汽车振动学基础及其应用电子课件

第2章单自由度系统的振动2.1单自由度系统的自由振动

2.2单自由度系统的强迫振动2.3非简谐激励下的强迫振动2.4汽车车身单自由度系统的振动

2.1单自由度系统的自由振动

2.1.1无阻尼的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动微分方程：

由方程可知：由于质量和刚度恒为正数，故在单自由度系统的无阻尼自由振动中的位移和加速度方向始终相反。

2.1单自由度系统的自由振动微分方程式的通解为：，时，代入（2-5）可得：当由上式可知，单自由度系统的自由振动由二个频率相同的简谐振动合成，由谐波的合成可知，二个频率相同的简谐振动合成后仍然同频率的简谐振动，即：（2-5）（2-6）其中：

2.1单自由度系统的自由振动由此可知，单自由度系统不论受怎样的初始干扰，其自由振动是一个简谐振动，其固有振动圆频率（naturalangularfrequency）为：(rad/s)固有频率（naturalfrequency）为：

（Hz）固有周期（naturalperiod）为：(s)2.1单自由度系统的自由振动2.1.2具有粘性阻尼的自由振动

有阻尼单自由振动系统的运动微分方程为：

式中：

为无阻尼固有角频率；

为阻尼比。2.1单自由度系统的自由振动

对于有阻尼的单自由度系统的自由振动，除了与系统的初始条件有关外，还与系统中阻尼的性质和大小有关。1．小阻尼情形即欠阻尼时系统的自由振动形式如下：

式中：为振幅；为衰减系数；

为有阻固有频率；为相位角。2.1单自由度系统的自由振动由曲线及式（2-13）可知：欠阻尼的系统作减幅振动，振幅随时间的增加而按指数衰减，振动趋于消失。单自由度系统的阻尼系数：2.1单自由度系统的自由振动2．临界阻尼情形，此时系统的运动情形如下：

式中：

运动衰减曲线见图2.4。此时系统作逐渐返回平衡位置的非周期性运动，是从振动过渡到不振动的临界。2.1单自由度系统的自由振动

3．大阻尼情形，即过阻尼时系统的运动形式如下

运动衰减曲线见图2.5。此时系统不振动，只作缓慢地返回其平衡位置的运动。其运动是非周期的。

2.1单自由度系统的自由振动摩擦阻尼的所产生的阻力虽与运动速度的大小无关，但与运动的方向有关。摩擦阻力的方向始终与运动方向相反，其大小与摩擦部的摩擦系数及正压力有关，一般来说是个定值，其运动方程式为：

2.1.3具有摩擦阻尼的自由振动上式整理得：其中：是符号函数。2.1单自由度系统的自由振动

运动方程的解为：式中这两个特定系数由振动的初始条件决定。当时，其通解为2.1单自由度系统的自由振动

图2.6为摩擦阻尼的自由振动的振动波形。该波形与粘性阻尼的自由振动有相似性,但当波形的极值进入时，由于摩擦阻力大于弹簧恢复力，将不会回到原始位置。2.2单自由度系统的强迫振动2.2.1简谐激振力作用下系统的响应

单自由度系统在简谐激励的作用下，所产生的振动称为单自由度系统对简谐激励的响应。其中包括由初始条件决定的随时间逐渐减小的自由振动和由激励函数决定的受迫振动。由于阻尼的存在，自由振动将会很快消失，是系统的暂态响应；只剩下由激励函数所引起的等幅振动，称为稳态响应。

2.2单自由度系统的强迫振动图2.7简谐激励的作用下的自由度系统1.振动方程和稳定解

图2.7所示的单自由度系统在激振外力的作用下，其运动微分方程为：

全解为：

2.2单自由度系统的强迫振动其中是对应的齐次方程的通解，即前述自由振动的解。在小阻尼状态下

是非其次方程的特解，特解的形式也是简谐函数，其稳态响应为：

式中：-------稳态振动的振幅

------频率比

----激振频率

-----相位角

2.2单自由度系统的强迫振动2.系统的幅频特性与相频特性在简谐激励引起的受迫振动中，振幅随频率比的变化而变化的规律，称为系统的幅频特性；激振力与位移之间的相位差随频率比的变化而变化的规律，称为系统的相频特性。2.2单自由度系统的强迫振动系统在静态力作用下所产生的静位移；振幅与静位移之比，称为振幅放大率，即：

，即很小时，，振幅接近静变位。，即时，达到最大值，振幅比静变位成倍的放大，系统产生共振。

，即很大时，，振幅小于静变位。

2.2单自由度系统的强迫振动强迫振动的响应与激振力的频率虽然相同，但存在相位差，其具体关系见下式及图2.9。从图可看到，共振时，无论系统的阻尼大小如何，受迫振动的位移总是比激振力滞后90°

。对无阻尼系统，

，即时，振动的位移与激振力同相位，即

，即时，振动的位移与激振力相位相反

，即

对有阻尼系统，振动位移与激振力之间的相位差随频率比的增加而逐渐增加，不发生突然变化，但在共振点前后变化较大。

2.2单自由度系统的强迫振动2.2.2简谐支承激振下系统的响应

1.运动方程的建立和系统的响应运动微分方程为：

或：其中：2.2单自由度系统的强迫振动振动响应的振幅和相位差

:2.2单自由度系统的强迫振动2.幅频响应特性和相频响应特性

2.2单自由度系统的强迫振动从图中可知：

，即很小时，，响应的振幅接近于支承的振幅，系统接近于平动。，即时，系统发生共振，放大因子达到最大值，振幅的大小主要决定于系统的阻尼比，阻尼越大，振幅越小。

，即时，无论系统的阻尼值如何，

都等于1；并且只要，响应的振幅值要小于支承运动的振幅。

，即很大时，，响应的振幅大大小于支承的振幅。

2.2单自由度系统的强迫振动2.2.3机械阻抗和导纳

1．机械阻抗

机械阻抗是描述系统输入和输出之间关系的一个非常重要的物理量，它只与系统本身的特性有关，与激励力的类型和大小无关。只是在不同类型激励力作用下它的表达形式不同而已。而机械导纳与机械阻抗是一对互为倒数的物理量，一般来说，凡以激振力与响应的比值被称为机械阻抗；若以响应比激振力则被称为机械导纳。2.2单自由度系统的强迫振动位移阻抗

