2022-2023学年内蒙古自治区赤峰市巴林左旗林东上京高级中学高二数学文摸底试卷含解析

2022-2023学年内蒙古自治区赤峰市巴林左旗林东上京高级中学高二数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在复平面内，复数＋(1＋)2对应的点位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

参考答案：B略2.已知i为虚数单位,若复数i，i，则=(

)

A．i

B.i

C.i

D．i参考答案：A略3.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A.① B.② C.①②③ D.③参考答案：C【分析】类比正三角形的性质，结合正四面体的几何特征，依次分析答案，即可。【详解】正四面体中，各棱长相等，各侧面是全等的等边三角形，因此，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；①正确；对于②，正四面体中，各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角中，它们有共同的高，底面三角形的中心到对棱的距离相等，相邻两个面所成的二面角都相等，②正确；对于③，各个面都是全等的正三角形，各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等，③正确．①②③都是合理、恰当的．故选：C．【点睛】本题考查类比推理，关键在于对每个选项都要考查其正误，才能得到正确结论，属于基础题．4.抛物线的焦点到准线的距离为（

）A.1

B.

2

C.

4

D.

8参考答案：C5.函数f（x）=log3（x﹣1）的定义域是（）A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．{x∈R|x≠1} D．R参考答案：A【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题中函数的解析式，我们根据使函数的解析式有意义，即真数部分大于0的原则，构造关于x的不等式，解不等式求出x的取值范围即可．【解答】解：要使函数f（x）=log3（x﹣1）的解析式有意义，自变量x须满足：x﹣1＞0，解得x＞1．故函数f（x）=log3（x﹣1）的定义域是（1，+∞），故选：A．6.F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2=，则C的离心率是（）A． B．2 C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】设一渐近线OA的方程为y=x，设A（m，m），B（n，﹣），由2=，求得点A的坐标，再由FA⊥OA，斜率之积等于﹣1，求出a2=3b2，代入e==进行运算．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣x，设A（m，），B（n，﹣），∵2=，∴2（c﹣m，﹣）=（n﹣c，﹣），∴2（c﹣m）=n﹣c，﹣=﹣，∴m=c，n=，∴A（，）．由FA⊥OA可得，斜率之积等于﹣1，即?=﹣1，∴a2=3b2，∴e===．故选C．7.已知双曲线的实轴在轴上且焦距为，则双曲线的渐近线的方程为（

）A． B． C． D．参考答案：A略8.下面几种推理过程是演绎推理的是（）A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则.B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质.C．三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸多边形内角和是.D．在数列中，，，由此归纳出的通项公式.参考答案：A9.若不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集{x|﹣2＜x＜1}，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】由已知，求出a，c，确定f（x），再求出y=f（﹣x）的解析式，确定图象．【解答】解：由已知得，﹣2，1是方程ax2﹣x﹣c=0的两根，分别代入，解得a=﹣1，c=﹣2．∴f（x）=﹣x2﹣x+2．从而函数y=f（﹣x）=﹣x2+﹣x+2=﹣（x﹣2）（x+1）

它的图象是开口向下的抛物线，与x轴交与（﹣1，0）（2，0）两点．故选B．10.在中，,,则

（

）

A．

B．

C．

D．1参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数，则=

．参考答案：12.若定义域为R的函数满足，则不等式的解集为______（结果用区间表示）．参考答案：【分析】由题目要求解的不等式是，由此想到构造函数，求导后结合，可知函数是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集．【详解】令，则，因为，所以，所以，函数为上的增函数，由，得：，即，因为函数为上的增函数，所以．所以不等式的解集是．故答案为．【点睛】本题考查了导数的运算法则，考查了不等式的解法，解答此题的关键是联系要求解的不等式，构造出函数，然后利用导数的运算法则判断出其导函数的符号，得到该函数的单调性．此题是常考题型．13.下列命题（为虚数单位）中正确的是①已知，则a＝b是为纯虚数的充要条件；②当z是非零实数时，恒成立；③复数的实部和虚部都是－2；④如果，则实数a的取值范围是；⑤复数，则其中正确的命题的序号是

。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）。参考答案：②③④14.快递小哥准备明天到周师傅家送周师傅网购的物品，已知周师傅明天12:00到17:00之间在家，可以接收该物品，除此之外，周师傅家里无人接收。如果快递小哥明天在14:00到18:00之间随机地选择一个时间将物品送到周师傅家去，那么快递小哥到周师傅家恰好能够送出该物品的概率是________.参考答案：【分析】先设快递小哥明天到达周师傅家的时刻为，根据题意得到，再结合周师傅在家的时间，可得到，进而可得出结果.【详解】设快递小哥明天到达周师傅家的时刻为，由题意可得，又快递小哥到周师傅家恰好能够送出该物品，必须满足，所以，快递小哥到周师傅家恰好能够送出该物品的概率是.故答案为【点睛】本题主要考查几何概型的应用，将问题转化为与长度有关的几何概型，即可求解，属于常考题型.15.已知动直线l的方程：cosα?（x﹣2）+sinα?（y+1）=1（α∈R），给出如下结论：①动直线l恒过某一定点；②存在不同的实数α1，α2，使相应的直线l1，l2平行；③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上；④动直线l可表示坐标平面上除x=2，y=﹣1之外的所有直线；⑤动直线l可表示坐标平面上的所有直线；其中正确结论的序号是

