山东省巨野县2023年数学九年级上册期末经典试题含解析

山东省巨野县2023年数学九上期末经典试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.下列说法正确的是（）

A.了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查

B.一组数据3,6,6,7,9的中位数是6

C.从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000

D.一组数据1,2,3,4,5的方差是10

2.下列命题为假命题的是（）

A.直角都相等B.对顶角相等

C.同位角相等D.同角的余角相等

3.如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC=8,OB=5,则OM的长为（）

A.1B.2C.3D.4

4.已知关于x的方程好+以+。=0有一个根是-a（aWO）,贝!Ia-方的值为（）

A.a-h=lB.a-b=-1C.a-b=0D.a-b=±1

5.如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=1.点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上.若四边形

EGFH是菱形，则AE的长是（）

A.275B.375C.5D.6

6.一元二次方程2/—3%-5=0的根的情况是（）

有两个不相等实数根B.有两个相等实数根C.没有实数根D.无法确定

7.若反比例函数y=-的图象上有两点Pi（1,yi）和P2（2,y）,那么（）

x2

A.yi>yz>0B.yz>yi>0C.yiVy2VoD.yz<yi<0

8.已知抛物线y二如？+8x+c经过点（T,w）,（-3,“），若X1,马是关于工的一元二次方程办？+法+。=0的两个

根，且-4<$<-3,x2>0,则下列结论一定正确的是（）

m

A.m+n>0B.m-n<0C.m-n<0D.—>0

n

9.如图,在同一直角坐标系中,正比例函数y=kx+3与反比例函数y=-的图象位置可能是（）

X

10.分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到封闭图形就是莱洛三角形，如图，已知等边AABC,

AB=2,则该莱洛三角形的面积为（）

2

A.2兀B.-7T-y/3C.2万一3GD.2万一2百

3

11.菱形具有而矩形不具有的性质是（）

A.对边相等B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

12.把抛物线.丫=-2/+4》+1的图象绕着其顶点旋转180。，所得抛物线函数关系式是（）

A.y=2x23-4x-lB.y=2x2-4x+5C.y=-2x2+4x-lD.y=-lx1-4x+5

二、填空题（每题4分，共24分）

13.若关于x的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为.

14.一组数据6,2,-1,5的极差为.

15.如图，将边长为4的正方形A8CD沿其对角线AC剪开，再把AABC沿着方向平移，得到V49C,当两个

三角形重叠部分的面积为3时，则AA'的长为.

17.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降

价的百分率为

18.已知一元二次方程/+攵一3=0有一个根为一2,则A的值为.

三、解答题（共78分）

19.（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于点尸⑼和实数伙女＞0）,给出如下定义：当履+。＞0时，以点尸为圆

心，依+人为半径的圆，称为点P的人倍相关圆.

例如，在如图1中，点P（l,l）的1倍相关圆为以点P为圆心，2为半径的圆.

（1）在点在（2,1）,鸟（1,一3）中,存在1倍相关圆的点是.,该点的1倍相关圆半径为

（2）如图2,若M是x轴正半轴上的动点，点N在第一象限内，且满足NMON=30°,判断直线ON与点"的;

倍相关圆的位置关系，并证明.

（3）如图3,已知点4（0,3）,8（1,加），反比例函数y=9的图象经过点8,直线/与直线AB关于＞轴对称.

X

①若点C在直线/上，则点。的3倍相关圆的半径为.

②点。在直线上，点。的;倍相关圆的半径为R,若点。在运动过程中，以点。为圆心，为半径的圆与反比

例函数丫=9的图象最多有两个公共点，直接写出〃的最大值.

X

图3

20.（8分）2019年第六届世界互联网大会在乌镇召开，小南和小西参加了某分会场的志愿服务工作，本次志愿服务工

作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员.请你用画树状图或列表法求出小南和小西恰好被分配到同

一个岗位进行志愿服务的概率.

21.（8分）如图，在心AABC中，ZACB=90，ZA=3O,以8为顶点在8C边上方作菱形DBM,使点DE分

别在AB,BC边上,另两边EF,DF分别交AC于点M,N,且点M恰好平分

（1）求证：DMLEF；

（2）请说明：MN?=NF-DN.