位移导纳

速度阻抗

速度导纳

加速度阻抗

加速度导纳

2.2单自由度系统的强迫振动2.传递函数传递函数是描述线性定常系统输入与输出的一种函数。其定义为：当初始条件为零时，系统输出（响应）与输入（激励）的拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）之比。求传递函数的步骤为：（1）列出系统的微分方程；（2）假设全部初始条件等于零，取微分方程的拉氏变换；（3）求输出量与输入量之比。2.2单自由度系统的强迫振动设有一个线性定常系统，其微分方程为：对式两端进行拉氏变换，并令其初始条件为零，即得系统的传递函数为：式中：为的拉氏变换；

为的拉氏变换；

为拉氏算子。

2.2单自由度系统的强迫振动作为传递函数的一个特例，频率响应函数（以下简称频响函数）是简谐激励下的传递函数。其定义为：在定常线性系统中，当初始条件为零时，系统输出与输入的傅里叶变换（以下简称傅式变换）之比。其数学表达式可从式中令求得：式中：为的傅式变换；

为的拉氏变换。

2.2单自由度系统的强迫振动名称传递函数（任意激励）频响函数（简谐激励）位移导纳（动柔度）位移阻抗（动刚度）速度导纳（机械导纳）速度阻抗（机械阻抗）加速度导纳（机械惯性）加速度阻抗（动态质量）表2.1传递函数的不同表达形式2.3非简谐激励下的强迫振动2.3.1一般周期激振下系统的响应

由于任何周期函数都可按傅立叶级数分解为一系列频率成整数倍数关系的简谐函数，因此对于具有一般周期的激振力或支承运动，其线性振动系统的响应便可按叠加原理将每一单独的简谐函数作用的响应求出后，再全部叠加起来便可得到总的响应。

2.3非简谐激励下的强迫振动

设一般周期激振力作用于有阻尼的质量弹簧系统，其运动方程式为：

因第一项是常力，当它作用于系统时只会影响系统的平衡位置。如果坐标原点选在新的平衡位置上，则系统的响应与该项无关。此时系统的稳定解为：

2.3非简谐激励下的强迫振动2.3.2任意激振下系统的响应在许多实际问题中，对系统的激振并非周期性的，而是任意的时间函数，或是极短时间间隔内的冲击作用，当激振作用的时间比系统的固有时间更短时，称为冲击。对于任意激振，系统没有稳定响应，只有瞬态响应。在激振力作用停止后，系统按固有频率作自由振动。瞬态响应和自由振动就构成了任意激励的响应。

2.3非简谐激励下的强迫振动1．杜哈梅积分法

杜哈梅积分法的基本思想是将激振力分解为一系列脉冲的连续作用，各脉冲的大小和作用时间由决定。先求出每个脉冲单独作用下系统的响应，然后按线性系统的叠加原理将其叠加起来，即得出系统对激振的响应。

2.3非简谐激励下的强迫振动系统在初始条件下的响应：

通过对上式的积分求得：

上式为杜哈梅积分式。

杜哈梅积分的解即为系统的初始条件为零时的全解，包括了瞬态振动及稳定振动。

2.3非简谐激励下的强迫振动2.单位脉冲响应函数法单位脉冲函数即函数，这是一个广义函数，有如下定义：

及

上式即定义单位脉冲函数的冲量为一个单位，利用上述特征，我们可以定义一个发生在某时刻的单位脉冲函数：

及

2.3非简谐激励下的强迫振动当时，系统将作自由振动，得系统的响应为：上式即为系统单位脉冲瞬间的响应方程，并记作，即称为系统的单位脉冲响应函数。

系统若在激振力作用下，在时刻，产生的冲击输入为，系统的冲击响应则为，故欲求系统在时刻的响应，无疑应为之间的冲击响应全部叠加，即

2.3非简谐激励下的强迫振动3.傅氏积分法若把非周期激振视为具有无限长周期激振时，也可以把此任意激振表示成傅氏级数形式，而用一般的方法求解。非周期激振可表示为：

（2-49）（2-50）2.3非简谐激励下的强迫振动式（2-50）称为函数的傅氏积分；相应的式（2-49）叫做傅氏反变换（或反傅氏变换）。

由式（2-49）和式（2-50）所联系的两个量和称为一个傅氏变换对。

通常，响应也是非周期的，它可以用傅氏积分式表示为：式中，，是对响应作傅氏变换。它表示输出和输入傅氏变换之比等于确定的频率响应函数（简称频响函数）。

（2-51）2.3非简谐激励下的强迫振动在一般情况下，线性单自由度系统的频率响应函数式可写为：

它的模：

和幅角：

2.3非简谐激励下的强迫振动单位脉冲输入的响应就是脉冲响应函数，其傅氏变换：

其输出的傅氏变换为：代入式（2-51）得单位脉冲的输出响应，即脉冲响应函数：显然，能由此式直接写出：（2-53）（2-54）式（2-53）和（2-54）表示频率响应函数和脉冲响应函数构成一个傅氏变换对。2.3非简谐激励下的强迫振动综合上述可知：系统的动态特性在频率域内能用频率响应函数来描述；而在时间域内可用脉冲响应函数来描述。这两种情况可用图2.12所示的方框图来说明。图2.12系统动态特性图2.3非简谐激励下的强迫振动4.拉氏变换法因为傅氏变换对函数有一定的限制，因此，工程上许多函数不能采用傅氏变换，这使傅氏变换的应用有一定的局限性。为了克服这一缺点，在傅氏变换的基础上，引入求解线性系统振动比较有效的拉氏变换法。函数的拉氏变换记为，是由下列无穷积分定义的变量的函数：式中，是一个复数参量。2.3非简谐激励下的强迫振动根据这个定义可求得导函数的拉氏变换：式中，是在时的值，如表示质量的振动位移，则表示初始位移。

同样可求得二阶导函数的拉氏变换：式中，是在时的值，表示质量的初始速度。2.3非简谐激励下的强迫振动利用上述关系对任意激振作用下的微分方程：等式两边取拉氏变换后，整理得:式中：是激振函数的拉氏变换。

若不计随时间衰减的齐次解，令，则可得到激振和响应间拉氏变换的比例关系。

式中，，分别表示与的拉氏变换；称为系统的广义阻抗。

2.3非简谐激励下的强迫振动的倒数为：

称为系统的导纳或叫做传递函数，常用表示，即：由此可见，传递函数可视为一个代数运算子，它作用在激振的拉氏变换上就可得到响应的拉氏变换。然后根据拉氏反变换的定义和公式，便可求出系统的实际响应：（）2.4汽车车身单自由度系统的振动

