2022-2023学年湖南省湘西州高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省湘西州高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知a,bWR,a+已=（b+为虚数单位）,则（）

A.Q=1,b=-3B.Q=-1,b=3

C.a=-1,b=-3D.a=19b=3

2.已知万范为不共线的非零向量，AB=a+5b'BC=-2a+8b.CD=3a-3b>贝U（）

A.A,B,C三点共线B.A,B、。三点共线

C.B,C,。三点共线D.A,C,。三点共线

3.湘西州有甲草原：龙山县八面山空中草原，乙草原：泸溪县滨江大草原，暑假期间两草原

供游客休闲旅游，记事件E="只去甲草原"，事件F="至少去一个草原"，事件G="至

多去一个草原“，事件”="不去甲草原"，事件I="一个草原也不去”.下列命题正确的

是（）

A.E与G是互斥事件B.尸与/是互斥事件，且是对立事件

C.尸与G是互斥事件D.G与I是互斥事件

4.已知向量五=（3,4）,石=（1,0），m=N+tB，若方，而勺夹角与3,而勺夹角相等，贝肚=（）

A.-6B.-5C.5D.6

5.已知a,b是两条直线，a,£是两个平面，则下列四个命题正确的有（）

（T）a//P，aua=a〃伙

②a〃/?,mua,nc/?=>m//n；

③a1b,a1a0b〃a；

④a1a,ajI.,b//BnaLb.

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为0,AB为底面直径，AAPB=120°,PA=2,点C在底

面圆周上，且二面角P—4C-0为45。，则（）

A.该圆锥的体积为37rB.该圆锥的侧面积为44?兀

C.AC=y/~2D.△P4C的面积为2

7.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果、可以

判断出一定没有出现点数6的是（）

A.平均数为2,方差为3.1B.中位数为3,方差为1.6

C.中位数为3,众数为2D.平均数为3,中位数为2

8.如图，公园里有一块边长为4的等边三角形草坪（记为AABC）,

图中0E把草坪分成面积相等的两部分，。在4B上，E在AC上，如果

要沿DE铺设灌溉水管，则水管的最短长度为（）

A.B.<7C.3D.2/3

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知i是虚数单位，若z（l+i）=签，则（）

复数z的虚部为-2

B.复数z对应的点在第二象限

C.\z-2i\=25

D.复数z是关于x的方程/+6x+13=0的一个根

10.在某次数学测试中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对

的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分已知某道多项选择题的正确答案是ABC,且

某同学不会做该题（该同学至少选一项且可能全选），下列结论正确的是（）

A.该同学仅随机选一个选项，能得分的概率玛

B.该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是白

该同学仅随机选三个选项，能得分的概率当

D.该同学随机选择选项，能得分的概率是2

11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆

台。1。2，在轴截面4BCD中，AB=AD=BC=2cm,且CD=

2AB,下列说法正确的有（）

A.该圆台轴截面4BCD面积

B.而与方的夹角60。

C.该圆台的体积为弓1cm3

D.沿着该圆台侧面，从点C到力D中点的最短距离为5sn

12.折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠

的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形40B,其中乙408=120。，。4=30C=3,点E在弧CD

上.()

A.07.CD=-2

B.若屈=a元+a而，则a=l

C.若WOE=30。，则加=?能+亨成

D.丽・丽的最小值为-:

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.i+i2+i3+-+i2023=.。为虚数单位)

14.“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大

放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽

取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对

“键盘侠”持反对态度的有人.

15.已知函数/'(x)=cosa)x-l(w>0)在区间［0,2兀］有且仅有4个零点，则3的取值范围是

16.近期，贵州榕江“村超”火爆全网，引起足球发烧友、旅游爱好者、社会名流等的广泛

关注.足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋

侏太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景.已知某“鞠”的表面上有四个点A、B、

C、D,连接这四点构成三棱锥A-BCD如图所示，顶点4在底面的射影落在△BCD内，它的

体积为竽，其中△BCD和△ABC都是边长为6的正三角形，则该“鞠”的表面积为.

A

C昼(

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

设平面内三点4(3,-4),8(2,-3),C(4,l).

(1)求|2荏+而

(2)设向量荏与正的夹角为0,求cos。.

18.(本小题12.0分)

在A/IBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosC+I5csEA=匕+c.

⑴求4;

(2)若a=6,△力BC的面积为9/3，求△ABC的周长.

