高中数学会考基础知识汇

中学数学会考基础学问汇总第一章集合和简易逻辑：一．集合集合的有关概念和运算（1）集合的特性：确定性、互异性和无序性；（2）元素a和集合A之间的关系：a∈A，或；2、子集定义：A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集；记作：，留意：时，A有两种状况：A＝φ和A≠φ3、真子集定义：A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A；记作：；4、补集定义：；5、交集和并集交集：；并集：6、集合中元素的个数的计算：若集合中有个元素，则集合的全部不同的子集个数为，全部真子集的个数是，全部非空真子集的个数是。二．简易逻辑：1．复合命题：三种形式：p或q、p且q、非p；推断复合命题真假：2.真值表：p或q，同假为假，否则为真；p且q，同真为真；非p，真假相反。原命题若原命题若p则q逆命题若q则p否命题若p则q逆否命题若q则p否逆为互互否互逆互逆互否互为逆否原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p；互为逆否的两个命题是等价的。原命题和它的逆否命题是等价命题。4.充分条件和必要条件：若，则p叫q的充分条件；若，则p叫q的必要条件；若，则p叫q的充要条件；其次章函数一．函数1、映射：根据某种对应法则f，集合A中的任何一个元素，在B中都有唯一确定的元素和它对应，记作f：A→B，若，且元素a和元素b对应，那么b叫a的象，a叫b的原象。2、函数：（1）、定义：设A，B是非空数集，若按某种确定的对应关系f，对于集合A中的随意一个数x，集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作（x），（2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；3、求定义域的一般方法：①整式：全体实数R；②分式：分母，0次幂：底数；③偶次根式：被开方式，例：；④对数：真数，例：4、求值域的一般方法：①图象视察法：；②单调函数法：③二次函数配方法：，④“一次”分式反函数法：；⑥换元法：5、求函数解析式f（x）的一般方法：①待定系数法：一次函数f（x），且满意，求f（x）②配凑法：求f（x）；③换元法：，求f（x）6、函数的单调性：（1）定义：区间D上随意两个值，若时有，称为D上增函数；若时有，称为D上减函数。（一样为增，不同为减）（2）区间D叫函数的单调区间，单调区间定义域；（3）复合函数的单调性：即同增异减；7.奇偶性：定义：留意区间是否关于原点对称，比较f(x)和f()的关系。f(x)－f()=0f(x)()f(x)为偶函数；f(x)()=0f(x)=－f()f(x)为奇函数。8.周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的随意x满意：f()(x),则T为函数f(x)的周期。9．函数图像变换：（1）平移变换(x)→()(x)；（2）法则：加左减右，加上减下（3）留意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)经过平移得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的图象。（ⅱ）会结合向量的平移，理解根据向量（ｍ，ｎ）平移的意义。10．反函数：（1）定义：函数的反函数为；函数和互为反函数；（2）反函数的求法：①由，反解出，②互换，写成，③写出的定义域（即原函数的值域）；（3）反函数的性质：函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域；函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称；点（a，b）关于直线的对称点为（b，a）；二、指对运算：1.指数及其运算性质：当n为奇数时，；当n为偶数时，2.分数指数幂：正分数指数幂：；负分数指数幂：3.对数及其运算性质：（1）定义：假如，以10为底叫常用对数，记为，以2.7182828…为底叫自然对数，记为（2）性质：①负数和零没有对数，②1的对数等于0：，③底的对数等于1：，④积的对数：，商的对数：，幂的对数：，方根的对数：，三．指数函数和对数函数的图象性质函数指数函数对数函数定义1yxO（）1yxO（）图象a>10<a<1a>1O1O1yx11xyOOO1xy性质定义域（-∞，+∞）（-∞，+∞）（0，+∞）（0，+∞）值域（0，+∞）（-∞，+∞）单调性在（-∞，+∞）上是增函数在（-∞，+∞）上是减函数在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值改变图象定点过定点（0，1）过定点（1，0）图象特征图象在x轴上方图象在y轴右边图象关系的图象和的图象关于直线对称第三章数列一．数列：（1）前n项和：；（2）前n项和和通项的关系：二．等差数列：1.定义：。2.通项公式：（关于n的一次函数），3.前n项和：（1）．（2）.（即=2）4.等差中项：或5.等差数列的主要性质：（1）等差数列，若，则。也就是：，如图所示：（2）若数列是等差数列，是其前n项的和，，则，，成等差数列。如下图所示：三．等比数列：1.定义：；2.通项公式：（其中：首项是，公比是）3.前n项和]：（推导方法：乘公比，错位相减）说明：①；\o\(○,2)；\o\(○,3)当时为常数列，。4.等比中项：，即（或，等比中项有两个）5.等比数列的主要性质：（1）等比数列，若，则也就是：。如图所示：（2）若数列是等比数列，是前n项的和，，则，，成等比数列。如下图所示：四．求数列的前n项和的常用方法：分析通项，寻求解法1.公式法：等差等比数列；2.分部求和法：如23n3.裂项相消法：如；4.