2023-2024学年北京市朝阳区高二数学上学期期中试卷附答案解析

2023-2024学年北京市朝阳区高二数学上学期期中试卷

2023.11

（考试时间：120分钟满分：150分）

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.直线G-y-3=°的倾斜角是（）

A.30。B.60°C.120°D.150。

2.设平面。的法向量为（12-2）,平面夕的法向量为（-2,T㈤，若£〃/?,则％的值为（）

A.3B.4C.5D.6

3.P是椭圆1+4/=16上一点，勺居是该椭圆的两个焦点，且|尸耳|=7,则I尸局=（）

A.1B.3C.5D.9

匚匚1

4.双曲线26的焦点到渐近线的距离为（）

A.&B.屈C.2及D.2G

5.已知直线=x被圆C：（x-3）2+（y-l）2=/（r>0）截得的弦长为2,则一（）

A.石B.遍C.3D.4

6.如图，在平行六面体488一A4GA中，的=°,AB=b,=c,点尸在“C上，且A°：PC=3:2

32,2

—a——b——c

555c.555D.555

7.已知圆6：/+9=1与圆C2：（x-2）2+（y+2）2=l,则圆G与圆C2的位置关系是（）

A.内含B.相交C.外切D.外离

2

XJ

8.已知耳月是椭圆°/十5一1（”">°）的左、右焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，尸°尸2为

正三角形，则C的离心率为（）

叵B

A.五TB.6Tc.2D.2

1

9.一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽

匕-----12-----7

A.13米B.14米C.15米D.16米

三+匕=1工-工=1

10.已知椭圆/：«2/（。>°>°）,双曲线N：m2n2（根.设椭圆M的两个焦点分

别为门，歹2,椭圆M的离心率为'，双曲线N的离心率为‘2,记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交

e\

点为P,若尸耳8且1片用=2|尸不，则e?的值为（）

0-1__

A.2B.石Tc.2D.a+1

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.过点人（3,2）且与直线无+>+1=°平行的直线方程为

J匚1

12.椭圆2k的一个焦点是（°，T）,那么左等于

13.已知点PQ，。）在抛物线C：丁=4无上，则点尸到抛物线C的焦点的距离为

14.在长方体488-A4CQ中，阿|=1,|明=2,|泅=3,则BD-AG=.

片+片=1

15.已知点P是椭圆不+彳一上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M,则线段PM的中点"（苍日

的轨迹方程为

16.如图，正方体ABCO-A4GA的棱长为1,£/分别为的中点，尸是底面ABC2上一点.若

AP//平面跳F,则"长度的最小值是；最大值是

三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

2

17.在棱长为2的正方体AB。。一4瓦£〃中，点E是BC的中点，点尸是8中点.

⑴证明：平面明尸;

⑵求。到面A?/的距离.

c♦___\--=1

18.已知椭圆,32,左右焦点分别为不工，直线>=-*+1与椭圆C相交于AB两点.

⑴求椭圆的焦点坐标及离心率;

⑵求A8E的面积.

19.在如图所示的多面体中，4)//8。且位＞=23(7,ADLCD,EG//AD^EG=AD,CDIIFG宣

CD=2FG,0G_L平面ABCD,DA=DC=DG=2,m,N分别为棱比'，EG的中点.

(I)求点F到直线EC的距离；

(II)求平面BED与平面EDC夹角的余弦值；

(III)在棱GF上是否存在一点Q,使得平面MNQ//平而EDC?若存在.指出点Q的位置，若不存在，说明

理由.

C：W+*=l(a>6>0)e=^-

20.已知椭圆匕过点〈”),且离心率3

⑴求椭圆C的方程；

⑵设点厂为椭圆C的左焦点，点7(一3，根)，过点尸作7F的垂线交椭圆C于点P，Q,连接07与PQ交于点

叫

H.求阙的值.

3

21.已知集合人=｛4，％必M”｝(04卬<出<<见，心2)具有性质p：对任意的(l<z<j<n)(

%+%与"，一勾两数中至少有一个属于A.

⑴分别判断数集｛°J3外与｛023,6｝是否具有性质p并说明理由;

(2)证明：4=0,且此=2(4+%++。〃)；

(3)当n=5时，若%=3,求集合A.

1.B

【分析】根据直线一般方程得直线的斜率，结合直线倾斜角与斜率得关系可得倾斜角的大小.