22.（10分）如图，在正方形ABCD中，等边AAEF的顶点E、F分别在BC和CD上.

（1）、求证：AABEgZ\ADF；

（2）、若等边AAEF的周长为6,求正方形ABCD的边长.

23.（10分）如图，在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影

部分）面积是原矩形面积的80%,求所截去小正方形的边长.

24.（10分）甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘分别被分成面积相等的3个扇形）做游戏，游戏规则：甲

转动A盘一次，乙转动8盘一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获

胜.若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘.请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的

结果；并求出甲获胜的概率.

25.(12分)如图，在△ABC中，CD±AB,DE±AC,DF±BC,垂足分别为D,E,F.

(1)求证：CE«CA=CF«CB；

(2)EF交CD于点O,求证：△COES/IFOD；

26.（阅读材料）某校九年级数学课外兴趣探究小组在学习完《第二十八章锐角三角函数》后，利用所学知识进行深度

探究，得到以下正确的等量关系式：

sin（a+4）=sina•cos（3+cosa•sin尸，sin（a-p）-sina-cos°-cosa♦sin夕

cos（a+/?）=cosa-cos尸一sina•sin尸，cos（a-/7）=cosa-cos尸+sina•sin/3

,c、tan£z+tanZ7,小tana-tanB

tan（«+/?）=---------------,tan®-p）=---------------,

1-tana-tan（31+tana-tan/3

（理解应用）请你利用以上信息求下列各式的值：（Dsin15°;（2）cos1050

（拓展应用）（3）为了求出海岛上的山峰A3的高度，在。处和尸处树立标杆CD和EF,标杆的高都是3丈，D,F

两处相隔1000步（1步等于6尺），并且和所在同一平面内，在标杆CO的顶端。处测得山峰顶端A的仰

角75。，在标杆£尸的顶端E处测得山峰顶端A的仰角30。，山峰的高度即AB的长是多少步？（结果保留整数）（参

考数据：V2«1.4,V3«1.7,V5«2.2,76«2.4）

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1,B

【解析】选项A,了解飞行员视力的达标率应使用全面调查，此选项错误；

选项B,一组数据3,6,6,7,9的数的个数是奇数，故中位数是处于中间位置的数6,此选项正确；

选项C,从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量应该是200,此选项错误；选项D,一组数据1,2,

3,4,5的平均数=；(1+2+3+4+5)=3,方差[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2,此选项错误.

故答案选B.

2、C

【解析】根据直角、对顶角的概念、同位角的定义、余角的概念判断.

【详解】解：A、直角都相等，是真命题；

B、对顶角相等，是真命题；

C、两直线平行，同位角相等，则同位角相等是假命题；

D、同角的余角相等，是真命题；

故选：C.

【点睛】

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中

的性质定理.

3、C

【分析】由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后运用勾股定理求得AB、CD的长，又由M是

AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，即可解答.

【详解】解：是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5,

.*.AC=2OB=10,

CD=AB=7AC2-BC2=A/102-82=6，

•••M是AD的中点，

/.OM=—CD=1.

2

故答案为C.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

是解题的关键.

4、B

【分析】把*=-a代入方程得到一个二元二次方程，方程的两边都除以a,即可得出答案.

【详解】把*=-a代入方程得：（-a）2-ab+a=O,

a2-ab+a=O,

Va^O,

工两边都除以a得：a-b+l=0,

即a-b=-1,

故选:B.

【点睛】

此题考查一元二次方程的解，是方程的解即可代入方程求其他未知数的值或是代数式的值.

5、C

【解析】试题分析：连接EF交AC于点M,由四边形EGFH为菱形可得FM二EM,EF±AC；利用"AAS或ASA”

易证AFMC丝ZXEMA,根据全等三角形的性质可得AM=MC；在RtAABC中，由勾股定理求得AC=4j^，且

BC11/-EM1(-

tanZBAC=——=-；在RtAAME中，AM=—AC=245,tanZBAC=------=-可得EM=45;在RtAAME中,

AB22AM2

由勾股定理求得AE=2.故答案选C.

考点：菱形的性质：矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数.

6、A

【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=49>0,由此即可得出方程有两个不相等的实数根.

