圆锥曲线大题100练

122圆锥曲线大题100练已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点且与此抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，AB<8，直线l与抛物线y=x24交于M，N两点，且M，N两点在y轴的两侧.（1）证明：y1y2为定值；（2）求直线l的斜率的取值范围；（3）若.=48（O为坐标原点），求直线l的方程.△MAB面积的最大值是2.(1)求椭圆的方程；(2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当.=0时，求点P的坐标.3.如图,椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,椭圆C上一点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为 1.2(Ⅱ)过点F2的直线l交椭圆C于A,B两点,问在x轴上是否存在定点P,使得PA.PB为定值？证明你的结论.4.2已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴，离心率为2（1）求椭圆Γ的标准方程；2（2）设P(2,0)，过椭圆Γ左焦点F的直线l交Γ于A，B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式.<λ(λER)恒成立，求λ的最小值. 2如图，C、 2的椭圆的左、右顶点，F1、F2是该椭圆的左、右焦点，A、B是直线x=－4上两个动点，连接AD和BD，它们分别与椭圆交于点E、F两点，且线段EF恰好过椭圆的左焦点F1.当EF」CD时，点E恰为线段AD的中点.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)求证：以AB为直径的圆始终与直线EF相切.已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)的离心率是，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的端点，△A1BA2的面积为2.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)F2为椭圆C的右焦点，若点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=4分别交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆与直线PF2相切于点F2.（1）求动圆圆心C的轨迹E的方程；（2）过点M(－2,0)的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q，试探究在x轴上是否存在定点N（异于点M），使得经QNM+经PNM=π?若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由.设F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点.（1）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1.PF2的最大值与最小值.（2）是否存在过点A(5,0)的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得F2C=F2D？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.3已知焦点在y轴上的抛物线C1过点(2,1)，椭圆C2的两个焦点分别为F1，F2，其中F2与C1的焦点重合，过F1与长轴垂直的直线交椭圆C2于A，B两点且|AB|=3,曲线C3是以原点为圆心以|OF1|为半径的圆.（1）求C1与C2及C3的方程；（2）若动直线l与圆C3相切,且与C2交与M，N两点,三角形OMN的面积为S，求S的取值范围.线D上的动点，过点M作圆C的两条切线与x轴分别交于A，B两点。（1）求抛物线D的方程；（2）若y0>4，求ΔMAB面积的最小值.（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，过F2且与l垂直的直线l1与圆M交于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A，B两点，|AB|＝4.（1）求抛物线的方程；（2）过点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若△OPQ的面积为4，求直线l的斜率（其中O为坐标原点）.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同两点M，N，且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上，求m的值.4已知曲线E上的点到F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1.（1）求曲线E的方程；（2）过F作斜率为k的直线交曲线E于A、B两点；①若BF=3FA，求直线l的方程；②过A、B两点分别作曲线E的切线l1、l2，求证：l1、l2的交点恒在一条定直线上.（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点F2的直线l（斜率存在且不为0）交椭圆于A，B两点，过F2且与l垂直的直线l1与圆M交于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围. (Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设点M为椭圆上第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值.=1的离心率互为倒数，且内切于圆x22（1）求椭圆M的方程；（2）已知A(2,)，F是椭圆M的下焦点，在椭圆M上是否存在点P，使△AFP的周长最大？若存在，请求出△AFP周长的最大值，并求此时△AFP的面积；若不存在，请说明理由。