错位相减法：“差比之积”的数列：如(21)2n第四章三角函数1、角：和终边相同的角的集合为{}2、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。（2）度数和弧度数的换算：弧度，1弧度（3）弧长公式：（是角的弧度数）扇形面积：P（P（x，y）rx0y4、同角三角函数基本关系式（１）平方关系：（２）商数关系：（３）倒数关系：5、诱导公式（理解记忆方法：奇变偶不变，符号看象限）公式一：公式二：公式三：公式四：公式五：6、两角和和差的正弦、余弦、正切：：：：：：7、协助角公式：（其中称为协助角，的终边过点，）8、二倍角公式：（1）、：（2）、降次公式：：：9、三角函数的图象性质（1）函数的周期性：①定义：对于函数f（x），若存在一个非零常数T，当x取定义域内的每一个值时，都有：f（）=f（x），那么函数f（x）叫周期函数，非零常数T叫这个函数的周期；②假如函数f（x）的全部周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f（x）的最小正周期。（2）函数的奇偶性：①定义：对于函数f（x）的定义域内的随意一个x，都有：f（）=-f（x），则称f（x）是奇函数，f（）=f（x），则称f（x）是偶函数②奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；（3）正弦、余弦、正切函数的性质（）函数定义域值域周期性奇偶性递增区间递减区间[-1，1]奇函数[-1，1]偶函数（-∞∞）奇函数图象的五个关键点：（0，0），（，1），（，0），（，-1），（，0）；01-1xy图象的五个关键点：（0，1），（，0），（，-1），（，0），（，1）；01-1xy001-1xyooxy(4)、函数的相关概念：函数定义域值域振幅周期频率相位初相图象[，A]A五点法当A时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A当A时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍当A时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍当时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍当当时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍当时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍当时，图象上的各点向左平移个单位倍当当时，图象上的各点向左平移个单位倍当时，图象上的各点向右平移个单位倍③相位变换：10．反三角函数：第五章平面对量1．向量的有关概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。2．向量的运算：（1）、向量的加减法：三角形法则平行四边形法则向量的加法首位连结指向被减向量向量的减法三角形法则平行四边形法则向量的加法首位连结指向被减向量向量的减法（2）实数和向量的积：①定义：实数和向量的积是一个向量，记作：；②它的长度：；③：它的方向：当，和的方向相同；当，和的方向相反；当时，=；3．平面对量基本定理：假如是同一平面内的两个不共线的向量，那么对平面内的任一向量，有且只有一对实数，使；4．平面对量的坐标运算：（１）坐标运算：设，则设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则.（2）实数和向量的积的运算律:设，则λ，（3）平面对量的数量积：①定义：，.①平面对量的数量积的几何意义：向量的长度和在的方向上的投影的乘积；③、坐标运算:设,则；向量的模：；模④、设是向量的夹角，则。5、重要结论：（1）两个向量平行的充要条件：设，则（2）两个非零向量垂直的充要条件：设，则（3）两点的距离：（4）P（x，y）分线段P1P2的定比满意，且P1（x1，y1），P2（x2，y2）则定比分点坐标公式，中点坐标公式（5）平移公式：假如点P（x，y）按向量平移至P′（x′，y′），则6、解三角形：（1）三角形的面积公式：（2）正，余弦定理①正弦定理：②余弦定理：求角：第六章不等式一、不等式的基本性质：1．特值法是推断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。2．中间值比较法：先把要比较的代数式和“0”比，和“1”比，然后再比较它们的大小二．均值不等式：1.内容：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。即：若，则（当且仅当时取等号）2.基本变形：①；②若，则3.基本应用：求函数最值：留意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数的最小值。②若正数满意，则的最小值。三、肯定值不等式：，留意：上述等号“＝”成立的条件；五、不等式的解法：1.一元二次不等式的图解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）判别式：△2-4x1x1x2xyOx12x12xyOxyxyO二次函数的图象一元二次方程的根有两相异实数根有两相等实数根没有实数根一元二次不等式的解集“＞”取两边R一元二次不等式的解集“＜”取中间3.肯定值不等式的解法：（“＞”取两边，“＜”取中间）（1）当时，的解集是，的解集是（2）当时，，4.分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；⑴；（2）；5.高次不等式组的解法：数轴标根法。第七章直线和圆的方程一、直线1．直线的倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角α∈[0，π)．(2)直线的斜率，即(3)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率为2．