福建省2024年九年级数学下册第28章锐角三角函数学情评估

第二十八章学情评估一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．4cos45°的值为()A．2B．2eq\r(2)C．2eq\r(3)D．42．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinB的值为()A.eq\f(5,13)B.eq\f(12,13)C.eq\f(5,12)D.eq\f(12,5)(第2题)(第3题)(第4题)3．如图，A，B，C三点在正方形网格的格点上，若将△ACB绕点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(\r(2),4)4．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱底部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为()A．asin26.5°B.eq\f(a,tan26.5°)C.eq\f(a,cos26.5°)D．acos26.5°5．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值()A．不变B．扩大5倍C．缩小为原来的eq\f(1,5)D．不能确定6．在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6eq\r(2)，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于()A．2B．3C．3eq\r(2)D．2eq\r(3)7．α是锐角，且cosα＝eq\f(3,4)，则()A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点P(a，a)(a>0)，连接AP交y轴于点B.若AB∶BP＝3∶2，则tan∠PAO的值是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(2,5)D.eq\f(5,2)(第8题)(第9题)(第10题)9．如图，将矩形ABCD放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1，若∠DCE＝β，则矩形ABCD的周长可表示为()A．2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,cosβ)＋\f(5,sinβ)))B．2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,sinβ)＋\f(5,cosβ)))C．2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,sinβ)＋\f(5,tanβ)))D．2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,tanβ)＋\f(5,cosβ)))10．春天是放风筝的好时节．小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为1∶2.4的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点A齐平的B处，起风后小明开始往下跑26m至坡底C处，并继续沿平地向前跑16m到达D处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是37°，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方E处，如图．若小明视线距地面的高度为1.5m，图中E，A，B，C，D五点在同一平面内，则风筝上升的垂直距离AE约为(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)()A．34.2m B．32.7mC．31.2m D．22.7m二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11．如图，若点A的坐标为(1，eq\r(3))，则∠1＝________．(第11题)(第14题)12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(12,13)，则tanB的值为________．13．等腰三角形ABC的周长是32cm，底边长为10cm，则底角的余弦值是_____．14．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC折叠后，点B恰好落在BA延长线上的点E处．若tanD＝eq\f(4,3)，则sin∠ACE的值为________．15．水务人员为考察水情，乘快艇以每秒10m的速度沿平行于岸边的航线AB由西向东行驶．如图，在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40s到达点B处，测得建筑物P在北偏西60°方向上，则建筑物P到航线AB的距离为________m.(第15题)(第16题)16．如图，在△ABD中，C为BD的中点，连接AC，点E在AC上，连接BE，若AB＝AC，tan∠BAC＝eq\f(3,4)，∠BAC＝2∠EBC，BC＝eq\r(10)，则AD的长为________．三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(8分)计算：(1)－23＋eq\r(16)－2sin30°＋(2024－π)0；(2)sin245°－cos60°－eq\f(cos30°,tan45°)＋2sin260°·tan60°.18．(8分)榕树被评为福建省省树，也被福州、赣州评为市树．小明和他的学习小组开展“测量榕树的高度”的实践活动，他们按拟定的测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告：课题测量榕树的高度测量工具测角仪和皮尺测量示意图及说明说明：BC为水平地面，榕树AB垂直于地面，斜坡CD的坡度i＝3∶4，在斜坡CD上的点E处测榕树顶端A的仰角∠1的度数.测量数据BC＝8m，CE＝5m，∠1＝48°.参考数据sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11.请你根据以上测量报告中的数据，求榕树AB的高度．(结果精确到0.1m)19．(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O,AB＝10，AC＝12.