【详解】解：•••在方程2f—3x—5=0中，A=(-3>-4仓必(-5)W9X),

A方程—3x-5=0有两个不相等的实数根.

故选:A.

【点睛】

本题考查了根的判别式，熟练掌握“当A>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.

7、A

【详解】•••点Pi(byi)和P2(2,y2)在反比例函数v=」的图象上，

X

y2=g，

•"•yi>y2>1.

故选A.

8、C

【分析】根据a的符号分类讨论，分别画出对应的图象，然后通过图象判断m和n的符号，找到这两种情况下都正确

的结论即可.

【详解】解：当a>0时，如下图所示，

由图可知：当为<》<£时，y<0;当或时，y>0

•:-4<<-3<0<x2

Am>0,n<0,

此时：加+〃不能确定其符号，故A不一定成立;

j篦一〃>0,故B错误；

m-n<0,故C正确；

rvi

-<o,故D错误.

n

当a<0时，如下图所示，

由图可知：当演<》<£时，y>o；当XV*或时，y<0

•:—4<玉v—3VOV/

.•.mVO,n>0,

此时：机+〃不能确定其符号，故A不一定成立；

m-n<0,故B正确；

m•n<0,故C正确；

-<0,故D错误.

n

综上所述：结论一定正确的是C.

故选C.

【点睛】

此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与二次项系数的关系、分类讨论的数学思想和数形

结合的数学思想是解决此题的关键.

9,A

【解析】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据反比例函数的性质判断出k的取值，二者一致的即为正确答案.

【详解】当k>0时，有丫=1«+3过一、二、三象限，反比例函数y=七的过一、三象限，A正确；

X

由函数y=kx+3过点（0,3）,可排除B、C；

当k<0时，y=kx+3过一、二、四象限，反比例函数y=A的过一、三象限，排除D.

x

故选A.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限.

10、D

【分析】莱洛三角形的面积为三个扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，代入已知数据计算即可.

【详解】解：如图所示，作AD_LBC交BC于点D,

•••△ABC是等边三角形，

.*.AB=AC=BC=2,ZBAC=ZABC=ZACB=60°

VAD±BC,

.*.BD=CD=1,AD=百，

AS=-BC-AD=-x2xyf3=2yf3,

ABCC22

_60TTX22_2»

扇形MC-360F

...莱洛三角形的面积为3s扇形BAC—2SABC=3X了-26=24-20

故答案为D.

【点睛】

本题考查了不规则图形的面积的求解，能够得出“莱洛三角形的面积为三个扇形的面积相加，再减去两个等边三角形

的面积”是解题的关键.

11、D

【分析】根据菱形和矩形都是平行四边形，都具备平行四边形性质，再结合菱形及矩形的性质，对各选项进行判断即

可.

【详解】解：因为菱形和矩形都是平行四边形，都具备平行四边形性质，即对边平行而且相等，对角相等，对角线互

相平分.

A、对边平行且相等是菱形矩形都具有的性质，故此选项错误；

8、对角相等是菱形矩形都具有的性质，故此选项错误；

C、对角线互相平分是菱形矩形都具有的性质，故此选项错误；

。、对角线互相垂直是菱形具有而矩形不具有的性质，故此选项正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查了平行四边形、矩形及菱形的性质，属于基础知识考查题，同学们需要掌握常见几种特殊图形的性质及特点.

12、B

【分析】根据图象绕顶点旋转180。，可得函数图象开口方向相反，顶点坐标相同，可得答案.

［详解］y=-2x2+4x+l

=-2(f—2x+l—1)+1

=—2(x—1)~+3)

.•.该抛物线的顶点坐标是(1,3),

...在旋转之后的抛物线解析式为：

y=2(x-l)2+3=2x2-4x+5.

故选:B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移和旋转，解决本题的关键是理解绕抛物线的顶点旋转180°得到新函数的二次项的系

数符号改变，顶点不变.

二、填空题(每题4分，共24分)

1

13、—

8

【解析】根据“关于X的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一

次方程，解之即可.

【详解】根据题意得：

△=l-4x2m=0,

整理得：l-8m=0,

解得：m=-,

8

故答案为：—.

O

【点睛】

本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键.