已知点F(0,)，直线l：y=一，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为H，且满足---------HF.(PH+PF)=0.（1）求动点P的轨迹C的方程；5（2）过点F作直线l'与轨迹C交于A，B两点，M为直线l上一点，且满足MA」MB，若ΔMAB的面积为2，求直线l'的方程.在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Qx－2）2＋y2＝1外切，且圆P与直线x1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设过定点S2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.(a>b>0)的一个焦点F(,0)，点M(2,1)在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)直线l平行于直线OM（O坐标原点），且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若经AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围.已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,以抛物线y2＝16x的焦点为其中一个焦点,以双曲线1的焦点为顶点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若E、F是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，则当直线PE、PF的斜率都存在，并记为kPE、kPF时，kPE·kPF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是,请说明理由.（本小题满分12分）已知椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为，F为左焦点，过点F作B两点，AB＝3.（1）求椭圆E的方程；12------（2）过圆x2+y2=7上任意一点作圆的切线交椭圆E于M，N两点，O为坐标原点，问：ON12------否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由。（本小题满分12分）已知抛物线E：x2=4y的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，C两点（1）求证：抛物线E在A、C两点处的切线互相垂直;（2）过点F作直线l的垂线与抛物线E交于B，D两点，求四边形ABCD的面积的最小值.6 （1）求椭圆的标准方程；（2）过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点.求证：直线MN恒过定点P(0,一).（本题满分12分）如图，抛物线E:y2=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(Ⅰ)若点C的纵坐标为2，求|MN|；(Ⅱ)若|AF|2=|AM|.|AN|，求圆C的半径. 2 2,且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsinθ+ycosθ一1=0相切(θ为常数）.（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，若椭圆的C左、右焦点分别为F1，过F2作直线l与椭圆分别交于两点M，N，求F1M.F1N的取值范围.动点P到定点F(0，1)的距离比它到直线y=一2的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交7(Ⅲ)求△ABM的面积的最小值.已知抛物线C:y2=2px(p>0)在第一象限内的点P(2,t)到焦点F的距离为.（1）若M(|（,0，过点M,P的直线l1与抛物线相交于另一点Q，求的值；（2）若直线l2与抛物线C相交于A，B两点，与圆M:(x一a)2+y2=1相交于D，E两点，O为坐标原点，OA」OB，试问：是否存在实数a，使得|DE|的长为定值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. (1)求椭圆C的方程； 22(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为2的直线l交椭圆C于A,B两点,求证：PA+PB为 22定值.30.抛物线C:y=2x24x+a与两坐标轴有三个交点，其中与y轴的交点为P.（1）若点Q(x,y)(1<x<4)在C上，求直线PQ斜率的取值范围；（2）证明：经过这三个交点的圆E过定点.31.已知抛物线C:y2=2px的焦点为F(1,0)，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线M:x=一2相交于M，N两点.（1）求抛物线C的方程；（2）证明：△ABO与△MNO的面积之比为定值.32.>0)的长轴，过椭圆C2上一点D(1,)的动直线l与圆C1相交于点A，B，弦AB的最小值为.（1）求圆C1及椭圆C2的方程；（2）已知点P是椭圆C2上的任意一点，点M是x轴上的一定点，直线m的方程为x=4，若点P到定直线m的距离与到定点M的距离之比为2，求定点M的坐标.33.8l:x=my+n，当l过椭圆C2上一点D(1,)且与圆C1相交于点A，B时，弦AB的最小值为.（1）求圆即椭圆C2的方程；（2）若直线l是椭圆C2的一条切线，M，N是切线上两个点，其横坐标分别为一、，那么以MN为直径的圆是否经过x轴上的定点？如果存在，求出定点坐标；若不存在，请说明理由.34.在平面直角坐标系xOy中，设动点M到坐标原点的距离到x轴的距离分别为d1，d2，且d12+3d22=4，记动点M的轨迹为Ω.（1）求Ω的方程；（2）设过点(0,－2)的直线l与Ω相交于A，B两点，当△AOB的面积为1时，求|AB|.35.已知F(,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，点N(x0,y0)(y0>0)为其上一点，M与N关于x轴对称，直线l与抛物线交于异于M，N的A，B两点，|N(Ⅰ)求抛物线的标准方程和N点的坐标；(Ⅱ)判断是否存在这样的直线l，使得△MAB的面积最小.