2024年九年级数学下学期期中检测北师大版

Page1期中检测得分________卷后分________评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝2的是(D)A．y＝(x＋2)2－3B．y＝2x2－2C．y＝－2x2－2D．y＝2(x－2)22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cosA＝eq\f(5,13)，则BC的长为(B)A．8B．12C．13D．183．对于二次函数y＝x2－mx＋1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则常数m的取值范围为(C)A．m＝6B．m＞6C．m≥6D．m≤64．△ABC在网格中的位置如图所示，AD⊥BC于点D，下列选项中错误的是(C)A．sinα＝cosαB．tanC＝2C．sinβ＝cosβD．tanα＝1eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第8题图))5．将抛物线C1：y＝x2－2x＋3向左平移1个单位长度后得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的表达式为(A)A．y＝－x2－2B．y＝－x2＋2C．y＝x2－2D．y＝x2＋26．如图所示的是放置在水平地面上的落地式话筒架及其示意图，主杆AB垂直于地面，斜杆CD固定在主杆的点A处，若∠BAC＝α，AB＝120cm，AD＝40cm，则话筒夹点D离地面的高度DE为(B)A．(120＋40sinα)cmB．(120＋40cosα)cmC．(120＋eq\f(40,sinα))cmD．(120＋eq\f(40,cosα))cm7．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，以A为圆心，AB的长为半径作圆弧交CD于点E，连接AE，BE，则tan∠AEB的值为(B)A．2B．3C．4D．58．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝－eq\f(1,2)，且与x轴的一个交点坐标为(－2，0).下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a＋c＝0；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是(D)A．①③B．②④C．③④D．②③9．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则tan∠CBD的值为(B)A．5B．2eq\r(6)C．3D．eq\r(26)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))10．如图，在四边形DEFG中，∠E＝∠F＝90°，∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，Rt△ABC的直角顶点C与点G重合，另一个顶点B(在点C左侧)在射线FG上，且BC＝1，AC＝2.将△ABC沿GF方向平移，点C与点F重合时停止．设CG的长为x，△ABC在平移过程中与四边形DEFG重叠部分的面积为y，则下列图象能正确地反映y与x之间的函数关系的是(B)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))二、填空题(每小题3分，共15分)11．已知点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝ax2－2ax＋c(a＞0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是__y1＝y2＜y3__．12．一人乘雪橇沿坡度为1∶eq\r(3)的斜坡滑下，滑下的距离s(m)与时间t(s)的关系为s＝10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4s，则这个人下降的高度为__36__m.13．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的顶点B在二次函数y＝ax2(a＜0)的图象上，且∠1＝15°，则a的值为__－eq\f(\r(2),3)__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第14题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))14．如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tanβ的值是__eq\f(19\r(3),15)__．15．如图，已知点A(4，3)，点B为直线y＝－2上的一动点，点C(0，n)，－2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB.若直线AB与x轴正半轴所夹的锐角为α，当sinα的值最大时，n的值为__eq\f(1,2)__．【解析】过点A分别作AM⊥y轴于点M，AN⊥BN于点N，∵直线y＝－2与x轴平行，∴∠ABN＝α，∴当sinα的值最大时，即tanα＝eq\f(AN,BN)＝eq\f(5,BN)的值最大，即BN的长度最小，BG的长度最大．∵∠CAM＝90°－∠ACM＝∠BCG，∴tan∠CAM＝tan∠BCG，∴eq\f(CM,AM)＝eq\f(BG,CG)，即eq\f(3－n,4)＝eq\f(BG,n＋2)，∴BG＝－eq\f(1,4)(n－3)(n＋2)＝－eq\f(1,4)(n－eq\f(1,2))2＋eq\f(25,16)，∴当n＝eq\f(1,2)时，BG的长度最大，即sinα的值最大．三、解答题(共75分)16．(8分)如图，在△ABC中，sinB＝eq\f(1,3)，tanC＝eq\f(\r(2),2)，AB＝3，求AC的长．解：过点A作AD⊥BC于点D，∵在Rt△ABD中，AD＝AB·sinB＝3×eq\f(1,3)＝1，∴在Rt△ACD中，CD＝eq\f(AD,tanC)＝eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\r(2)，∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(12＋（\r(2)）2)＝eq\r(3)17．(8分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若C(m，y1)，D(n，y2)(m＜n)是抛物线y＝ax2＋bx＋3上的两点，若抛物线上点C和点D之间(包含C，D两点)的一动点M的纵坐标的取值范围为－eq\f(9,4)≤yM≤3，求m＋n的值．