2.4.1系统的运动方程

图2.14汽车车身单自由度系统系统运动的微分方程为：

此方程的解是自由振动齐次方程的解与非齐次方程特解之和组成。汽车悬架系统阻尼比的数值通常在0.25左右，属于小阻尼，此时齐次方程的通解为：

其中：（2-61）2.4汽车车身单自由度系统的振动2.4.2系统的频率响应特征系统的频率响应函数，记为

式中，复振幅，

代入式（2-63）得：（2-63）写成指数形式时

比较以上两式可以看出，。它是输出、输入谐量的幅值比，称为幅频特征。表示输出与输入谐量的相位差，称为相频特征。

2.4汽车车身单自由度系统的振动对式（2-61）进行傅里叶变换或将各复振幅代入该式，令，，，，得复数方程：并由此得频响函数：将频率比

（）和阻尼比代入上式，得：

此式的模为幅频特征性，即：（2-66）2.4汽车车身单自由度系统的振动图2.15为用双对数坐标画出的式（2-66）所示的幅频特征。2.4汽车车身单自由度系统的振动1）低频段在这一频段，略大于1，不呈现明显的动态特征，悬架的阻尼比对这一频段的影响不大。

2）共振段在这一频段，出现峰值，将输入位移放大，加大悬架的阻尼比可使共振峰明显下降。

3）高频段在时，，与无关，在时，对输入位移起衰减作用，悬架阻尼比减小对减振有利。

第3章二自由度振动系统3.1二自由度系统的运动微分方程3.2无阻尼二自由度系统的振动3.3有阻尼二自由度振动系统3.4汽车的二自由度振动系统3.1二自由度系统的运动微分方程图3-1二自由度振动系统系统的运动微分方程可根据动力学原理或运用拉格朗日第二类方程建立如下：

将上式缩写成矩阵形式可得：

或（3-3）3.2无阻尼二自由度系统的振动无阻尼的二自由度振动系统的微分方程式为：

或（3-4）（3-5）3.2无阻尼二自由度系统的振动3.2.1固有频率和固有振型为讨论系统的固有特性，令激励，则式(3-5)变为：

其解的形式为：其中位移坐标幅值向量为：

（3-6）代入式(3-6)得：这是广义的特征值问题。

3.2无阻尼二自由度系统的振动适当选取坐标系可使惯性矩阵对角，而刚度矩阵是对称的，因此上式可写成：

有非零解的条件是特征矩阵的值为零。即：展开得：此为系统的频率方程，亦称特征方程。

（3-9）3.2无阻尼二自由度系统的振动特征方程的特征根为：

其中：分别将代入式(3-9)即可得相应的振幅比。

由上可知：及只决定于系统本身的物理特性，而与外部激励及初始条件无关。

3.2无阻尼二自由度系统的振动3.2.2对初始激励的响应二自由度无阻尼系统的自由振动微分方程式(3-4)是由二个二阶微分方程组成的齐次方程组。根据系统的固有频率和固有振型，二自由度无阻尼系统的自由振动的解是两种不同频率的主振动的叠加，有如下形式：

3.2无阻尼二自由度系统的振动式中：是任意常数，由初始条件决定。当t=0,时，任意常数为：3.2无阻尼二自由度系统的振动3.2.3对简谐激励的响应当二自由度系统的各质量上受有频率相同的谐波激励时，运动微分方程为：

式中：

系统的稳态响应可表示为：

（3-16）代入式(3-16)可得：上述系数矩阵记作；3.2无阻尼二自由度系统的振动令，于是得，则稳态响应为：式中：则：3.3有阻尼二自由度振动系统3.3.1对初始激励的响应

当没有激励作用于二自由度阻尼系统时，式(3-3)变为以下形式：

方程的通解为：代入上式得：

有非零解的条件是：展开得：对于图3-1所示系统，上式为：3.3有阻尼二自由度振动系统1.小阻尼情形

上式的系数全为正数，故解只能是负实数或具有负实部的复数。即存在三种可能：(1)全是负实数；(2)两对具有负实部的共轭复数；(3)两个负实数和一对具有负实部的共轭复数。方程的通解为：

3.3有阻尼二自由度振动系统2.大阻尼情形

如果系统阻尼非常大，特征方程的根全是负实根，响应将不具有振动形式。此时解为：3.临界阻尼情形临界阻尼时，特征方程的根是两个负实根和一对具有负实部的共轭复数，此时的响应也不具有振动形式。3.3有阻尼二自由度振动系统3.3.2对外激励的响应当有外激励作用于二自由度阻尼系统时，式(3-3)变为以下形式：其稳态响应的复数形式为：

代入上式得：式中系数矩阵记作，且设为对角型，则：（3-33）令并代入式(3-33)得：

3.4汽车的二自由度振动系统3.4.1汽车车身车轮振动系统的运动方程与振型分析图3-2汽车车身车轮二自由度振动系统的模型图3-2为汽车车身车轮二自由度振动系统的模型，其运动方程为：无阻尼自由振动时，运动方程变成：

3.4汽车的二自由度振动系统由运动方程可知，和的振动是相互耦合的。若车轮不动（）则得：

这相当于只有车身的单自由度无阻尼自由振动，其车身部分的固有圆频率（偏频）为

即：同样，若车身不动（），则相当于只有车轮的单自由度无阻尼自由振动。

其车轮部分的固有圆频率即：

3.4汽车的二自由度振动系统无阻尼自由振动时，设两个质量以相同的圆频率和相位角作简谐振动，振幅为和，则解为；；代入微分方程组，并将；代入上式，可得此方程有非零解的条件是和的系数行列式为零。整理得

上式称为系统的频率方程或特征方程，它的两个根为双质量系统的主频率（3-42）3.4汽车的二自由度振动系统设某一汽车rad/s；车身与车轮的质量比；轮胎与悬架的刚度比，则将上述关系代入式（3-42）可得：

代入确定两个主振型的中和的振幅比

一阶主振型

二阶主振型

3.4汽车的二自由度振动系统车身和车轮两自由度系统的主振型如图3-3所示。

图3-4车身和车轮两自由度系统的主振型3.4汽车的二自由度振动系统3.4.2车身车轮振动系统的传递特性对于车身车轮的二自由度振动系统设输入为：则输出有：；代入可得：3.4汽车的二自由度振动系统由上式，可得，及的频率响应函数。其中3.4汽车的二自由度振动系统由此可得车身车轮两个输出相对于路面输入的幅频特性如下。

