中考数学总复习《圆的综合题》专项测试卷(带有答案)

第第页中考数学总复习《圆的综合题》专项测试卷(带有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________类型一与圆的性质有关的证明与计算典例精讲例(一题多设问)如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN.(1)EM与BE的数量关系是________；(2)求证：eq\o(EB,\s\up8(︵))＝eq\o(CN,\s\up8(︵))；(3)若AM＝eq\r(3)，MB＝1，求阴影部分图形的面积．例题图拓展设问(4)若∠BAC＝15°，AM＝3，求⊙O的半径及EN的长．针对演练1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点M，过点D作DE⊥CD交⊙O于点E，连接AD，OE，若M为CD的中点．(1)求证：DE∥AB；(2)若OE∥AD①连接AC，求证：AC＝DE；②若CD＝2eq\r(3)，求图中阴影部分的面积．第1题图类型二与切线有关的证明与计算典例精讲例(一题多设问)如图①，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作⊙O的切线DF，与AC交于点F.求证：CF＝EF；【思维教练】要证CF＝EF，可连接OD、DE，利用切线的性质及AB＝AC可证明DF⊥AC，则只需证明△CDE是等腰三角形，利用三线合一的性质即可求证．例题图①如图②，连接BE，求证：DF∥BE；【思维教练】根据AB是⊙O的直径，可以得到BE⊥AC，要证DF∥BE，只需证明DF⊥AC即可，由(1)即可得知．例题图②如图③，若⊙O的半径为4，∠CDF＝30°，求CF的长；【思维教练】要求CF的长，可将其放在Rt△CDF中，利用三角函数求解，连接AD，由⊙O的半径可得CD的长，即可求解．例题图③如图④，若tanC＝2，CE＝4，求⊙O的半径；【思维教练】要求⊙O的半径，只需求出AB的长，连接BE，构造出Rt△ABE，在直角三角形中求解即可．例题图④(5)如图⑤，若∠A＝45°，AB＝4，求阴影部分的面积．【思维教练】要求阴影部分的面积，可将其分为△AOE、△BOD及扇形DOE三部分，利用和差法求解即可．例题图⑤针对演练1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AB、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于eq\f(1,2)MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP，交AC于点F.点O是斜边AB上一点，以点O为圆心，OB的长为半径的圆恰好与AC相切于点F.第1题图(1)若∠A＝30°，求证：△ABF是等腰三角形；(2)若BC＝6，tanA＝eq\f(3,4)，求⊙O的半径．参考答案类型一与圆的性质有关的证明与计算典例精讲例(1)解：BE＝eq\r(2)EM；(2分)【解法提示】∵AC为⊙O的直径，E是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，∴∠ABE＝45°.∵AB⊥EN，∴△EMB为等腰直角三角形，∴BE＝eq\r(2)EM.(2)证明：如解图①，连接EO∵AC是⊙O的直径，点E是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点∴∠AOE＝90°∴∠ABE＝eq\f(1,2)∠AOE＝45°.∵EN⊥AB，垂足为M∴∠EMB＝90°∴∠ABE＝∠BEN＝45°∴eq\o(AE,\s\up8(︵))＝eq\o(BN,\s\up8(︵)).∵点E是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点∴eq\o(AE,\s\up8(︵))＝eq\o(EC,\s\up8(︵))∴eq\o(EC,\s\up8(︵))＝eq\o(BN,\s\up8(︵))∴eq\o(EC,\s\up8(︵))－eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(BN,\s\up8(︵))－eq\o(BC,\s\up8(︵))∴eq\o(EB,\s\up8(︵))＝eq\o(CN,\s\up8(︵))；(7分)例题解图①(3)解：如解图①，连接AE，OB，ON∵EN⊥AB，垂足为M∴∠AME＝∠EMB＝90°.∵BM＝1，由(2)得∠ABE＝∠BEN＝45°∴EM＝1，BE＝eq\r(2).∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝eq\r(3)∴tan∠EAB＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)∴∠EAB＝30°.