19.(本小题12.0分)

某校举行数学竞赛，竞赛要完成三道题：代数，几何，组合各一道，竞赛记分方法如下：在

规定时间内，答对代数题、几何题，每题均可获得30分，答对组合题，可获得40分，每答错

一题，则扣除总分中的10分(假设答题只有对与错两种结果).根据以往统计结果，小明答对代

数、几何、组合的概率分别为今|,a,假设解答这三题结果彼此独立，已知小明初始分为。分，

设比赛结束后，小明的总分为X,求：

(1)已知小明在规定时间内，将三题都答对的概率为有求该学生恰能答对三题中的一题的概

率；

(2)已知a=%若总分X不低于50分才能获奖，求小明获奖的概率.

20.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-ABC。中，底面力BCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面24。_1_平

面PCD,PA1CD,CD=2,AD=3.

(1)设G、“分别为PB,AC的中点，求证：GH〃平面PAD；

(2)求证：P4_L平面PC。；

⑶求直线4。与平面R4C所成角的余弦值.

p

21.(本小题12.0分)

2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场(鸟巢)举行，某调研机

构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办

了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m

人，按年龄分成5组，其中第一组［20,25),第二组［25,30),第三组［30,35),第四组［35,40),

第五组［40,45］,得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄；

(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.

(i)若有甲(年龄38),乙(年龄40)两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，

再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率：

3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和|,第五组宣传使者的年龄的平均数

与方差分别为42和1,据此估计这m人中35〜45岁所有人的年龄的方差.

22.(本小题12.0分)

若函数满足/(x)=〃％+岑)且&+x)=/(2-x)(xeR),则称函数/(x)为“M函数”.

(1)试判断f(x)=singx是否为“M函数”，并说明理由；

(2)函数为“M函数”，且当xe冷扪时，f(x)=sinx,求y=/(x)的解析式，并写出在

［0,：］上的单调递增区间；

⑶在(2)的条件下，当XG［一?婴+m(keN)时，关于x的方程/(无)=a(a为常数)有解，记

该方程所有解的和为S(k),求S(3).

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：a+3i=(b+i)i=-1+bi,a,b&R,

a=—1,b=3,

故选:B.

利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解.

本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的相等，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解：•.•荏=方+5忘BC=-2a+8b，

.••不存在人使同=4亘？，

故A,B,C三点不共线，

故选项A错误；

-.•JD=BC+CD=a+5b^

AB-BD<

••.A,B、D三点共线，

故选项B正确；

•••BC=-2a+8b，CD=3a-3fe.

•••不存在4,使而=4比，

故B,C,。三点不共线，

故选项C错误；

■■AC=AB+BC=-a+13b<CD=3a-3h>

不存在4,使前=；(而，

故A,D,C三点不共线，

故选项。错误；

故选:B.

利用平面向量的线性运算及平面向量共线定理对四个选项依次判断即可.

本题考查了向量共线定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：对于4事件E,G有可能同时发生，不是互斥事件，故4错误；

对于氏事件F与/不可能同时发生，且发生的概率之和为1,是互斥事件，且为对立事

件，故B正确；

对于C,事件F与G有可能同时发生，即都包括去其中一个草原，不是互斥事件，故C错误;

对于0,事件G与/有可能同时发生，不是互斥事件，故。错误.

故选：B.

根据互斥事件和对立事件的概念，即可判断.

本题考查互斥事件和对立事件的概念，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：•••五=(3,4),K=(1,0).

•-c=a+tb-(3+t,4)，

"a,下的夹角与方，E的夹角相等，

ac_be

"丽=丽’

9+3C+16_3+t

即J32+42J12+02)

解得t=5,

故选：C.

化简H=B+t另=(3+t,4＞可得赢|=看言，从而求得・

本题考查了平面向量的坐标运算及数量积的应用，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：对①，・.・/〃/?,aua,Q〃/?,.•.①正确；

对②，•・・a〃S，mua,几(=6，・,,根〃九或m与九异面，.•.②错误；

对③，•・,QJLb,Q_La,・•・b〃a或bua,二③错误；

对④，•・,a_La,a〃£,・•.Q_L/?,又b〃£,・•.QJLb,.•.④正确.

故选：B.

根据空间中直线、平面的位置关系，逐一判断即可得解.

本题考查空间中直线、平面的位置关系，考查空间想象力，逻辑推理，属基础题.