(1)求BD的长；(2)求sin∠ABC的值．20．(8分)福建某游乐园有一座匀速旋转的摩天轮，其前方有一座三层建筑物，小明想利用该建筑物的高度来估计摩天轮的高度．如图是其示意图．他通过实际体验发现，摩天轮旋转一周需要24min，从最低点A处坐上摩天轮，经过3min到点B处时，该建筑物的屋顶正好在水平视线上．根据经验估计，该建筑物的第一层约为5m，其余两层每层约为3.5m，摩天轮最低点A离地面2m．在不考虑其他因素的前提下，估计摩天轮最高点的高度是多少米．(参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732，eq\r(5)≈2.236，最后结果保留整数)21．(10分)如图，某山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋eq\r(3))m，小军和小明同时分别从A处和B处出发向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为eq\f(\r(2),2)m/s.若小明与小军同时到达点C处，则小明的行走速度是多少？22．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠BAC为锐角．(1)将线段AD绕点A逆时针旋转(旋转角小于90°)得到AE，点D的对应点为点E，在图中求作AE，使得CE＝eq\f(1,2)BC；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，EC，若sin∠ECA＝eq\f(4,5)，探究线段EF与BF之间的数量关系，并说明理由．

答案一、1.B2.A3.B4.B5.A6.A7.B8.C9.B10．D二、11.60°12.eq\f(5,12)13.eq\f(5,11)14.eq\f(3,5)15.100eq\r(3)16．3eq\r(5)点拨：作AF⊥BC于点F，∴∠AFD＝90°.∵AB＝AC，∴AF平分∠BAC，BF＝CF，∴∠CAF＝eq\f(1,2)∠BAC，即2∠CAF＝∠BAC.∵∠BAC＝2∠EBC，∴∠CAF＝∠EBC.∵∠CAF＋∠ACF＝90°，∴∠EBC＋∠ACF＝90°，∴∠BEC＝90°，∴∠AEB＝90°，∴tan∠BAC＝eq\f(3,4)＝eq\f(BE,AE).设BE＝3x，则AE＝4x，∴AB＝eq\r(（3x）2＋（4x）2)＝5x，∴AC＝5x，∴CE＝x，在Rt△BEC中，BC2＝BE2＋CE2，∴10＝(3x)2＋x2，解得x1＝1，x2＝－1(不合题意，舍去)，∴AB＝5x＝5.∵∠AFB＝90°，BF＝FC＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(10),2)，∴AF＝eq\r(AB2－BF2)＝eq\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(10),2).∵C为BD的中点，∴CD＝BC＝eq\r(10)，∴FD＝FC＋CD＝eq\f(\r(10),2)＋eq\r(10)＝eq\f(3\r(10),2).∵∠AFD＝90°，∴AD＝eq\r(AF2＋FD2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(10),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(10),2)))\s\up12(2))＝3eq\r(5).三、17.解：(1)原式＝－8＋4－2×eq\f(1,2)＋1＝－8＋4－1＋1＝－4.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)×eq\r(3)＝eq\r(3).18．解：过点E作EG⊥BC于G.易得四边形EFBG是矩形，∴EF＝BG，EG＝BF.在Rt△ECG中，∵i＝eq\f(EG,CG)＝eq\f(3,4)，CE＝5m，∴易得EG＝3m，CG＝4m，∴EF＝BG＝8＋4＝12(m)，BF＝EG＝3m.在Rt△AEF中，AF＝EF·tan∠1＝12·tan48°≈12×1.11＝13.32(m)，∴AB＝AF＋BF≈13.32＋3≈16.3(m)．答：榕树AB的高度约为16.3m.19．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，∴AC⊥BD，OA＝eq\f(1,2)AC＝6，BD＝2OB.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB＝eq\r(AB2－OA2)＝8，∴BD＝2OB＝16.(2)过点A作AE⊥BC于点E.∵四边形ABCD是菱形，AB＝10，∴BC＝AB＝10，AC⊥BD.∵AC＝12，BD＝16，∴S菱形ABCD＝BC·AE＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)×12×16＝96，∴AE＝eq\f(48,5).在Rt△ABE中，sin∠ABC＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(24,25).20．解：延长DB交OA于点E，延长OA交地面于点F.由题意知BE⊥OA，∠AOB＝eq\f(3,24)×360°＝45°.设摩天轮的半径为Rm，在Rt△BEO中，OE＝OB·cos∠AOB＝eq\f(\r(2),2)Rm，∴AE＝OA－OE＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(\r(2),2)R))m．易知EF＝CD，∴R－eq\f(\r(2),2)R＋2＝5＋3.5×2，解得R＝eq\f(20,2－\r(2))≈34.1.34．1×2＋2≈70(m)．答：摩天轮最高点的高度约为70m.21．解：如图，过C作CD⊥AB于点D，则∠ADC＝∠CDB＝90°.设AD＝xm，小明的行走速度是am/s.∵∠A＝45°，∴易得CD＝AD＝xm，AC＝eq\r(2)xm.在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝eq\f(CD,sin30°)＝2xm.∵小军的行走速度为eq\f(\r(2),2)m/s，小明与小军同时到达点C处，∴eq\f(\r(2)x,\f(\r(2),2))＝eq\f(2x,a)，解得a＝1.答：小明的行走速度是1m/s.22．解：(1)如图①.(2)如图②，连接DF.在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝eq\f(1,2)B