新教材高考人教A版数学一轮复习学案高考大题专项三数列含答案

高考大题专项

U(三)数列

考情分析

从近几年高考试题分析来看，高考数列解答题主要题型有:等差、等比数列的综合问题；

证明一个数列为等差或等比数列;求数列的通项公式及非等差、等比数列的前n项和;证明数

列型不等式.

M典例剖析

题型一等差、等比数列的综合问题

【例1】(2019全国1,文18)记S,为等差数列｛斯｝的前"项和.已知S9=-a5.

(1)若的=4,求｛。“｝的通项公式；

(2)若0>0,求使得S会%的n的取值范围.

解题心得L对于等差、等比数列,求其通项公式及求前〃项的和时,只需利用等差数列或

等比数列的通项公式及求和公式求解即可.

2.有些数列可以通过变形、整理，把它转化为等差数列或等比数列，进而利用等差数列或

等比数列的通项公式或求和公式解决问题.

对点训练1(2020湖南永州高三第三次模拟)已知S,是公差不为零的等差数列｛如｝的前n

项和,§3=6,03是的与a9的等比中项.

(1)求数列｛诙｝的通项公式；

(2)设数列d=(-1)"普^zGN*),数列｛6〃｝的前2n项和为若|「2〃+11〈焉，求正整数n

471,-J.ZUZU

的最小值.

题型二可转化为等差、等比数列的综合问题

［例2］已知数列｛“〃｝的前〃项的和为Sn,Sn=^an-l,

(1)求数列｛飙｝的前〃项和Sn;

(2)判断数列F黄1｝是递增数列还是递减数列，并证明.

解题心得无论是求数列的通项公式还是求数列的前〃项和，通过变形整理后，能够把数列

转化为等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.

对点训练2已知等差数列｛诙｝的前n项和为S”,且的=2,$6=15.

(1)求数列｛诙｝的通项公式；

(2)若从数列｛呢｝中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项,…，第项，按原来的顺序组

成一个新的数列｛%“｝,求数列｛b｝的前”项和Tn.

题型三数列中的结构不良问题

［例3］在0S〃=2%1,②-4b="1(心2),③4="+2(心2)这三个条件中任选一个,补充

在下面的问题中,若问题中的上存在,求出上的值;若%不存在，说明理由.

已知数列｛小｝为等比数列，的=|,6=勾。2,数列｛儿｝的首项8=1,其前n项和为S”,,是否存在

keN*,使得对任意〃eW以加恒成立？

解题心得数列结构不良题型的解题策略

结构不良主要表现在具体情境缺乏足够的资源,材料不全或参数不完整等等.其一般解题

流程可概括为：

通读整个题目，理解题意|今际适合自己解题突破的条件国把条件代入题目将结构补充

四斗根据数列的有关概念性质和公式解题|

对点训练3在①23=5,42+。5=6历；软2=2,俏+。4=3匕3；③53=9,。4+。5=8岳,这三个条件中任选

一个，补充在下面问题中，并解答.

已知等差数列｛斯｝的公差为d(d>l),前“项和为等比数列｛仇｝的公比为％且(11=61,d=%.

(1)求数列｛•〃｝,｛为｝的通项公式;

(2)记c,尸詈,求数列｛金｝的前n项和Tn.

题型四与数列有关的恒成立问题

【例4］在数列｛诙｝中©=2,02=3,其前n项和S”满足S,+i+S,.i=2S〃+15'2,weN*).

(1)求数列｛斯｝的通项公式an.

10

⑵设儿=滔彳，求证:61+岳+63+…+6〃<了

(3)设。"=4"+(-1)"-1.分2而册为非零整数,"GN*),是否存在确定的A值，使得对任意"GN*,

有c,+i>a恒成立.若存在，求出入的值;若不存在，说明理由.

解题心得以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系,一般要通过求和化简

后将结果转化或构造为函数，利用函数的单调性分析，若是含参数的不等式恒成立问题，则可

分离参数，转化为研究最大(小)值问题.

