2023-2024学年北京市80中高二数学上学期10月考试卷附答案解析

2023-2024学年北京市80中高二数学上学期10月考试卷

2023.10

（考试时间90分钟满分100分）

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目

要求）

1.在空间直角坐标系。一个z中，点A（2,3,4）关于原点的对称点坐标为（）

A,（2,3,-4）B（-2,3,-4）c（-2,-3,-4）D（2,-3,-4）

2.设A是空间一定点，”为空间内任一非零向量，满足条件的点M构成的图形是（）

A.圆B.直线C.平面D.线段

3.已知空间向量。，基满足。+5=0，小2,小3,卜卜4,则8s《，礼（）

I.1_11

A.2B.3c.2D.4

1

PE=-PD

4.如图，在四棱锥P一.8中，底面是平行四边形，已知=PB=b,PC=c,2

则BE=（）

111131113­

—a+—br+—c—a——b-\--c——a——b+—c

A.222B.222c.222D.222

5.若直线/的一个方向向量为平面。的一个法向量为"，则可能使〃的是（）

m=(l,0,0)n=(-2,0,0)/??=(1,3,5)=(1,0,1)

加二(0,2,1)H=(-1,0,-1)口，九=(1,一L3)n=(0,3,1)

6.已知向量a=（Lx，-2）,6=（0,L2）,^=（1,0,0）,若d,b,C共面，贝ijx等于（）

A.-1B.1C.1或TD.1或0

7.在长方体ABCC-ABIG"中，AB=BC=\,例=6,则异面直线AA与所成角的余弦值为

1正且受

A.5B.6c.5D.2

1

8.设向量XL）,b=（2，T，2）,若,则实数4的值为（）

2__2_

A.2B.-2C.-2或55D.2或55

9.正方体A88-A4CQ的棱长为2,尸为侧面内动点，且满足归力卜迷，贝必面积的最

小值为（）

A.1B.夜C.2D.2-上

10.如图，棱长为1的正方体488-ABC"中，E,F分别为。"，BBI的中点，则下列结论中错误

的是（）

叵

A.直线FG与直线AE的距离为5

B.直线尸&与平面的距离为§

C.直线尸6与底面ABCD所成的角为30°

2

D.平面48田与底面ABCD夹角的余弦值为§

二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分.）

11.设直线1的方向向量为加=（21"）,平面a的一个法向量为"=（4，-2,-2）,若直线/工平面a,则

实数z的值为

12.已知平行四边形A8C3中，A（4,L3）,8（2,-5,l）,C（3,7,—5）,则点D的坐标为

13.己知空间三点°（Qa°），A（T，l，0），8（0,l,l）在直线OA上有一点H满足则点H的坐标

为

14.如图在一个120°的二面角的棱上有两点A、B,线段AC、8。分别在这个二面角的两个半平面内，

2

且均与棱AB垂直，若AB=®,AC=\,BD=2,则8=

15.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA1.平面ABCO.SA=AB,0,P分别是AC,

SC的中点，M是棱S。上的动点，下列结论中正确的序号是

①OM_LA尸

②存在点M,使0M〃平面SBC

③存在点M,使直线。河与A8所成的角为30°

④点M到平面A8C。与平面SAB的距离和为定值

三、解答题(本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

16.如图，在底面A8CZ)为菱形的平行六面体4BCO-AMG2中，M,N分别在棱明,CG上，且

AiM=-AA,,CN=-CCtg/AAD=/AAB=NOAB=6()

⑴用向量表示向量MN：

⑵求证：D，M'ByN共面；

(3)当A8为何值时，AC'1A".

17.如图，在三棱柱AB。-44G中，侧面BCCg为正方形，平面BCG4,平面,AB=BC=2,

M,N分别为AM,AC的中点.

(1)求证：MN〃平面BCC网;

⑵从条件①：AB1MN,条件②：3M=MN中选择一个作为己知，求直线AB与平面BMN所成角的正

弦值.

18.如图，在四棱锥ABCO中，PAJ.平面ABCD,AC±AD,AB1BC,ZBCA=60°,

AP=AD=AC=2tE为CD的中点，M在AB上，且4M=2M5,

⑴求证：EM〃平面PAD；

(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；

(3)点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角为45°,求AF的长.

19.如图，在四棱柱4B8-A4CQ,e_L底面ABCD,449=90。，AD//BC,且

AA=AB=AD=28C=2,点E在棱A8上，平面人了。与棱GA相交于点尸.

1AE

(1【)棱AB上是否存在点E,使二面角A-EC-O的余弦值为§?若存在，求出益的值；若不存在,

说明理由.

(III)求三棱锥片-AEF的体积的最大值.

4

1.c

【分析】在空间直角坐标系°-xyz中，点（。也c）关于原点的对称点坐标为即可选出答案.

