2023-2024学年辽宁省辽东南协作体高二（上）月考数学试卷（9月份）（B卷）（含解析）

2023・2024学年辽宁省辽东南协作体高二（上）月考数学试卷（9月份）

（B卷）

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知复数z=—l+2i(i为虚数单位)，则zi=()

A.-1—2iB.2—iC.-2—iD.1+2i

2.已知向量为=(m,1),b=(l,m-1).若110+1)，则m=()

A.0或2B.2C.0或-2D.-2

3.siny=()

A.B.WC.-yj~3D.女

332

4.已知△ABC的内角4B,C的对边分别是a,b,c,a=16,b=8,A=60°,则cosB=()

5.已知一个圆台的上、下底面半径分别为2,4,它的母线长为8,则这个圆台的侧面积为（）

A.327rB.487rC.647rD.807r

6.已知空间向量之石，落下列命题正确的是（）

A.若a与另共线，3与［共线，贝展与［共线

B.若乙员,非零且共面，则它们所在的直线共面

C.若a"1不共面，那么对任意一个空间向量力，存在唯一有序实数组（x,y,z）,使得p=x五+yG+ze

D.若日万不共线，向量7=〃灰；I,”€R且加H0），则［5,瓦？）可以构成空间的一个基底

7.在△ABC中，若号=-^,则△48。是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

8.在锐角△ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c.若2ccosB=a-c,则变磊2的取值范围为（）

A.（1,C）B.（0,1）C.（0,C）D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.（）分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列函数中最小正周期为兀的是（）

A.y=sin2xB.y=tan2xC.y=cos2xD.y=sinx

10.下列说法错误的有（）

A.三点确定一个平面

B.a平面外两点4、B可确定一个平面£与平面a平行

C.三个平面相交，交线平行

D.棱台的侧棱延长后必交于一点

11.已知|2|=|9|=|五+9|=1，下述结论正确的是()

A.|a-b|=V_3B.(a4-b)-b=|

C.(a—b,b)=D.(a—2b)-a=0

12.已知空间单位向量或，而，近两两夹角均为60。，瓦？=2而，BC=2BF.则下列说法中正确的是()

A.P、4、B、C四点可以共面B.~PA-(BC+AC)=

C.|殖=与D.cos〈殖函=?

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,a=3,6=5,c=7,那么cosC=

14.(3-2i)(l+3i)=

15.已知今<"手0<0<acosg—a)=|,sin弓+£)=,©+/?)—©—a)=]+(a+S)),则

sin(a+0)的值为

16.如图，已知球。的面上四点4,B,C,P,PAL^ABC,ABLBC,AB=1，BC=。，

AP=G，则球。的表面积等于.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知复数z=(3m2—2m—1)+(6m2+5m+l)i,mER.

(1)若复数z在复平面上对应的点在虚轴上，求m的值.

(2)若复数z在复平面上对应的点Z在第一象限，求zn的范围.

18.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=-\Z-3sin2x_2cos2x+1.

(1)求函数/(X)的最小正周期及单调递增区间；

(2)当46[0,自时，求函数/(X)的最大值和最小值.

19.(本小题12.0分)

如图，四边形ABCD是正方形，PA_L平面ABC。，EB//PA,AB=PA=4,EB=2,尸为PD的中点.

(1)求证：CE〃平面PAD；

(2)求二面角D-PC-E的大小.

20.(本小题12.0分)

在①cos2A=cos(B+C).(2)asinC=V'WccosA这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.

问题：在AABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,.

⑴求4

(2)b=2,c=4,求△ABC的BC边上的中线ZD的长.

21.(本小题12.0分)

在△力BC中，角4B,C的对边分别是a,b,c,且ccosA+VNcsinA=a+b.

(1)求角C;

(2)若△ABC的中线CD长为2C，求△力BC面积的最大值.

22.(本小题12.0分)

如图1,已知4BFE是直角梯形，EF//AB,/.ABF=90°,Z.BAE=60。，C、0分别为BF、4E的中点，AB=5,

EF=1,将直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角F-DC-B的大小为60。，如图2所示，设N为8c的中点.

(2)若M为AE上一点，且*=人则当4为何值时，直线BM与平面4DE所成角的正弦值为学.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：因为z=-l+2i,所以zi=(-l+2i)i=-2-i.

故选：C.

根据复数的乘法运算可得答案.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：向量五=(m,1),b=(l,7n—1)>则方+方=(m+1,zn)

因为益1(a+b)，

所以?n(m+1)+m=0,得m=0或一2.

故选：C.

利用向量线性运算的坐标表示和向量垂直的坐标表示计算即可.

本题考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：sin与=sin(?r—g)=sing=­.

