2024年高考数学一轮复习（新高考版）1 .1 集 合

第一章集合、常用逻辑用语、不等式

§1.1集合

【考试要求】1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义2理解元素与集合的属于关系，理解

集合间的包含和相等关系3会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、

集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号且或生表示.

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

(4)常见数集的记法

非负整数集

集合正整数集整数集有理数集实数集

(或自然数集)

符号NN*（或N+）ZQR

2.集合的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合4B,如果集合4中任意一个元素都是集合3中的元素,

就称集合A为集合8的子集，记作A=8(或52A).

(2)真子集：如果集合AU8,但存在元素xGB,且就称集合A是集合B的真子集，记

作AB(或8A).

(3)相等：若AU8,且匹4则4=8.

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为0.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的

真子集.

3.集合的基本运算

表示

集合语言图形语言记法

运

并集{xlxea,或xW8}(3E)

正

交集旦()

补集IxlxGU,且依A}[djA

【常用结论】

1.若集合A有〃(〃21)个元素，则集合A有2"个子集，2”—1个真子集.

2.AUB=A0B=A.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J"或"X")

(1)集合{xWNW=x},用列举法表示为{-1,0,1}.(X)

(2){x|y=x2+1}={y\y=x2+1}={(x,加=f+l}.(X)

(3)若1G{『，x},则x=-l或x=l.(X)

(4)对任意集合A,B,都有(AnB)U(AUB).(V)

【教材改编题】

1.(2022•新高考全国H)已知集合4={一1],2,4},8={如一1|W1},则AD8等于()

A.(-1,2}B.(1,2}

C.{1,4}D.{-1,4}

答案B

解析由得一1这x—1W1,解得0WxW2,所以8={x|0WxW2},所以ACB={1,2},

故选B.

2.下列集合与集合4={2022,1}相等的是()

A.(1,2022)

B.{(x,y)\x=2022,y=\}

C.{x|*-2023x+2022=0}

D.{(2022,1))

答案C

解析(1,2022)表示一个点，不是集合，A不符合题意；

集合{(x,y)\x=2022,y=l}的元素是点，与集合A不相等，B不符合题意；

{xlx2-!023x+2022=0}={2022,1}=A,故C符合题意;

集合{(2022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符合题意.

3.设全集U=R,集合A={x|—lWx<3},8={X|2A—42X—2},则AUB=,[y(AnB)

答案{x|x2一1}{x|x<2或x>3}

解析因为A={x|-lWx<3},8={x|2x-42x-2}={x|x，2},

所以AUB={xk》-l},4nB={x[2Wx<3},

[(XACB)={x|_r<2或x》3}.

■探究核心题型

题型一集合的含义与表示

例1（1）（2022•衡水模拟）设集合A={（x,y）|y=x},B={（x,y）伊=『},则集合ACB的元素

个数为（）

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析如图，函数y=x与），=/的图象有两个交点，

故集合4nB有两个元素.

（2）已知集合4={1,a-2,a2-a-l},若一1GA,则实数a的值为（）

A.1B.I或0

C.0D.-1或0

答案C

解析’..一IGA,

若a—2=-1,即a=l时，A={1,—1,—1},不符合集合元素的互异性；

若次一〃一i=—1,即〃=1（舍去）或4=0时，

A={1,-2,—1},

故a=0.

思维升华解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限

制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.

跟踪训练1（1）（多选）若集合M={X|L2<0,XGN},则下列四个命题中，错误的命题是（）

A.(WB.{0}GM

C.{1}CMD.1QM

答案ABD

解析对于A,因为M={x|x-2<0,xGN},所以OWM,所以A错误；

对于B,因为{0}是集合，且0GM,所以{0}UM,所以B错误；

对于C,因为1WM,所以{1}=M,所以C正确；

对于D,因为1是元素，所以D错误.

(2)(2023・聊城模拟)已知集合4={0,1,2},8={羽“64匕6可，则集合3中元素的个数为()

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析因为A={0,l,2},a^A,b^A,

所以ah=O或ab=1或ab=2或ab=4,

故8={ab|aeA,beA}={0,l,2,4},

即集合B中含有4个元素.

