2024年九年级数学下学期期末学情评估北师大版

第二学期期末学情评估一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则tanB的值为()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(1,2) C.eq\f(2\r(5),5) D．2(第1题)(第2题)2．小明利用如图所示的量角器量出∠AOB的度数，sin∠AOB的值为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),3)3．如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，若∠BCA＝50°，则∠BAD等于()A．30°B．40°C．50°D．60°4．对于二次函数y＝(x－1)2＋1的图象，下列说法正确的是()A．开口向下B．对称轴是直线x＝－1C．顶点坐标是(1，1)D．当x＝1时，y有最大值，是15．鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏．小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的“熟客”，去年9月份小张的“熟客”们共向小张采购了5000箱鱼卷，11月份小张的“熟客”们共向小张采购了7200箱鱼卷．若把这几个月小张的“熟客”们向小张采购鱼卷的数量的平均增长率记作x，根据题意，可列出的方程是()A．5000(1＋x)＝7200B．5000(1＋x)2＝7200C．5000＋5000(1＋x)2＝7200D．5000＋5000(1＋x)＋5000(1＋x)2＝72006．如图，AB是一条东西走向的海岸线，在码头A的北偏东60°且距离该码头50海里的C处有一艘轮船，该轮船正以20海里/时的速度向海岸AB驶来，那么该轮船到达海岸AB所需要的时间最少为()A．1小时 B.eq\f(5,4)小时 C.eq\f(3,2)小时 D.eq\f(5,2)小时(第6题)(第7题)7．如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E两两不相交，且半径都是1，则图中阴影部分的面积是()A.eq\f(3,2)π B．π C.eq\f(1,2)π D.eq\f(1,4)π8．将抛物线y＝x2－2x－3平移，使平移后的抛物线经过原点，这个平移过程不可能是()A．向右平移1个单位长度B．向下平移1个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向左平移3个单位长度9．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD.若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为()A.eq\f(4π,3)－eq\r(3) B.eq\f(4π,3)－2eq\r(3)C．π－eq\r(3) D.eq\f(2π,3)－eq\r(3)(第9题)(第12题)10．已知抛物线y＝－(x－b)2＋2b＋c(b，c为常数)经过不同的两点(－2－b，m)，(－1＋c，m)，那么该抛物线的顶点坐标不可能是下列中的()A．(－2，－7) B．(－1，－3)C．(1，8) D．(2，13)二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11．将二次函数y＝2x2－8x＋13化成y＝a(x＋h)2＋k的形式为______________．12．如图，直径为10的⊙A经过点C(0，6)和点O(0，0)，与x轴的正半轴交于点D，B是⊙A在y轴右侧部分上的一点，则cos∠OBC＝________．13．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(9,4)))，B(1，1)，则关于x的方程ax2－bx－c＝0的解为______________．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，且AD＝BD＝5，tan∠CBD＝eq\f(3,4)，则线段AB的长度是________．(第14题)(第16题)15．在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m，如果在坡比为1∶eq\f(4,3)的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为______m.16．如图，在△ABC中，BC＝4eq\r(3)，高AD，BE交于点M，若△ABC的外接圆的半径长为4，则DM的最大值为________．三、解答题(本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(8分)计算：|－3|＋eq\r(3)·tan30°－(3.14－π)0＋sin260°.18．(8分)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象的顶点为P(－1，2)，且图象经过点A(1，0)．(1)求该二次函数的表达式；(2)请结合图象，直接写出当y＞0时，x的取值范围．19．(8分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在边BC上，连接AD，过点D作射线DE⊥AD.(1)在射线DE上求作点M，使得△ADM∽△ABC(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)在(1)的条件下，若cos∠BAD＝eq\f(2,3)，BC＝6，求DM的长．20．(8分)如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆弦AB，AC分别与小圆相切于点D，E.求证：∠B＝∠C.21．(8分)如图，已知二次函数y＝a(x－h)2＋eq\r(3)的图象经过O(0，0)，A(2，0)两点．(1)写出该函数图象的对称轴；(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°得到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点，并说明理由．22．(10分)超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到永丰路的距离为100m的点P处．一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4s，∠APO＝60°，∠BPO＝45°.(1)求A，B之间的路程；(2)请判断此车是否超过了永丰路54km/h的限制速度．(参考数据：eq\r(3)≈1.73)23．(10分)如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是eq\o(BCD,\s\up8(︵))上不与B，D重合的点，sinA＝eq\f(1,2).(1)求∠BED的大小；(2)若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3eq\r(3)，求证：DF与⊙O相切．24．(12分)在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区(四个全等的矩形)，空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口宽度均为xm，活动区面积为ym2.