若存在，求出直线l的方程和△MAB面积的最小值；若不存在，请说明理由.36. 焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设过点A的动直线l与椭圆E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程.37.9 C于A、B两点，△ABE的周长为16.（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为原点，圆D：(x一3)2+y2=r2（r>0）与椭圆C动点，若直线PM、PN与x轴分别交于G、H两点，求证：|OG|.|OH|为定值.38.已知定点A(3,0)、B(3,0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为，记动点M的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)设直线l与曲线C交于P、Q两点，若直线AP与AQ斜率之积为一，求证：直线l过定点，并求定点坐标.39.（1）求椭圆C的方程；（2）过点E作x轴的垂线，交椭圆C于N，求证：N，F2，F三点共线.40.角形，且其面积为，A为椭圆的右顶点.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于M，N两点（M，N不是左、右顶点），且满足MA⊥NA，试问：直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.41.（本小题满分12分）已知经过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l与抛物线C相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AO，BO分别交直线m:x=一1于点M(Ⅱ)求线段MN长的最小值.42.（本小题满分16分） 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C相交于A、B两点.①若线段AB中点的横坐标为一,求斜率k的值；②若点M(一3,0),求证:MA.MB为定值.43.（本小题14分）已知椭圆M:x2+y2a2b2同的交点A，B.(Ⅰ)求椭圆M的方程；(Ⅱ)若k=1，求|AB|的最大值；(Ⅲ)设P(－2，0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q(,)共线，求k.44.（本小题满分14分） 设椭圆+=1(a＞b＞0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|=.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l:y=kx(k＜0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值.45.------------------46.恰好过点F1.（1）求椭圆的方程；（2）如图所示，过点A作斜率为k的直线l1交椭圆于点M，交y轴于点N，若P为线段AM的中点，过N作与直线OP垂直的直线l2，证明对于任意的k（k子0），直线l2过定点，并求出此定点坐标.47. 若椭圆C12:x2=2py(p>0)的焦点为椭圆的顶点.(Ⅰ)求椭圆C1和抛物线C2的方程；(Ⅱ)过点M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于P,Q两点，又过P，Q作抛物线C2的切线l1,l2，当l1」l2时，求直线l的方程.48.设椭圆C:+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0).（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，直线l不与x轴重合，求的值.49.（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8.（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.50.定义：在平面内，点P到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P到曲线Γ的距离.在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：(x-)2+y2=12及点A(-，0)，动点P到圆M的距离与到A点的距离相等，记P点的轨迹为曲线为W.(Ⅰ)求曲线W的方程；(Ⅱ)过原点的直线l（l不与坐标轴重合）与曲线W交于不同的两点C，D，点E在曲线W上，且CE」CD，直线DE与x轴交于点F，设直线DE，CF的斜率分别为k1，k2，求.51.(本小题满分12分)已知点P(2,-2)，圆C：x2+y2-8x=0，过P的动直线l与⊙C交A,B两点，线段AB中点为M，O为坐标原点。（1）求点M的轨迹方程；（2）当OP=OM时，求直线l的方程以及△POM面积。52.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，直线y=4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且（1）求p的值；（2）已知点T(t,-2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为-，证明直线MN恒过定点，并求出定点的坐标.53.3ABAM ABAM(a>b>0)的左焦点F1与抛物线y2=-4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M(m,0)(|（m>作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P,0，且PA.PB为定值.（1）求椭圆E的方程；（2）求△OAB面积的最大值.54.如图所示，已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线上第一象限的点，直线l与抛物线相切于点M.