14、7

【解析】根据极差的定义，一组数据的最大值与最小值的差为极差，所以这组数据的极差是7,故答案为:7.

15、1或1

【分析】设AC、A"交于点E,DC、AC交于点F,且设=则4石=加'=x,4〃=4一x,列出方

程即可解决问题.

【详解】设AC、A9交于点E,DC,AC'交于点F,且设A4'=x,则，夕=AA'=x,A'D=4-x，

重叠部分的面积为x(4-x),

由x(4-x)=3,

解得x=l或1.

即A4'=l或1.

故答案是1或1.

【点睛】

本题考查了平移的性质、菱形的判定和正方形的性质综合，准确分析题意是解题的关键.

16>x(x-2)

【分析】提取公因式X,整理即可.

【详解】解:X2-2x=x(x-2).

故答案为：x(x-2).

【点睛】

本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式.

17、10%

【解析】设该种商品每次降价的百分率为X%,根据“两次降价后的售价=原价x(L降价百分比)的平方”，即可得出

关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论.

【详解】设该种商品每次降价的百分率为X%,

依题意得：400X(1-X%)2=324,

解得：x=得,或x=190(舍去).

答：该种商品每次降价的百分率为10%.

故答案为：10%

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据数量关系得出关于x的一元二次方程.

18、-1

【分析】根据一元二次方程的根的定义，即可求解.

【详解】•••一元二次方程》2+k—3=0有一个根为-2,

(-2)2+k-3=0,解得:k=-l,

故答案是：-1.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程方程根的定义，掌握一元二次方程根的定义，是解题的关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)解：耳，3(2)解：直线ON与点M的J倍相关圆的位置关系是相切.(3)①点C的3倍相关圆的半径是

3；②〃的最大值是土叵.

10

【分析】(1)根据点尸的攵倍相关圆的定义即可判断出答案；

(2)设点”的坐标为(无,0),求得点M的!倍相关圆半径为‘X,再比较与点M到直线直线ON的距离即可判断;

22

(3)①先求得直线/的解析式，

【详解】(1)4(2,1)的1倍相关圆，半径为：lx2+l=3,

6(1,—3)的1倍相关圆，半径为：1x1-3=—2,不符合，

故答案为：々，3；

(2)解：直线ON与点"的1倍相关圆的位置关系是相切，

证明：设点"的坐标为(X,O),过/点作MP_LON于点P,

：.OM=x,

,：AMON=30°,MPLON,

...点”的;倍相关圆半径为MP,

直线ON与点M的!倍相关圆相切，

2

(3)①•••反比例函数V=9的图象经过点8,

X

:・m=—=6,

1

...点B的坐标为：(1,6),

,••直线经过点A(o,3)和3(1,6),

设直线AB的解析式为y=kx+3,

把3(1,6)代入得：k=T,

•••直线A8的解析式为：y=x+3,

■:直线/与直线AB关于y轴对称，

直线/的解析式为：y=-x+3,

•.•点C在直线/上，

设点C的坐标为：(。,一3。+3),

.•.点C的3倍相关圆的半径是：3a+(-3a+3)=3,

故点C的3倍相关圆的半径是3；

②〃的最大值是题.

10

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了新定义，理解和应用新定义解决问题，点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，还

涉及到平面坐标系内，一次函数的性质，反比例函数的性质，两点间的距离公式，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，熟练掌握待定系数法，属于中考压轴题.

1

20、-

3

【分析】分别用字母A,B,C代替引导员、联络员和咨询员岗位，利用列表法求出所有等可能结果，再根据概率公式

求解可得.

【详解】分别用字母A,B,C代替引导员、联络员和咨询员岗位，用列表法列举所有可能出现的结果：

小西

ABc

小南

A(A,A)(A,B)(A,C)

B(B,A)(B,B)(B,C)

C(C,A)(C,B)(C,C)

由表中可以看出，所有可能的结果有9种，并且这9种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，小南和小西恰好

被分配到同一个岗位的结果有3种，即AA,BB,CC,

31

.•.小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率.

【点睛】

考查随机事件发生的概率，关键是用列表法或树状图表示出所有等可能出现的结果数，用列表法或树状图的前提是必

须使每一种情况发生的可能性是均等的.