式中：

---------为频率比，

---------为悬架阻尼比。

3.4汽车的二自由度振动系统图3-4，图3-5分别示出了车身车轮的幅频特性，。

图3-4车轮的幅频特性图3-5车身的幅频特性从曲线上可看出，对于这个车身车轮二自由度的振系，当激振频率接近系统的两阶固有频率和时，都会发生共振，车身位移的幅频特性和车轮位移的幅频特性，有低频、高频两个共振峰。3.4汽车的二自由度振动系统得到频率响应函数后，根据式（2-38）求响应的傅氏变换，即其中，路面不平激励的傅氏变换。对上式进行傅氏反变换：这样，就可以最终得到车身与车轮响应的时域解为3.4汽车的二自由度振动系统3.4.3双轴汽车振动模型图3-14双轴汽车的振动模型3.4汽车的二自由度振动系统根据图3-14可写出车身的平面运动微分方程：

即：（3-51）3.4汽车的二自由度振动系统设，代入上式，并引入下列参数：3.4汽车的二自由度振动系统于是将式（3-51）简化为求，对应于输入的频率响应函数，。

3.4汽车的二自由度振动系统同理，可求出，，对应于输入的频率响应函数，。

根据以上的结果，便可写出完全确定的频率响应矩阵：第4章多自由度系统的振动4.1多自由度振动系统的运动微分方程式4.2固有振型的正交性，模态坐标和正则坐标4.3多自由度系统的响应4.4拉格朗日方程在振动分析中的应用4.5汽车多自由度振动模型4.1多自由度振动系统的运动微分方程式多自由度系统的运动微分方程可根据动力学原理或运用拉格朗日第二类方程建立如下。其一般可写成矩阵形式如下：

（4-2）对于个自由度系统，惯性矩阵，刚度矩阵及阻尼矩阵都是矩阵。

其固有频率及固有振型可通过求解系统的无阻尼自由振动方程得到。

设解的形式为：代入式(4-2)得：这是广义的特征值问题。

（4-4）4.1多自由度振动系统的运动微分方程式特征矩阵两特征方程分别为：

将特征行列式展开后，得到一个的阶的多项式。对于正定系统，求解该式后可得到的个大于零的正实根，称为特征值。将特征值开方后可求得个，称为系统的固有频率。在大多数情况下，这个固有频率互不相等，可由小到大，按次序排列为，并分别称为一阶固有频率，二阶固有频率，。。。，阶固有频率。系统的固有频率，只与系统本身的系统本身的物理特性有关，而与外部激励及初始条件无关。4.1多自由度振动系统的运动微分方程式图4.1三自由度振动系统及其主振型图4.1所示的系统的运动微分方程式为：写成矩阵形式为：4.1多自由度振动系统的运动微分方程式令，，

则系统的刚度矩阵和质量矩阵分别为：

由特征方程可得系统的固有频率为：4.1多自由度振动系统的运动微分方程式将固有频率带入（4-4），并令第一元素为1，可得系统的固有振型如下：

系统的模态矩阵为：4.2固有振型的正交性，模态坐标和正则坐标4.2.1固有振型的正交性

由式(4-4)可得：

用左乘式(4-6)的两端得；

（4-6）（4-7）将式(4-7)的两端分别转置并用右乘得：（4-8）（4-9）式(4-8)～(4-9)得：

4.2固有振型的正交性，模态坐标和正则坐标当时，必有：同样可得：式(4-11)表示不同模态的固有振型对于惯性矩阵的正交性，式(4-12)表示不同模态的固有振型对于刚度矩阵的正交性。

（4-11）（4-12）4.2固有振型的正交性，模态坐标和正则坐标4.2.2模态坐标和正则坐标

应用模态矩阵作为变换矩阵，可对以下广义坐标的运动方程：作坐标变换并在等式两边左乘后，得到以下的运动方程：4.2固有振型的正交性，模态坐标和正则坐标由于主模态固有振型对都有正交性，即因此上式变为：或：4.2固有振型的正交性，模态坐标和正则坐标将模态质量矩阵正则化为单位矩阵得：

即：式中：

称为关于模态质量矩阵的正则振型。

称为正则化因子。

4.2固有振型的正交性，模态坐标和正则坐标图4.1所示系统的模态矩阵为：

由此可得系统的模态质量矩阵和模态刚度矩阵如下：

4.2固有振型的正交性，模态坐标和正则坐标则归一化因子所组成的矩阵为：正则振型矩阵为：4.2固有振型的正交性，模态坐标和正则坐标正则模态质量矩阵为：正则模态刚度矩阵为：4.3多自由度系统的响应4.3.1无阻尼系统对初始激励的响应

正则坐标下无阻尼自由振动方程为：

这个方程是各自独立的，因而可运用单自由度情形的解法分别求解。

设物理坐标系中的初始条件时，，。

由正则变换可得正则坐标下的初始条件时，，。

当时，

为系统对初始条件的正则响应，同样再由正则变换变回原物理坐标下的响应。

4.3多自由度系统的响应4.3.2模态阻尼

对于有阻尼系统，由于它的阻尼矩阵对于固有振型不一定正交，则方程的阻尼项不能解除耦合。要使以上的模态分析法同样适用于阻尼系统，阻尼矩阵必须满足以下条件：

即主模态固有振型不仅对是正交性，而且对是正交的。要使上式成立，阻尼必须是比例粘性阻尼。即阻尼矩阵必须是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合。4.3多自由度系统的响应严格来说，满足要求的比例粘性阻尼，应具有的必要而充分的条件是：对于满足比例粘性阻尼的方程作坐标变换，则有：

或

式中，为模态阻尼矩阵。为阶模态阻尼系数。4.4拉格朗日方程在振动分析中的应用多自由度系统的运动微分方程除了用传统的力学分析来求得外，还常用拉格朗日法来得到系统方程组。拉格朗日法是从能量的观点建立系统的动能、势能和功之间的标量关系，研究静、动力学问题的一种方法。

其处理的方法为：取自由度系统的个互为独立的变量，，，…，为广义坐标，则拉格朗日方程的形式为（）4.4拉格朗日方程在振动分析中的应用根据的不同表达形式，拉格朗日方程存在以下的几种表达方式：（1）当系统为保守系统，即系统作用的主动力仅为势力时，广义力可以表达为式中，为系统的势能。则保守系统的拉格朗日方程可表示为（）4.4拉格朗日方程在振动分析中的应用（2）当系统除了势力作用以外，还存在其他非势力的作用，则将这部分非势力的虚功记为式中，为非势力广义力。因此，此时拉格朗日方程推广到非保守系统，可表示为（）（3）如果将因为能量耗散函数引起的阻尼力也从其他的非势力的广义力中分离来，并使仅代表外部作用的广义激振力（力或力矩等），则可将非保守系统的拉格朗日方程改写为（）4.4拉格朗日方程在振动分析中的应用图4.2所示的系统为多自由度有阻尼振动系统。利用拉格朗日方法该振动系统建立微分方程，其拉格朗日方程形式为