6.【答案】D

【解析】解:根据题意，圆锥的顶点为P，且乙4PB=120。,P

PA=2,

所以乙4Po=60°,

则圆锥的高。P=L母线。4=OB=C，

对于4,圆锥的体积V=3S九=gx兀x(U)2x1=兀,

4错误；

对于B,圆锥的侧面积S=兀xx2=27~5兀，8错误;

对于C,设。是4C的中点，连接OD,PD,

则AC1OD,AC1PD,

所以ZPD。是二面角P-4C一。的平面角，

则NPDO=45°,所以OP=0D=1,

故4D=CD=73-1=/1，则AC=24。=2<7，C错误；

对于C,PD=VI2+I2=<2.所以5"封=2*2/至'，讶=2,。正确.

故选：D.

根据题意，由圆锥的结构特征依次分析选项是否正确，综合可得答案.

本题考查圆锥的结构特征，涉及二面角的定义和圆锥的体积、表面积计算，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：对于选项A,若平均数为2,则方差S2>1(6-2)2=3.2>3.1,平均数为2,方差

为3.1,

所以一定没有出现点数6,故选项A正确；

对于选项B,当投掷骰子出现的结果为3,3,3,5,6时，满足中位数为3,方差为：

S2=1[(3-4)2+(3-4)2+(3-4)24-(5-4)2+(6-4)2]=1.6,

此时出现点数为6,故选项B错误；

对于选项C,当投掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时，

满足中位数为3,众数为2,可以出现点数6,故选项C错误;

对于选项。，当投掷骰子出现的结果为1,1,2,5,6时，

满足平均数为3,中位数为2,可以出现点数6,故选项。错误.

故选:A.

根据题意，利用特例法可判断ACD；结合平均数和方差的计算公式，可判断B正确，由此能求出

结果.

本题考查平均数、中位数、众数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

8.【答案】4

【解析】解：••,S-DEESMBC，•.•"DTE-sinz7l=、x%8SC・sinN4.

解得：AD-AE=8.

在^ADE中用余弦定理得到：cos/l=加+他2谓=1.

2AD,AE2

整理得到：AD2+AE2=8+DE2>2VAD2-AE2=16,即DE?>8,当且仅当40=AE=2。

时取得等号.

故QE的最小值为2。.

故选：A.

利用，ADE=^S-BC可以得到力。•4E=8,再利用余弦定理和基本不等式求解即可.

本题主要考查基本不等式和余弦定理，属于中档题.

9【答案】AD

【解析】解：由题意可得，z=丹4—61=丁4—6i=丁2—3i=-3-2。

(1+0乙I1

复数Z的虚部为-2,故A正确；

z对应的点为(-3,-2),在第三象限，故8错误；

|z-2i|=|-3-4i|=5,故C错误；

将z=-3-2i代入方程/+6x+13=0是成立的，故。正确.

故选：AD.

利用复数的运算性质，共规复数的定义，模的运算公式对各个选项逐个化简即可判断求解.

本题考查了复数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题.

10.【答案】BC

【解析】解：该同学随机选一个选项，其所有的基本事件为4,B,C,D,共4个；

随机选两个选项，其所有的基本事件为AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6个；

随机选三个选项，其所有的基本事件为ABC,ABD,ACD,BCD,共4个；

随机选四个选项，其所有的基本事件为4BCD,共1个.

于是根据古典概型的概率计算公式可得：

仅随机选一个选项，能得分的概率是故A错误；

随机至少选择二个选项，能得分的概率是碧7=白，故8正确；

仅随机选三个选项，能得分的概率是3,故c正确；

随机选择选项，能得分的概率是名筌7=4,故。错误.

4+6+4+115

故选：BC.

对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相

应的概率后可得正确的选项.

本题主要考查相互独立事件，属于基础题.

11.【答案】ABCD

【解析】解：对于4圆台高为九=C，

.••圆台轴截面ABCD面积为S=gx(2+4)xC=3＜3cm2,即圆台轴截面4BCD面积3，3cm2,

故4正确；

对于B,由已知及题图知，cos乙［且0＜乙4。。＜，

AADC=60°,而与由的夹角60。，故8正确；

222

对于C,圆台的体积U=1x(l+VIx2+22)x⑸=容cm3,该圆台的体积为殍cm3,

故C正确；

对于D,将圆台一半侧面展开，如下图中ABCD,且E为力D中点，

而圆台对应的圆锥体侧面展开为扇形COD,且0C=4,

.,.在RtZiCOE中，CE=V42+32=5cm.