【详解】在空间直角坐标系中，点A（2,3,4）关于原点的对称点坐标为（-2,-3,-4）.

故选：C.

2.C

【分析】根据平面的法向量的含义，即可判断出答案.

【详解】由题意故点M位于过点A且和“垂直的平面内，

故点M构成的图形是经过点A,且以“为法向量的平面,

故选：C

3.D

【分析】根据a+〃+c=°得至ijc=-a-b,两边平方，利用向量数量积公式求出北.

【详解】因为。+"。=0,所以。一也则'十〃叫"+2〃力+J

即4+2忖忡。$（。&+9=16,从而12cos,6=3,

cosla,h}=—

解得：'/4.

故选：D

4.A

【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.

PE=-PD

【详解】因为在四棱锥P-MCD中，底面ABCD是正方形，PA=a,PB=b,PC=c,2,

BE=-（BP+BD\=--PB+-（BA+BC\

所以2、，2>

=--PB+-BA+-BC=--PB+-(PA-PB]+-(PC-PB

22222、,2、

131131

=-PA--PB+-PC=-a--b+-c

222222.

故选：A.

5.D

【分析】要使直线与平面平行，则直线的方向向量和平面的法向量垂直，利用向量垂直的坐标运算逐项

计算即可.

【详解】若〃/。，则小，〃,即",=0,

对于A,E=lx(-2)+0x0+0x0=-2*0,不符合题意；

对于B,〃r〃=lxl+3x0+5xl=6H0,不符合题意；

对于C,机力=0x(T)+2x0+lx(-l)=Tw0,不符合题意;

5

对于D,而'"=1x0+(-l)x3+3xl=0,符合题意;

故选：D

6.A

<X=A

【分析】根据向量共面可得.=筋+4%进而可得12=2",即得答案

【详解】因为。，b，C共面，

所以存在实数4〃，使"=劝+〃。，

所以(1,x,-2)=2(0,1,2)+Ad,0,0),

j=〃

<x=A,

,-2=22

••，

解得x=-l.

故选：A.

7.C

【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角

与线线角相等或互补关系求结果.

详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

D(0,0,0),A(l,0,0),B、(1,1,百),。(0,0,G),所以ADX=(-1,0,百),DB.=(1,1,后)

因为1叫叫xV5,所以异面直线AR与必所成角的余弦值为彳，选c.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系;

第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应

用公式关

8.C

【分析】直接利用空间向量夹角的余弦公式即可求出结果.

【详解】因为向量"XL),"=(2，-1，2),cos(a，*§,

所以/",\"聃ab=而25-2+4而8解得—广£

故选：C.

9.B

【分析】建立空间直角坐标系如图所示，设尸(2，％z)由|户川=加,得出点P的轨迹方程，由几何性质求

6

得|PBL,再根据垂直关系求出△P8C面积的最小值.

【详解】以点。为原点，D4QCCA分别为为V"轴建立空间直角坐标系，如图所示:

则。(0,0,2),8(220),设P(2,y,z)

所以陷bj4+y2+(z-2)2=«,得V+(Z-2)2=2,

所以阿舄=J(2-0『+(0-2)2-夜=近

因为8c1平面4880,所以5C_LP8

S=-|BC||PBl=>/2

故4P8C面积的最小值为2111lmi-

故选：B

10.C

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】在棱长为1的正方体A8CO-4gGA中，

如图，以D为原点，以D4OCOA所在直线为x，y，z轴距离空间直角坐标系,

则41,0,0),8(1,1,0),C(0,l,0),0(0,0,0),4(1,0,1),“1,1,1),G(0,1,1),D'9°，D，q0,0,5),F[1，1，-

=其=(-1,0,；

则

对A,AE//FC,

1

cos(AE,AF)=A""

*二°心\/\AE\-\AF\

,所以5

7

sin(4E,”)2A/6

-S-

设直线FG与直线AE的距离，即为F到直线AE的距离为",

…m-c乖＞2娓屈

d=|AF|-sm(AE,A/7)=——x---=----

则255,A正确；

对B,直线做到平面的距离即为点F到平面他£的距离,

AF=|0,14lA用=(O,l,l),/l£=f-l,O,^

由A知I2人I2J

设平面48也的法向量为〃=(x,y,z),

\y+z=O

AB}n=0］

=0

则［A4E口n=八O，即［一XH--2Z,

令x=l,则z=2,y=-2,.•.«=(1,-2,2)；

设点尸到平面AB|E的距离为"，

公四口上」

则I利33,

£

即直线FG与平面AB|E的距离为3,B正确；

FC=|-1,0,-|

对C,I2人平面43。的法向量为。.=(0，。，1),

1

5=石

故直线FG与底面ABCD所成的角的正弦值为5,c错误；

对D,由B知平面的法向量为"=(L-2,2)

/八八\DD「n22

cos,n)=1---f---=一「=-

\/加JiaIVi+4+43

又由图知，平面与底面ABCD的夹角为锐角,

8

2

故平面与底面ABCD的夹角的余弦值为3,故D正确.