21、(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】(D根据四边形。8石厂是菱形，得到。歹=所，又NF=NB=60

推出OE=OF,又点M恰好平分M,三线合一,DM±EF

(2)可证=再证ADNM^MNF,从而求得

【详解】证明：

(1)连接OE,

VZACB=9Q，ZA=30,

；•N8=ZACB—ZA=90-30=60.

•••四边形。庞万是菱形，

AEF//AB,DF=EF,NF=NB=60

:.ADEF是等边三角形.

是所的中点，

ADM±EF

(2)VDMA.EF,

二ZDMF=90.

二ZMDE=90-ZF=30.

VEF//AB,

二NNMF=ZA=3D.

二4MDE=4NMF=30.

AZNMF=ZA=30.

：.ZDMN=ZF.

M)NMAMNF.

•_M__N___D__N_

,•而一诉.

MN2=NF-DN.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、三线合一以及相似三角形的性质.

22、（1）证明见解析；（2）叵!巫.

2

【解析】试题分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，得出AB=AD,NB=ND=90。，再根据△AEF是等边三角形，

得出AE=AF,最后根据HL即可证出4ABE^AADF；

（2）根据等边4AEF的周长是6,得出AE=EF=AF的长，再根据（1）的证明得出CE=CF,ZC=90°,从而得出AECF

是等腰直角三角形，再根据勾股定理得出EC的值，设BE=x,贝!]AB=x+0,在RtAABE中，AB2+BE2=AE2,求出

x的值，即可得出正方形ABCD的边长.

试题解析：（1）证明：,••四边形ABCD是正方形，

.*.AB=AD,

•••△AEF是等边三角形，

，AE=AF,

在RtAABE和RtAADF中，

VAB=AD,AE=AF

ARtAABE^RtAADF；

（2）;等边△AEF的周长是6,

/.AE=EF=AF=2,

XVRtAABE^RtAADF,

ABE=DF,

/.CE=CF,ZC=90°,

即AECF是等腰直角三角形，

由勾股定理得CE2+CF2=EF2,

/.EC=V2，

设BE=x,贝！jAB=x+0,

在RtAABE中，AB2+BE2=AE2,即（x+/）2+x2=4,

—

Agzs-A/2+>/65/2—>/6,仝土、

解得X尸----------或X2=---------------（舍去），

22

...AB=。捶.+0=&+#,

22

二正方形ABCD的边长为也+的.

2

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质;

23、截去的小正方形的边长为2cm.

【分析】由等量关系：矩形面积-四个全等的小正方形面积=矩形面积x80%,列方程即可求解

【详解】设小正方形的边长为xcm,由题意得

10x8-1X2=80%X10X8,

80-1x2=61,

叱=16,

解得：X1=2,X2=-2,

经检验a=2符合题意，X2=-2不符合题意，舍去;

所以x=2.

答：截去的小正方形的边长为2cm.

24、见解析，,

9

【分析】先列表或画出树状图，再根据表格或树状图得出所有可能出现的结果，然后找出结果为偶数的，利用概率公

式计算即可.

【详解】由题意，列表或树状图表示所有可能如下所示:

"甲■□ihflun和

Ld(1.))4

二4<1.4)3

(L$>6

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开的•一2一4(2>4)6

(2.S)

■】7

7《3・)).

.44)7

□□<1.4)*

由此可知，共有9种可能的结果，每一种可能性相同，其中和为偶数的结果有5种

所以甲获胜的概率为，.

9

【点睛】

本题考查了利用列举法求概率，依据题意，正确列出表格或画出树状图是解题关键.

25、(1)证明见解析；(2)证明见解析

【分析】(1)本题首先根据垂直性质以及公共角分别求证△CEDsaCDA,ACDF-ACBD,继而以CD?为中间变

量进行等量替换证明本题.

(2)本题以第一问结论为前提证明△CEFs^CBA,继而根据垂直性质证明NOFD=ZECO,最后利用“角角”判定

证明相似.

【详解】(D由已知得：NCED=NCDA=90。，ZECD=ZDCA,

.,.△CED^ACDA,

CECD,

—=—,即anCD2=CE»CA,

CDCA

又,.•NCFD=