故选：D.

利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求出结果.

本题考查了诱导公式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：a=16,b=8,A=60°,

则由正弦定理可知，sinB=bsinA==

a164

a>b,A=60°,

•••B为锐角，

cosB=V1—sin2B=

4

故选：D.

根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的同角公式，即可求解.

本题主要考查正弦定理，以及三角函数的同角公式，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：因为圆台的上、下底面半径分别为2,4,它的母线长为8,

所以这个圆台的侧面积为〃x(2+4)x8=48兀，

故选：B.

根据圆台的侧面积公式结合已知条件直接计算即可.

本题主要考查圆台的侧面积，考查运算求解能力，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：对于4若3与3共线，族与^共线，当另为零向量时，

日与己不一定共线，选项A错误.

对于B,若五是1非零且共面，则它们所在的直线不一定共面，

比如正方体上底面的两条对角线，和下底面的一条对角线，

对应的向量共面，但直线不共面，选项B错误.

对于C,根据空间向量的基本定理可知，选项C正确.

对于。，若益石不共线，向量2=4五+〃3(儿〃6/?且;1〃40),

则乙员,共面，所以2万工不能构成基底，选项。错误.

故选：C.

根据共线向量、共面向量、空间向量的基本定理、基底等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.

本题考查了空间向量基本定理的应用，考查了共面向量的定义，是基础题.

7.【答案】A

hcosA

"a=

•••由正弦定理告=心可得：a=膂，

sinAsinBsinB

二生喀=史学，整理可得：bsin(A-B')=0,

COSDsinti

・•・sin(i4—B)=0,

•・,0</<7T,0VB<7T,可得一7T<A—B<71,

・•・解得4=B.

故选：A.

由已知可得a="胃，由正弦定理得a=膂，从而可得如粤=膂，即可解得sin(A—B)=0,结合4

COSDsinBcosBsinB

B的范围，即可解得4=B,从而得解.

本题主要考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质，熟练掌握正弦定理，正弦函数的图象和性质是解题的

关键，属于基本知识的考查.

8.【答案】B

【解析】解：因为2ccosB=a—c,由正弦定理可知,2sinCcosB—sinA+sinC=0,

又4+B+C=",所以sinA=sin(B+C),

所以2sinCcosB-sin(B+C)+sinC=0,

所以sinCcosB-sinBcosC+sinC=0,

即sin(C—B)=sin(—C),

又△ABC是锐角三角形，则B,C€(01)，

则C—BE(-今,一。W(―,°)，所以C—B=—C,即8=2C,

仔=2CW(0,今

所以］Ce(0修),解得Ce(„),

卜=兀一(B+C)c(0,今

厂匚［、lsin(A-C)_sin(A-C)_sin(7r-40_sin4C_2sin2Ccos2C_o___

助XsinB=si"2c=sin2c=sin2C=_sin2c-=C0S'

2。6(羽)，则cos2C6(og),则2cos2Ce(0,1).

故选：B.

由2CCOSB=Q-C,根据正弦定理边化角，再消去C,可得sin(C-B)=sin(-C)，利用三角形4BC是锐角三

角形，可得B=2C,进而求出C6(*3)，对则化简，可求出结果.

64sinB

本题考查了正弦定理的应用，属于中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：对于47=:=兀，故A正确；

对于B,7=去故3错误；

对于C,T=^-=n,故C正确；

对于D,y=sinx的图象最小正周期为2兀，故。错误.

故选：AC.

利用周期的计算公式即可.

本题主要考查三角函数的周期，属于基础题.

10.【答案】ABC

【解析】解：4不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，所以该选项错误；

8〃平面外两点力、B在平面a的垂线上，则经过4、B不能确定一个平面/?与平面a平行，所以该选项错误;

C.三个平面相交，交线不一定平行，如三棱锥的三个侧面，所以该选项错误；

D棱台的侧棱延长后必交于一点，所以该选项正确.

故选：ABC.

利用平面的基本性质判断选项A：举反例判断选项BC；利用棱台的定义判断选项。即得解.

本题考查平面的基本性质以及棱台的定义，属于基础题.

11.【答案】AB

【解析】解：因为|a|=|b|=|a+b|=l>

所以|五+B/=片+2方.9+/=1,Wa-&=-

又〈无，另>€[0,用，所以〈百]>=手

对于4项，|五—3|2=五2—2行.9+石2=3，则同―A正确；

对于8项，（a+b）-b=a-b+b2=^B正确；

对于C项，因为cos<五一反5>=鱼英=雪季=一?，

|a-b||b|七2

又（方一H>6所以（为一b,b>=:力，故C错误；

对于。项，（五一2坂）•祝=片-234=2#0，故。错误.