（1）过M作HM垂直于抛物线的准线于点H，连接MF，求证：直线l平分经HMF；（2）若p=1，过点M且与l垂直的直线交抛物线于另一点Q，分别交x轴、y轴于A、B两点，求ABAQ55.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在y轴上，且抛物线上有一点P(m,5)到焦点的距离为6.(Ⅰ)求该抛物线C的方程；(Ⅱ)已知抛物线上一点M(4,t)，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点，并说明理由.56.已知椭圆(-1,已知椭圆(I)求椭圆C的标准方程；(II)已知直线交椭圆C于A，B两点.------------（i）若直线经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足PA=λAF,PB=μBF.求证：------------值.57.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为5.（1）求该抛物线C的方程；（2）已知抛物线上一点M(t,4)，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点？并说明理由.58.已知曲线C：x2=8y，F是焦点，点P为准线上一点，直线PF交曲线C于D、E两点.------（1）若PF=FE，且E在第一象限，求直线PF的方程；------（2）求DP.PE的最大值，并求出此时点P的坐标.59.,F=1的左、右焦点，点P(x0,y0)在椭圆C上.------(x+1)与椭圆C交于两点A，B，过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否程成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由.>0）的顶点，F1为椭圆C的左焦点且椭（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右顶点A作斜率为k（k＜0）的直线交椭圆C于另一点B，连结BF1并延长BF1交椭圆C于点M，当△AOB的面积取得最大值时，求△ABM的面积.已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x=－2的距离小1.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点F任意作互相垂直的两条直线l1和l2，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点.设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为,B2,且ΔAB1B2是面积为4的直角三角形.1.求该椭圆的离心率和标准方程;2.过B1作直线交椭圆于P,Q两点,使PB2」QB2,求ΔPB2Q的面积.CD上，且PC.PD=-1.（1）求椭圆C2的方程；（2）设Q为椭圆C2上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过椭圆的右焦点F2作OQ的平行线，交曲线C2于M，N两点，求△QMN面积的最大值.（4)4已知动点P到点F(|1,0)|的距离比到直线x=-（4)4（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）已知直线l与E交于A,B两点，M是线段AB的中点，若AB=4，求点M到直线x=-距离的最小值及此时点M的直角坐标.已知动点M到定点F(-1,0)和定直线x=-4的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C.（I）求曲线C的方程；（II）设P(-4,0)，过点F作斜率不为0的直线l与曲线C交于两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别是的周长为4，椭圆的离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线y=x+m相交于不同的两点M、N.当PM=PN时，求实数m的值. 2被直线xy=0截得的弦长为2.(1)求椭圆C的标准方程；------MA.MB为定值?若存在,试求出点M的坐标和定值;若不存在,请说明理由. 2被直线xy=0截得的弦长为2.(1)求椭圆C的标准方程;------MA.MB为定值?若存在,试求出点M的坐标和定值;若不存在,请说明理由.PF1（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，且+=，试求点O到直线l的距离.70.已知抛物线Γ：y2=2px(p>0)的焦点为F，圆M：(x+p)2+y2=p2，过F作垂直于x轴的直线交抛物线Γ于A、B两点，且ΔMAB的面积为6.（1）求抛物线Γ的方程和圆M的方程；（2）若直线l1、l2均过坐标原点O，且互相垂直，l1交抛物线Γ于C，交圆M于D，l2交抛物线Γ于E，交圆M于G，求ΔCOE与ΔDOG的面积比的最小值.71.已知圆F1x+1）2+y2=9，圆F2x﹣1）2+y2=1，动圆P与圆F1内切，与圆F2外．O为坐标原点.(Ⅰ)求圆心P的轨迹C的方程.(Ⅱ)直线l：y=kx﹣2与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，以及取得最大值时直线l的方程.72.已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3,-2)，(-2,0)，(4,-4)，(,).（1）求C1，C2的标准方程；（2）是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M，N且满足」？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由.73.在直角坐标系xOy中，已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，若椭圆M：+=1(a>b>0)经过点F，抛物线C和椭圆M有公共点E(t,)，且|EF|=.（1）求抛物线C和椭圆M的方程；（2）是否存在正数m，对于经过点P(0,m)且与抛物线C有A,B两个交点的任意一条直线，都有焦点F在以AB为直径的圆内？