（）4.4拉格朗日方程在振动分析中的应用三自由度系统的振动微分方程组可表示为

将上述方程组改写为矩阵形式，即4.4拉格朗日方程在振动分析中的应用上式可简写为其中：

-------为质量矩阵；

------为阻尼矩阵；

------为阻尼矩阵；

4.5汽车多自由度振动模型4.5.1汽车车身车轮的四自由度模型汽车的四自由度振动模型如图4.3所示在此模型中，主要有车身的垂直、俯仰两个自由度和前后车轴质量两个垂直自由度，共四个自由度。4.5汽车多自由度振动模型汽车四自由度模型的运动方程可由以下两种方式给出。若根据车身质心处的垂向振动量和俯仰角，运动方程可以表示为：4.5汽车多自由度振动模型当俯仰角较小时，近似有：因此，运动方程式可表达成另一种形式：对传统的被动悬架系统而言，其前、后悬架力分别为：

4.5汽车多自由度振动模型4.5.2整车七自由度模型图4.4整车七自由度模型4.5汽车多自由度振动模型在俯仰角和侧倾角较小时，车身四个端点（A、B、C和D）处的垂向位移有如下关系：

因而，车身质心处的垂向运动微分方程为：车身俯仰运动方程为：4.5汽车多自由度振动模型车身侧倾运动方程为：四个非簧载质量的垂向运动微分方程为：4.5汽车多自由度振动模型4.5.3扭振系统模型与分析以某六缸发动机货车动力传动系统为例，其扭振系统力学模型如图4.5所示，符号说明及参数值见表4.1。4.5汽车多自由度振动模型1.当量转动惯量的计算当量转动惯量是指传动系统中与曲轴不同速旋转零部件的转动惯量换算成与曲轴同速旋转条件下的转动惯量。例如当车轮滚动半径为时，车辆平动质量的当量转动惯量记为，等于2.当量扭转刚度的计算设半轴轴段的实际扭转刚度为，轮胎实际扭转刚度为，则其相应的当量扭转刚度分别为：

4.5汽车多自由度振动模型3.扭振系统的运动方程根据所建立的系统扭振模型，可写出系统运动方程如下：将系统微分方程组改写成矩阵形式的动力学方程通式，即：4.5汽车多自由度振动模型式中，转动惯量阵

阻尼阵

刚度阵

角位移矢量

若以发动机激励为系统输入阵，则：4.5汽车多自由度振动模型4.固有频率与振型分析在不考虑外部激励情况下，系统无阻尼自由振动可写成如下齐次方程：假定系统为线性系统，各圆盘作同频率、同相位，仅振幅不同的简谐运动，则微分方程组式有如下形式的解：（4-66）（4-67）将式（4-67）代入式（4-66），可得：根据线性代数可知，只有当矩阵的行列式为零时，上式才有非零解，系统的特征方程即为：（4-68）（4-69）4.5汽车多自由度振动模型根据式（4-69）求得的特征值就是扭振系统的固有圆频率，其对应的特征矢量就是该固有频率所对应的振型。此外，可根据求得的振型画出振型图，并将振型图中振幅为零的质点称为节点。本例计算得出的六节点以下的固有频率及其振型如表4.2示，振动频率为5.3Hz的单节点振型图如图4.6所示。

图4.6振动频率为5.3Hz的单节点振型图第5章随机振动理论5.1随机振动概述5.2随机振动的统计特性5.3线性振动系统的随机响应计算5.4随机振动在汽车振动分析中的应用5.1随机振动概述对于汽车而言，最典型的非确定性振动是由于路面不平度引起的汽车振动。这些振动的共同特征是系统的激励和响应在事先都无法利用时间的确定性函数予以描述，我们称这种不确定性的振动过程为随机振动。

随机振动的数学描述为随机过程。随机过程为大量现象的数学描述，因此，需要在同样的条件下重复进行同样的试验。

例如，在同样的道路以及同样的行驶工况下进行次道路行驶试验，记录车身上特定点加速度的时间历程。每次的记录称为一个样本函数。随机过程为所有样本函数的集合，记作。在任一采样时刻，随机过程的各个样本函数值都不相同，构成随机变量。

5.1随机振动概述对于随机过程的研究不是局限于样本函数本身，而是在于随机过程的总体统计特性。例如，随机过程在时刻的随机变量的集合平均为再如，随机过程在时刻和的两个随机变量和，对于各样本的和的乘积的集合平均为5.1随机振动概述如果随机过程的均值和自相关函数与采样时刻无关，则称随机过程为（弱）平稳过程。对于平稳过程，均值为常数，即自相关函数仅仅是时间差的函数，即如果平稳随机过程的均值和自相关函数可以利用任何一个足够长的样本函数的时间平均值来计算，即5.2随机振动的统计特性5.2.1幅值域（时域）特性（1）均值对于连续的随机过程：对于随机过程的离散数据系列：（2）方差和标准差对于连续的随机过程：对于随机过程的离散数据系列：方差的计算公式为：

方差的开方值称为标准差，计算公式为：

对于连续的随机过程：对于随机过程的离散数据系列：5.2随机振动的统计特性（3）均方值和有效值对于连续的随机过程：对于随机过程的离散数据系列：均方值的计算公式为：

在工程应用中，经常希望利用一个当量幅值来表示信号的大小，即称为有效值，它是均方值的根值，也称为均方根值。计算公式为：对于连续的随机过程：对于随机过程的离散数据系列：（4）均值、方差和均方值之间的关系均方值等于方差与均值的平方之和，即5.2随机振动的统计特性图5.1所示的三角波的方程为：

计算得均值为：

均方值为：

方差为：5.2随机振动的统计特性5.2.2相关域特性自相关函数表征随机过程在一个时刻和另外一个时刻采样值之间的相互依赖程度，即表征信号随机变化的程度。表征随机过程在时刻和的相关性的自相关函数的表达式为5.2随机振动的统计特性5.2.3频率域特性对于随机过程在频率域内的描述，主要是应用功率谱密度函数来表征随机振动过程在各频率成分上的统计特性。平稳随机过程的功率谱密度函数为自相关函数的傅里叶变换，即其逆变换为以上两式构成傅里叶变换对，称为维纳—辛钦关系式。如果，则