对点训练4(2020山东日照校际联考)己知数列｛斯｝是首项为公比4=)的等比数歹！I,

设/?〃+2=31og工〃〃(〃£N*),数歹!!｛6｝满足c-a'b.

4nnn

(1)求数列｛金｝的前n项和Sn;

(2)若Cn^^rr^+m-l对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.

4

题型五与数列有关的不等式证明问题

【例5】设函数段)=9+工,各项均为正数的数列｛斯｝满足«i=l,«„=/(—心2.

(1)求数列｛诙｝的通项公式；

1111

(2)求证:---1----------1------+,•,+--------<2.

。2a3a3a4。九。九+1

解题心得数列与不等式综合问题的求解策略

与不等式相关的数列问题,通常与由等差数列、等比数列等基本数列进行复合、变形后

得到的新数列的和相关.合理应用公式求值变形是关键;若是证明题，则要灵活选择不等式的

证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等.

对点训练5已知数列｛斯｝为等比数歹!J,数列2“｝为等差数歹U,且

加=。1=1/2=41+。2,的=263-6.

⑴求数列｛斯｝，｛勾的通项公式;

(2)设C,产大^―,数列｛C.｝的前n项和为证明

°n^n+253

题型六数列中的存在性问题

【例6】己知S”是等比数列｛。〃｝的前n项和,S4&,S3成等差数列，且02+03+^4--18.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)是否存在正整数“，使得S言2017?若存在，求出符合条件的所有n的集合;若不存在，

请说明理由.

解题心得求解数列中的存在性问题，先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提

条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾,则假设不成立，即不存在.若推不出矛盾，即得到存

在的结果.

对点训练6已知数列｛%｝的前n项和为5”,。1=1,。"4,。“斯+1=/1%1,其中4为常数.

(1)证明:an+2-a"=/l；

(2)是否存在Z使得｛%｝为等差数歹!I?并说明理由.

高考大题专项(三)数列

例1解⑴设｛。%｝的公差为d.由S9=-〃5得〃1+4d=0.由(23=4得41+2d=4.于是

ai=8,d=-2.

因此｛斯｝的通项公式为斯=10-2几

(2)由⑴得ai=-4d,故斯=(〃-5)d$=专足.由0>0知d<0,故8泊〃等价于

层-ll〃+10W0,解得1W〃W1O.所以n的取值范围是｛川1W〃W10,〃£N｝.

对点训练1解(1)公差d不为零的等差数列｛呢｝，由。3是m与。9的等比中项，可得

〃1・.9=通，即〃i(ai+8(7)=(ai+2dy,解得ai=d.

又因为S3=3m+3d=6,可得ai=d二l,

所以数列｛斯｝是以1为首项和公差的等差数列，

所以。〃=〃，"QN*.

⑵由⑴可知3(⑴展+(一1)〃(亳+焉)，

匕匕

所Z以nP2l=-1,1.-1---,--1-------1------1-F…---1---------1----,---1-----,--1-------=-11H----1---

月外r1335574n-34n-l4n-l4n+l4n+l'

因为|P2〃+1|=±<焉，所以心竽，所以n的最小值为505.

471十工ZUZU4

□

例2解(1)当n>l时$一1\即1-1.

•・Cln=Sn~Sn-\

=\严-11-^-an-1-l1.

・••斯=3斯一1「・・。1=2,0,・••数歹U｛斯｝是等比数歹山・••斯=2x3〃」,・・・S〃=3〃一l.

证明殷瓦=2,

3几

&?!•+11

万尸jrF=3+义.

3-13-1

.,八_22_2(3n-3n+1)

+1

••仇+广仇=/可一铲五二(3"-1)(3--1)-

72三1,・•.3/1>3〃>1,・••3"+1-3">0,3"+1-1>0,3"-1>0,•••瓦+广瓦<0.

对点训练2解(1)设等差数列｛劣｝的公差为d,已知«=2,56=15,

可得］ar+2d=2,解得仁

6al+15d=15,

/.an=n-l.

