别地，当点P在直线上时，；当点P在直线上时，．若对于不同的两点P，Q，他们关于直线，的“和距离”相等，即，则称点P，点Q互为“等和距点”．在平面直角坐标系中，已知直线．（1）若点，则在点，，中，是点P关于x轴和y轴的“等和距点”的是__________；（2）若点