2024年上海市数学高考名校模拟题分类汇编 幂、指数与对数含详解

备战2024高考优秀模拟题分类汇编一一塞、指数与对数

一、填空题

1.（2023・上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测）已知2，=3，=。，若工+'=1,贝.

xy

2.（2023春•上海杨浦•高三复旦附中校考开学考试）若实数a,b,c满足3。=4,4〃=5,5。=9,则Hc=.

3.（2023・上海徐汇・位育中学校考模拟预测）方程1g（-2元）=1g（3-炉）的解集为.

4.（2023秋•上海青浦•高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）若log"2=a,用。表示.

5.（2023春•上海杨浦•高三复旦附中校考阶段练习）已知3。=4"=相，-+^-=2,贝旷.

a2b

x

6.（2023・上海闵行・统考一模）已知正实数无、y满足lgx=〃z,丫=10'"一，则,=.

7.（2023•上海奉贤•统考一模）设p>0,q>0且满足log16P=log2oq=k>g25（p+q）,则"=.

q

8.（2023春•上海•高三校联考阶段练习）若12"=3"=相，且!-1=2,则〃z=________.

ab

9.（2023・上海崇明•上海市崇明中学校考模拟预测）若2"=7,log83=b,贝必"厘=.

10.（2023秋・上海松江•高三上海市松江二中校考阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收

《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%,那么一年后是（1+1%）豌=1.01365.如果每天的“退

步'率都是1%,那么一年后是（1-1%户5=0.99365,一年后“进步，的是“退步,，的怒£=（孤）21481倍.如果每天的

“进步”率和“退步”率都是20%,那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是天（四舍五入精确）（参

考数据：坨2。0.3010,lg3。0.4771）.

H.（2023春・上海青浦•高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）若实数b>a>1,且log2+log/=，，贝。

31na-In/?=.

12.（2023•上海•高三专题练习）已知实数a,6满足lga+lg6=lg（a+2b）,则a+6的最小值是.

13.（2023秋•上海黄浦•高三格致中学校考开学考试）已知尤孙=10,则的最小值为

IgrIgy

二、单选题

14.（2023秋・上海嘉定•高三上海市育才中学校考阶段练习）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视

力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足

i=5+lgV.己知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（必Qtl.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

15.（2023・上海松江・统考一模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足

51月

m2-^=-lg-^,其中星等为极的星的亮度为欧（仁1,2）.已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太

Z乜2

阳与天狼星的亮度的比值为

A.IO10-1B.10.1C.IglO.lD.10一1°」

备战2024高考优秀模拟题分类汇编一一塞、指数与对数

一、填空题

1.（2023・上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测）已知2，=3，=。，若工+'=1,贝.

xy

【答案】6

【解析】先由指数式化为对数式可得彳=1呜。，y=log3«,再利用,+工=1即可求。的值.

一%》

【详解】由2尤=3，=〃，可得：x=log2〃，y=log3«,

所以'+'=10ga2+10ga3=10ga6=l,贝lj〃=6,

xy

故答案为：6

2.（2023春・上海杨浦・高三复旦附中校考开学考试）若实数a,b,c满足3"=4,4'=5,5°=9,则血=

【答案】2

【分析】先把指数式化为对数式，再利用换底公式进行计算.

【详解】因为3"=4,4"=5,5。=9,

所以。=log34,Z?=log45,c=log59,

故abc=log34xlog45xlog59,

由换底公式可得：abc=logs4x：义：=log.：9=2.

log34log35

故答案为：2

3.（2023•上海徐汇・位育中学校考模拟预测）方程1g（-2尤）=坨（3-炉）的解集为.

【答案】｛x|x=T｝

_=3_x~

【分析】依题意得到卜2x>。,解得即可.

3-X2>0

【详解】因为lg（-2x）=lg（3-尤2）,

_2x=3_

则一2x>。，解得尤=一1,

3-X2>0

所以方程炮（一2x）=lg（3-f）的解集为｛x|x=-l）.

故答案为：｛x|x=T｝

4.（2023秋•上海青浦•高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）若log"2=a,用。表示1。8立3=

【答案】l-2a/-2a+l

【分析1根据log,（3x4）=log123+21og122=1求解即可.

2

【详解】解：因为log1212=log12（3x4）=log123+log124=log123+log122=log123+210gl22=1,

所以logi23=l-210gl22菱l-2a

故答案为：1-2°

5.（2023春・上海杨浦・高三复旦附中校考阶段练习）已知3"=4〃=机，上=2,则机=_____.

a2b

【答案】V6

【分析】计算得到。=1%根，^=log4m,利用换底公式计算得到答案.

【详解】3"=4"=根，故。=log3ff=1°§4m<—~=l°g,3+log„,2=log6=2,m=\/6.

a2bnm

故答案为：V6

,X

6.（2023•上海闵行•统考一模）已知正实数x、y满足lgx=m,y=10"T,则7=.

【答案】10

【分析】根据指对互化求x，再根据指数运算求解.