【详解】解：由直线后-y-3=°得直线的斜率k=百

又直线的倾斜角为且ae[0°』80。)，所以tana=6,得a=60。

故选：B.

2.B

【分析】依题意可得两平面的法向量共线，即可得到(一Z-4，％)='。，」-2),从而得到方程组，解得即可;

-2=A

<-4=2%,=-2

【详解】解：因为所以(一2，<左)="1，2，-2),即卜=-2乙解得卜=4；

故选：B.

3.A

【分析】首先将椭圆方程化成标准形式，进而得出椭圆长半轴长，再根据椭圆定义即可求解.

r+£=1

【详解】解：对椭圆方程厂2+4旷2=16变形得164，易知椭圆长半轴的长为4,

由椭圆的定义可得用+陷=2x4=8,

又附卜7,故|*=1,

故选：A.

4.B

【分析】根据标准方程写出焦点坐标与渐近线方程，代入点到直线的距离公式即可求解.

【详解】由双曲线的对称性可知，求出一个焦点到一条渐近线的距离即可，则

反=1()

26的一个焦点为,一条渐近线为后->=°,则焦点到渐近线的距离为

4

|A/3x2V2-0|「

1

2=V6

j(⑹+(-If

故选：B.

5.A

【分析】根据半径的平方等于弦长一半的平方加圆心到直线的距离的平方，即可求出答案.

【详解】圆心到直线的距离Vi2+i2，弦长的一半为1,'=仇”)+

故选：A.

6.C

【分析】利用空间向量的基本定理可得出AP关于IJ的表达式.

3

【详解】因为4尸：%=3:2,所以个一二年，

则有：

AP=A\+\P=AA.+-A.C=AAi+-(\A+AD+DC^=AAx+-(-AAx+AD+AB)

2典3%3翌2r3f3r

5"55555

故选：C.

7.D

【分析】求出圆心距，大于两半径之和，从而判断出两圆的位置关系.

【详解】Gd+/=i的圆心为6(0,0),半径4=1,

22

C2:(x-2)+(y+2)=1的圆心为G(2,-2),半径々=1,

则圆心距=-2-。『+(-2一0『=20,且|C©=20"+M

故圆G与圆,2的位置关系是外离.

故选：D

8.B

【分析】结合图像，利用平面几何的知识证得/耳尸鸟=90°,结合椭圆的定义可分别求出归周」小1及

忸耳|+伊段=2”,由此得到a，c的关系式，进而可求得椭圆C的离心率.

【详解】如图，连结尸尸1

fy2

由椭圆C：/+F=lQb叫可知他l=c,即+阿=2”,

5

因为尸。4为正三角形，所以附|=网=。，

又因为10K1=（弱卜1°”,所以/尸4°=/°尸耳,

又/PFQ+/OPF]=ZPOF2=60。，所以/尸耳O=NOPF[=30°

故/耳「工=/OPF、+ZOPF2=30°+60°=90°

所以在放印风中，俨胤=寓局85/。月「=2'、¥=6

所以由附㈤*=2a得&+c=2a,gp(>/3+l)c=2a

2(73-1)

2

e_£_=5/3—1

aA/3+1(73+1)(73-1)

故椭圆C的离心率为

【分析】沿拱顶建立如图所示的平面直角坐标系，求出圆的方程后可得水面下降2米后的水面宽.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则A（F—2）,3（6,-2）,

设圆的方程为：/+（〉+机）一=加（加＞0）,代入人,则有加=10,

故圆的方程为：d+（＞+i°）一=i°°

令y=-4,贝/=±8,故旧同=16,

10.A

6

【分析】联系椭圆定义可顺利解得其离心率，由渐近线方程可以顺利解得双曲线的离心率.

二+匚1

【详解】椭圆“：«2b2（。＞6＞0）中，尸「‘尸工且|耳玛|=2|/＞耳|

则幽=阴图,椭圆长轴长为附H叫=（1+回1/

/^*4*7Vy'X:

e_2c_闺-2「61

则椭圆M的离心率2a附|+|*1+6

直线OP斜率为6

又由题意可知直线OP为双曲线N的一条渐近线，

V丁1J

一—77=]V=±—X

双曲线N：m-n-的渐近线方程为.m

-=^A

故〃？，即〃=13机，

则双曲线N的实半轴长为，川+"=+（痴了=2m

c2m-

e?=-=----2

则双曲线N的离心率一am

q_痒1

则e?2

故选：A

]]%+y—5=0

【分析】设所求直线方程为x+〉+C=°,利用A点坐标求得C,从而求得正确答案.