即C到4。中点的最短距离为5cm,即沿着该圆台侧面，从点C到4。中点的最短距离为5cm,故。

正确.

故选：ABCD.

利用圆台的轴截面的面积，侧面展开图求解表面最短距离，圆台的体积，异面直线所成角，判断

选项的正误即可.

本题考查圆台的相关计算，几何体的体积的求法，表面距离的求解，是中档题.

12.【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查向量的加法、减法、数乘运算，向量的数量积运算，考查运算能力，属于中档题.

4选项先利用耐.丽=而・(前+而)，再按照数量积运算即可：B选项由平行四边形法则即可

(0C0E=0,

判断；C选项通过一_口解方程组即可；。选项先表示出瓦？•前，再结合正弦函数的范围

(0。•0E=亨，

求出最小值.

【解答】解:初•CD=0A-(CO+0D)=0A-CO+0A0D=3x1x(-1)+3x1x(-i)=

A错误；

由赤="而+u近知,E为弧CO的中点，又乙40B=120°,由平行四边形法则可知泰=0C+0D，

故iz=1,8正确.

由NDOE=30。知，元•而=0,而•布=1x1xcos30。=三，设灰=工灵+y前，

(0COE=0C-(xOC+yOD)=x-^y=0,

则____J「

[ODO£=OD-(xOC+yOD)=~^+y=^,

(fl

解得[x久=一二故泰=?历+方而，C正确.

12V333

EA-lB=(Ed+OA)-(EO+OB)^Id2+Id-OB+OAEO+OAOB

9

=1-3cos乙BOE—3cos(120°—乙BOE)—,

=-|coszBOE-^sinzBOE-1=-3sinQB0E+30°)>

当且仅当NBOE=60。时，等号成立，故丽.前的最小值为—苧，£>正确.

故选：BCD.

13.【答案】-1

【解析】解：•.•产=3i2=-l,i3=-i,i4=l,即i的周期为4,

所以原式=505(i-1-i+1)+i-1-i=505x0-1=-1.

故答案为：—1.

根据i的周期化简求值即可.

本题考查复数的化简求值，属于基础题.

14.【答案】6720

【解析】解：在随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，

则持反对态度的频率为1-II=5，

所以可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9600x^=6720.

故答案为：6720.

求出在随机抽取的50人中持反对态度的频率，进而求出结果.

本题考查简单随机抽样，考查学生的计算能力，属于基础题..

15.【答案】[3,4）

【解析】解：因为0<%<2兀，所以

令/（久）=COS3X-1=0,则COS3X=1有4个根，

令t=cox,则cost=1有4个根，其中te[0,237r],

结合余弦函数y=cost的图像性质可得6兀<2（iyn<8兀，解得3<<4.

故答案为：[3,4）.

利用余弦函数的周期，结合函数的零点个数，列出不等式求解即可.

本题考查了三角函数的周期应用问题，以及函数零点的应用问题，是基础题.

16.【答案】527r

【解析】解：如图，取BC的中点E,连接DE,AE,

设△BCD和△ABC的中心分别为H、F,过"、F分别作平面BCD与平面ABC的垂线交于点0,

即球心为。，设“鞠”的半径为R,连接0E,

因为BCJ.DE,BC1AE,所以BC_L平面4E0,

则匕-BCD=^B-AED+^C-AED=3^AED'BC,

即：=1x1AE.DE.sm^AED-BC，

又BC=6,AE=DE=3/3，

所以sin&ED=?，即乙IE。=60°,

易知OE为N4ED的角平分线，所以NOEH=30。，

^.Rt^OEH^,因为EH=gED=/1,则OH=EH•tan30。=1,

在Rt△OCH中，CH=2V-3/?2=OH2+CH2=I2+(2/3)2=13,

所以该“鞠”的表面积为4兀/?2=4兀x13=527r.

故答案为:527r.

取BC的中点E,连接。E,AE,设△BCD和△ABC的中心分别为“、F,过”、尸分别作平面BCD与

平面A8C的垂线交于点0,即球心为。，再结合三棱锥的体积公式以及勾股定理求解即可.

本题主要考查了三棱锥的外接球问题，属于中档题.

