高考数学一轮复习试题第8节 函数与方程

第8节函数与方程

考试要求1.理解函数的零点与方程的解的联系2理解函数零点存在定理，并能

简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.

||知识诊断•基础夯实

知识梳理

1.函数的零点

(1)概念：对于一般函数y=/U),我们把使/U)=0的实数x叫做函数y=/U)的零

点.

(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：

方程/U)=。

有实数解

2.函数零点存在定理

(1)条件:①函数y=/W在区间3,切上的图象是一条连续不断的曲线;②四皿＜0.

(2)结论：函数y=/(x)在区间(a,/?)内至少有一个零点，即存在c£(a,b),使得丘)

=0,这个c也就是方程式x)=0的解.

常用结论

1.若连续不断的函数7W在定义域上是单调函数，则/W至多有一个零点.函数的零

点不是一个“点”，而是方程/U)=o的实根.

2.由函数尸危)(图象是连续不断的)在闭区间［a,上有零点不')产工)

一定能推出.人。)次加＜0,如图所示，所以人a)次勿＜0是y=/(x)在。卜Hr

闭区间［a,切上有零点的充分不必要条件.

3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.

|j诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)函数«r)=2x的零点为0.()

(2)图象连续的函数y=/U)(xdD)在区间(a,与u。内有零点，则；(0负份＜0.()

(3)二次函数、=加+笈+<?(。#0)在b2—4ac<Q时没有零点.()

答案(1)V(2)X(3)V

解析(2成0式与<0是连续函数y=«r)在S，份内有零点的充分不必要条件，故

(2)错误.

2.(多选)(2021.威海调研)下列说法中正确的是()

A.函数/(x)=x+l的零点为(一1,0)

B.函数/U)=x+1的零点为一1

C.函数/U)的零点，即函数/U)的图象与x轴的交点

D.函数/U)的零点，即函数/U)的图象与x轴的交点的横坐标

答案BD

解析根据函数零点的定义，可知/U)=x+1的零点为一1.函数y=/(x)的零点，

即函数y=/(x)的图象与％轴的交点的横坐标，因此B,D正确，A,C错误.

3.(2022・武汉期末)函数/0)=3'+无一2的零点所在的一个区间是()

A.(0,1)B.(l,2)

C.(-2,-1)D.(—1,0)

答案A

解析,A0)=-i,/(i)=2,故.穴o)/u)vo,由零点存在定理可知_/u)的零点所在的

一个区间是(0,1).

4.(2019•全国III卷)函数火x)=2sinx—sin2x在［0,2无］的零点个数为()

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析由2sinx—sin2x=0,得sinx=0或cosx=l.

又xW［0,2TI］,由sinx=0,得x=0,n,2n.

由cosx=l,得x=0,2n.

.•犹x)=0有三个实根0,兀，2兀，即在［0,2用上有三个零点.

5.(易错题涵数段)=加一无一1有且仅有一个零点，则实数。的值为.

答案0或一1

解析当«=0时，儿r)=-X—1,

令贝犬)=0得尤=—1,

故yu)只有一个零点为一L

当aWO,则/=l+4a=0,

6.函数./U)=x2'—日一2在区间(1,2)内有零点，则实数Z的取值范围是.

答案(0,3)

一一2

解析令兀0=0，，》2］一乙一2=0,即％=2*-—，

2

即y=左与g(x)=2x—?元e(i,2)的图象有交点，

2

又以尤)=2、一嚏在(1,2)上单调递增，

且夕(1)=0,3(2)=3.

：.0<k<3.

［考点突破•题型剖析

考点一函数零点所在区间的判断

1.(多选)(2021.荷泽质检)函数,/(x)=ex—x—2在下列哪个区间内必有零点()

A.(-2,-1)B.(-h0)

C.(0,1)D.(l,2)

答案AD

解析X-2)=^2>0,/-l)=1-l<0,/(0)=-l<0,/(l)=e-3<0，A2)=e*2-4>0,

因为人一2>犬-l)<0,Al)/2)<0,所以於)在(-2,—1)和(1,2)内存在零点.