(2)由题意知bn=a2n-1二2"」-1,

i_2n

二・数列｛瓦｝的前〃项和〃=(〃=/厂〃=几

1+2+4+3+2"-1)-J.-Z2"-1-

例3解设等比数列｛〃〃｝的公比为q,因为。1二|以3=。1。2,所以q二毁=|,

3。23

故a〃=q)".

方案一:选择条件①.

的=2瓦-1,则S*=20"-i-l(〃N2),两式相减灌理得^^=2(〃三2),又因为61=1,

0n-l

所以｛瓦｝是首项为1,公比为2的等比数列，所以bn=2nA.

所以外及=(|)*2止1=3(,口.

由指数函数的性质知，数列｛斯瓦｝为递增数列,且没有最大值，所以选择条件①

时,不存在左©N*,使得对任意“GN*,a〃历Wa新恒成立.

方案二:选择条件②.

-4加三2）,由力=1,知数列｛加｝是首项为1,公比为［的等比数列，所以bn=

q

所以伪及=（|）"•（1）"J=（-4）x（-1）«

34O

因为外瓦=（-4）x（士）"W4x（py4x）=，当且仅当n=l时，取得最大值|,所以

66633

选择条件②时，存在攵=1,使得对任意"UN*,a〃b〃Wakbk恒成立.

方案三:选择条件③.

为二篇1+2（〃22）,可知数列｛瓦｝是公差为2的等差数列，

又因为历=1,所以bn=2n-l.

则为+1-扇=(2〃+1)(|)"+1-(2“-1)(|)"=早(I)”.

所以当n<2时当“23时,。即ci<C2<C3>C4>C5>…

所以选择条件③时，存在女=3,使得对任意nGN*,aEWakbk恒成立.

对点训练3解方案一:选条件①.

(1)Vas=5,02+45=6岳⑷=bi,d=q,d>1,

.+2d—5,

•+5d=6ald,

_25

电一『'(舍去)

{d=谈

力瓦二”

lq—2.

nAnA

an=ai+(n-1)d=2n-1.bn=biq=2.

(2Y：Cn=^,：.。尸箸=(2"-l)x(I)"1.

unZ乙

4=1+3x[+5x(J2+…+(2〃一3‘(I)«-2+(2n-l)x(|)

「*+3x（；）2+5x（g+…+（2〃-3）x（J）叫（2〃-l）x（J",

乙乙乙乙乙乙

.争=1+2/(，2+…+

q)"」]-(2%l)x(?〃=1+2x2口？_l(2n-i)xQ)"

=3-(2"+3)x(J”,

・•・4=6-(2〃+3)x(?"-i.

方案二:选条件②.

CL]d—2,

(1)Vbi=2,a3+OA=/3b3,ax=bi,d=q,d>1,/.

2@i+5d=3al序,

解得伊=1，或曰1=”(舍去)

[4=21a=-Z,

.pl=1,

•%=2.

ninA

/.an=ai+(n-l)d=2n-l,bn=biq'=2.

(2)：c#

un

・2?1-1/c1、(1)〃]

••。尸赤=(2止1田/-1.

z乙

T„=l+3x1+5x(|)2+…+(2〃-3)x(|)«-2+(2H-1)X(|)叫

/=：+3x(J)2+5*(：)3+…+Q〃一3*(+(2%l)x(；)”,

乙乙乙乙乙乙

--(2H-1)X(1)

，zzzZi_A

"=3-(2〃+3)x(；)",

・,.4=6-(2〃+3)x(，"-i

方案三:选条件③.

a1+d=3,

(1)VS3=9,〃4+〃5=8历,〃1=bi,d=q,d>1,

2a1+7d=8ald,

_21

;一3百’(舍去)

{8

(q—2.

ninA

/.an=ai+(n-l)d=2n-l,bn=biq'=2.