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.74.2=2px（p>0）共交点F2，抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|-1，且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF|=.（2）国抛物线上的点P做抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A,B两点，设线段AB的中点为C(x0,y0)，求x0的取值范围.75.(y-2)2=2内有一动弦AB，且|AB|=2，以AB为斜边作等腰直角三角形PAB，点P在圆外.（1）求点P的轨迹C2的方程；（2）从原点O作圆C1的两条切线，分别交C2于E，F，G，H四点，求以这四点为顶点的四边形的面积S.76.已知点F1(-2,0)，圆F2:(x-2)2+y2=36，点M是圆上一动点，线段MF1的垂直平分线与MF2交于点N.（1）求点N的轨迹方程；（2）设N的轨迹为曲线E，曲线E与曲线y=kx(k>0)的交点为A，B，求△OAB（O为坐标原点）面积的最大值.77.>0)的左、右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率.（2）若直线MN在y轴上的截距为3，且MN=7F1N，求a，b.78.（1）求椭圆C的方程；（2）直线l:x=my+3(m子0)交椭圆C于M,N两点，设点N关于x轴的对称点为N1（点N1与点M不重合），证明：直线N1M过x轴上的一定点，并求出定点坐标.79.x22已知椭圆C：4+y=1，斜率为2的动直线l与椭圆C交于不同的两点Ax22(Ⅰ)设M为弦AB的中点，求动点M的轨迹方程；------5(Ⅱ)设F1，F2为椭圆C在左、右焦点，P是椭圆在第一象限内一点，满足PF1.PF2=一4，求△PAB面积的最大值.80.已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆经过点P(1)，且△PF1F2的面积为2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设斜率为1的直线l与以原点为圆心，半径为2的圆交于A，B两点，与椭圆C交于C，D两点，且|CD|=λ|AB|(λ∈R），当λ取得最小值时，求直线l的方程.81.2:x2=2py(p>0)，在C1,C2上各取两个点，这四个点(Ⅱ)设P是C2在第一象限上的点，C2在点P处的切线l与C1交于A,B两点，线段AB的中点为D，过原点O的直线OD与过点P且垂直于x轴的直线交于点Q，证明：点Q在定直线上.82.已知分别过抛物线x2=2py(p>0)上点A、B的两条切线交于点M，直线AB与x轴不平行，线段AB的中点为N，抛物线的焦点为F.(Ⅰ)求证：直线MN与y轴平行；()83.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l.已知点A在抛物线C上，点B在l上，‘ABF是边长为4的等边三角形.（1）求p的值；（2）在x轴上是否存在一点N，当过点N的直线l，与抛物线C交于Q、R两点时，+为定值？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.84.已知抛物线C:x2=2y，直线l:y=x-2，设P为直线l上的动点，过P作抛物线的两条切线，切点分布为A，B.（1）当点P在y轴上时，求线段AB的长；（2）求证：直线AB恒过定点.85.,-椭圆C交于M，N两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P为椭圆C的右顶点，探究：kPM+kPN是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由其中kPN，kPN分别是直线PM，PN的斜率）.86.已知圆O：x2+y2=4上一动点A，过点A作AB」x轴，垂足为B点，AB中点为P.(Ⅰ)当A在圆O上运动时，求点P的轨迹E的方程；(Ⅱ)过点F(-,0)的直线l与E交于M，N两点，当MN=2时，求线段MN的垂直平分线方程.87.已知圆O:x2+y2=4上一动点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B点，AB中点为P.（1）当A在圆O上运动时，求点P的轨迹E的方程；(Ⅱ)过点F(-,0)的直线l与E交于M，N两点，当MN=2时，求线段MN的垂直平分线方程.88.已知动点P是圆G：(x+)2+y2=32上的任意一点，点P与点A(,0)的连线段的垂直平分线和GP相交于点Q.（I）求点Q的轨迹C方程；（II）过坐标原点O的直线l交轨迹C于点E，F两点，直线EF与坐标轴不重合.M是轨迹C上的一点，若ΔEFM的面积是4，试问直线EF，OM的斜率之积是否为定值，若是，求出此定值，否则，说明理由.89.（a>1）的上顶点与抛物线x2=2py（p>0）的焦点F重合.（1）设椭圆和抛物线交于A，B两点，若AB=42-1，求椭圆的方程；（2）设抛物线上一点P(m3，m2)，若抛物线在点P处的切线l恰与椭圆也相切，求椭圆的方程.90. (0,-1)，离心率为.=1，直线l交椭圆C1于P，Q两点，交椭圆C2于M，N两点，O为坐标原点.（i）当直线l经过原点时，求||||的值；(ⅱ)当直线l经过A点时，若MN=PQ，求直线l的方程.91.=1（a＞b＞0）的焦距为4，左、右焦点分别为F1、F2，且C1与抛物线C2：y2=x的交点所在的直线经过F2.(Ⅰ)求椭圆C1的方程；(Ⅱ)过F1的直线l与C1交于A，B两点，与抛物线C2无公共点，求△ABF2的面积的取值范围.92.已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率e=，直线l:y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A1,A2，点M是椭圆上异于A1,A2的任意一点，直线MA1,MA2的斜率分别为kMA1,kMA2.证明：kMA1.kMA2为定值.93.已知定点F（0，1），定直线l：y=﹣1，动圆M过点F，且与直线l相切.(Ⅰ)求动圆M的圆心轨迹C的方程；(Ⅱ)过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值.94.