2

2.函数式刈=2，一提一。的一个零点在区间(1,2)内，则实数。的取值范围是()

A.(l,3)B.(l,2)C.(0,3)D.(0,2)

答案C

解析因为函数兀r)=2'—a在区间(1,2)上单调递增，又函数人力=2，一：一a

的一个零点在区间(1,2)内,则有穴1)贝2)<0,

所以(一4/)(4—1—a)<0,即a(a—3)<0,所以0<a<3.

3.(2022・长沙调研)设函数1%)=5—111》,则函数y=7(x)()

A.在区间(；，1),(1,e)内均有零点

B.在区间(，1),(1,e)内均无零点

C.在区间g,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点

D.在区间Q，1)内无零点，在区间(1,e)内有零点

答案D

解析令外)=0得/x=lnx.

作出函数y=gx和y=lnx的图象，如图，

ex

显然y=Ax)在g，I)内无零点，在(1，e)内有零点.

4.若a<b<c,则函数7(x)=(x—a)(x—Z?)+(x—b)(x—c)+(x—c)(x—a)的两个零点分

别位于区间()

A.(a,b)和(b,c)内

B.(—8,a)和(a,Z?)内

C.(b,c)和(c,+8)内

D.(—8,a)和(c,+8)内

答案A

解析a<b<c,

/.y(a)=(a—b)(a—c)>0,

j[b)=(b—c)(b—«)<0,

/(c)=(c—a)(c—。)>0,

由函数零点存在性定理可知，在区间(a,b),3,c)内分别存在零点，又函数段)

是二次函数，最多有两个零点，因此函数/(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,

c)内.

感悟提升确定函数7U)的零点所在区间的常用方法：

(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=/(x)在区间[d句上的图象是否连续，

再看是否有|a)负加<0.若有，则函数y=/(x)在区间(a,份内必有零点.

(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用

图象法求解，如/(x)=g(x)—〃(x),作出y=g(x)和y=〃(x)的图象，其交点的横坐标

即为函数/U)的零点.

考点二函数零点个数的判定

例1(1)已知函数y=/U)是周期为2的周期函数，且当1]时，次x)=2M—

1,则函数F(x)=y(x)一|igx|的零点个数是()

A.9B.10C.llD.18

答案B

解析由函数y=/(x)的性质，画出函数y=/(x)的图象，如图，再作出函数y=|lgx|

的图象，

-3-1O135791011x

由图可知，y=/U)与y=|lgx|共有10个交点，

故原函数有10个零点.

(2)函数/U)=2'|]n(x+1)|—4的零点个数为.

答案2

解析由题意，函数式x)=2*11(尤+1)|—4的零点个数即为两个函数＞=2"2与＞

=|ln(x+l)|的交点个数，两个函数的图象如图.

由图知，两个函数有2个交点，

故函数人尤)=2邛n(x+l)|—4的零点个数是2.

感悟提升函数零点个数的判定有下列几种方法

(1)直接求零点：令火x)=0,如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.

(2)零点存在定理：利用该定理不仅栗求函数在他，切上是连续不断的曲线，且

贝与＜0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零

点.

(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值,

就有几个不同的零点.

x2+九一2,xWO,

训练1（1）函数於）=11,'1、’的零点个数为（）

l+lnx,x>0

A.3B.2C.7D.O

答案B

'xWO,[x>0,

解析法一（直接法）由於）=0得hcc或八解得X=-2或

2=0[―l+lnx=0,

x=e.

因此函数人x）共有2个零点.

法二（图象法）函数/U）的图象如图所示，由图象知函数/U）共有2个零点.

（2）（2021•福州联考）已知函数次九）是定义在R上的偶函数，满足4x+l）=-/U）,当

JT

工00,1]时，y（x）=cos卧，则函数y=«x）一园的零点个数是（）

A.2B.3C.4D.5

答案A

解析由式x+1）=-fix）,得.益+2）=/（x）,

知周期7=2,

令/U）—1x1=0,得」力=14

作出函数y=/U）与g（x）=|x|的图象如图所示.

由函数的图象知，y=«x）—IM有两个零点.