故选：C

11.-1

【分析】由题意可知小〃，?，代入坐标计算即可.

【详解】解：由题意可知机〃〃，

2_-1__z_

所以工一三一三，解得z=-l.

故答案为：-1

12（5,13-3）

【分析】设平行四边形"CO的两条对角线的交点为p,则点p为AC,8。的中点，然后利用中点坐标

公式求解即可

【详解】设平行四边形ABCO的两条对角线的交点为p,则点p为AC,8D的中点.

由A（4,1,3）,C（3,7,-5）,得点p的坐标为Gil.

又点8（2,-5,1）,所以点口的坐标为（5/3,-3）

故答案为：（“3，-3）

13.H^°）

【分析】根据空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.

［详解］设〃（见〉*）,O”=（x,y,z）,Q4=（-l,l,0）,B//=（x,y-l,z-l）,

因为B”_LOA,所以BH_LOA,即-x+y-l=o,

因为直线0A上有一点H,

-1=Ax

OA=WH^\\=A.y

所以。A//。"，即1°=初，显然%wO,

X,

———Iy——x

所以z=0,y代入-x+y-i=o中，

—v=lo'］

得2"2,所以点H的坐标为I22）,

「黄，o）

故答案为：I22J

9

14.3

【分析】由CO=CA+A8+8D,两边平方后展开整理，即可求得。4，则。。的长可求.

［详解】CQ=G4+A3+BD,

2.2-22

,CD=CA+AB+BD+2C4A8+2C48D+2A8・8。，

CA1ABfBDLAB,

CA.AB=O,BD・AB=O,

C4.BD=|C4||^D|cos(1800-1200)=ix1x2=1

.2

,CD=l+2+4+2xl=9,

.JCD1=3

故答案为：3.

【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想

象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

15.①②④

【分析】根据题意以A为坐标原点，ABERAS所在直线分别为x,y,z轴，利用向量法判断①③④，根

据线面平行的判定定理判断②即可.

【详解】以A为坐标原点，AB,A"AS所在直线分别为x,y,z轴，

设&4=AB=2,

则A（0,0,0）,C（2,2,0）,3（2,0,0）,0（0,2,0）,S（0,0,2）,0（1,1,0）

由M是棱S。上的动点，设”（。，42-4,（04”2）,

AP=（1,1,1）,OM=（-1,2-1,2-2）

・•.APOM=-14-2-1+2-2=0,

即。MLAP,①正确；

10

当M是中点时，是,,S8D的中位线，

所以QM〃SB,又QM0平面SBC,SBu平面SBC,

所以0M//平面S8C,②正确；

/4B=（2,0,0）,（9M=（-1,2-1,2-2）

若存在点M，使直线。加与AB所成的角为30。，

ABOM16

cos30°=―——=,=—

则AB]inOMJ+（"i），（2一叶2,

化简得3%-92+7=0,无解，③错；

点M到平面"CD的距离4=2-7,

W-AD|_|(O,2,2-A).(O,2,O)|_

d2=

点M到平面SAB距离

所以4+4=2-2+2=2,④正确

故答案为：①②④

MN=AB+AD--AA

16.（1）3

⑵证明见解析

（3）1

【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；

（2）根据空间向量线性运算法则得到。M=A®1,即可证明。，M,4N共面；

（3）设AVc'，4）=b，AB=a,因为底面ABC。为菱形，则当时，昨回第，由

AC,AlB=a+b+c-a-c=0即可得出答案.

MN=MA+AB+BC+CN=--AA+AB+BC+-AA=AB+AD--AA

【详解】（1）333

22

（）、正明DM=AM-AD=-AA}-ADNB}=C}B]-C}N=-AA,-AD

:.DM=NB\D,M,N共面

M=1

⑶当AB,AC]J_,

证明：设〃二乙仞二儿"为，

11

.底面A8C0为菱形，则当前一1时，卜卜叶同，

i4Cj=AB+BC+CC）=67+/?+cA^B=AB-AA^—a—c

Z\AD=Z\AB=NDAB=60

22

「.AC]-A]B=（,a+b-^c）-（a-c）=a+ab-bc-c=0

ACX±A1B

2

17.（1）证明见解析（2）3

【分析】（1）取AB的中点为K,连接”K,NK,可证平面MKNH平面8℃由，从而可证MNH平面BCC网

（2）选①②均可证明•平面4BC,从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线

面角的正弦值.