直线的方程(1)点斜式：y－y0(x－x0)(2)斜截式：＋b(3)两点式：(4)截距式：(5)一般式＋＋0(A、B不同时为0)．3．两条直线的位置关系(1)平行：当直线l1和l2有斜截式方程时，k12且b1≠b2；(2)重合：当l1和l2有斜截式方程时，k12且b12；(3)相交：当l1，l2是斜截式方程时，k1≠k2（4）垂直：设两条直线和的斜率分别为和，则有一般式方程时，（优点：对斜率是否存在不探讨）（5）到角：直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到和重合时所转动的角，它的范围是，当时.（6）夹角：两条相交直线和的夹角，是指由和相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.（7）交点：求两直线交点，即解方程组4．点到直线的距离：设点，直线到的距离为.5.两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有.6.关于点对称和关于某直线对称：利用直线垂直，平行等解决7．简洁的线性规划线性规划的三种类型：1．截距型：形如,把z看作是y轴上的截距，目标函数的最值就转化为y轴上的截距的最值。2．斜率型：形如时,把z看作是动点和定点连线的斜率，目标函数的最值就转化为连线斜率的最值。3．距离型：形如时,可把z看作是动点和定点距离的平方，这样目标函数的最值就转化为距离平方的最值。二、曲线和方程：求曲线方程的步骤：①建系，设点；②列式；③代入④化简；⑤证明．三、圆1．．圆的方程:(1)标准方程(x－a)2＋(y－b)22．(a，b)为圆心，r为半径．(2)圆的一般方程：（.）（3）圆的参数方程：（为参数）.2．点和圆的位置关系：给定点及圆.①在圆内；②在圆上③在圆外3．直线和圆的位置关系：设圆圆：；直线：；圆心到直线的距离.①几何法：时，和相切；时，和相交；时，和相离.②代数法：方程组用代入法，得关于（或）的一元二次方程，其判别式为，则：和相切；和相交；和相离.留意：几何法优于代数法4．求圆的切线方法①若已知切点(x0，y0)在圆上，则切线只有一条。利用相切条件求k值即可。②若已知切线过圆外一点(x0，y0)，则设切线方程为y－y0(x－x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，留意不要漏掉平行于y轴的切线．5．圆和圆的位置关系：已知两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，则第八章圆锥曲线一．椭圆的定义标准方程及其几何性质定义第肯定义平面内和两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距．若为椭圆上随意一点，则有．其次定义平面内和定点的距离和它到定直线：的距离比是常数（）的轨迹叫椭圆．定点F是椭圆的一个焦点，定直线l是椭圆的一条准线，常数e椭圆的离心率方程图像关系焦点范围对称性坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心.顶点长短轴离心率(0<e<1)准线二．双曲线的定义标准方程及其几何性质定义第肯定义平面内和两个定点、的距离的差的肯定值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距．其次定义平面内和定点的距离和它到定直线：的距离比是常数（）的轨迹叫双曲线．定点F是双曲线的一个焦点，定直线l是双曲线的一条准线，常数e双曲线的离心率方程图像关系焦点范围对成性坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心.顶点实轴虚轴离心率(e>1)准线渐近线（）抛物线定义标准方程及其简洁几何性质定义平面内和肯定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线．标准方程图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点（0，0）离心率直线和圆锥曲线的位置关系1.直线和椭圆的位置关系的推断方法（1）代数法：直线l：0和圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系可分为：相交、相切、相离．设直线0,圆锥曲线C：f()=0;由消去y（或x）得：20(a≠0);令Δ2-4ac,则Δ>0⇔相交；Δ=0⇔相切；Δ<0⇔(2)几何法：求大致位置和满意条件的直线时可用，精确计算时不行用。2.弦长的计算：弦长公式.第九章立体几何1.平面的基本性质：三个公理及推论。2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面；3.直线和平面位置关系（1）直线在平面内——有多数个公共点。（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点（3）直线和平面平行——没有公共点直线和平面平行判定定理性质定理直线和平面垂直判定定理性质定理直线和平面所成的角（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和平面所成的角（2）一条直线垂直于平面，定义这直线和平面所成的角是直角（3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角三垂线定理在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直。三垂线逆定理在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。4.平面和平面位置关系：平行、相交（垂直是相交的一种特殊状况）空间两个平面两个平面平行判