如图，已知抛物线C:x2=2py(p>0)，圆Q:x2+(y一3)2=8，过抛物线C的焦点，F（1）证明:抛物线C与圆Q相切；（2）直线l过F且与抛物线C和圆Q依次交于M,A,B,N，且直线l的斜率kE(0,1)，求的取值范围.95.过抛物线C:y2=4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于两点A,B，且AB=8.(1)求l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD恒过定点并求出该点的坐标.96.已知点H(一1,0)，点P在y轴上，动点M满足PH」PM，且直线PM与x轴交于Q点，Q是线段PM的中点.(Ⅰ)求动点M的轨迹E的方程；(Ⅱ)若点F是曲线E的焦点，过F的两条直线l1，l2关于x轴对称，且l1交曲线E于A、C两点，l2交曲线E于B、D两点，A、D在第一象限，若四边形ABCD的面积等于，求直线l1，l2的方程.97.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a＞b＞0)的左、右焦点，其中右焦点为抛物线y2=4x的焦点，点M(－1,)在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设与坐标轴不垂直的直线l过F2与椭圆C交于A、B两点，过点M(－1,)且平行直线l的直线交椭圆C于另一点N，若四边形MNBA为平行四边形，试问直线l是否存在？若存在，请求出l的斜率；若不存在，请说明理由.98.如图，椭圆C：+=1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(,1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分.（1）求椭圆C的方程；（2）求ΔABP的面积取最大时直线l的方程.99.y2y2+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M(0，2)是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程；(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝8，证明：直线AB过定点(－,－2).我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．如图，“盾圆C”是由A为椭圆与抛物线的一个公共点，AF2=.(Ⅰ)求椭圆的方程；的取值范围.圆锥曲线100题答案（1）证明：由题意可得，直线l的斜率存在，故可设l的方程为y=k(x-1)(k子0)，2-1)，得ky2-4y-4k=0，则y1y2==-4为定值；22得：x2-kx+k-4=0，：M,N两点在y轴的两侧Δ=k2-4(k-4)=k2-4k+16>0，k-4<0,k<4，（3）设M(x3,y3),N(x4,y4)，则x3+x4=k,x3.x4=k-4，3.x42x3.x42342k-4)-k3+k2=-3k2+k-4=-48，：故直线l的方程为y=-x+.(1)由题意可知解得a＝2，b所以椭圆方程为＋＝1.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分(2)由(1)知B(2，0)，设直线BD的方程为y＝k(x－2)，D(x1，y1)，把y＝k(x－2)代入椭圆方程1，整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，所以2＋x1=⇒x1则D，所以BD中点的坐标为，.则直线BD的垂直平分线方程为y得P.化简得"＝0⇒64k4＋28k2－36＝0，解得k=±.故P(0,)或(0,－).┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分(1,0),当直线l的斜率存在时,设此时直线l的方程为y=k(x1),2若x轴上存在定点P,使得PA.PB为定值,则有=,解得n=,当直线l的斜率不存在时,此时直线l的方程为x=1,把x=1代入椭圆方程|a2综上,在x轴上存在定点P(,0),|a24.|c|c2222,y121当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y=k(x+1)，2x22(k222+1要使不等式.<λ(λeR)恒成立，max2max22（1）∵当EF」CD时，点E恰为线段AD的中点，y1y2=∴a+c=4-c，又e==，联立解得：c=1，a=2，b=，ⅆⅆⅆⅆⅆ（3分）y1y2=（2）设EF的方程为：x=my-2+4)y2-6my-9=0∴〈……（*）∴〈……（*）ⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆ（6分）又设A(-4,yA)，由A、E、D三点共线得yA==，同理可得yB=.……………（8分）∴22|yA-yB|=my1-3-my2-3=18(m2y1y2-|yA-yB|=my1-3-my2-3=18(m2y1y2-3m(y1+y2)+9)=18(m2-9-3m6m+9)=6m+1.…3m22设AB中点为M，则M坐标为（-4,）即（-4,3m故以AB为直径的圆始终与直线EF相切2.所以M(4,)，同理N(4,----6y--------6y------------6y2y--------6y2y12y12y0x2-400(x0x-4 012-3x2) 00x2-40所以F2M」F2N，点F2在以MN为直径的圆上．…………9分设MN的中点为E，则E(4,4x-01)).0-1,y0),1)).(x0-0-1因为F2E是以MN为直径的圆的半径，E为圆心，F2E」F2P，故以MN为直径的圆与直线PF2相切于右焦点．…………12分（1）解法1：依题意动圆圆心C到定点F(1,0)的距离，与到定直线x=-1的距离相等，…1分由抛物线的定义，可得动圆圆心C的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=-1为准线的抛物线，……2分其中p=2．:动圆圆心C的轨迹E的方程为y2=4x．…3分化简得：y2=4x，即为动圆圆心C的轨迹E的方程．