备考中考数学考点精讲精练第7讲 二次函数表达式的确定（含抛物线的变化）（题型突破+专题精练）（含答案与解析）

第第页→➌题型突破←→➍专题训练←题型一待定系数法确定二次函数1．（2022·山东泰安）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x-2-106y0461下列结论不正确的是（

）A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数的最大值为2．（2022·浙江杭州）已知二次函数（a，b为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（

）A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④3．（2022·四川成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．4．（2022·四川自贡）已知二次函数．(1)若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与轴交点及顶点的坐标；(2)在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值时自变量的取值范围；(3)若且，一元二次方程两根之差等于，函数图象经过，两点，试比较的大小．5．（2021·广东中考真题）已知抛物线（1）当时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点、，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．题型二抛物线的平移6．（2022·浙江嘉兴）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．(1)求抛物线L1的函数表达式．(2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．(3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．7.（2022·四川凉山）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．(1)求抛物线的解析式；(2)求点P的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2021·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和．（1）求抛物线的对称轴．（2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线．①求抛物线的解析式．②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

9．（2022·浙江舟山）已知抛物线：（）经过点．(1)求抛物的函数表达式．(2)将抛物线向上平移m（）个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线上，求m的值．(3)把抛物线向右平移n（）个单位得到抛物线．已知点，都在抛物线上，若当时，都有，求n的取值范围．10．（2021·河南中考真题）如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点．

（1）求和的值；（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．题型三抛物线的翻折11．（2022·湖南衡阳）如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点．(1)写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式；(2)若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值；(3)为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

→➌题型突破←→➍专题训练←题型一待定系数法确定二次函数1．（2022·山东泰安）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x-2-106y0461下列结论不正确的是（

）A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数的最大值为【答案】C【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可【详解】解：由题意得，解得，∴抛物线解析式为，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，该函数的最大值为，故A、B、D说法正确，不符合题意；令，则，解得或，∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．2．（2022·浙江杭州）已知二次函数（a，b为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（

）A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④【答案】A【分析】根据对称轴为直线，确定a的值，根据图像经过点（3，0），判断方程的另一个根为x=-1，位于y轴的两侧，从而作出判断即可．【详解】假设抛物线的对称轴为直线，则，解得a=-2，∵函数的图像经过点(3，0),∴3a+b+9=0，解得b=-3，故抛物线的解析式为，令y=0，得，解得，故抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；故命题②，③，④都是正确，命题①错误，故选A．【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，抛物线与x轴的交点，对称轴，熟练掌握待定系数法，抛物线与x轴的交点问题是解题的关键．3．（2022·四川成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．【答案】

【分析】根据题意，得-45+3m+n=0，，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可．【详解】根据题意，得-45+3m+n=0，，∴，∴，解得m=50，m=10，当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴n＞0，∴，∵对称轴为t==1，a=-5＜0，∴时，h随t的增大而增大，当t=1时，h最大，且（米）；当t=0时，h最最小，且（米）；∴w=，∴w的取值范围是，故答案为：．当时，的取值范围是∵对称轴为t==1，a=-5＜0，∴时，h随t的增大而减小，当t=2时，h=15米，且（米）；当t=3时，h最最小，且（米）；∴w=，w=，∴w的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．4．（2022·四川自贡）已知二次函数．(1)若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与轴交点及顶点的坐标；(2)在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值时自变量的取值范围；(3)若且，一元二次方程两根之差等于，函数图象经过，两点，试比较的大小．【答案】(1)，；；(2)见详解；；(3)．【分析】（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，可得所求点的坐标；（2）由题意画出图象，结合图象写出的取值范围；（3）根据题意分别求出，，将点P点Q的坐标代入分别求出，利用作差法比较大小即可．(1)解：∵，且函数图象经过，两点，∴，∴二次函数的解析式为，∵当时，则，解得，，∴抛物线与轴交点的坐标为，，∵，∴抛物线的顶点的坐标为．(2)解：函数的大致图象，如图①所示：当时，则，解得，，由图象可知：当时，函数值．(3)解：∵且，∴，，，且一元二次方程必有一根为，∵一元二次方程两根之差等于，且∴方程的另一个根为，∴抛物线的对称轴为直线：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴∵，，∴，，∴，∵b＞c,∴-1-c＞c,∴,∴，∴．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，数形结合的思想，求出b与c的关系是解题的关键．5．（2021·广东中考真题）已知抛物线（1）当时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点、，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．【答案】（1）不在；（2）（2，5）；（3）x顶点=或x顶点或x顶点【分析】（1）先求出函数关系式，再把（2，4）代入进行判断即可；（2）根据二次函数的顶点坐标公式求出抛物线顶点纵坐标，最大值即为顶点最高点的纵坐标，代入求解即可；（3）运用待定系数法求出直线EF的解析式，代入二次函数解析式，求出交点坐标，再根据题意分类讨论，求出m的值即可．【详解】解：（1）把m=0代入得，当x=2时，所以，点（2，4）不在该抛物线上；（2）=∴抛物线的顶点坐标为（，）∴纵坐标为令∵∴抛物线有最高点，∴当m=3时，有最大值，将m=3代入顶点坐标得（2，5）；（3）∵E（-1，-1），F（3，7）设直线EF的解析式为把点E，点F的坐标代入得解得，∴直线EF的解析式为将代入得，整理，得：解得则交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），