解：(1)由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(9a－3b＋3＝0，,a＋b＋3＝0，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，)))∴该抛物线的函数表达式为y＝－x2－2x＋3(2)∵当y＝－x2－2x＋3＝－eq\f(9,4)时，解得x1＝－eq\f(7,2)，x2＝eq\f(3,2)；当y＝－x2－2x＋3＝3时，解得x3＝－2，x4＝0，∴该抛物线与直线y＝－eq\f(9,4)交于(－eq\f(7,2)，－eq\f(9,4))，(eq\f(3,2)，－eq\f(9,4))两点，与直线y＝3交于(－2，3)，(0，3)两点，∴点C，D的位置有如下2种情况：①如图①，点C(0，3)，点D(eq\f(3,2)，－eq\f(9,4))，∴m＝0，n＝eq\f(3,2)，∴此时m＋n＝0＋eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)；②如图②，点C(－eq\f(7,2)，－eq\f(9,4))，点D(－2，3)，∴m＝－eq\f(7,2)，n＝－2，∴m＋n＝－eq\f(7,2)－2＝－eq\f(11,2).综上所述，m＋n的值为eq\f(3,2)或－eq\f(11,2)如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个边长为xcm的小正方形后折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)，设折成的盒子的侧面积为Scm2.(1)求S与x之间的函数关系式；(2)求折成的无盖盒子的侧面积的最大值．解：(1)根据题意可知S与x之间的函数关系式为S＝4(40－2x)x＝－8x2＋160x(0＜x＜20)(2)∵S＝－8x2＋160x＝－8(x－10)2＋800，0＜x＜20，∴当x＝10时，S最大值＝800，∴折成的无盖盒子的侧面积的最大值为800cm219．(8分)如图，甲、乙两座建筑物的距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数，参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60).解：作AE⊥CD交CD的延长线于点E，则四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝78m，AB＝CE，∴在Rt△ACE中，EC＝AE·tan∠CAE＝78tan58°≈78×1.60≈125(m)，在Rt△AED中，DE＝AE·tan∠DAE＝78tan48°≈78×1.11≈87(m)，∴CD＝EC－DE≈125－87＝38(m)，∴甲建筑物的高度AB约为125m，乙建筑物的高度DC约为38m20．(9分)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝a(x－4)2＋h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m.(1)当a＝－eq\f(1,24)时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网；(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为eq\f(12,5)m的Q处时乙将扣球成功，求a的值．解：(1)①当a＝－eq\f(1,24)时，y＝－eq\f(1,24)(x－4)2＋h，将点P(0，1)代入，得－eq\f(1,24)×16＋h＝1，解得h＝eq\f(5,3)②把x＝5代入y＝－eq\f(1,24)(x－4)2＋eq\f(5,3)，得y＝－eq\f(1,24)×(5－4)2＋eq\f(5,3)＝1.625.∵1.625＞1.55，∴此球能过网(2)把(0，1)，(7，eq\f(12,5))分别代入y＝a(x－4)2＋h，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16a＋h＝1，,9a＋h＝\f(12,5)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,5)，,h＝\f(21,5)，))∴a的值为－eq\f(1,5)21．(10分)小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明会合(如图所示)，两人所走的路程相同，求公园北门A与南门B之间的距离(结果取整数，参考数据：sin22.6°≈eq\f(5,13)，cos22.6°≈eq\f(12,13)，tan22.6°≈eq\f(5,12)，eq\r(3)≈1.732).解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，则四边形BCFE是矩形，∴BE＝CF，EF＝BC＝150m．设DF＝xm，则DE＝(x＋150)m.∵∠BAD＝30°，∠DCF＝22.6°，∴AD＝2DE＝2(x＋150)＝(2x＋300)m，CD＝eq\f(DF,sin∠DCF)＝eq\f(x,sin22.6°)≈eq\f(x,\f(5,13))＝eq\f(13,5)x(m).又∵AD＝BC＋CD，∴2x＋300≈150＋eq\f(13,5)x，解得x≈250，∴DF≈250m，DE≈400m，AD≈800m，CD≈650m，∴AE＝eq\r(AD2－DE2)≈eq\r(8002－4002)＝400eq\r(3)(m)，BE＝CF＝eq\r(CD2－DF2)≈eq\r(6502－2502)＝600(m)，∴AB＝AE＋BE≈400eq\r(3)＋600≈1293(m)，∴公园北门A与南门B之间的距离约为1293m22．(10分)某种农产品在某月(按30天计)的第x天(x为正整数)的销售价格p(元/kg)关于x的函数关系式为p＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋4（0<x≤20），,－\f(1,5)x＋12（20<x≤30），)))销售量y(kg)与x之间的关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当月第几天该农产品的销售额最大？最大销售额是多少？解：(1)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－2x＋80（0<x≤20），,4x－40（20<x≤30）)))(2)设当月第x天的销售额为w元，①当0＜x≤20时，w＝py＝(eq\f(2,5)x＋4)(－2x＋80)＝－eq\f(4,5)x2＋24x＋320＝－eq\f(4,5)(x－15)2＋500，∴当x＝15时，w最大值＝500；②当20＜x≤30时，w＝py＝(－eq\f(1,5)x＋12)(4x－40)＝－eq\f(4,5)x2＋56x－480＝－eq\f(4,5)(x－35)2＋500，∴当x＝30时，w最大值＝480.∵500>480，∴当月第15天该农产品的销售额最大，最大销售额是500元23．(14分)如图，抛物线y＝ax2－3x＋c与x轴交于A(－4，0)，B两点，与y轴交于点C(0，4)，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF.(1)求抛物线的表达式；(2)当点D在第二象限且eq\f(DE,EO)＝eq\f(3,4)时，求点D的坐标；(3)当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．解：(1)根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(（－4）2a－3×（－4）＋c＝0，,c＝4，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,c＝4，)))∴抛物线的表达式为y＝－x2－3x＋4