考点三函数零点的应用

角度1根据零点的个数求参数

2y/x,（XW1,

例2（1）已知函数y（x）=<1若关于尤的方程y（x）=-%+a（adR）恰

一，x>l.4

有两个互异的实数解，则a的取值范围为（）

-59

_--

_91B

_4I4

」4J

(59-59

叫，<

U{1}D.4s4U{1}

答案D

解析画出函数

y=/（无）的图象，如图.

方程«r）=一的解的个数，即为函数y=/U）的图象与直

线/：y=—的公共点的个数.

当直线/经过点A时，

19

有2=—4乂1+”，。=彳；

当直线/经过点B时，

有1=-；X1+a,a/

-591

由图可知，不4时，函数y=Ax）的图象与/恰有两个交点•

另外，当直线/与曲线y=；,x>l相切时，恰有两个公共点，此时a>0.

联立<]得%+a,

y=—^+a,

即ar+1=0,

由/=4—4X（X1=0,得a=l（舍去负根）.

59

综上，U{1}.

4,4

x3—3x+l—a,x>0,

（2）（2022-湖北九市联盟质量检测）若函数兀G=<恰有3个零

V+3x2—xWO

点，则实数。的取值范围为.

答案（-1，O）U[1,4）

x3—3x+1,x>0,

解析设g(*)=3

[x3+3厂，x&O,

由题意得火x)有3个零点，等价于g(x)的图象与直线y=a有3个交点.

J3X2—3,x>0,

以龙)-&+6匚xWO,

，ga)的极大值g(—2)=4,极小值g(i)=—i,

又g(O)=O,O3-3XO+1=1,

故可作出此函数的图象，如图所示，

O)U[1,4).

角度2根据零点的范围求参数

例3若函数式x)=(/n—2)x2+/wx+(2〃z+1)的两个零点分别在区间(一1,0)和区间

(1,2)内，则加的取值范围是.

答案件0

解析依题意，结合函数式功的图象分析可知，

需满足“(T)/(0)<0,

1/(1)-/(2)<0,

<[777—2—m+(2m+1)](2m+1)<0,

[m-2+〃z+(2m+1)]

<[4(m—2)+2〃z+(2m+1)]<0,

解得:<机

感悟提升(1)已知函数的零点求参数，主栗方法有：①直接求方程的根，构建方

程(不等式)求参数；②数形结合；③分离参数，转化为求函数的最值.

(2)已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图

象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.

(3)函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分析图象的

特征、图象间的关系解决问题，提升直观想象核心素养.

%工+0x<0

训练2⑴已知函数於)=.(aER)，若函数/)在口上有两个零点,

.3%1fx>0

则。的取值范围是()

A.(—8,—1)B.(—8,1)

C.(-l,0)D.[-l,0)

答案D

解析当x>0时，y(x)=3x—1有一个零点X=1.

因此当xWO时，兀0=?，+&=0只有一个实根，

...a=—e*(xWO),则TWa<0.

(2)已知函数兀。=三一a.若_/U)没有零点，则实数a的取值范围是()

A.[0,e)B.(0,1)C.(0,e)D,[0,1)

答案A

(x—])c，

解析法一设g(x)=Ji7则g'(无)=-'=JL----(.v^O).

；.g(x)的单增区间为(1,+°o),

单减区间为(一8,0),(0,1),

；.g(x)的图象如图所示，故a的取值范围为[0,e).

法二由段)=二一。=0,得ex=ax.

若a<0时，显然y=e•，与y=ax有交点,

因此若凡r)无零点，必然有a20.

当y—ax与相切时，

设切点P(xo,e»o),

则a=evoJLe'o=oxo,

♦•a=cixo,♦•xo=1,

v

则切线斜率Z=eo|.ro=1=e.

因此，要使曲线y=e'与y=ar不相交，

则0Wa<e.

⑶若函数/U）=|log词一2二，（。>0且aWl）的两个零点是加，n,则（）

A.mn=1

C.O<〃z〃<lD.以上都不对

答案C

解析由题设可得|logM=g）,不妨设a>l,m<n,画出函数

/JYVO〃2x

y=|log况，y=⑸的图象如图所示，结合图象可知0<m<l,

n>\,且一log“加=（；）,log“〃=（0,以上两式两边相减可得log〃（M72）=（，一七）

<0,所以0<〃〃2<1,故选C.