而（2，5）在线段EF上，

∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，

∴m+1＜-1或m+1＞3或m+1=2（此时2m+3=5），

∴此时抛物线顶点横坐标x顶点=或x顶点=或x顶点=【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，解题关键是注意数形结合思想的运用．题型二抛物线的平移6．（2022·浙江嘉兴）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．(1)求抛物线L1的函数表达式．(2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．(3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．【答案】(1)(2)的值为4(3)【分析】（1）把代入即可解得抛物线的函数表达式为；（2）将抛物线向上平移个单位得到抛物线，顶点为，关于原点的对称点为，代入可解得的值为4；（3）把抛物线向右平移个单位得抛物线为，根据点B(1，y1)，C(3，y2)都在抛物线上，当y1＞y2时，可得，即可解得的取值范围是．(1)解：把代入得：，解得，；答：抛物线的函数表达式为；(2)解：抛物线的顶点为，将抛物线向上平移个单位得到抛物线，则抛物线的顶点为，而关于原点的对称点为，把代入得：，解得，答：的值为4；(3)解：把抛物线向右平移个单位得到抛物线，抛物线解析式为，点，都在抛物线上，，，y1＞y2，，整理变形得：，，解得，的取值范围是．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称及平移变换等知识，解题的关键是能得出含字母的式子表达抛物线平移后的解析式．7.（2022·四川凉山）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．(1)求抛物线的解析式；(2)求点P的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先求出抛物线的对称轴，再设点的坐标为，则，根据旋转的性质可得，从而可得，将点代入抛物线的解析式求出的值，由此即可得；（3）先根据点坐标的平移规律求出点，作点关于轴的对称点，连接，从而可得与轴的交点即为所求的点，再利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得出答案．(1)解：将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为．(2)解：抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为，设点的坐标为，则，由旋转的性质得：，，即，将点代入得：，解得或（舍去），当时，，所以点的坐标为．(3)解：抛物线的顶点的坐标为，则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点，这时点落在点的位置，且，，即，恰好在对称轴直线上，如图，作点关于轴的对称点，连接，则，由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小，由轴对称的性质得：，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，当时，，故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为．【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标的平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键．8．（2021·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和．（1）求抛物线的对称轴．（2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线．①求抛物线的解析式．②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）x=2.5；（2）①；②1或【分析】（1）根据函数图像所过的点的特点结合函数性质，可知两点中点横坐标即为对称轴；（2）①根据平移可得已知点平移后点的坐标，平移过程中a的值不发生改变，所以利用交点式可以求出函数解析式；②根据条件求出A、B、C、D四点的坐标，由条件可知三角形相似有两种情况，分别讨论两种情况，根据相似的性质可求出m的值．【详解】解：（1）因为抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点，这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对称轴是x=（1+4）÷2=2.5,；（2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（-1,0），（2,0），将点（-1,0），（2,0），a=-1，根据交点式可求出C1二次函数表达式为；②根据①中的函数关系式，可得A（2,0），B（-1,0），C（0,2），D（m，），且m＞0由图像可知∠BOC=∠DEO=90°，则以点，，为顶点的三角形与相似有两种情况，（i）当△ODE∽△BCO时，则，即，解得m=1或-2（舍），（ii）当△ODE∽△CBO时，则，即，解得所以满足条件的m的值为1或．【点睛】本题主要考查了一元二次函数图形的平移、表达式求法、相似三角形等知识点，熟练运用数形结合是解决问题的关键．9．（2022·浙江舟山）已知抛物线：（）经过点．(1)求抛物的函数表达式．(2)将抛物线向上平移m（）个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线上，求m的值．(3)把抛物线向右平移n（）个单位得到抛物线．已知点，都在抛物线上，若当时，都有，求n的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据待定系数法即可求解．（2）根据平移的性质即可求解．（3）根据平移的性质对称轴为直线，，开口向上，进而得到点P在点Q的左侧，分两种情况讨论：①当P，Q同在对称轴左侧时，②当P，Q在对称轴异侧时，③当P，Q同在对称轴右侧时即可求解．(1)解：将代入得：，解得：，∴抛物线的函数表达式：．(2)∵将抛物线向上平移m个单位得到抛物线，∴抛物线的函数表达式：．∴顶点，∴它关于O的对称点为，将代入抛物线得：，∴．(3)把向右平移n个单位，得：，对称轴为直线，，开口向上，∵点，，由得：，∴点P在点Q的左侧，①当P，Q同在对称轴左侧时，，即，∵，∴，②当P，Q在对称轴异侧时，∵，∴，解得：，③当P，Q同在对称轴右侧时，都有（舍去），综上所述：．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象平移变换，熟练掌握待定系数法及平移的性质结，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键．10．（2021·河南中考真题）如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点．

（1）求和的值；（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．【答案】（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或．【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值；（2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在与上，∴，，解得：，；（2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为，解方程，得：．∴点B的横坐标为，纵坐标为，∴点B的坐标为(-1，3)，观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方，∴不等式>的解集为或；（3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1，∵点A(2，0)，点B(-1，3)，∴点A1(-1，0)，点B1(-4，3)，∴AA1BB13，且AA1∥BB1，即MN为AA1、BB1相互平行的线段，对于抛物线，∴顶点为(1，-1)，如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线