故选：AB.

利用条件及数量积与模、夹角的关系得出五范夹角，一一计算判定即可.

本题考查平面向量的数量积性质及运算，属基础题.

12.【答案】BC

【解析】解：对于力：单位向量而，而，近两两夹角均为60。，

所以万PB=PAPC=PCPB=lxlxcos600=p

假设P、4、B、C四点可以共面，则词，丽，正共面，

所以存在x,y,使得同=乂而+、近，分别用以，而，正与同=%方+丫可数量积，

则=x+/y,由于该方程组无解，

11

匕=尹+y

所以不存在x,y,使得而，而，咒共面，

故P、4B、C四点不共面，故A错误；

对于8,PA-(BC+AC)=PA■(PC-~PB+PC-rA)=PA-(2PC-PB-PA^)=故B正确；

对于C，由同=2而得:同=两，

由同=2”得时-两=2而-2而=两=与更

所以前=空粤2，

则।前।=附+彳-,川=1J(PC+PB-'PAy=

IJ(PC2+PB2+PA2)+2PC-PB-2PC-PA-2PA-PB=浮，故C正确；

对于C,方=而一可=空粤四，

所以犷存=-(哂而一2两屁=_工

24

故cos(都，而><0，故。错误.

故选：BC.

根据向量共面即可判断点共面，进而可判断4根据数量积的运算律即可求解8,根据模长的计算公式即可

判断C,根据夹角公式即可求解0.

本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积，向量的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，

属于中档题.

13.【答案】

【解析】解：在△48C中，a=3,b=5,c=7,

由余弦定理得，cosC=七iJ=空三竺=_'

2ab2x3x52

故答案为：-j.

利用余弦定理结合已知条件直接求解.

本题考查了余弦定理应用问题，是基础题.

14.【答案】9+71

【解析】解：(3-2i)(l+3i)=3+9i-2i-6i2=(3+6)+(9-2)i=9+7i.

故答案为：9+7i.

直接去括号，合并同类项即可.

本题考查复数的运算，属于基础题.

15.【答案】§

03

【解析】解:*VaV竽,0VS<今cos(^—a)=|，<亨一a<0，sin(；-a)=-I1—cos2(^—a)=

・••sin(与+/?)=.,•当<与+/?<7T,cos岑+£)=-J1-sin2(^+/?)=

则sin(a+6)=—cos(^+a+0)=—cos[(与+0)—g—a)]=—cos(年+S)cos(3—a)—sin(^+

口)sin^-a)

123__5_456

13'5-13'5^=65

故答案为:言

03

由题意，利用同角三角函数的基本关系，求得sing-a)和cosa+0)的值，再利用诱导公式、两角和差的

余弦公式，计算求得sin(a+0)=—cos(5+a+/?)=—cos[(当+A)—©—a)]的值.

本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、两角和差的余弦公式的应用，属于中档题.

16.【答案】67r

【解析】解：将三棱锥补为长方体如图所示：

则三棱锥的外接球是长方体的外接球,

外接球的直径为2R=\PC\=+1+(<3)2=口

解得R=邙,

所以外接球的表面积为S=4TTR2=67r.

故答案为：67r.

将三棱锥补为长方体，由三棱锥的外接球是长方体的外接球求解.

本题考查了三棱锥外接球的表面积计算，属于中档题.

17.【答案】解：(1)•.•复数z在复平面上对应的点在虚轴上，

-1

・•・3m2-2m-1=0,解得m=一百或1.

(2)•・・复数z在复平面上对应的点Z在第一象限，

解得7n>i或7n<一，

故m的范围为(-00,-1)u(1,+co).

【解析】(1)根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.

(2)根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

18.【答案】解：(l)/(x)=>J~3sin2x+1-2cos2x='</~3sin2x—cos2x=2sin(2x—^),

所以最小正周期7=竽=兀，

由2/CTT-<2%—<2/CTT+微，kGZ,得kji—%<kn+J,/c6Z,

ZoZo3

所以单调递增区间为：生兀一也而+刍水—.

(2)因为口€[0,月,所以(2%-包€[-看,争,

又因为y=sinx在[-也多上单调递增，在已当上单调递减，

LO

所以/COmax=2s讥=2,此时X=p又/(X)min=2s讥(-看)=-1,此时X=0,

综上可知:f(x)max~2,/(x)min=-L

【解析】(1)由三角恒等变换化简函数f(x)解析式，由三角函数的周期公式即可求得最小正周期，由正弦函

数的单调性即可求得f(x)的单调递增区间；

(2)由三角函数的性质即可求得函数的最值.