17.【答案】解：(1)4(3,-4),5(2,-3),C(4,l),

则南=(-1,1)，AC=(1,5)，

则2南+前=(-1,7).

故|2荏+彳工|=J(-1)2+72=5<7;

(2)同=(-1,1),AC=(1,5).

则荏|=V1+1=V-2.|AC=V^6>而•正=-1+5=4，

【解析】(1)根据已知条件，结合平面向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解;

(2)根据己知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解.

本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题.

18.【答案】解：(1)由acosC+I5csbiA=b+c及正弦定理得：

sinAcosC+y/~3sinAsinC=sinB+sinC

因为sinB=sin(?r—A—C)=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以A/^sinAsinC-cosAsinC—sinC=0.

由于sinC力0,；.y/~3sinA—cosA—1=0,

所以sin(4-=I，

又。<A<兀，故4

(2)由题得△ABC的面积S=^bcsinA=9<3,故be=36①，

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA,

又a=6,故从+c2=72(2),

由①②得：b+c=12,

所以△ABC的周长为a+b+c=18.

【解析】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式化简已知等式可得CsinA—cos4-1=0，由辅助

角公式可得sinQ4=进而可得71的值；

(2)由三角形面积公式及余弦定理可求得b+c=12,进而可得44BC的周长.

本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

19.【答案】解：⑴小明三道题都答对概率为,x|xa=：,故a=g,

恰能解决三道题中的一道题的概率：|X5X|+5X|X|+?X|X5=H-

(2)若三道题均答对，则X=100,P(X=100)=|x|xi=i,

若组合题答对，代数、几何恰有一道题答对，

则X=60,P(x=60)=20X7Xi1+i1X?Xi1=i1,

若代数几何均答对，但组合未答对，

则X=50,P(X=50)=,xJx9=I，

4J，H

11117

【解析】(1)小明三道题都答对概率为%x|xa=%求出a=%由此能求出恰能解决三道题中的

一道题的概率；

(2)若三道题均答对，则X=100,若组合题答对，代数、几何恰有一道题答对，则X=60,若代

数几何均答对，但组合未答对，则X=50,分别求出相应的概率，由此能求出总分X不低于50分

的概率.

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考

查运算求解能力，是中档题.

20.【答案】解：(1)连接BD,

C

易知4CnBD=H,BH=DH,

又由BG=PG,故GH"PD,

又因为GHC平面PAD,PDu平面P4D,

所以GH〃平面PAD.

(2)取棱PC的中点N,连接DN,依题意，得DNLPC,

又因为平面PAC_L平面PCD,平面PACC平面PCD=PC,

所以DN1平面P4C,又PAu平面P4C,故ONJ.P4,

又因为P41CD,CDCDN=D,

所以241平面PCD.

(3)连接4N,由(2)中DN1平面R4C,

可知ND4N为直线AD与平面P4C所成的角.

因为为等边三角形，CO=2且N为PC的中点，

所以0N=q,所以AN=，石，又DN1AN,所以4。=3.

在Rt△AND中,cos^DAN=%=苧，

所以直线AD与平面PAC所成角的余弦值为?.

【解析】(1)利用线线平乖可证GH〃平面PAD；

(2)利用已知可证ONJ.24,PA1CD,可证P41平面PCD；

(3)可得N/MN为直线4。与平面P4C所成的角.进而求解即可.

本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，属中档题.

21.【答案】解：(1)设这m人的平均年龄为，则

x=22.5x0.1+27.5x0.35+32.5x0.25+37.5x0.2+42.5x0.1=31.75(岁)；

(2)(i)由频率分布直方图可知各组的频率之比为2：7：5：4：2,

第四组应抽取20x际，弁=4人，记为4,B,C,甲，第五组抽取20x=九，，0=2人,记

为D,乙，

对应的样本空间为0=｛（48）,（AC）,（4甲）,（4乙），（4D）,（B,C）,（B,甲），（B,乙），

（C,甲）（C,乙），（C,D）,（甲，乙），（甲，。），（乙,D）｝,共15个样本点.

分设事件”=“甲、乙两人至少一人被选上”，

则”=｛（4甲），（4乙），（B,甲），（B,乙），（C,甲），（C,乙），（甲，乙），（甲，£））,（乙，

。）｝，共有9个样本点,

93

所以。（"）=需，^32—.

155'

（"）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为《，五，方差分别为赍，sl，