2023十年全国高考数学真题分类汇编 向量（精解精析）

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编向量（精解精析）

一、选择题

1.（2020年高考数学课标山卷理科）已知向量a,b满足|a|=5,|/?|=6,。/=一6,则

cos（a,a+b）=（）

31191719

A.---B.---C.——D.—

35353535

【答案】D

解析：pz|=5,|&|=6,〃.匕=-6，•••4,（。+〃）=卜|+a-b=52-6=19.

卜+〃|=J（a+Z?）=+2a・b+b~-125-2x6+36=7，

〃•（〃+〃）1919

因此，cos<a,a+b>=-^-,---=———=一.

r加卜+r目5x735

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及

向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.

2.（2019年高考数学课标全国II卷理科）己知A3=（2,3）,AC=（3"）,忸c|=1,则ABBC=

（）

A.-3B.—2C.2D.3

【答案】c

【解析】VAB=（2,3）,AC=（3,f）,BC=AC-A3=（1,53），:.

麻卜肝+（一3『=1,解得£=3,

即初=0,0）,则A8-8C=（2,3>（l,0）=2xl+3x0=2.

【点评】本题考杳平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养.采取公

式法，利用转化与化归思想解题.本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技

能，难度不大.学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得

到向量的坐标，然后计算向量数量积.

3.（2019年高考数学课标全国I卷理科）已知非零向量a,Z?满足同=2忖，且（a叫

则a与b的夹角为()

7i7127r54

A.—B•-C.—D.—

6336

【答案】B

解析：(a-Z?)_L6,(a-b)力=a•。一片=0,二a•)=》-=M,所以

所以卜力）=（.

4.（2019年高考数学课标全国I卷理科）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度

与肚脐至足底的长度之比为近二

（正二1ao.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美

2

人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是县口.若某人满足上述两个黄金

2

分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是（）

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

【答案】B

解析：如图，-=-=0.618,a=0.618/J,c=0.618J,

db

c<26,则d=—^<42.07,a=c+d<68.07,/?=<110.15,

0.6180.618

所以身高/?=a+/?<178.22,

又b〉105,所以a=0.618b>64.89,身高〃=a+b>64.89+105=169.89，

故一€(169.89,178.22),故选B.

5.(2018年高考数学课标II卷(理))已知向量a,5满足|a|=l,a-h=—\,则a・(2a-〃)=

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

解析：a<2。-5）=2|a『一a.》=2+1=3,故选B.

6.（2018年高考数学课标卷I（理））在AABC中,AO为BC边上的中线，E为的中点,

贝!IEB-（）

31133113

A.-AB——ACB.-AB--ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

44444444

【答案】A

解析：在AABC中，AD为BC边上的中线，E为的中点，

11/\31

EB=AB—AE=AB一一AD=AB一一（AB+AC）=-AB一一AC，故选A.

22、>44

7.（2017年高考数学课标HI卷理科）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则

的最大值为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下

图

则，，，，连结，过点作于点

在中，有

即

所以圆的方程为

可设

由可得

所以，所以

其中，

所以的最大值为，故选A.

法二：通过点作于点，由，，可求得

又由，可求得

由等和线定理可知，当点的切线（即）与平行时，取得最大值

又点到的距离与点到直线的距离相等，均为

而此时点到直线的距离为

所以，所以的最大值为，故选A.

另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，

则有，由三角形全等可得，知，所以选A.

法三：如图，建立平面直角坐标系

设

根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是

,若满足

即，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值

是，即的最大值是，故选A.

法四：由题意，画出右图.

设与切于点，连接.以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系

则点坐标为.切于点.

.,.是中斜边上的高.

即的半径为♦在上....点的轨迹方程为.

设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：

而，，.

••,•

两式相加得：

（其中，）

当且仅当，时，取得最大值3.

【考点】平面向量的坐标运算：平面向量基本定理

【点评】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向

量的加、减或数乘运算.

（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结

论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

8.（2017年高考数学课标H卷理科）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小

值是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算、数量积，意在考查考生

转化与化归思想和运算求解能力

【解析】解法一：建系法

H歹连接OP，04=(0,G),OB=(-1,0),OC=(1,0；

PC+PB=2PO,APOPA=(-x,-y)-(-x,6-y

，石、2a

/.PO•PA=x2+y2-=x2+y--------

\2/4

o

B0C/.POPA>—,・・・PA^PC+PB^=2POPA>-

・,・最小值为一己3

2

解法二：均值法

••・

•»••

由上图可知：；两边平方可得

•f••

最小值为

解法三：配凑法

..•最小值为

【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通

法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大.

【考点】平面向量的坐标运算，函数的最值

【点评】平而向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量

的几何意义将问题转化为平面几何中的最位或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进

行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值

域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.