题型二集合间的基本关系

例2(1)(2022.宜春质检)已知集合4=3)=111。-2)},8={.很》一3},则下列结论正确的是

()

A.A=BB.AClB=0

C.ABD.BQA

答案C

解析由题设，可得A={尤|x>2},

又8={xlx2-3},

所以4是8的真子集，

故A,B,D错误，C正确.

(2)设集合A={x|-1Wx+1W2},8={川团-1WXW2〃Z+I},当x《Z时，集合4的真子集有

个；当8UA时，实数〃?的取值范围是.

答案15(—8,-2)U[-l,0]

解析A={x|-2〈xWl},

若xGZ,则4={-2,-1,0,1).

故集合A的真子集有24-1=15(个).

由BQA,

得①若B=0,则2，〃+1<%一1,即—2,

2m+11,

②若BW0,贝小2/n+lWl,

jn—12一2,

解得一1WmWO,

综上，实数〃？的取值范围是(-8,-2)U[-l,0].

思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则

易造成漏解.

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转

化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

跟踪训练2(1)(多选)已知非空集合"满足：①知={-2,—1,1,2,3,4},②若xCAf,则fWM

则集合M可能是()

A.{-1,1}B.{-1,1,2,4)

C.{1}D.{1,-2,2}

答案AC

解析由题意可知3"用且44M,而一2或2与4同时出现，

所以一2&W且24M,

所以满足条件的非空集合M有{一11},{1}.

(2)函数火x)=、N—2x—3的定义域为A,集合B={x|—aWxW4一〃},若BQA,则实数a的

取值范围是.

答案(-8,-3]U[5,+8)

解析由/—2%—320,得x23或xW—I,

即A={x|x23或xW-1}.

,：BQA,

显然8/0,

.*.4—aW—1或一。23,

解得“25或aW—3,

故实数a的取值范围是(一8,-3]U[5,+8).

题型三集合的基本运算

命题点1集合的运算

例3(1)(2021•全国乙卷)已知集合5={*=2〃+1,”WZ},T={t\t=4n+l,nSZ},则SCT

等于()

A.0B.SC.TD.Z

答案C

解析方法一在集合7中，令”=%(%GZ),则z=4〃+l=2(2Z)+l(A：eZ),而集合S中，s

=2〃+l("GZ),所以必有TUS,所以SCT=T.

方法二S={…，-3,-1,1,3,5,-},7={…，-3,1,5,…},观察可知，TQS,所以SC17

=T.

(2)设全集U=R,A={x|-2Wx<4},B={x\y=yfI+2},则图中阴影部分表示的集合为()

A.{x|xW—2}B.{x\x>_2}

C.{小，4}D.{x|xW4}

答案C

解析观察Venn图，可知阴影部分的元素由属于8而不属于A的元素构成，所以阴影部分

表示的集合为

；A={x[—2<x<4},U=R,

".[uA.—{x\x<—2或x24},

又8={妙=5+2}=>8={加>一2},

.•.(CuA)nB={x|x24}.

命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)

例4(2023•衡水模拟)已知集合4={小=皿1-1)},B={#vWa},若([R4)UB=R,则实数

。的取值范围为()

A.(1,+8)B.[1,+00)

C.(一8,1)D.(-8,1]

答案B

解析由题可知A={x|y=ln(l—=

1RA={X|XW—1或x'l},

所以由(CRA)UB=R,得a2l.

思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；

如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.

跟踪训练3(1)(2022•全国甲卷)设全集U={-2,-1,0,1,2,3)，集合A={7,2},8={双

一4x+3=0},则[M4U8)等于()

A.{1,3}B.{0,3}

C.{-2,1)D.{-2,0)

答案D

解析由题意得集合B={1,3},所以4UB={-1,1,2,3},

所以[MAU8)={-2,0}.故选D.

⑵(2023・驻马店模拟)已知集合A={x|(x-l)(x-4)<0},B={x\x>a},若AU8={x|x>l},则a

的取值范围是()

A.[1,4)B.(1,4)

C.[4,+8)D.(4,+8)

答案A

解析由题意可得A={x|la<4}.

因为AUB={x|x>l},

所以lWa<4.