本题主要考查三角函数的周期、单调性与最值，属于基础题.

19.【答案】⑴证明：••・四边形4BCD是正方形，

.1.AD//BC,

•••BCC平面PAO,ADcz^PAD,

BC〃平面pan,

XvEBIIPA,EB<t^PAD,P4u平面PAD,

EB〃平面PAD,

■:EBCBC=B,EB,BCu平面EBC,

••・平面EBC〃平面24。，

•••CEu平面EBC,

•••CE〃平面PAD.

(2)vPAL^-^ABCD,AD,ABu平面48C。，

PAVAD,PALAB,

从而以A为坐标原点，分别以HD,AB,AP所在直线为x轴，y轴,z轴，建立空间直角坐标系,

£>(4,0,0),P(0,0,4),C(4,4,0),£(0,4,2),

DP=(-4,0,4)>DC=(0,4,0).

设平面CPC的法向量为沆=(x,y,z),

则记"DP=m-DC=0,

-4%+4z=0,4y=0,

解得：y=0,令x=1,则z=l,

故沅=(1,0,1)1

设平面PCE的法向量为元=(a,b,c),

CP=(-4,-4,4)>EC=(4,0,-2)-

n-CP=n-EC=0>

—4a—4b+4c=0,4a—2c=0,令a=1,则b=1,c=2,n=(1,1,2),

贝ijcos<m,n>=pzpp?==?，

|m||n|V2xv62

设二面角D—PC—E的大小为氏显然。为钝角，

故COS®=

・•・e=即，

6

二面角。-PC-E大小为等.

【解析】(1)证明出平面EBC〃平面P4D,从而得到线面平行；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式求解二面角的大小.

本题考查利用空间向量证明线线垂直以及求解二面角的大小，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求

解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题.

20.【答案】解:(1)若选①,即cos2A=cos(B+C),得2cos2A-1=-cosA,

・•・2COS2A+cosA-1=0,••・cosA=-1或5

vAE(0,7i),・,・<=p

若选②：asinC=y/~~3ccosA,

由正弦定理，得sizMsinC=yT~3sinCcosAf

A,C6(0,兀),・•.tanA=*,•%=合

(2)40是△力BC的BC边上的中线，而=g(四+m)，

：.AD2=(AB2+2AB-AC+A?2)=*+2c.bcosg+川)，

=:(42+2X4x2Xcos+22)=7,AD=V-7.

【解析】(1)若选①，由已知可得2cos2人一1=-cosA,可求出cosA,进而求出A；

若选②：由正弦定理，得sinAsinC=，3s讥CcosA,可求出tcmA,进而求出4；

(2)4。是△ABC的BC边上的中线，AD=^(AB+AC),利用向量法可求的长.

本题考查正余弦定理，以及向量法求边长，属中档题.

21.【答案】(1)在△ABC中，由正弦定理得：sinCcosA+讥Csim4=sbM+sinB,

sinCcosA+y/~3sinCsinA=sinA+sin(A+C),

化简得，'无inCsin/=sinA+sinAcosC^

AG(0,兀)，：•sinA丰0,

・•,yT~3sinC=1+cosC，

^yJ~~3sinC-cosC=1,

・•・2(j-y-sinC—|cosC)=1,

・・・2sin(C-3)=1,・・・sin(C—

又2c£(。,TT)»•*•C—6,/),

・・・W，即C=M

（2）由CD是△/BC的中线，.••丽=^（刀+而），

C2

|CDp=1（|7|2+|C5|+2CX-CF）,即12=+庐+.），

/.48=a2+b2+ah>2ab+ab=3ab,ab<16,当且仅当a=b时，等号成立，

三角形面积S=^absinC=^-ab<4门，

24

力BC的面积的最大值为4I5.

【解析】（1）由正弦定理及三角恒等变换知识化简即可；（2）由CD为中线可转化为向量法求解，得到48=a2+

b2+ab,再由基本不等式可得abW16,最后由三角形的面积即可求得.

本题考查正余弦定理、面积公式、三角恒等变换、向量、基本不等式在解三角形中的应用，属于中档题.

22.【答案】解：（1）证明：如图1,已知28FE是直角梯形，EF//AB,^ABF=90°,/.BAE=60°,C、。分

别为BF、4E的中点，AB=5,EF=1,

将直角梯形力BFE沿CD翻折，使得二面角『一DC-B的大小为60。，如图2所示，设N为BC的中点.

••・在图2中DC_L平面BCF,NBCF是二面角产一DC-B的平面角，则4BCF=60。,

・•.△BCF是正三角形，且N是BC的中点，FN1BC,

又DC1平面BCF,FNu平面BCF,可得FN1C