5.2随机振动的统计特性5.2随机振动的统计特性在随机振动中，表示能量在各圆频率上的分布密度。根据其物理意义可知，。

由此可知，为的偶函数。5.2随机振动的统计特性在整个频率域内定义的为双边功率谱。在非负频率范围内定义的功率谱称为单边功率谱，记作。

单边谱和双边谱的关系为

实际计算功率谱时，通常利用频率代替圆频率，则维纳—辛钦关系式变化为（5-25）式（5-25）变化为5.2随机振动的统计特性5.2.4随机振动的概率分布（1）基本概念如图5.2所示的随机过程，中小于的概率，记为，即

图5.2累积概率的计算方法5.2随机振动的统计特性由此可以得到图5.3所示的累积概率分布函数，取值在0~1之间。图5.3累积概率和概率密度函数5.2随机振动的统计特性如果要求取值位于和之间的概率，应为引入概率密度函数，为

与二者存在以下关系：

另外

这说明，曲线下面的面积总和为1。5.2随机振动的统计特性随机过程时域统计特性与概率密度函数的关系为均值

方差均方值

5.2随机振动的统计特性（2）概率分布正态分布和瑞利分布是两种最常见的概率分布，数学表达式分别为正态分布

瑞利分布

5.2随机振动的统计特性两种概率分布的函数如图5.4和5.5所示。图5.4正态分布图5.5瑞利分布5.3线性振动系统的随机响应计算5.3.1线性系统随机激励响应统计特性线性系统在任意激励下的解可以根据杜哈梅积分写出：将积分的上、下限扩展为和不影响积分结果，即5.3线性振动系统的随机响应计算因为激励为平稳随机过程，因此，响应也是平稳随机过程，其统计特性可以按照以下的方法进行计算。（1）均值（2）自相关函数5.3线性振动系统的随机响应计算（3）激励与响应的相关函数（4）响应自谱5.3线性振动系统的随机响应计算（5）均方值当激励为白噪声时，激励谱为常数，所以积分，其中，的求解见表5.1。5.3线性振动系统的随机响应计算（6）激励与响应的互谱对激励与响应的互相关函数作傅里叶变换得到互谱，即（7）谱相干函数对于线性系统：5.3线性振动系统的随机响应计算上述的分析结果对于SISO（单输入单输出）、SIMO（单输入多输出）和MIMO（多输入多输出）系统的随机响应问题同样适用。

对于MIMO系统相对比较复杂，假设自由度线性系统受到个平稳随机激励，则第个坐标对于沿第个坐标的激励的的脉冲响应函数为，频率响应函数为，它们构成脉冲响应函数矩阵和频率响应函数矩阵，即

5.3线性振动系统的随机响应计算将和排成阵列，即忽略中间的推导过程，得到响应统计特性的计算公式为：（1）响应的自相关矩阵（2）响应的自谱矩阵（3）响应的自相关矩阵（4）激励与响应的互谱矩阵5.3线性振动系统的随机响应计算5.3.2线性系统传递特性频率响应函数是指初始条件为零时系统的输出与输入的傅里叶变换的比值。其求解的基本过程为：1）列出系统的运动微分方程；2）假设全部初始条件为零，对微分方程进行拉普拉斯变换；3）求系统的输出量与输人量之比；4）将代入输出量与输入量的比值，得到频率响应函数。5.3线性振动系统的随机响应计算图5.6所示的为汽车车身单质量系统振动模型：图5.6汽车车身单质量振动系统（1）系统的微分方程为（2）拉氏变换（3）输入输出比值（4）频率响应函数5.4随机振动在汽车振动分析中的应用对于图5.6所示的汽车单质量系统振动模型，若路面不平度的激励谱为，其中，为车速

求得频率响应函数为：

则

所以，响应的均方值为其中：得到5.4随机振动在汽车振动分析中的应用图5.7所示的为汽车双质量系统振动模型：

图5.7汽车的车身车轮双质量振动系统系统的振动微分方程为写成矩阵形式为5.4随机振动在汽车振动分析中的应用两边进行拉氏变换，得到5.4随机振动在汽车振动分析中的应用将代入上式，得到频率响应函数为即其中，5.4随机振动在汽车振动分析中的应用（1）响应的均值响应的均值为

（2）响应的功率谱（3）响应的均方值第6章汽车发动机的振动分析6.1发动机振动的干扰力和力矩6.2发动机振动的隔振分析6.3发动机悬置系统及其优化设计6.1发动机振动的干扰力和力矩6.1.1单缸发动机的激励源讨论发动机振动时,在保持重心位置和总质量不变的条件下，把整套曲柄连杆机构的质量用集中在曲柄销与活塞销上的两质量代替。曲柄连杆机构可简化为图6.1所示的系统。

6.1发动机振动的干扰力和力矩活塞的运动方程式及活塞的运动速度和加速度为：

其中：6.1发动机振动的干扰力和力矩对于不同的值，可算出各项系数的值。如略去高阶微小量，用前面两项近似表示，则

6.1发动机振动的干扰力和力矩集中质量的往复惯性力的大小等于质量与活塞加速度的乘积，而方向与加速度方向相反，即

其中：

--------一级往复惯性力--------二级往复惯性力

--------四级往复惯性力

6.1发动机振动的干扰力和力矩往复惯性力也是一个收敛很快的三角级数，二级以上的惯性力很小，略去不计，于是可把集中质量的往复惯性力近似的表示为当发动机工作时，作用在曲柄连杆机构上的主动力是式中：

--------活塞顶面上气体的爆发压力；

--------活塞直径。（6-6）6.1发动机振动的干扰力和力矩图6.2单缸发动机6.1发动机振动的干扰力和力矩根据达朗贝尔原理，系统加上移动质量和转动质量的惯性力和后，可利用平衡条件来分析受力情况。写出活塞的受力平衡方程：