．参考答案：②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，圆（x﹣2）2+（y+1）2=1上任一点P（2+cosα，﹣1+sinα），则点P处的切线为cosα?（x﹣2）+sinα?（y+1）=1（α∈R）；②，当≠0时，直线的斜率k=﹣，存在不同的实数α1，α1，使cotα1=cotα1，相应的直线l1，l2平行；③，cosα?（x﹣2）+sinα?（y+1）=1?，所有使的点（x，y）都不在其上；对于④，⑤由③可判定．【解答】解：对于①，圆（x﹣2）2+（y+1）2=1上任一点P（2+cosα，﹣1+sinα），则点P处的切线为cosα?（x﹣2）+sinα?（y+1）=1（α∈R），直线不会过一定点，故错；对于②，当≠0时，直线的斜率k=﹣，存在不同的实数α1，α1，使cotα1=cotα1，相应的直线l1，l2平行，故正确；对于③，cosα?（x﹣2）+sinα?（y+1）=1?，所有使的点（x，y）都不在其上，故正确；对于④，⑤由③可得错．故答案为：②③【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到直线方程的知识，属于基础题．16.已知Z是纯虚数，是实数，（i是虚数单位），那么z=

．参考答案：﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】设纯虚数z=mi（m≠0），代入并整理，由虚部等于0求得m的值，则答案可求．【解答】解：设z=mi（m≠0），则=．∵是实数，∴2+m=0，m=﹣2．∴z=﹣2i．故答案为：﹣2i．17.已知定义在R上的可导函数，对于任意实数x都有，且当时，都有，若，则实数m的取值范围为________．参考答案：【分析】令，则，得在上单调递减，且关于对称，在上也单调递减，又由，可得，则，即，即可求解.【详解】由题意，知，可得关于对称，令，则，因为，可得在上单调递减，且关于对称，则在上也单调递减，又因为，可得，则，即，解得，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及不等关系式的求解，其中解答中令函数，利用导数求得函数的单调性和对称性质求解不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,,其中点P为棱CC1的中点,Q为棱CC1上且位于P点上方的动点．(1)求证:平面；(2)若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为,求直线BQ与平面所成角的正弦值．参考答案：（1）见证明；（2）【分析】（1）推导出tan∠BB1C==，tan∠PBC==，从而∠BB1C=∠PBC，PB⊥B1C，推导出BB1⊥A1B1，A1B1⊥B1C1，从而A1B1⊥平面BCC1B1，A1B1⊥BP，由此能证明BP⊥平面A1B1C．

（2）以BC，BA，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BQ与平面A1B1C所成角的正弦值．【详解】（1）证明：在侧面中，因为，，为棱上的中点，所以，，所以，所以，在直三棱柱中，平面，所以，因为，，所以，所以，因为，所以平面，所以，因为，所以平面；（2）解：如图，以，，为轴建立空间直角坐标系，则，为平面的一个法向量.设，则，，设平面的法向量为，则，，所以，因为平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，所以，所以，解得，或，由已知得，，所以，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.已知直线与圆相交于,两点,且(为坐标原点),求实数的值.参考答案：解:由题意设、,,则由方程组消得,于是根据韦达定理得,,,=.,∵,∴,即,故,从而可得＋=0,解得.略20.如图，三棱锥中，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是的中点，求与平面所成角的正切值参考答案：题：解：(Ⅰ)因为，所以

又因为,即所以

又，所以

(Ⅱ)取中点，连，则又，所以，连结，，则就是与平面所成的角

设，则，，所以

略21.已知函数f（x）=xex．（I）求f（x）的单调区间与极值；（II）是否存在实数a使得对于任意的x1，x2∈（a，+∞），且x1＜x2，恒有成立？若存在，求a的范围，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）利用函数的求导公式求出函数的导数，根据导数求函数的单调性和极值．（II）构造函数g（x）=[f（x）﹣f（a）]/（x﹣a）=（xex﹣aea）/（x﹣a），x＞a，求出函数导数，判断函数导函数的值与0的关系，根据导函数的单调性，求a的取值范围．【解答】解：（I）由f′（x）=ex（x+1）=0，得x=﹣1；当变化时的变化情况如下表：可知f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），递增区间为（﹣1，+∞），f（x）有极小值为f（﹣1）=﹣，但没有极大值．（II）令g（x）=[f（x）﹣f（a）]/（x﹣a）=（xex﹣aea）/（x﹣a），x＞a，则[f（x2）﹣f（a）]/（x2﹣a）＞[f（x1）﹣f（a）]/（x1﹣a）恒成立，即g（x）在（a，+∞）内单调递增这只需g′（x）＞0．而g′（x）=[ex（x2﹣ax﹣a）+aea]/（x﹣a）2记h（x）=ex（x2﹣ax﹣a）+aea，则h′（x）=ex[x2+（2﹣a）x﹣2a]=ex（x+2）（x﹣a）故当a≥﹣2，且x＞a时，h′（x）＞0，h（x）在[a，+∞）上单调递增．故h（x）＞h（a）=0，从而g′（x）＞0，不等式（*）恒成立另一方面，当a＜﹣2，且a＜x＜﹣2时，h′（x）＜0，h（x）在[a，﹣2]上单调递减又h（a）=0，所以h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）在（a，﹣2）上单调递减．从而存在x1x2，a＜x1＜x2＜﹣2，使得g（x2）＜g（x1）∴a存在，其取值范围为[﹣2，+∞）22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点