微点突破/嵌套函数的零点问题

函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零

点，通常先“换元解套”，设中间函数为t,通过换元将复合函数拆解为两个相

对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.

一'嵌套函数零点的个数问题

eSx<0,

例1（2022,长沙质检）已知函数兀t）='其中e为自然对数的底

4/—6f+l,

数，则函数g（x）=3[/（x）]2—lQ/U）+3的零点个数为（）

A.4B.5C.6D.3

答案A

解析当x20时，/OOn4x3—6/+1的导数为/（x）=121—12x,

当o<x<i时，/a）vo,单调递减,x>i时，/（*）>0,.八工）单调递增,

可得大幻在x=l处取得最小值，最小值为一1,且10）=1,

作出函数/U）的图象，

g(x)=3lf(x)]2-1Of(x)+3,可令ga)=O,t=J(x),

可得3户一10f+3=0,

解得f=3或/

当即y(x)=；时，g(©有三个零点;

当，=3时，可得式x)=3有一个实根，即g(x)有一个零点,

综上，g(x)共有四个零点.

二、由嵌套函数零点的个数求参数的范围

例2函数/)=f^in+1(-,X—G1)—,1,x<-1,若函数g(x尸用⑼一有三个不同的零

点，则实数。的取值范围是.

答案［—1，+°°)

解析设尸危)，令用(x))—a=0,则a=/).在同一坐标系内

作丁=<7,的图象(如图).

当a2一1时，y=a与丫=寅/)的图象有两个交点.

设交点的横坐标为力，以不妨设上>力),则力<一1,B—L

当力<一1时，九=儿»有一解；当/22一1时，f2=/(x)有两解.综上，当—1时,

函数g(x)=/(Ax))—a有三个不同的零点.

I分层训练•巩固提升

|A级基础巩固

21r—1xW1

1.已知函数寅x)=｛一,'：则函数;U)的零点为()

,l+10g2X>X>1,

A.；,0B.-2,0C.1D.O

答案D

解析当xWl时，令人%)=2'—1=0,解得x=0；

当x>i时，令yu)=i+iog4=o,

解得%=£,

又因为X>1,所以此时方程无解.

综上，函数式X)的零点只有0.

2

2.函数五x)=lnx一言的零点所在的区间是()

A.(l,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

答案B

2

解析函数式x)=lnx—二Y在(1,+8)上单调递增，且在(1,+8)上连续.

因为式2)=E2—2(0,/3)=ln3-l>0,

所以/2)贸3)V0,

所以函数的零点所在的区间是(2,3).

3.(2022•南昌模拟)已知x=a是函数段)=2£—logU的零点，若OVxoVa,则於o)

2

的值满足()

A<xo)=O

B以xo)>O

C式xo)VO

D.7(xo)的符号不确定

答案C

解析*》)=2》一log^x在(0,+8)上单调递增,

2

且人。)=0,又OVxoVa,

.•优次)</(。)=0，即.外加)<0.

4.(2022・西安调研)设函数火%)=^+%—2,g(尤)=lnx+x2—3.若实数a,/?满足犬。)

=0,gS)=O,则()

A.g(a)<0勺3)B./^)<O<g(a)

CQ<g(a)勺S)D次加<g(a)<0

答案A

解析易知函数次幻单调递增，且寅0)=—l<O,/(l)=e—1>0,由负。)=0知0<。<1；

函数g(x)在定义域内单调递增,g(l)=—2<0,g(2)=ln2+l〉0,由gS)=O知2泌>1,

所以g(a)<g⑴<0,艮b)>艮1)>0,故g(a)<0勺S).

,,\yjx—t,x20,4

5.已知函数yCx)=j、若/)有两个零点XI,X2(X1>X2),则尤1

2(x+1)—t,x<0,

一X2的最小值是（）

315

A.lB.2C.TD.T7

410

答案D

解析根据题意可得d京一/=0,解得用二代/力。），2（x2+1）—z=0,解得%2=；/

2

—l（r<2）,则xi—%2=-一/+1=（/—J+||（0Wr<2）,当r=（时，xi-JQ取得最

小嗑

6.若函数y=/（x）（xGR）满足/（%+4）=力》,且xG（—2,2］时，则函数y

=*x）的图象与函数y=lg|x|的图象交点个数为（）

A.4B.6C.8D.10

答案C

解析•</口+4）=/（尤），.•.函数/（X）是周期为4的周期函数.