【详解】设过点A（3,2）且与直线x+y+l=°平行的直线方程为x+y+C=°,

将A（3,2）代入x+y+C=O得3+2+C=0,C=-5,

所以所求方程为无+y-=°.

故答案为：x+y-5=o

12.3

【分析】根据椭圆中/=/+/,得出/的代数式，并根据焦点坐标列出方程即可求解.

—+^—=1

【详解】因为椭圆2k，所以c?=h2,

又因为椭圆的一个焦点是（°，T）,

所以"2=1,解得左=3,

故答案为：3.

13.3

【分析】根据给定的抛物线方程求出其准线方程，再结合抛物线定义即可计算作答.

【详解】抛物线C：V=4x的准线方程为：X=-1,由抛物线定义得，点P（2，。）到抛物线C的焦点的距离

d=2—（—1）=3

所以点尸到抛物线C的焦点的距离为3.

故答案为：3

14.3

【分析】根据给定的几何体，用空间向量的基底钻，血，明表示向量2nAG,再利用向量数量积运算律

计算即得.

［详解］在长方体ABCO-A4GA中，BD=AD-AB,AC1=AD+AB+AAl,

......2，2__.

所以3/>4。1=047）_筋>（4£>+筋+>141）=4£>__泣一+^7>>141_45・?141=22_12=3

【分析】先利用中点坐标公式写出「（苍2月，再把“无，2月代入椭圆方程化简即可.

【详解】因为RWx轴，垂足为M,且PM的中点为N（x，y）,

旦+匚1

所以尸（羽2月，又因为P是椭圆不+彳一上任意一点,

~(2*/1

所以64，即6.

8

故答案为：6.

还与

16.4T

【解析】取A"中点N,A片中点M,连接AM,AN,MN,利用面面平行的判定定理证得平面AMN//

平面跳F,结合已知条件可知尸在等腰-WN中，可求得AP长度的最值.

【详解】取4"中点N,A片中点连接A",AN,MN

由正方体488一4469,E，N分别为4G，A2的中点，.-.AN//BE

又㈤V<Z平面3EF,5Eu平面BEF,〃平面5£产

区尸分别为'GC2的中点，由中位线性质知所〃与Q

同理可知加//耳%〃砂

又MVU平面BEF,£Fu平面BEF,，M/V//平面跳产

又ANMN=N,A/V,A/7Vu平面24AH

平面AAW//平面BEE

尸是底面4耳G2上一点.且AP〃平面的",PeW

Ap

m^=AM=AN=

在等腰4WN中，AP的长度最大时为

MN=—AP=AM

布的长度最小时，P为MN中点、,2,,即

306

故答案为：4,

【点睛】方法点睛：证明面面平行常用的方法:

9

（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行;

（2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

（3）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

（4）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.

17.（1）证明见解析

2

⑵§

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面垂直时，直线的方向向量与平面的法向量共线证明即可;

（2）利用空间向量，根据点到平面的距离公式求解即可.

【详解】（1）以A为原点，直线AB,AD,"1所在直线分别为X轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

如图所示：

则4（0,0,0）,4（2,0,2）,A（0,2,2）,尸（1,2,0）,£（2,1,0）,£＞（0,2,0）

则AF=（l,2,0）,明=（2,0,2）,RE=（2,T,-2）,

设平面尸的一个法向量为根=（%y，z）,

、iruum

\mlAFx+2y=0

iiruuir

贝武根?叫2x+2z=0,取％=一2,则y=l,z=2,

所以加=（一2」，2）,

又因为班=（2,T，一2）,所以加=-*,

所以。山，平面

（2）由（1）知平面A瓦尸的法向量为根=（一21，2）,

又因为示=（°，一2，°）,

|DA.m|2

所以n到面明厂的距离为H3

B4A/6

18.（1）焦点坐标为月（―L"鸟a°）；离心率为3（2）5

10

【分析】（1）由椭圆的定义及性质可以得出椭圆的焦点坐标及离心率,

（2）先计算点士到y=-x+l的距离，再利用公式求出线段A3的长，

最后用面积公式计算解决问题.