⑵•••c”喈,。尸得=(2%l)x(I)『1.

unL乙

/.4=1+3x[+5x(I)2+…+(2%3)x(I)«2+(2n-l)x(J

JA=2+3X(；)2+5X(J3+…+(2%3)x(I)+(2%l)x(J",

乙乙乙乙乙乙

.,.17；=1+2[1+(1)24—•+(|)nlJ-(2n-l)x(i)«

乙乙乙乙乙

Y2〃-1)X(/=3-(2〃+3)X

=1+2xzHp

畤

4=6-(2〃+3)x(&i.

例4(1)解由已知可得

(5,l+i-S„)-(5n-Sn-i)=l(n>2,neN*),

即加+1-痴=1(几22,〃£N*),且=

，数列｛人｝是以2为首项,1为公差的等差数列,・・・酸=〃+1.

(2)证明由(1)知an=n+l,

7111（11）

bn—r---------------\——------/

a^-1n（n+2）2nn+2'

/.Z?1+Z?2+Z?3+,•,+Z?nL]_■!）+（；

22n+ln+2

22n+ln+2

=3_1（+

42n+ln+2'

.1

VnEN*,.----1---->0,

,2n+ln+2

•,•3厂/H+能1〈下目即口历7+。72+加7+…+及J<]3.

(3)解,.,。行,+1,

.•.G=4"+(-1)"-I42+1,

假设存在确定的A值，使得对任意“©N*,有G+i>G,恒成立，

即G+i-C〃>0,对任意〃GN*恒成立，即4"+1-4"+(-1)“2"+2-(-1产1•九2"+i>0,对任

意“©N*恒成立，

即(-1尸儿<2叫对任意〃GN*恒成立.

①当n为奇数时，即7<2口对任意恒成立，

当且仅当n=l时2」有最小值为1,

②当〃为偶数时，即7>-2小1,对任意“©N*恒成立，

当且仅当”=2时,2」有最大值-2,

.,">-2.综上

又7为非零整数，则丸=-1.

综上所述，存在％=-1,使得对任意〃GN*,有G+i>G恒成立.

对点训练4解(1)由题意知，丽=(。)"(neN*),

4

所以b〃=310g工加2=31ogJ；）"-2=3〃-2（〃£N*）,

444

故（：）"川=3〃-2（〃£N*）,

所以盘=（3〃-2>（P%zGN*）.

4

所以S〃=1x；+4x（，2+7x（3）3+…+（3〃-5）x（；）"-1+（3〃-2）x（，”,

11I

/J2+4X；）3+7X（，4+…+（3止5）x（.）"+（3止2）x（，"+1,

4-4-

两式相减得*SM=；+3[(?2+(13+…+(J]-(3〃-2)x(，=[(3"+2)x(?

〃+l

所以

334

4一誓3)%"中*).

w+1

(2)因为cw+i-Cn=(3n+l)-(P"+i-(3〃-2>(7)"=9(1-〃)•(7)(n£N*),

444

1

当

所以n

4-

当“22时,金+1<。%即Cl=C2>C3>C4>,••>Cn,

所以当n=i或2时,以取最大值是J.又加_]对一切正整数n恒成立,

44

11

所以了苏+机-12了,即川+4机-520,解得或mW-5.

44

故实数m的取值范围为(①,-5]U[1,+8).

例5(1)解因为,

an-l

所以O〃=5+O“-I,〃£N*，且几22,

所以数列｛丽｝是以1为首项3为公差的等差数列,

141

(2)证明由(1)可知，W),所以吃+-^―+

。九。几+1(n+l)(n+2)=4岛-几+2CL\Q.2a2a3

1141_11_11_111

+・・・+4

-------+・・・+-----------=4-+-+-=2

。3a4^nan+l233445n+1n+2

4

=2-<2.

□+2

对点训练5(1)解设数列｛a“｝的公比为q,数列｛瓦｝的公差为d,由题意得

1+d=1+/d=2(1+2办6,

n

解得d=q=2,所以an=2'\bn=2n-l.

11(1]1

⑵证明因为沪高，所以4S+(A