……………3分（2）解：假设存在点N(x0,0)满足题设条件.由经QNM+经PNM=π可知，直线PN与QN的斜率互为相反数，即kPN+kQN=0①……4分直线PQ的斜率必存在且不为0，设PQ:x=my-2, lx=my-2)2-4由①式得kPN+kQN= y1+x- y220x-20y1(x2-x0)+y2(x1-x0)(x1-x0)(x2-x0), :存在点N(2,0)使得经QNM+经PNM=π.ⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆⅆ12分设P（x，y），则PF1.PF2=(1x,y).(1x,y)=x22422：xE[,]，：当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1.PF2有(Ⅱ)假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k2+4)x250k2x+125k220=0当<k<时，设交点C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD的中点为R(x0,y0)，则x120：y0又|F2C|=|F2D|常F2R」l常k.kF2R=一12∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立，所以不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|解:(1)由已知设抛物线方程为x2=2py(p>0)则4=2p,解得p=2,1123bb2(y2|+22(2)因为直线l与圆C3相切,所以圆心O到直线的距离为1,当直线l的斜率不存在时方程为x=土1,两种情况所得到的三角形OMN面积相等,当直线l的斜率存在时设为k,直线方程为y=kx+m43所以Δ=36k2m2-4(4+3k2)(3m2-12)=36k2(k2+1)-4(4+3k2)(3k2-9)M,M,N,NMN3k2+4,MN3k2+4设M(xy)M,M,N,NMN3k2+4,MN3k2+42--6km23m2-12 48(2k2+3)3所以SΔOMN322t2-t-12t21-()-()+22(t)(t)+2是关于t的二次函数开口向下,在02圆心到切线的距离为d=kk2+1=2，化简得(x4)k2+2x0(2y0)k+y4y0=04 040y04故切线与轴围成的三角形面积的最小值为32.…12分圆M的标准方程为(x+1)2+y2=16，22c2，得（2）可知椭圆右焦点F2(1,0).（i）当l与x轴垂直时，此时k不存在，直线l:x=1，直线l1:y=0，k2+4k2+4（ii）当l与x轴平行时，此时k=0，直线l:y=0，直线l1:x=1，4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.2x222(2)24-|2|（k+1)解：（1）由抛物线的定义得2p＝4，所以抛物线的方程为y2＝4x.（2）设直线l的方程为y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2).因为直线l与抛物线有两个交点，则y122（2）设点M，N的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，线段MN的中点G(x0,y0)，2200因为点G(x0,y0)在圆x2+y2=1上，（1）设曲线E上的点P(x,y),由题可知：P到F(0,1)的距离与到直线y=-1的距离相等，所以，P点的轨迹是以F(0,1)为焦点，y=-1为准线的抛物线，E的方程为：x2=4y.………4分lx2=4ylx2=4y:x1+x2=4k………①,x1.x2=一4………② 由①②③消去x1,x2得：k2=,:k=土,所求直线l的方程为：②由题知：y=x2,y,=x,令A(x1,x),B(x2,x)，设l1与l2相交于点Q.l1方程为：yx=x1(xx1)l2方程为：y一x=x2(xx2)相减得：x==2k,代入相加得：2y=k(x1+x2)一(x+x)=4k2-[(x1+x2)2:y=-1,:Q(2k,一1)，:l1、l2的交点恒在一条定直线y=-1上………12分22c2，得2x2 k2+1 k2+1.22(2)24-|2|（k+1)lx24所以椭圆x24x22422则直线BM的方程为：y=x-1，令y=0，得xC同理：直线AM的方程为：y=x+2)，令x=0m;ⅆⅆⅆmD2n.2n.2 |a222c2||所求椭圆M的方程为ΔAFP的周长为当且仅当点P在线段AF1的延长线上时取等号。 直线AF1的方程为y=2，由 PF=(x,2y)，PH+PF=(x,2y)，(Ⅱ)法一：显然直线l,的斜率存在，设l,的方程为y=kx+，22kx122-k2+2k2+1=0，即t2-2kt+k2=0常t=k，即M(k,-)，2|x1-x2|2(x12)2-4x1x2=2(1+k2)，常M(k,-)到直线l,的距离d==，2法2：(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为E(x0,y0) 1过点A,B分别作A1」l于A1，BB1」l于B1，因为MA」MB,E为AB的中点，所以在Rt‘AMB中，|EM|= 12 12故EM是直角梯形A1B1BA的中位线，可得EM」l，从而M(x0,-)点M到直线l|| x2+|| xx2+10因为E点在直线l'上，所以有y0=x2=2y00由S‘MABl'的方程为l'的方程为220022（1）设P（x，y），圆P的半径为r，因为动圆P与圆Q：（x－2）2＋y2＝1外切，6所以(x-2)2+y2=r+1，①6又动圆P与直线x1相切，所以r＝x＋1，②由①②消去r得y2＝8x，所以曲线C的轨迹方程为y2＝8x.（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y0A（x1，y1B（x2，y2211222kMAkMB88(y188(y1y2+y0y+(y1+y2)y0+y1y2显然动直线l的斜率存在且非零，设l：x＝ty－2，(y2=8x联立方程组〈，消去x得y2－(y2=8xlx=ty-2由Δ>0得t＞1或t＜－1，所以y1＋y2＝8t，y1y2＝16，且y1≠y2，），整理得(8my0-64)t+(my-16y0+16m)=0，④因为④式对任意t∈(-∞,-1）∪（1，+∞)恒成立，ly0=4ly0=-4即存在曲线C上的点M（2，4）或M（24）满足题意.2=a2=a-6①又点M(2,1)在椭圆C上，），(Ⅱ)由直线l平行于OM得直线l的斜率为k=kOM=，又l在y轴上的截距m，22得x2+2mx+2m2-4=0，又线与椭圆C交于A，B --------x2x2x22即m2(1)由抛物线y2＝16x的焦点为(4,0)可得c＝4.