∵∠EAB＝eq\f(1,2)∠EOB∴∠EOB＝60°.又∵OE＝OB∴△EOB是等边三角形∴OE＝BE＝eq\r(2).又∵eq\o(EB,\s\up8(︵))＝eq\o(CN,\s\up8(︵))∴CN＝BE＝eq\r(2)，∠CON＝∠BOE＝60°.又∵S扇形CON＝eq\f(60π×（\r(2)）2,360)＝eq\f(π,3)，S△OCN＝eq\f(1,2)CN·eq\f(\r(3),2)CN＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(3),2)∴S阴影＝S扇形CON－S△OCN＝eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2).(12分)拓展设问(4)解：如解图②，连接AE，AN，OE∵点E是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点∴∠AOE＝90°.∵OA＝OE∴∠EAC＝45°.∵∠BAC＝15°∴∠EAB＝45°－15°＝30°.∵EM⊥AB∴在Rt△AEM中，EM＝AM·tan30°＝eq\r(3)，AE＝eq\f(AM,cos30°)＝2eq\r(3)∴在Rt△AOE中，OA＝AE·cos45°＝eq\r(6).∵∠BAN＝∠BEN＝45°，EM⊥AB∴在Rt△AMN中，MN＝AM＝3∴EN＝EM＋MN＝eq\r(3)＋3∴⊙O的半径为eq\r(6)，EN的长为eq\r(3)＋3.例题解图②针对演练1.(1)证明：∵AB是⊙O的直径，CM＝DM∴AB⊥CD.∵DE⊥CD∴∠CMB＝∠CDE＝90°∴DE∥AB；(2)①证明：∵OE∥AD，OA∥DE∴四边形AOED是平行四边形．∵OA＝OE∴四边形AOED是菱形∴AD＝DE.∵AB⊥CD∴AD＝AC∴AC＝DE；②解：如解图，连接OC∵DE⊥CD∴CE为⊙O的直径，即点O在CE上．∵M为CD的中点∴CM＝eq\f(1,2)CD＝eq\r(3)，AC＝AD＝OE＝OA＝OC∴△AOC是等边三角形∴∠AOC＝60°，OC＝eq\f(CM,sin∠AOC)＝2.∵AD∥OE∴∠OAD＝∠AOC，∠ADC＝∠DCE.∵AD＝OC∴△ADM≌△OCM∴S阴影＝S扇形AOC＝eq\f(60π×22,360)＝eq\f(2π,3).第1题解图类型二与切线有关的证明与计算典例精讲例(1)证明：如解图①，连接OD，DE∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB.∵OB＝OD∴∠OBD＝∠ODB∴∠ODB＝∠ACB∴OD∥AC.∵DF是⊙O的切线∴DF⊥OD∴DF⊥AC.∵∠DEC＝∠ABC∴∠DEC＝∠ACB∴DE＝CD∴CF＝EF；例题解图①(2)证明：由(1)知DF⊥AC∵AB是⊙O的直径∴∠AEB＝90°，即BE⊥AC∴DF∥BE；(3)解：如解图②，连接AD∵∠CDF＝30°，DF⊥AC∴∠ACB＝60°∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵AB是⊙O的直径∴∠ADB＝90°∴BD＝CD.在Rt△ABD中，∵AB＝2AO＝8∴BD＝AB·cos∠ABC＝4∴CD＝4在Rt△CDF中，∵∠CDF＝30°∴CF＝eq\f(1,2)CD＝2；例题解图②(4)解：如解图③，连接BE∵CE＝4，点F是CE的中点∴CF＝2∵tanC＝eq\f(DF,CF)＝2∴DF＝4∴BE＝2DF＝8设AE＝x，则AB＝AC＝x＋4在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2＝AE2＋BE2，即(x＋4)2＝x2＋82解得x＝6∴AB＝x＋4＝10即⊙O的半径为5；例题解图③(5)解：如解图④，连接OE、OD，过点D作DH⊥AB于点H∵∠A＝45°，OA＝OE，AB＝AC∴∠AEO＝∠A＝45°，∠AOE＝90°.∵AC∥OD∴∠DOE＝∠AEO＝45°，∠BOD＝∠A＝45°∴DH＝eq\f(\r(2),2)OD＝eq\r(2)∴S阴影＝S△AOE＋S扇形DOE＋S△BOD＝eq\f(1,2)OA2＋eq\f(45π×22,360)＋eq\f(1,2)OB·DH＝2＋eq\f(π,2)＋eq\r(2)∴阴影部分的面积为2＋eq\f(π,2)＋eq\r(2).例题解图④针对演练1.(1)证明：∵∠A＝30°，∠C＝90°∴∠ABC＝60°由作图步骤可知，BP是∠ABC的平分线∴∠ABF＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°∴∠A＝∠ABF，即AF＝BF∴△ABF是等腰三角形；(2)解：∵BC＝6，tanA＝