定性

质（1）假如一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行（2）垂直于同始终线的两个平面平行（1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（2）假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面相交的两平面二面角：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角。两平面垂直判

定性

质假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直（1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面（2）假如两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于其次个平面的直线，在第一个平面内5.常用证明方法：(1)推断线线平行的常用方法：①a∥∥c,a∥c;②a∥αβ,α∩β＝ba∥b③a⊥α⊥αa∥b;④α∥β，α∩γ＝a,β∩γ＝ba∥b(2)判定线线垂直的常用方法.①a⊥α，bαa⊥b；

②b∥⊥ca⊥b③a⊥α，b∥αa⊥b；

④三垂线定理及逆定理(3)判定线面平行的常用方法：①定义

②aαα且a∥ba∥α.③α∥ββa∥β;

(4)判定线面垂直的常用方法①c⊥⊥b且aαα，b无公共点c⊥α；②a∥b且a⊥αb⊥α③α∥β且a⊥αa⊥β(5)判定面面平行的常用方法：①a、bβ∩b＝A，若a∥α∥αα∥β②a⊥α,α⊥βα∥β③α∥β，β∥rα∥γ(6)判定面面垂直的常用方法.①a⊥αβα⊥β

②α∥β，b⊥rβ⊥r③a⊥β∥αα⊥β

6．棱柱（1）棱柱的定义、分类，直棱柱、正棱柱的性质；（2）长方体的性质。（3）平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区分，以及它们的特有性质。（4）S侧＝各侧面的面积和；（5）。7．棱锥棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）相关计算：S侧＝各侧面的面积和，8．球的相关概念：（1）S球=4πR2V球＝πR3（2）球面距离的概念9.计算问题：计算步骤：一作、二证、三算（1）异面直线所成的角范围：0°＜θ≤90°方法：①平移法；②向量法.（2）直线和平面所成的角范围：0°≤θ≤90°方法：关键是作垂线，找射影.（3）二面角方法：①定义法；②射影面积法：S′θ三垂线法；③向量法.其中二面角的平面角的作法①定义法：由二面角平面角的定义做出平面角；②三垂线法：一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。（4）两点之间的距离.(5)点到直线的距离.(6)点到平面的距离：(1)干脆法，即干脆由点作垂线，求垂线段的长.(2)等体积法.(3)向量法(7)两条平行线间的距离.(8)两异面直线间的距离(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线和平面的距离.(3)向量法(9)平面的平行直线和平面之间的距离.(10)两个平行平面之间的距离.(11)球面距离第十章排列组合和二项式定理概率一．排列组合1.计数原理①分类原理：123+…(分类)②分步原理：1·n2·n3·…(分步)2.排列（有序）和组合（无序）(n－1)(n－2)(n－3)…(n－1)=!=－m＋＋1=11k•(1)!－k!三.排列、组合问题几大解法：总原则：先选后排，先分再排1、多排问题直排法：把n个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法来处理．2、特殊元素优先法：对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的支配。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。3、相邻问题捆绑法：对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再和其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。4、不相邻问题插空法：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（有时候两端的空隙的插法是不符合题意的）5、正难则反解除法（或淘汰法）：对于含有否定词语“至多”，“至少”类的问题，从正面解决不简洁，可以考虑从其反面来解决。即总体中把不符合要求的除去，应