题型四集合的新定义问题

例5(1)(多选)当一个非空数集F满足条件“若a,bGF,则a—%,ab^F,且当b#0

时，月6尸”时，称F为一个数域，以下说法正确的是()

A.0是任何数域的元素

B.若数域尸有非零元素，则2023c尸

C.集合P={4x=3k,ZWZ}为数域

D.有理数集为数域

答案ABD

解析对于A,若“GF,则a-a=0WF,故A正确；

对于B,若。且。力0,则1=*凡2=1+1GF,3=1+2GF,依此类推，可得2023GF,

故B正确；

对于C,P={x\x=3k,%GZ},3G巴66尸，但专£尸，故尸不是数域，故C错误；

对于D,若a,b是两个有理数，则a+b,a-b,ab,永b#0)都是有理数，所以有理数集是

数域，故D正确.

(2)已知集合”={1,2,3,4},AGM,集合4中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且

规定：当集合4只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合4

的累积值为几

①若〃=3,则这样的集合A共有个；

②若〃为偶数，则这样的集合A共有个.

答案213

解析①若”=3,据“累积值”的定义得人={3}或4={1,3},这样的集合A共有2个；

②因为集合M的子集共有24=16(个)，

其中“累积值”为奇数的子集为{1},{3},{1,3},共3个，

所以“累积值”为偶数的集合共有13个.

思维升华解决集合新定义问题的关键

解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义

和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.

跟踪训练4设集合。={2,3,4},对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非

空子集的元素越多，其“势"越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越

大，子集的“势”就越大.最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，

依此类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是.

答案{2,4}

解析根据题意，将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列为:0,{2},{3},{4},{2,3},

{2,4},{3,4},{2,3,4}.

故排在第6位的子集为{2,4}.

课时精练

应基础保分练

1.（2022・全国乙卷）设全集U={1,2,3,4,5}‘集合“满足1,3},则（）

A.2CMB.3GM

C.D.54M

答案A

解析由题意知M={2,4,5},故选A.

2.设集合A={xGN*|2*<4},8={xGN[-l<x<2},则AUB等于（）

A.{川一l<x<2}B.{x\x<2}

C.{0,1}D.{1}

答案c

解析由2*<4可得x<2,

则A={xCN*12y4}={1},

B={xWN|-la<2}={0』},

所以AUB={0,l}.

3.（2022•娄底质检）集合M={（x,y）|2x-y=0},N={（x,y）|x+y—3=0},则MCN等于（）

A.{（2,-1）}B.{2,-1）

C.{（1,2）}D.{1,2}

答案C

2x—y=0,

解析联立

,x+y-3=0,

[x=l,

解得则MCN={(1,2)}.

3=2,

4.(2023•南京模拟)已知集合A={x|f-6x-7<0},B={y\y=3x,x<\},则AC&B)等于()

A.f3,7)B.(-1,01U[3,7)

C.[7,+0°)D.(一8,-1)U[7,+°0)

答案B

解析A={X|X2-6X-7<0}=(-1,7),

B=3y=3‘，x<1}=(0,3),

所以1RB=(-8,0]U[3,+°0),

所以4n([RB)=(-l,0]U[3,7).

5.(2022•海南模拟)已知集合A={R『W1},集合B={x|xWZ且x+lWA},则B等于()

A.(-1,0,1)B.{-2,-1,0)

C.{-2,-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

答案B

解析因为集合A=1},

所以A=M—IWXWI},

在集合B中，由x+lCA,得一即一2WxW0,又xGZ,所以x=-2,-1,0,

即8={-2,-1,0}.

6.(2022・怀仁模拟)已知集合4={x|la<2},B={x[x>〃?},若AC([R8)=0,则实数”的取

值范围为()

A.(—8,1]B.(—8,1)

C.[1,+8)D.(1,+8)

答案A

解析由题知4。（鼠8）=0,得则,〃W1.

7.（多选）已知集合4={1,3,，"},8={1,,〃}.若AUB=A,则实数，"的值为（）

A.0B.1C.2D.3

答案AD

解析因为AUB=A,所以BUA.

因为A={1,3,m2},2={1,m},

所以加2=根或，〃=3,解得机=0或m=1或切=3.

当m=0时，A={l,3,0},B={l,0},符合题意；

当帆=1时，集合A、集合8均不满足集合元素的互异性，不符合题意;

当m=3时，A={1,3,9},B={1,3},符合题意.