由此可解出连杆的轴向力和活塞的侧向压力：分析曲轴的受力情况。可求出迫使曲轴旋转的主动力矩：6.1发动机振动的干扰力和力矩由曲轴的平衡方程求得：解出支承的反作用力：根据作用力和反作用力定律，可确是作用在发动机缸体上的气体压力，（作用在气缸顶）；通过活塞作用在缸体上的侧压力；通过曲轴作用在主轴承上的压力。如图6.2（c）所示。6.1发动机振动的干扰力和力矩6.1.2多缸发动机的激励源多缸直列汽车发动机，可视为由曲轴连接起来的几个发动机。作用在整个缸体上的干扰力，应是各单缸体受到的干扰力组成的一组空间力系。如图6.3所示。一般情况下，此力系可简化为图6.4所示的受力情况，图中的干扰力和干扰力矩按下式计算。图6.3多缸发动机的受力情况图6.4缸体受力情况6.1发动机振动的干扰力和力矩设以表示第个曲柄相对于第一个曲柄的夹角，于是

由式（6-6）得6.1发动机振动的干扰力和力矩于是总铅垂干扰力为水平干扰力仅与旋转惯性力的水平分量有关6.1发动机振动的干扰力和力矩绕水平轴转动的干扰力矩等于各缸铅垂干扰力对轴的力矩，即绕铅垂轴的干扰力矩等于各缸水平干扰力对轴之矩，它仅与旋转惯性力有关，即：6.1发动机振动的干扰力和力矩绕曲轴轴线的干扰力矩是与惯性力及气体压力有关的周期函数，表示成如下的三角级数为：由上分析可以看出，作用在直列多缸发动机上的干扰力和干扰力矩都是曲轴转角的周期函数，它们将引起发动机和车架的振动，为了减小这种有害的振动，除合理布置曲柄间的相互位置、采取有效的平衡方法和点火顺序来消除或减少干扰外，还应采取隔振措施来减少发动机传给车架的干扰力。

6.2发动机振动的隔振分析6.2.1发动机的垂直振动图6.6发动机的垂直振动运动微分方程式：

即微分方程式的解为6.2发动机振动的隔振分析式中：若不计支承系统的阻尼（c=0），则发动机的铅垂振动规律式可简化成如下形式

6.2发动机振动的隔振分析6.2.3回转力矩引起的发动机振动发动机绕曲轴中心振动的微分方程

式中：

-------发动机对于曲轴中心线的转动惯量。

令把上式简化为：6.2发动机振动的隔振分析采用第2章所介绍的方法，可求出上式的解：其中：

在的无阻尼情况时，上式可简化为：6.2发动机振动的隔振分析6.2.4发动机绕横轴的振动根据图6.7，发动机绕水平横轴振动的微分方程式为

或令

于是上式可简化为6.2发动机振动的隔振分析此微分方程式的解为其中6.2发动机振动的隔振分析为了减小绕横轴的振动，发动机驱动轴B端后支承与发动机A端前支承的连线，应通过发动机的重心，如图6.8所示。另外，前、后支承弹簧的刚度与总刚度之间成下面的比例关系：这样布置的发动机弹性支承，就能够使垂直方向的振动和绕水平横轴的回转振动两者的合成振动减小。图6.8发动机支承6.3发动机悬置系统及其优化设计6.3.1发动机悬置系统概述发动机悬置系统的最基本的功能是：

（1）固定并支承汽车动力总成；（2）承受动力总成内部因发动机旋转和平移质量产生的往复惯性力及力矩；（3）承受汽车行驶过程中作用于动力总成上的一切动态力；（4）隔离由于发动机激励而引起的车架或车身的振动；（5）隔离由于路面不平度以及车轮所受路面冲击而引起的车身振动向动力总成的传递。

下面介绍几种常用的悬置材料。

6.3发动机悬置系统及其优化设计1.橡胶悬置为降低振动、提高乘坐舒适性，人们进行了悬置元件本身结构性能的设计，把橡胶硫化到各种形状金属骨架上面，形成了各式结构的橡胶悬置。橡胶悬置由于其结构紧凑，价格便宜，便于维护，使用寿命长等优点而得到广泛应用。但是橡胶悬置在高频时具有较大的动刚度，并且橡胶材料耐温、耐油性能较差，通常用天然橡胶制成的减振橡胶块，不能在70℃以上的高温下使用。这些特性限制了橡胶悬置的进一步发展，促使技术人员开发新一代悬置系统。

6.3发动机悬置系统及其优化设计2.液压悬置液压悬置能够获得广泛的应用主要取决于两个方面的原因，其一是由于轿车设计向着大扭矩、轻量化方向发展，其二是液压悬置具有频变和幅变特性的优点。液压悬置经历了不断发展和完善的过程，现在应用的主要有简单节流孔式、惯性通道式、惯性通道——解耦膜式等几种。

简单节流孔式惯性通道式惯性通道——解耦膜式6.3发动机悬置系统及其优化设计3.半主动悬置

半主动悬置按其结构方式和工作原理可以分为：控制节流孔开度的半主动悬置、电流变液体半主动悬置、磁流变液体半主动悬置等几种。用电磁阀控制半主动液压悬置6.3发动机悬置系统及其优化设计4．主动悬置主动悬置一般由被动式液压悬置、作动器、传感器和控制机构组成。1988年PeterL．Graf等人设计了一种采用液压作动器的主动悬置。

1994年德国人MichaelMuller等研究了带有电磁作动器的主动液压悬置

1995年日本人，ToshiyukiShibayama等发表文章介绍了他们应用压电陶瓷作动器的发动机主动悬置

2002年南韩人Y-W-Lee，把电磁作动器与液压悬置的解耦盘连接，形成一个作动的活塞，直接驱动液压悬置内的液体，改变悬置的动刚度，降低振动的幅值

2002年加拿大人M．S．Foumani利用形状记忆合金的形状记忆效应设计了一种形状记忆金属式的主动悬置

2003年日本五十铃公司日刊采用了电磁作动器与液压悬置结合，对重型柴油机振动实施主动控制6.3发动机悬置系统及其优化设计6.3.2发动机悬置系统的动力学模型动力总成悬置系统就简化成一个六自由度的刚体振动模型。如图6.12所示。

图6.12发动机与其悬置系统1.发动机振动时的动能发动机振动时的动能应为其随质心平动动能与绕质心转动动能之和，即6.3发动机悬置系统及其优化设计发动机的总动能为

6.3发动机悬置系统及其优化设计写成矩阵形式

其中称为发动机系统的质量矩阵，它是一个对称矩阵。是系统广义速度列阵。6.3发动机悬置系统及其优化设计如果是发动机总成的惯性主轴，则，此时可把发动机总成的动能表示成：此时相应的质量矩阵是对角矩阵6.3发动机悬置系统及其优化设计2.发动机振动时的势能支承点离开平衡位置的位移矢量为