可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).故椭圆标准方程为＋＝1.(2)kPE·kPF为定值,该定值为-.理由：E,F是椭圆上关于原点对称的两点.设E(m,n),则F(－m,－n),又设P点坐标为(x,y)．则1,1.两式相减可得0,即(由题意知x2－m2≠0).又kPE＝,kPF＝,则kPE·kPF==-.∴kPE·kPF为定值,且为-则椭圆E的标准方程为.（2）当切线斜率不存在时，取切线为时，代入椭圆方程是或，.同理，取切线为时，.当切线斜率存在时，设切线y=kx+b，则，联立.设M(xy)则2+y2=+(1+b)(2+b)=(1+k2+(+xb+b2，④把①②③代入④得+yv2=0，∴.综合以上，为定值0.（1）设过点F(0,1)的直线方程为y=kx+l.得，即×4=0..设抛物线E在A、C两点处的切线的斜率分别为KK2，故抛物线E在A、C两点处的切线互相垂直.（2）由（1）知，四)，,=32∴四边形ABCD的面积的最小值为32.e==，2-c2-cx2x2428k4k2+1M=1-4k24k2+1.8kN=k2-4N=MP4k2+158k4k2+1k2-15kk2-15k=-8k=,kNP===，所以kMP=kNP，故直线MN恒过定点P(0,-22-d2(Ⅱ)设C(,y0)，则圆C的方程为(x-)2+(y-y0)2=+y………6分即x2-x+y2-2y0y=0.设M(-1,y1),N(-1,y2)，则(2y22|Δ=4y0-4(1+2)=2y0-2∴圆心C的坐标为(,)或(,-)， si2ob21故椭圆C:y21.（2）①若直线l斜率不存在，则可得lx轴，方程为x1,M(1,)、N(1,)，7F1M(2,2),F1N(2,2)，故F1MF1N2.②若直线l斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)，yk(x1)由y21消去y得(12k2)x2设M(x1,y1),N(x2,y2)，则x1x24k2x2k220， 4k22k2212k2,x1x212k2.F1M(x11,y1),F1N(x21,y2)，则(x11)(x21)y1y2(x11)(x21)k(x11)k(x21)(1k2)x1x2(1k2)(x1x2)1k2代入韦达定理可得2)4241k22k1由k20可得[1,)，结合当k不存在时的情况，得[1,].(Ⅰ)解：由已知，动点P在直线y2上方，条件可转化为动点P到定点F(0，1)的距离等于它到直线故其方程为x24y.4kx40x2x4kx40x2ykx1AB的方程2分442 x42 x45656y分1=x2分分分将x=代入①得：yx=xAxBxA=xAxBxBxA，k(xBxA))BxA)2k(xBxA)=010分∵∴22∴当k=0时，△ABM的面积有最小值4.2PB2PB显然当a=2时，|DE|=2，|DE|的长为定值．2222222P(-P(-m,0) x+m222-4(m2-2)>0得m2<4由韦达定理22x12=-m,x1x2=m-2,y1+y222PA2+21212212222+y222)2-2x1x2+2m(x1+x2)+4m2+(y1+y2)2-2y1y2=2m2-2(m2-2)+2m(-m)+4m2+m2-2(m2-1)=630.故kPQ=2x2-4x+axe(-2,4)2222故可设圆E的圆心为M(1,t)，..22，2+y2-2x-y+a-y=0.解法二1）同解法一.（2）由（1）知，点P坐标为(0,a)(a丰0)，设抛物线C与x轴两交点分别为A(x1,0),B(x2,0).22因为抛物线C与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)，所以x1,x2是方程2x2-4x+a=0，即x2-2x+ 2a 2a2+y2-2x-y+a-y=0.2 231.OF OF 当直线l与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k(x-1).M(-2,yM),N(-2,yN),A(x1,y1),B(x2,y2)，22SΔABO2AOxx1BONOSΔABO2AOxx1BONOΔMNO2MO.NO.ΔMNO2MO.NO.sin人MON32.解1）当l」OD时，|AB|最小，因为|OD|= 2 2因为圆C1:x2+y2=r2(r9（2）依题意设P(x,y),M(x0,0)，则点P到直线l的距离d=4一x，(4x)222(4x)2222x2(4x)22x22x2(4x)22x2即2x(x01)=(x01)(x0+1)对xe[2,2]恒成立，所以x0=1，即定点M的坐标为(1,0)，即为椭圆的右焦点.33. 综上，圆C1的方程为x2+y2=2，=0，由l与椭圆相切，得到易知m士0，设以MN为直径的圆经过E(x0,0)，设M(一,y1),N(,y2)则有EM=(x0,y1),EN=(x0,y2),EM.EN=x022+y1y2=0，而y1由①②可知，喻喻2n220202m要使上式成立，有只有当x022mx02m2+n22mx0m2x02m2(m2n2+2)022mm2m234.解：（1）设M(x,y)，则d1=，d2=y，则d1222+4y2（2）依题意当l」x轴不合题意，故设直线l：y=kx一2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，2x2从而AB=.(x1+x2)24x1x2=4k2kk23，从点O到直线AB的距离d=2，所以ΔAOB的面积S=dAB3=1，4.35.解：(Ⅰ)由题意知p=1，故抛物线方程为y2=2x.(Ⅱ)土2,y21y2kNA.kNBy12=根2y222y224从而直线l过定点E（3，-2）又M（2，-2）∴⊿MAB的面积S=MEy1-y222当t=-2时有最小值.此时直线l的方程为36.解：(1)设F(c,0)，由条件知得c＝.又所以a＝2，b2＝a2-c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.