TIO1"

【详解】lgx=〃zox=10"',所以7=需7=10.

故答案为：10

7.（2023・上海奉贤・统考一模）设p>0,q>0且满足log16P=log2（）q=log25（p+q）,则'=.

q

【答案】丘士

2

【分析】令log16P=log20q=log25（P+q）=3则。/=4F•4，根据p+q=（4）9+举-5*=（5*）a即可求解.

【详解】4log16=log20^=log25{p+q）^k,贝i]p=16%=2（Ap+q=25*

kk

、22（4Y4*-5*（4Y4”

所以夕+仁4）+4%5;（54,整理得grj[开J+尹=1

解侍5「2’所以120*一5「2

故答案为：苴二1

2

8.（2023春・上海•高三校联考阶段练习）若12"=3〃=加，且工-：=2,则切=________.

ab

【答案】2

【分析】将条件中的指数式转化为对数式，求出工"，代入!"=2,利用对数的运算性质可得加.

abab

【详解】，12“=3嚏加，且l-1=2,

ab

二.根＞0且mwl,

a=log12m,b=log3m,

.」=log,”12,1=log,”3,

ab

-J=log,”12-log,"3=log”4=2,

ab

.\m=2.

故答案为：2.

9.（2023・上海崇明・上海市崇明中学校考模拟预测）若2"=7,log83=b,贝必"厘=.

49

【答案】"

【分析】由指数式和对数式的互化求出。=log27,再由对数和指数募的运算性质求解即可.

【详解】由2"=7/og83=b可得：a=log27,Z?=log233=1log23,

1082

4y=j唯7-3史暇3=4脸7-1唯3=4喝=2®=—.

9

49

故答案为：—.

10.（2023秋・上海松江•高三上海市松江二中校考阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收

《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%,那么一年后是（1+1%）短=1.01365.如果每天的“退

步”率都是1%,那么一年后是（1-1%户5=0.99365,一年后“进步，的是“退步,，的怒£=（谨）21481倍.如果每天的

“进步”率和“退步”率都是20%,那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是天（四舍五入精确）（参

考数据：lg2。0.3010,lg370.4771).

【答案】17

【分析】根据已知条件，推得（工］=1000,再结合对数公式，即可求解.

10.8；

【详解】设经过x天“进步”的是“退步”的1000倍,

贝IJ1000x(1-0.2)*=1.2',即(工］=1000,

10.8；

1innn烷100°3〜3

故E°g7000=«17

Ig3-lg2~0.1761

0.8

故答案为：17.

n.(2023春・上海青浦•高三上海市青浦高级中学校考阶段练习)若实数b>a>l,且log/+log/=§,则

31na-InZ?=.

【答案】0

【分析】由log/+log©=m，可得log06=3=>Inb=31na,据此可得答案.

【详解】因4>牛>1,则Iog/>1,0<logfca<1,

又由换底公式推论可得log/log/=l,设log/=x,则log/=L

X

,,110

故x+—=——=>%=nlogb=3,

X3°

由换底公式，则logb=?2=3=>3Ina-InZ?=0.

Ina

故答案为：0

12.(2023•上海•高三专题练习)已知实数a,b满足lgo+lgb=lg(a+2b),则a+6的最小值是.

【答案】3+20

【分析】先判断出。>。，。>。，且ab=a+%2.令〃=4+匕，利用判别式法求出a+6的最小值.

【详解】因为实数。，。满足lga+lg人=lg(a+2A),

所以a>0,6>0,且"=a+2b.

令〃=a+%,贝U〃>0,所以a=

代入aZ?=a+26,贝I］有(〃-6)6="-6+26,

所以关于b的一元二次方程。2-("-1)》+〃=0有正根，

只需△=(1/-1)2-4瓦20,解得：“23+20.

此时，关于b的一元二次方程〃-(“一1)8+"=0的两根贴2=〃>。，所以两根同号，只需4+仇=”1>。，解得”>1.

综上所述：M>3+2A/2.

即。+6的最小值是3+2及(此时△=(),解得：a=2+-Jl,b=\+41).

故答案为：3+2夜.

13.(2023秋•上海黄浦・高三格致中学校考开学考试)已知尤孙=10,则+J的最小值为

IgrIgy

【答案】3+2V2/2V2+3

【分析】依题意可得1g尤+igy=i,再由基本不等式“1”的妙用即可得解.

【详解】因为x>l,y>l,孙=10,

所以lgx+lgy=lg孙=1,lgx>0,lgy>0,

所以4+m=(4+FXlgx+lgy)=3+譬+223+2jp^^=3+2加，

IgxIgyIgxIgyIgxIgy\lgxIgy

当且仅当臀=碧土，即lgy=01gx=2-夜时，等号成立，

IgxIgy-

12L

显然此时x，y有解，所以:j一+~—的最小值为3+2应.

*Igy

故答案为：3+2&.

二、单选题

14.（2023秋・上海嘉定•高三上海市育才中学校考阶段练习）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视

力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据乙和小数记录表的数据V的满足

L