又xW（-2,2］时,

.•.作出函数人力的图象如图所示.

,y

尸IgIMn.

-10-8-6-4-26810x

•.3=±10时，y=lg|±10|=1,

...由数形结合可得函数y=y"）的图象与函数y=lg|x|的图象交点个数为8.

7.（多选）已知定义在R上的奇函数五x）的图象连续不断，且满足_Ax+2）=/（x）,则

以下结论成立的是（）

A.函数人x）的周期7=2

B/2021）=*2022）=0

C•点（1,0）是函数y=/U）图象的一个对称中心

D<x）在［-2,2］上有4个零点

答案ABC

解析定义在R上的奇函数_/u）的图象连续不断，且满足yu+2）=/（x）,所以函数

的周期为2,所以A正确；

A-i+2)=y(-i),

即4D=A—D=-AD，

所以/U)=A—D=o，

所以12021)=/l)=0,

火2022)寸0)=0,所以B正确；

,Ax+2)=^)=-A-x),C正确；

危)在［-2,2］上有=-2)=八-1)=式0)=火1)=式2)=0,有5个零点，所以D错误.

a,xwo,

8.已知函数*x)=1,g(x)=*x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则a的取值

.Inx,x>0,

范围是()

A.［-l,0)B」0,+°°)

C.［-l,+8)D.［l,+8)

答案C

解析由g(x)=O得火x)=—x—a,作出函数/U)和y=—x—a

的图象如图所示.d1

当直线>=—x—。的截距一aWl,即一1时，两个函数的:/

图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数。的-2r

取值范围是［—1,+°°).

9.在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x—a|—l的图象只有一个

交点，则。的值为.

答案-1

解析在同一平面直角坐标系内作出直线y=2a与函数y=|x尸/

—0—1的大致图象，如图所示.—\q匕

1

由题意得2a=—1,则。=一］.

10.函数/(x)=2sinxsin(x+§—x2的零点个数为.

答案2

解析Xx)=2sinxcosx—x2=sin2x—%2,函数./(x)的零点个数可转化为函数yi=sin

2x与y2=f图象的交点个数，在同一坐标系中画出yi=sin2x与y2=f的图象如

图所示.

由图可知两函数图象有2个交点，则/U)的零点个数为2.

11.已知函数兀r)=21gx+x—4的零点在区间(A,&+l)(AGZ)上，则左=.

答案3

解析函数/(x)=21gx+x—4在(0,十8)上为增函数，

又•</(3)=21g3+3-4=21g3-l=lg9—1V0,犬4)=2馆4+4-4=21g4>0,

即火3)为4)VO,

则函数7U)=21gx+x—4的零点在区间(3,4)上，即攵=3.

12.若xi是方程*9=1的解，版是方程xlnx=l的解，则用尤2=.

答案1

解析xi,JQ分别是函数y=e',函数y=lnx与函数的图象的交点A,8的横

坐标，所以日，8(X2,§两点关于y=x对称，xi=±，因此xix2=l.

|B级能力提升

—x2—2x9

13.(多选)(2021•衡水检测)已知函数若汨<无2<X3<H,且

Jlogirpx>0,

«X1)=/(X2)=/(X3)=AX4),则下列结论正确的是()

A.X1+A：2=-1B.X3X4=1

C.lVx4V2D.O<X1X2X3X4<1

答案BCD

—x2—2xxW0

解析由函数式x)=",’作出其函数图象:

l|10g2A|,X>0,

由图可知，xi+x2=—2,—2<X1<—1；

当y=l时，|log2x|=l,有v=T，2,

所以;<X3<1<X4<2；

由式用）=7（X4）,有|10g2JC3|=|10g2X4|,

即10g2X3+10g2X4=0,

所以X3X4—1y

则X\X2X3X4=X\X2=X\（—2~X