9.（2016高考数学课标in卷理科）已知向量区4=（g,孚），BC=（q,g）,则NABC=

（）

A.30°B.45°c.60°D.120°

【答案】A

,X"+立X』

［解析］由题意，得cosNABC=「"产=1—1__2_2=且，所以ZABC=30°,

|BA|-|BC|1X12

故选A.

1（）.（2016高考数学课标H卷理科）已知向量a=（1,冽）,6=（3,-2）,且（a+6）_L/?,则加=

()

A.一8B.-6C.6D.8

【答案】D

【解析】由+可得：（a+b）S=0,所以£山+片=0，又a=(1,M"=(3,-2)

所以3-26+(3?+(—2)2)=°,所以加工8,故选D.

11.（2015高考数学新课标1理科）设D为ABC所在平面内一点=38,则)

1414

A.AD=——AB+-ACB.AD=-AB——AC

3333

4141

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB——AC

3333

【答案】A

11I4

解析：由题知AO=AC+CO=AC+—8C=AC+-（AC—A3）==--AB+-AC,故

3333

选A.

考点：平面向量的线性运算

12.（2014高考数学课标2理科）设向量a,b满足la+b|=,|a-b|=,则ab=（）

A.1B.2C.3D.5

【答案】A

rrrrr2r2rr

析：因为|a+〃|=（a+方f=a+b+2a%=10,

rrrr,r2r2rr

\a-b\={a—by=a+b-2a-b=6,

两式相加得：?+/=8,所以=1,故选A.

考点：（1）平面向量的模；（2）平面向量的数量积

难度：B

备注：常考题

二、填空题

13.（2021年高考全国甲卷理科）已知向量a=（3,l）,0=（l,0）,c=a+Zb.若。_1,，则％=

…10

【答案】一二.

3

解析：a=（3,1）力=（1,0）,:.'=。+妨=（3+幺1）,

aa・c；=3（3+Z）+lxl=0,解得k=-1，

故答案为：——•.

3

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平而向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量

力=（王，%），〃=（々，％）垂直的充分必要条件是其数量积与尤2+%丁2=°・

14.（2021年高考全国乙卷理科）已知向量a=（1,3）,。=（3,4）,若（4一4。）_1_匕，则2=

3

【答案】|

解析：因为a—劝=（1,3）—；1（3,4）=（1—343—4/1）,所以由（。一/?7?）-1人可得,

3（l-32）+4（3-4A）=0,解得2=3.

3

故答案为：—.

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设。=（5,乂）/=（工2，%），

6Z±/?<=>cz-Z?=0<=>x]x2+y}y2=0,注意与平面向量平行的坐标表示区分.

15.（2020年高考数学课标I卷理科）设为单位向量，且|4+力|=1,则|〃-6|二

【答案】x/3

【解析】因为a,b为单位向量，所以口=1=1

所以,+目=+b）=+2。力+忖=j2+2a-0=1

解得：2a-h=-l

所以,一目=’（“_『）_2a为+忖=A/3

故答案为：6

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

16.（2020年高考数学课标II卷理科）已知单位向量：，X的夹角为45。，左与之垂直，则

k=.

【答案】叵

2

TT\/2

解析：由题意可得：a-b=lxlxcos45=—，

2

由向量垂直的充分必要条件可得：（£-“2=0,

即：kxa—ab=k--^-—0，解得：k--

22

故答案为：旦.

2

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知

识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

17.（2019年高考数学课标HI卷理科）已知a,b为单位向量，且。若c=2a-哥,则

cos〈a,c〉=

【答案】

3

【解析】IN为c=2a--J5h>a-b-0'所以a.c=2a?--s/5a-b=2，

a-c_2_2

|c『=4|a/-4逐。力+5|切2=9,所以|d=3,所以cos〈a,c〉=

|a|-|c|"bG-3'

【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角.渗透了数学运算、直观想象素养.使

用转化思想得出答案.

18.（2018年高考数学课标HI卷（理））已知向量a=（l,2）,。=（2,-2）,c=（l,4）,若

c//（2a+6）,贝ij4=.

【答案】-

2

解析：依题意可得2a+/?=（2,4）+（2,—2）=（4,2）,又工=0㈤,c//（2a+b）

所以4x4—2x1=0,解得义=工.

2

19.（2017年高考数学新课标I卷理科）已知向量,的夹角为,，，则.

【答案】

【解析】法一：

所以.

法二（秒杀解法）：利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度，则为.

法三:坐标法

依题意，可设,，所以

所以.

【考点】平面向量的运算

【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量

积的知识进行解答,很快就能得出答案;另外，向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特

征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.

20.（2016高考数学课标I卷理科）设向量4=（加,1）,6=（1,2）,且k+则

m=_________

【答案】m=—2

【解析】由已知得：a+b=（m+l,3）

.电+q〜=,]+愀Jo（m+l）2+32=/n2+l2+l2+22,解得m=一2.

21.（2015高考数学新课标2