【详解】（1）取A5的中点为K,连接MK,NK,

由三棱柱A'。-ABC可得四边形ABBA为平行四边形，

而B,M=MA,,BK=KA则MKHBB、

而MK<Z平面BCC、BI,u平面SCC,4,故MKH平面BCC、B、,

^^CN=NA,BK=KA,则NK//BC,NK<z平面8。6片，BCu平面8CC4,

所以NK〃平面BCC由，

而NKMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKM7平面8℃片，而MNu平面MKN,故MN〃平面

（2）因为侧面BCC耳为正方形，故CB,叫

而CBu平面BCCIB、,平面CBBG1平面ABB^,

平面C平面,故CB_L平面,

因为NK〃皮?，故NKJ_平面A3瓦4,

因为ABu平面故NKLA5,

若选①，则A3J_MN,而NK_LA8,NKMN=N,NK,MNu平面MNK,

12

故AB2平面MNK,而MKu平面MNK,故他J.MK,

所以而C8_LBB],CBcAB=B,CB,A8u平面ABC,故•平面43c,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则W°，0,0），A（0,2,0），N（l,l,0）,M（0,l,2）,

故BA=（O,2,O）,BN=（l,l,O）,BM=（O,l,2）,

设平面BMW的法向量为〃=（x，y，z）,

「BN=0fx+y=o

则1〃-8M=。，从而fy+2z=0,取z=-l,则〃=（-2,21）,

sin0=|cos/n,=—^―=—

设直线AB与平面BMW所成的角为。，则I'/I2x33.

若选②，因为NK/1BC,故NKJ■平面A88M,而必^（=平面加",

取NK1KM,而B、M=BK=l,NK=l,故gM=NK,

而48=MK=2,MB=MN,故BBM.MKN,

所以NBB]M=NMKN=90。，故A,B}1BBt

而C8L88、CBcAB=B,C8,ABu平面ABC,故与，平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3（0,0,0），A（0,2,（））,N（l,l,0）M0,l,2）,

收=（0,2,0）,=（1,1,0）,5M=（0,1,2）,

设平面的法向量为

「BN=0卜+y=0

则[iM=0,从而&+2z=0,取z=-l,则"=（一2,2,-1）,

sin0=|cos/z?,=—^―-—

设直线A8与平面的VM所成的角为，，则I'/I2x33.

X

13

叵

18.（1）证明见解析（2）7（3）&

【分析】（1）由已知可得A。，AC,AP两两垂直，所以以A为坐标原点，以ARACAP所在的直线分别

为x，y，z轴建立空间直角坐标系，通过向量证明线线平行，再证明线面平行即可；

（2）分别求出相关平面的法向量后，再运用夹角公式计算即可；

（3）根据已知条件求出点尸的坐标，再计算长度即可.

【详解】（1）证明：因为PAJ_平面ABCD,AZXACU平面所以

因为ACLAO,所以A2ACAP两两垂直，

所以以A为坐标原点，以43AC,AP所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为人。,ARAB'BC,/8c4=60。，AP=AD=AC=2,E为CD的中点，M在AB上，且AM=2M8,

A(0,0,0),C(0,2,0),B(-E，：,0),M(-g，0),p7nn一con

所以223P(0,0,2),E(l,1,0),£)(2,0,0)

EM=(---1,0,0),AC=(0,2,0),

所以3所以EM-AC=0,

所以AC_LEM,又ACLAO,所以EM//AD,

又“MN平面PAD,A£）u平面PAD,

所以EM〃平面PAD.

PC=(0,2,-2),P8=(一堂,"-2)

(2)22

设平面PBC的法向量为〃=（x，y，z）,

2y-2z=0

PCn=0

'•=><丛厂>rc

PBn=0-----x-\—y—2z=()n=,U)

则有22',可取

14

由题意，平面小。的一个法向量可取机=(0，1，0),

设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为0,

]

cos9=|cos〈肛n)\=

Jg+1+l7

则

叵

所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为7.

(3)设尸(Xo，y(>，Zo),PF=APD(0<2<1),即(Xo，%,Zo-2)=2(2,O,-2)

可得F(22,0,2-2㈤，所以"=(22-1,-1,2-22),又AC=(0,2,0)

|cos^EF,AC)|20

2xJ(22-1)~+(-1)-+(2-2彳)~2

由题意有

2=1

化简得2万-3；1+1=0,解得5或4=1(舍)，所以尸(1,0,1),

所以IAF|=J(1-0)2+(o-o)2+(1-0)2=6

i

19.(I)证明见解析；(II)存在，12；(III)当F与"重合时，体积最大值为3.

【分析】(I)根据面面平行的性质定理证明AF//EC即可;

(II)以A为原点，ABMDAA,分别为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系，设点E(f,o,0),04/42,