比较等式两端系数得

6.3发动机悬置系统及其优化设计用矩阵表示式中是由支承点位置决定的矩阵。6.3发动机悬置系统及其优化设计支承系统的势能式中6.3发动机悬置系统及其优化设计3.发动机在车架上的自由振动微分方程求得发动机系统的动能和势能后，就可利用拉格朗日方程写出系统的自由振动微分方程。由于我们所研究的系统是保守的机械系统，因此，自由振动的一般式为拉格朗日方程式

把前面计算的结果代入拉格朗日方程式就得发动机在悬置上振动的微分方程为避免复杂的运算，我们用矩阵形式表示，即

6.3发动机悬置系统及其优化设计设方程解为：代入上式，简化后得

乘等式两端得

，则上式简化为

是矩阵的特征值，而是它的特征向量，矩阵是非对称矩阵，它的特征值和特征向量都是实的，可用求解非对称实阵的一般方法求得。

6.3发动机悬置系统及其优化设计6.3.3动力总成悬置系统的隔振1.隔振系统的传递率对动力总成来说，激励力来自发动机，基础是车身或车架，假设基础不动。那么，传递到基础上的力的幅值与激励力的幅值之比的绝对值，称为传递率，其表达式为式中，

为隔振器阻尼比；为激励频率与系统固有频率之比。6.3发动机悬置系统及其优化设计2.悬置系统的模态能量解耦如图6.11所示，动力总成有6个自由度，对应的有6个模态。模态彼此独立的情况，称为模态解耦。然而，在实际工程中，要使所有的模态完全解耦是不可能的。在某个频率下，如果有两种或两种以上的模态存在，即存在两种或两种以上的运动形式，那么这种多模态并存的情况称为模态耦合。动力总成做自由振动时，每个模态都有一定的能量，系统的能量表示为系统在第阶模态频率下，所有模态能量之和为该频率下模态总能量，用表示展开得6.3发动机悬置系统及其优化设计对于第阶模态频率，作用于第个广义坐标的能量为那么，在第阶模态频率，单个模态能量与总模态能量的比值，就表示该阶模态能量的强弱，称为解耦度，用表示如下：6.3发动机悬置系统及其优化设计3.模态分析与优化设计实例

某轿车动力总成悬置系统，其惯性参数如表6.2所列；悬置系统3个悬置元件的三向刚度列表如表6.3.表6.2动力总成转动惯量表6.3悬置元件三向刚度6.3发动机悬置系统及其优化设计（1）动力总成悬置系统有限元模型。

图6.13动力总成悬置系统有限元模型6.3发动机悬置系统及其优化设计（2）悬置系统模态分析。

表6.4悬置系统模态能量分布百分比第7章人体对振动的反应和路面输入

7.1人体对振动的反应7.2路面不平度的统计特性7.3路面输入模型7.1人体对振动的反应7.1.1概述关于人体对振动的反应，首先可将振动输入按以下属性分类：

1）振动的幅值和频率。2）作用的位置和方向。3）作用时间。人体对振动的反应还可以按照各种不同的方式分类，如：健康状况、舒适程度、工作效能、主观感觉、晕车反应等。

7.1人体对振动的反应7.1.2ISO2631标准国际标准化组织（ISO）于1974年颁布了ISO2631的最初版本——《人体承受全身振动评价指南》。最初的ISO2631标准（1974年版）推荐值均以实验数据为依据，被试验者承受垂向、横向和纵向的不同频率范围内的正弦波振动，根据得到的试验数据，以三个推荐的指标来表征加速度界限值，即：（1）暴露界限人体可承受的振动量上限，如超过此界限，可能损害人体健康。（2）疲劳-工效降低界限该指标与人能保持工作效能有关，在此界限内，人能够正常驾驶及操作，如图7.1所示。。（3）舒适性降低界限保持良好感觉及舒适性界限。这些界限值均以1~80Hz振动频率范围内不同暴露时间下的加速度方均根值来表达。

7.1人体对振动的反应图7.1疲劳-工效降低界限7.1人体对振动的反应目前最新的评价标准为ISO2631-1：1997（E）《人体承受全身振动评价—第一部分：一般要求》，该标准对于评级长时间作用的随机振动和多输入点多轴向振动环境对人体影响时，能与主观感觉更好的吻合。该标准所规定的人体坐姿受振模型如图7.2所示，同样考虑了12个方向的振动分量对人体振动的综合影响；其基本频率范围扩展到0.5～80Hz，规定了人体对不同轴向分量及不同频率的振动的不同敏感程度，图7.3中给出了各振动分量在0.5～80Hz频率范围内的加权函数，表7.1给出了各轴向振动分量的加权函数。7.1人体对振动的反应图7.2人体坐姿受振模型图7.3各振动分量的频率加权函数7.1人体对振动的反应对人体舒适性评价的计算方法还取决于峰值系数，其定义为频率加权加速度（weightedacceleration）的峰值与方均根值之比。ISO2631-1：1997（E）标准规定，如果加权后的峰值系数＜9时，可直接采用总加权加速度方均根值来评价振动对人体舒适和健康的影响。时域积分方法求出的方均根值频率加权后的加速度方均根值

7.1人体对振动的反应其中各轴向频率加权函数可根据图7.3中的函数曲线渐进逼近，由以下公式近似表示：

7.1人体对振动的反应根据求出的各轴向加速度方均根值，再根据表7.1给出的各轴向振动分量的加权系数进行加权求和，就得出了总的加权加速度方均根值，即：

表7.2给出了加权振级和加权加速度方均根值与人的主观感觉之间的关系。

加速度方均根值

加权振级

人的主观感觉<0.315110没有不舒适0.315～0.63110～116有一些不舒适1.5～1.0114～120相当不舒适0.8～1.6118～124不舒适1.25～2.5112～128很不舒适>2.0126极不舒适7.2路面不平度的统计特性7.2.1路面不平度的测量为了精确预测车辆对路面激励输入的响应，首先要做的工作就是对路面本身进行恰当描述及表达。获得路面特征的唯一方法就是测量，有以下几种测量技术可供使用：（1）经典测量技术

（2）路面不平度测量仪

（3）非接触式路面测量装置

7.2路面不平度的统计特性通常实测所得的路面不平度（路面相对基准平面的高度）是沿道路走向长度的变化函数，称为路面不平度函数（图7.6）。

图7.6路面不平度函数7.2路面不平度的统计特性7.2.2路面不平度的功率谱密度路面功率谱密度