cZ+£-1

【详解】（1）椭圆32知，该椭圆的焦点在无轴上，设焦距为2c,

由〃=3方=2,所以02=1,所以焦点坐标为耳（-1，。），8（1，。）

离心率为：。石3

（2）由直线>=一*+1与椭圆C相交于48两点，设&（再,％）,2（%,%）

」一1

<3263

则卜=一兀+1消去）得5%2_6%一3=0,%+%2=三，X1X2=-T

°°，

22

|AB\=J(1+^)[(X1+^)-4V2]=2x[I]-4x

所以v1⑴

1-1+0-11r-

-1d=--7=--=6

又外至ijy=_%+i的是巨离为<2

S

ABF

所以A'片的面积为：X2255

2夜

④；；

19.(I)(II)3（III）不存在，证明见解析;

【分析】（D由题知，DGLDC,DGA.DA,又ADLCD,建立以D点为原点的空间直角坐标系，求得

2CEEF

EF-(■•)2

一CE

向量CE=（2,-2,2）,EF=（-2,1,0）；则点F到直线EC的距离为丫

（II）求得平面BED和平面EDC的法向量，利用向量的夹角求得二面角的余弦值;

（in）假设GF上存在点Q使得平面MNQ〃平面匹C,设出坐标，求得平面MNQ的法向量，与平面EDC

的法向量应共线，验证是否存在即可.

【详解】（D由DG,平面ABCD知，DG±DC,DG1DA,又ADLCD,

则建立以D点为原点的空间直角坐标系，如图所示，

11

则0(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),G(0,0,2)；E(2,0,2),尸(0,1,2),8(1,2,0)

3

则2,

CE=(2,-2,2),EF=(-2,1,0)

所以点F到直线EC的距离为»

(ID由(I)知，=(L2,0),DE=(2,0,2),DC=(0,2,0)

f

设平面BED的法向量为机=(%，、力,

m-DB=x+2y=0

<

则［M.°£1=2X+2Z=0,令y=1,则根=(一2』,2)

->

设平面EDC的法向量为n=(x，y，z),

n•DE=2x+2z=0

<

则卜•OC=2y=0,令x=l,则:=(l,0,_l)

m-n-42^2

cos<m,n>=-I-rj—r=

3V2

2A/2

由图知，二面角3-ED-C为锐二面角，故余弦值为3

(III)设GF上存在一点Q,设0(。，42),Ae[0,l]

f3-3

MQ=(0"——,1)MN=(1,—,1)

则2,2

设平面MNQ的法向量为P=(x»，z)

12

3

p•MN=x-—y+z=0

3-3

pMQ=(4-7)y+z=0p=(2,1,—A)

则2,令y。则2

若平面MNQ//平面即C,贝H〃P,

故久不存在，即不存在点Q使得平面MNQ〃平面EDC

22

二+匕=1

20.(1)62(2)1

【分析】第一问用椭圆短轴和离心率的相关定义求解即可，第二问中叱的斜率易求，讨论是否为°分别

求解即可.

c_^6

a3

“2=62+。2

b=yj2

【详解】(1)由题意得

解得二=6万=2

由T(-3,叫/(-2,0),显然斜率存在，砧=-切

㈣二1

当m=0时，旧。1

y=—(x+2)

当机W0时，直线0Q过点尸且与直线7F垂直，则直线PQ方程为Q

由

显然A>°.

13

1212-6mJ

设尸(4乂卜口伉，%),则*27W2+35'"27712+3

则PC中点x_2一一加2+3.直线OT的方程为1_一§

y=—(x+2)

X

由〔产一」3得H=―一m5-―+3；.

图Li

.•.阿.

综上同口的值为1.

【点睛】本题考查解析几何，属于难题，第一问用基本定义即可求解，第二问用所学知识，分析题意，进

行分类讨论，求解即可，考生需加强分类讨论思想的学习.

21.⑴数集｛°J34｝具有性质p数集｛。，2,3,6｝不具有性质p；理由见解析；

(2)证明见解析；(3)A=他'6,9.12｝.

【分析】(1)根据定义，计算并判断出数集｛0134具有性质P,数集｛023,6｝不具有性质p；

(2)判断出。"