综上，m=0或3.

8.(多选)已知全集。的两个非空真子集A,B满足([uA)UB=B,则下列关系一定正确的是

()

A.AHB=0B.AHB=B

C.AUB=UD.&B)UA=A

答案CD

解析令U={1,2,3,4},A={2,3,4},B={1,2},满足([uA)UB=8,但AC8W0,

故A,B均不正确；

由(1uA)UB=B,知[:=

.,.U=AUQA)U(AUB),：.AUB=U,

由知[uBQA,

...(CUB)UA=A,故C,D均正确.

9.(2023・金华模拟)已知集合U={123,4,5,6},S={1,3,5},T={2,3,6},则SC(CuQ=,

集合S共有个子集.

答案{1,5}8

解析由题意可得CuT={1,4,5},

则50([6(7)={1,5}.

集合S的子集有23个，即8个.

10.(2023•石家庄模拟)已知全集U=R,集合M={xGZ||x-l|<3},N={-4,一2,0,1,5},则

Venn图中阴影部分的集合为.

答案{-1,2,3}

解析集合{xGZ||x-1|<3}={XGZ|-3<x-1<3}={x£Z|-2<r<4}={-l,0,l,2,3},

则Venn图中阴影部分表示的集合是MCI([RN)={-1,2,3}.

11.已知集合4={》*+》-6=0},8={必必+1=0},且4口8=4,则m的值可能是

答案0,—|

解析由d+x—6=0,得工=2或》=—3,

所以A={X|JT+X—6=0}={—3,2),

因为AUB=A,所以

当8=0时，BGA成立,此时方程mx+l=0无解，得,〃=0；

当8W0时，得，"WO,则集合2=国〃a+1=0}=1一而，，

因为8=A,所以一\=-3或一《=2,

解得或%=一；,

综上，m=O,机=；或m=一；.

12.已知集合4=*|。+3)。-3)忘0},B={x|2机一3WXW/M+1}.当胆=一1时，贝ijAU8=

;若ACB=8,则，"的取值范围为.

答案[-5,3][0,2]U(4,+8)

解析A={x|-3WxW3},

当机=-1时，B={x|-5WxW0},

此时AUB=[-5,3].

由AC18=B可知BQA.

若B=0,则2m—3>m+1解得"?>4；

2m—3^m+1,

若8#0,贝/机+1W3,解得0W机W2,

2m—32—3,

综上所述，实数〃2的取值范围为[0,2]U(4,+8).

应综合提升练

13.(多选)已知全集U={xGN|log2X<3},A={1,2,3},CMACB)={1,2,4,5,6,7},则集合B可

能为()

A.{2,3,4}B.{3,4,5}

C.{4,5,6}D.{3,5,6}

答案BD

解析由10g2X<3得0<X<23,即oa<8,于是得全集U={123,4,5,6,7},

因为[MACB)={1,2,4,5,6,7},则有Ar)B={3},3GB,C不正确；

若8={2,3,4},则ACB={2,3},Cu(ACB)={l,4,5,6,7},矛盾，A不正确;

若8={3,4,5},则ACB={3},仇(4=8)=524,5,6,7},B正确；

若3={3,5,6},则ACB={3},1°(AC8)={1,2,4,56,7},D正确.

14.某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有

180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人.第一天参加但第二

天没参加活动的有人，这三天参加活动的最少有人.

答案160290

解析根据题意画出Venn图，如图所示,

190

\bV）CA80

130

。表示只参加第一天的人，

6表示只参加第二天的人，

C表示只参加第三天的人，

”表示只参加第一天与第二天的人，

e表示只参加第一天与第三天的人，

/表示只参加第二天与第三天的人，

g表示三天都参加的人，

要使总人数最少，则令g最大，其次d,e,/也尽量大，d+g=30,/+g=40,

，〃+e=160,即第一天参加但第二天没参加的有160人，

，gmax=30,d=0,/=10,a+d+g+e=190,

；.c+e=140,

^max140,C=0,a=20,

则这三天参加活动的最少有a+b+c-\---Fg=20+90+0+0+140+10+30=290（人）.

必拓展冲刺练

15.（多选）1872年德国数学家戴德金