(1)求y与x之间的函数表达式；(2)当出口宽度为多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？(3)若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．25．(14分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B.当x>0时，抛物线最低点的纵坐标为－4；当x≤0时，抛物线最低点的纵坐标为－3.(1)求a，b的关系式(用含b的代数式表示a)；(2)若OA＝OB，求抛物线的表达式；(3)在(2)的条件下，M为抛物线对称轴上一点，过点M的直线交抛物线于C，D两点，E为线段CD的中点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F.探究是否存在定点M，使得CD＝4EF总成立．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

答案一、1.D2.A3.B4.C5.B6.B7.A8.B9.A10．B二、11.y＝2(x－2)2＋512.eq\f(4,5)13．x1＝－eq\f(3,2)，x2＝114.4eq\r(5)15.516.2三、17.解：原式＝3＋eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)－1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝3＋1－1＋eq\f(3,4)＝eq\f(15,4).18．解：(1)∵该二次函数的图象的顶点为P(－1，2)，∴该二次函数的表达式可化为y＝a(x＋1)2＋2.∵图象经过点A(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，解得a＝－eq\f(1,2).∴该二次函数的表达式为y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋2，即y＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2).(2)－3＜x＜1.19．解：(1)如图，点M即为所求作．(2)∵△ADM∽△ABC，∴eq\f(BC,DM)＝eq\f(AB,AD).∵在Rt△ABD中，cos∠BAD＝eq\f(AB,AD)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(BC,DM)＝eq\f(2,3).∵BC＝6，∴DM＝9.20．证明：连接OD，OE，OA，如图．∵大圆弦AB，AC分别与小圆相切于点D，E，∴OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝BD，AE＝CE.∵AD＝eq\r(OA2－OD2)，AE＝eq\r(OA2－OE2)，OD＝OE，∴AD＝AE，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C.21．解：(1)该函数图象的对称轴为直线x＝1.(2)点A′是该函数图象的顶点．理由：如图，过A′作A′B⊥x轴于点B，则∠OBA′＝90°.∵线段OA绕点O逆时针旋转60°得到OA′，O(0，0)，A(2，0)，∴OA′＝OA＝2，∠AOA′＝60°.∴OB＝OA′·cos∠AOA′＝1，A′B＝OA′·sin∠AOA′＝eq\r(3).∴点A′的坐标为(1，eq\r(3))．由(1)易知h＝1，该函数图象的顶点坐标为(1，eq\r(3))，∴点A′是该函数图象的顶点．22．解：(1)在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，∴OB＝OP＝100m.在Rt△AOP中，∠APO＝60°，∴AO＝OP·tan∠APO＝100eq\r(3)m，∴AB＝AO－BO＝100eq\r(3)－100＝100(eq\r(3)－1)(m)．(2)∵此车的速度＝eq\f(100（\r(3)－1）,4)＝25(eq\r(3)－1)≈25×0.73＝18.25(m/s)，54km/h＝15m/s，18.25m/s>15m/s，∴此车超过了永丰路54km/h的限制速度．23．(1)解：连接OB，如图．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°.∵sinA＝eq\f(1,2)，∴∠A＝30°，∴∠BOD＝∠ABO＋∠A＝120°，∴∠BED＝eq\f(1,2)∠BOD＝60°.(2)证明：连接OF，如图．由(1)得，∠OBF＝∠ABO＝90°.∵BF＝3eq\r(3)，OB＝3，∴tan∠BOF＝eq\f(BF,OB)＝eq\r(3)，∴∠BOF＝60°.∵∠BOD＝120°，∴∠BOF＝∠DOF＝60°.在△BOF和△DOF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OB＝OD，,∠BOF＝∠DOF，,OF＝OF，))∴△BOF≌△DOF，∴∠OBF＝∠ODF＝90°，∵OD为半径，∴DF与⊙O相切．24．解：(1)根据题意，得y＝20×10－4×eq\f(20－x,2)×eq\f(10－x,2)＝200－(20－x)(10－x)＝200－200＋30x－x2＝－x2＋30x，∴y与x之间的函数表达式为y＝－x2＋30x(4≤x≤8)．(2)由(1)知，y＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，∵－1＜0，∴当x＜15时，y随x的增大而增大，∵4≤x≤8，∴当x＝8时，y有最大值，最大值为176，∴当出口宽度为8m时，活动区面积最大，最大面积是176m2.(3)设布置成本为w元，则w＝10(－x2＋30x)＋8[200－(－x2＋30x)]＝－10x2＋300x＋1600＋8x2－240x＝－2x2＋60x＋1600，令w＝1850，则－2x2＋60x＋1600＝1850，解得x1＝25，x2＝5.∵4≤x≤8，∴x＝25不符合题意，舍去．易知x的取值范围为4≤x≤5.由(2)可知，当x<15时，y随x的增大而增大，∴当x＝5时，活动区面积最大，此时的布置成本为1850元．25．解：(1)∵当x>0时，抛物线最低点的纵坐标为－4；当x≤0时，抛物线最低点的纵坐标为－3，∴x>0时抛物线上的最低点是整条抛物线的最低点，∴抛物线的开口向上，对称轴在y轴右侧，且顶点的纵坐标为－4，∴a>0，－eq\f(b,2a)>0，eq\f(4ac－b2,4a)＝－4.∵当x<－eq\f(b,2a)时，y随x的增大而减小，∴易知当x＝0时，y＝－3，∴c＝－3，∴eq\f(－12a－b2,4a)＝－4，∴a＝eq\f(1,4)b2.(2)由(1)得抛物线的表达式为y＝eq\f(b2,4)x2＋bx－3，a>0，－eq\f(b,2a)>0，B(0，－3)，∴b<0.∵OA＝OB，∴OA＝3.∵点A在x轴正半轴上，∴A(3，0)，∴eq\f(9,4)b2＋3b－3＝0，解得b1＝－2，b2＝eq\f(2,3)>0(不合题意，舍去)，∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3.(3)存在．∵过点M的直线交抛物线于C，D两点，∴设该直线的表达式为y＝kx＋t.由(2)得，抛物线的对称轴为直线x＝1，设M(1，m)，∴k